Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN NHIỆT Biên soạn: Lê Quang Nguyên Khi phần khác chất nhiệt độ khác có tượng truyền nhiệt từ nơi nhiệt cao tới nơi có nhiệt độ thấp Nhiệt truyền theo ba cách khác nhau: khuếch tán nhiệt, đối lưu xạ nhiệt Khuếch tán nhiệt truyền nhiệt chuyển động nhiệt phân tử vật chất Khi chuyển động phân tử va chạm lẫn nhau, lượng từ phân tử chuyển động nhanh vùng nóng chuyển bớt cho phân tử chuyển động chậm vùng lạnh hơn, tạo nên truyền nhiệt Đó chế truyền nhiệt chất rắn Trong chất khí chất lỏng nhiệt chủ yếu truyền luồng khí hay dòng chảy, gọi đối lưu Cuối cùng, vật sưởi ấm sóng điện từ phát từ nguồn nóng, gọi xạ nhiệt Khác với hai chế trên, xạ nhiệt truyền qua chân không không đòi hỏi môi trường truyền nhiệt Trong này xét riêng tượng khuếch tán nhiệt, thực tế quan sát khuếch tán nhiệt riêng lẻ, thường kèm với tượng đối lưu 1.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER MẬT ĐỘ DÒNG NHIỆT VÀ THÔNG LƯỢNG NHIỆT  Vectơ mật độ dòng nhiệt j có chiều hướng theo chiều truyền nhiệt có độ lớn lượng nhiệt truyền qua đơn vị diện tích vuông góc với dòng nhiệt đơn vị thời gian Do đó, lượng nhiệt truyền qua hình phẳng diện tích S vuông góc với dòng nhiệt đơn vị thời gian, hay thông lượng nhiệt qua S, là: (1.1.1)   jS Nếu S không vuông góc với dòng hạt (hình 1.1.1) ta lập luận sau: Thông lượng qua S = thông lượng qua S’ = jS’ = jScos Vậy:    j nS (1.1.2) Lưu ý thông lượng số đại số, thông lượng dương dòng nhiệt theo chiều dương bề mặt (chiều  vectơ đơn vị pháp tuyến n ), âm trường hợp ngược lại Nếu dòng nhiệt có mật độ dòng bề mặt S có hình dạng (hình 1.1.2) ta chia bề mặt làm nhiều phần nhỏ dS, phần nhỏ coi phẳng mật độ dòng nhiệt coi không đổi Như thông lượng nhiệt qua dS là:   (1.1.3) d  j  n dS Thông lượng nhiệt qua S tổng thông lượng qua phần nhỏ dS mặt S:   (1.1.4)   d  j  n dS  S  S j n S’ Hình 1.1.1  S Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt Trong trường hợp S mặt khép kín, người ta quy ước  chọn n hướng ngoài, thông lượng khỏi mặt dương, thông lượng vào mặt âm 1.2 ĐỊNH LUẬT FOURIER Mật độ dòng nhiệt tỷ lệ với gradient nhiệt độ:   j   KT (1.2.1) Bảng 1.2.1 Cỡ độ lớn độ dẫn nhiệt K (W.m-1 K-1 ) Dấu trừ hệ thức cho thấy dòng nhiệt hướng phía nhiệt độ thấp Không khí 0,006 – 0,18 Nước 0,1 – Hệ số K số dương, gọi độ dẫn nhiệt, có đơn vị W.m-1.K-1 Thuỷ tinh 1,2 Đồng 390 Bảng 1.2.1 giới thiệu cỡ độ lớn độ dẫn nhiệt số chất 1.3 SỰ TƯƠNG TỰ GIỮA CÁC ĐỊNH LUẬT FOURIER, FICK VÀ OHM Nếu để ý chút người đọc thấy phần vừa giảng giống với phần đầu giảng tượng khuếch tán Sự thật thay đổi ít, chẳng hạn thay mật độ dòng hạt mật độ dòng nhiệt, hệ số khuếch tán độ dẫn nhiệt, định luật Fick định luật Fourier … Khi soạn thảo máy tính điều thật đơn giản, lấy nguyên cũ thay đổi số câu chữ Làm lười , mà mặt chất vật lý định luật chi phối hai tượng khuếch tán khuếch tán nhiệt giống Thật vậy, có gradient mật độ có dòng khuếch tán có mật độ dòng tỷ lệ với gradient mật độ; tương tự thế, có gradient nhiệt độ có dòng nhiệt có mật độ dòng tỷ lệ với gradient nhiệt độ Chúng ta mở rộng tương tự tới định luật Ohm nữa: có gradient điện có dòng điện có mật độ dòng tỷ lệ với gradient điện (xem hình 1.3.1) PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2.1 SỰ BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG Xét mặt kín S môi trường có khuếch tán nhiệt (hình 2.1.1) Vì lượng bảo toàn, nên thời gian dt bên mặt S nội giảm dU, phải có lượng nhiệt tương ứng khỏi mặt S thời gian Hay tính đơn vị thời gian, tốc độ giảm nội bên S phải thông lượng nhiệt khỏi S Như thế:   dU (2.1.1)   j  n dS dt Nhiệt dU <  S Có dấu trừ hệ thức dU < 0, thông lượng khỏi mặt S lại số dương Hệ thức trường hợp nội S tăng lên, tức dU > 0, thông lượng nhiệt qua S âm, tương ứng với dòng nhiệt vào mặt S Gọi V thể tích giới hạn mặt S, ta có: Hình 2.1.1 Nhiệt lượng độ giảm nội bên mặt S Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt u T dU d  udV  dV  c dV t dt dt t    V V V (2.1.2) Trong  c khối lượng riêng nhiệt dung riêng môi trường xét Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, thông lượng nhiệt qua mặt kín S biến đổi thành tích phân theo thể tích V  div j :     (2.1.3) j  ndS    j dV  S  V Thay (2.1.2) (2.1.3) vào (2.1.1) chuyển vế, ta thu được:  T       j dV  (2.1.4)  c t   V  Hệ thức với thể tích V bất kỳ, nên hàm dấu tích phân phải không điểm: T   (2.1.5) c  j 0 t Tương tự phương trình (2.1.1), phương trìnhø (2.1.5) mô tả bảo toàn lượng có khuếch tán nhiệt Chỉ có điểm khác biệt diễn tả bảo toàn lượng   thể ích nhỏ dV bao quanh vị trí xác định,   j thông lượng nhiệt qua bề mặt bao quanh dV chia cho dV (thông lượng nhiệt đơn vị thể tích) 2.2 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Thay biểu thức mật độ dòng nhiệt từ định luật Fourier (1.2.1) vào phương trình bảo toàn lượng (2.1.5) ta thu phương trình truyền nhiệt:   T (2.2.1) c  K.(T )  t Biết rằng:   2 2 2 .      y z x (2.2.2) Nên phương trình truyền nhiệt viết dạng: T (2.2.3) c  K T  t Phương trình truyền nhiệt phương trình đạo hàm riêng, biết điều kiện ban đầu điều kiện biên toán truyền nhiệt cụ thể ta giải phương trình để tìm nhiệt độ theo vị trí thời gian1 Tuy nhiên, vấn đề vượt phạm vi giáo trình Ở xét trường hợp truyền nhiệt theo chiều Ngoài ra, xét trường hợp truyền nhiệt dừng, tức nhiệt độ không thay đổi theo thời gian 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 2.3.1 NHIỆT TRỞ Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt Xét hình trụ đồng có chiều dài l, tiết diện S, độ dẫn nhiệt K Hai đầu giữ nhiệt độ không đổi T1 T2 (T1 > T2) Giả sử trao đổi nhiệt môi trường chung quanh, truyền nhiệt dọc theo chiều dài dừng Hãy xác định thay đổi nhiệt độ dọc theo chiều dài thông lượng nhiệt qua Vì nhiệt truyền theo trục x nên phương trình truyền nhiệt có dạng: c T  2T  K 0 t x Ngoài trạng thái dừng T t  nên:  2T x 0 Tích phân hai lần phương trình dùng điều kiện nhiệt độ hai đầu ống, ta được: T  T1 T x  T1 l Theo định luật Fourier, mật độ dòng nhiệt là: T K j  K  T1  T2  x l Thông lượng nhiệt qua là: KS   jS  T1  T2  l NHIỆT TRỞ Trên đề cập đến tương tự định luật Ohm định luật Fourier Ở trường hợp riêng thế, xét đoạn dây điện thẳng có chiều dài l, tiết diện S, điện dẫn suất , hiệu điện hai đầu (V1 – V2 ), cường độ dòng điện dừng qua dây có biểu thức xác định từ định luật Ohm: S V1  V2  I l Người ta định nghĩa điện trở đoạn dây điện là: l R S Tương tự người ta định nghĩa nhiệt trở vật dẫn nhiệt có chiều dài l, tiết diện S, độ dẫn nhiệt K là: l R KS 2.3.2 SÓNG NHIỆT Coi lòng đất môi trường đồng nhất, bán vô hạn, có độ dẫn nhiệt K, khối lượng riêng  nhiệt dung riêng c, nằm nửa không gian ứng với x > Giả sử nhiệt độ mặt đất (mặt phẳng x = 0) thay đổi theo quy luật hình sin sau: Ts t   T0   cos t Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt 1) Hãy xác định nhiệt độ lòng đất theo độ sâu x thời gian t 2) Biểu diễn lời giải câu 1) dạng “sóng nhiệt” Tìm vận tốc truyền sóng nhiệt 3) (a) Xét thay đổi nhiệt độ ngày đêm, với nhiệt độ mặt đất thay đổi từ C ban đêm 16 C vào ban ngày Bắt đầu từ độ sâu độ biến thiên nhiệt độ nhỏ C ? Tìm vận tốc truyền sóng nhiệt, biết a  K c  6.10 7 m s 1 (b) Câu hỏi tương tự câu (a), xét thay đổi nhiệt độ năm, với nhiệt độ mặt đất thay đổi từ –10 C 26 C 1) Sau thời gian nhiệt độ lòng đất bắt đầu biến đổi theo nhịp điệu hình sin nhiệt độ mặt đất Do tìm nghiệm dạng: T x, t   T0  Re   x, t  Với:   x, t   f  x  expit  Thay  vào phương trình truyền nhiệt ta thu phương trình xác định f: 2 f x  i Đặt x  c K f i 2a  a f (x0 có thứ nguyên chiều dài), ta viết  lại phương trình sau: 2 f x 2 1  i   f     x0  Nghiệm phương trình vi phân có dạng:  x    x   x  x   exp  i   b exp  exp i  f  a exp    x  x   x  x      0  0 Các số a b tìm từ điều kiện giới hạn Trước hết, nhiệt độ phải hữu hạn độ sâu lớn, b = Ngoài ra, nhiệt độ mặt đất là: T 0, t   T0  a cos t  Ts t   T0   cos t Suy a = 0 Vậy:   x  x     exp   exp it     x    x0   Và nhiệt độ lòng đất có dạng:  x   x   cos t   T x, t   T0   exp      x x   0  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt 2) Nghiệm viết dạng:  x  x  cos   t   T x, t   T0   exp   v x     Với v  x 0  2a Như nhiệt độ lòng đất biến đổi “sóng nhiệt” lan truyền với vận tốc v Sóng nhiệt có biên độ tắt dần nhanh theo hàm mũ Ở độ sâu vào khoảng vài lần x0 sóng nhiệt trở nên không đáng kể (xem đồ thị bên cạnh) 3) (a) Sự thay đổi nhiệt độ ngày đêm từ C tới 16 C coi biến đổi hình sin quanh giá trị trung bình C với biên độ C, ta có: T0  273   281K   8K Tần số góc thay đổi nhiệt độ ngày đêm là: 2 2    7,27.10 5 s 1 T 24  3600 Suy ra: x0  2a    6.10 7 7,27.10 5  12,85 cm v  x0  12,85  7,27.10 5  9,34.10 4 cm.s 1  80,71 cm / dem Biên độ sóng nhiệt K độ sâu x là: x  x ln 8  12,85 ln8  26,72 cm (b) Tương tự câu (a) ta có tham số sóng nhiệt tương ứng với thay đổi nhiệt độ hàng năm: T0  291 K   18 K   1,99.10 7 s 1 x  2,45 m v  4,88.10 5 cm.s 1  4,22 cm / dem Biên độ sóng nhiệt K độ sâu x = 7,1 m Như vậy, độ sâu 4,2 m biến thiên nhiệt độ đến trễ so với mặt đất 100 ngày đêm, chưa kể biên độ biến thiên giảm khoảng lần Đó lý tầng ngầm thường mát mẻ vào mùa hè ấm áp vào mùa đông TÍNH ĐỘ DẪN NHIỆT Trong phần này, đơn giản xét truyền nhiệt dừng chất khí lý tưởng Chúng ta tính mật độ dòng nhiệt theo trục x (giả sử nhiệt truyền theo chiều dương trục x) Gọi S hình phẳng vuông góc với trục x (hình 3.1), Q1, Q2 lượng nhiệt qua đơn vị diện tích S đơn vị thời gian theo chiều dương theo chiều âm, ta có mật độ dòng nhiệt qua S là: j x  Q1  Q2  N1U  N 2U (3.3.1) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hiện tượng khuếch tán nhiệt Trong N1, N2 số phân tử khí qua đơn vị diện tích S đơn vị thời gian, U1, U2 động trung bình phân tử khí khoảng cách l phía trái phải S (l quãng đường tự trung bình, phân tử va chạm lần chót trước qua S) Trên thực tế, hạt có vận tốc tuân theo phân bố xác định (như phân bố Maxwell chẳng hạn), ta coi chúng có vận tốc vận tốc trung bình Ngoài ra, chuyển động nhiệt hỗn loạn, nên có 1/3 số hạt theo phương x, y z Trong số hạt theo phương x, lại có nửa theo chiều dương nửa theo chiều âm Vì vậy: (3.3.2) N  N  nv Với n mật độ phân tử khí Ta có: j x  nv U  U  (3.3.3) Động trung bình phân tử khí (i/2)kT, i số bậc tự phân tử, k số Boltzmann Mặt khác, nhiệt dung mol đẳng tích khí lý tưởng CV = (i/2)kNA, với NA số Avogadro Do đó: C i U  kT  V T (3.3.4) NA Hệ thức (3.3.3) có dạng: C j x  nv V T1  T2  NA (3.3.5) Nếu quãng đường tự trung bình đủ nhỏ ta có gần đúng: T (3.3.6) T1  T2  2l x Vậy: C T j x   nv l V N A x (3.3.7) So sánh hệ thức với định luật Fourier ta có biểu thức độ dẫn nhiệt: C K  nv l V (3.3.8) NA TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thermodynamique, 1re année MPSI-PCSI-PTSI, JeanMarie Brebec et al, Hachette Supérieur [2] Thermodynamique, 2de année PC-PC*, PSI-PSI* , JeanMarie Brebec et al, Hachette Supérieur [3] Molecular Physics, A K Kikoin and I K Kikoin, translated from Russian by G Leib, Mir Publishers (Moscow) [4] Cơ sở vật lý tập (Nhiệt học), Nhà xuất Giáo Dục (1988) Dịch từ Fundamentals of Physics, David Halliday et al, John Wiley & Sons, Inc (New York)