SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT AN NHƠN  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2x  x y 2y 2z  3 yz zx GIÁO VIÊN : PHAN NGỌC TOÀN NĂM HỌC : 2011 - 2012 PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Bất đẳng thức cực trị toán khó nhằm phát triển tư nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS THPT Trong đó, việc vận dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki để giải thành thạo toán bất đẳng thức cực trị điều đơn giản Trong kì thi cấp thi học kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, cấp quốc gia, Olympic khu vực, …chúng ta thường tháy có mặt bất đẳng thức, cực trị nhằm tìm học sinh có khiếu học toán Hiện nay, chuyên đề bất đẳng thức có nhiều thầy cô, tác giả viết sách tìm hiểu viết vấn đề Tuy nhiên tài liệu tìm hiểu chuyên sâu việc rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, tìm hiểu , nghiên cức để đưa số kỹ thường gặp viết thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển nâng cao kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki” nhằm giúp học sinh chủ động, tự tin đứng trước bất đẳng thức cực trị Đề tài chủ yếu nêu bật kỹ cần rèn luyện cho học sinh trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán kì thi cấp thường gặp II Phương pháp tiến hành Dựa thức tế dạy lớp ban khao học tự nhiên, tham gia dạy bồi dưỡng lớp học sinh giỏi cấp năm học vừa qua Trên sở đó, tìm hiểu , nghiên cứu , tích lũy tham khảo ý kiến đồng nghiệp để viết sáng kiến kinh nghiệm Đề tài sử dụng phương pháp phân tích,đánh giá ,dự đoán Hệ thống hóa dạng tập tương ứng với kỹ Trong trình biên soạn nhận giúp đỡ thầy cô tổ Toán trường THPT An Nhơn Tôi xin chân thành cảm ơn mong góp ý chân thành đồng nghiệp để chuyên đề trở nên phong phú có thêm nhiều tài kiệu cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần B NỘI DUNG ĐỀ TÀI “PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI” I Mục tiêu Nội dung đề tài gồm hai phần, phần 1: giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki biến thể thường gặp nó, phần 2: giới thiệu số kỹ cần rèn luyện cho học sinh trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán Đề tài chủ yếu sâu vào phân tích để tìm điểm then chốt kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán Các tài liệu tham khảo viết chung chung giải số lượng lớn tập mang tính chất rời rạc Trong đó, Chúng cố gắng qua ví dụ cụ thể để làm bật lên kỹ vận dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki để giải toán II Nội dung giải pháp đề tài Giải pháp Chương I Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki biến thể Trong chương trình toán học phổ thông ta thượng gặp bất đẳng thức mà gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dạng sau( có tên gọi khác ) :  Dạng Với a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn số thực tùy ý ta có: (a1b1  a2 b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) (A) Đẳng thức xảy khi: a a1 a2    n b1 b2 bn ( Quy ước mẫu số tử số 0) Các trường hợp đặc biệt thường gặp:  Với số a, b, x, y ta có: (ax  by )  (a  b )( x  y ) a b  x y  Với số a, b, c, x, y , z ta có: (ax  by  cz )2  (a  b  c )( x  y  z ) a b c Đẳng thức xảy   x y z  Dạng Với a1 , a2 , , an số thực tùy ý b1 , b2 , , bn số thực dương Đẳng thức xảy , ta có: a (a  a   an )2 a12 a22 (B)    n  b1 b2 bn b1  b2   bn a a a Đẳng thức xảy :    n b1 b2 bn Các trường hợp đặc biệt thường gặp:  Với số a, b tùy ý x, y  ta có: Đẳng thức xảy a b (a  b)   x y x y a b  x y  Với số a, b, c tùy ý x, y, z  ta có: Đẳng thức xảy a b c ( a  b  c)    x y z x yz a b c   x y z GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Ngoài ta gặp số biến thể dạng đặc biệt sau:  Với a, b  , ta có bất đẳng thức sau Đẳng thức xảy a = b 1  4ab (a  b) ab ab  a b 1 (a  b)(  )  a b 1   a b ab     Chương II MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI TRONG GIẢI TOÁN Kỹ năng” Biến đổi thuận” 1.1 Biến đổi thuận dạng Để vận dụng kỹ “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” dạng ta thường xuất phát từ giả thiết toán từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất biểu thức dạng (a1b1  a2b2   anbn ) Từ biến đổi để đánh giá theo biểu thức (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Ta xem xét qua số ví dụ sau: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : 3(a  b  c )2  (a  2)(b  2)(c  2) Nhận xét: Trước hết, ta cần ý đến xuất biểu thức (a  b  c)2 vế trái a  vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Điều làm cho ta suy nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (a  b  c)2 để đánh giá theo biểu thức a  , mục đích làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh cách giảm số biến ( giảm biến a chẳng hạn) Từ đó, ta có lời giải sau: Lời giải : (b  c)  bc 2   Ta có: (a  b  c)   a.1  )    (a  2) 1  (      (b  c )  2 Bài toán đưa chứng minh:     (b  2)(c  2) (2)   Ta lại có, (2)  (b  c)  (bc  1)  Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho lươn  a  b  c  Đẳng thức xảy b  c  a  b  c 1 bc    GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Bài toán Cho a, b, c số thực Chứng minh : (ab  bc  ca  1)  (a  1)(b  1)(c  1) Nhận xét: Tương tự toán 1, ta cần ý đến xuất biểu thức (ab  bc  ca  1) vế trái a  vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Điều làm cho ta suy nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (ab  bc  ca  1) để đánh giá theo biểu thức a  , mục đích làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh cách giảm số biến ( giảm biến a chẳng hạn) Từ đó, ta có lời giải sau: Lời giải : Ta có: (ab  bc  ca  1)2   a.(b  c)  (bc  1)   (a  1) (b  c)  (bc  1)2  Bài toán đưa chứng minh: (b  c)  (bc  1)2  (b  1)(c  1) (2) Đây đẳng thức (b  c)  (bc  1)2  (b  1)(c  1) Đẳng thức xảy a(bc  1)  b  c  a  b  c  abc Bài toán Cho a, b, c, d số thực thõa mãn (a  1)(b  1)(c  1)(d  1)  16 Chứng minh : 3  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  Lời giải : Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại sau : 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd   Hay  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  16 2 Ta có:  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1   a (b  c  d  bcd )  1.(bc  bd  cd  1)   a  1  (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)2  Bài toán đưa chứng minh: (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)  (b  1)(c  1)(d  1) Đây đẳng thức (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)  (b  1)(c  1)(d  1) Nhận xét: Để vận dụng toán toán 2, điểm quang trọng viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd   Bài toán Cho x, y, z > thõa 1    Chứng minh : x y z x 1  y 1  z   x  y  z Lời giải : Ta có: Nên  x 1 y  z    1 1 x 1  y 1  z    x  y  z       ( x  y  z)      y z  x y z  x  x 1  y 1  z   x  y  z   1 1  x  y  z 1  Đẳng thức xảy  x yz  x 1  y 1  z 1 2  x y z GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nhận xét: Sự xuất biểu thức x   y   z  sở để ta sử dụng kỹ xuất biểu thức cách thuận lợi x  y  z vế phải giúp ta biến đổi thuận Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a (b  1)  b(c  1)  c (a  1)  (a  1)(b  1)(c  1) Lời giải : Ta có : a (b  1)  b(c  1)  (a  1)  (b  1)  (c  1) Nên ta cần chứng minh: b(c  2)   c  (b  1)(c  1) Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được: c  (b  1)(c  2)(2c  1)  b(c  2)   c   b(c  2)  1  (c  1)     c 1  c 1  (c  2)(2c  1)  c  (*) c 1 Mà (*) tương đương với: 4(c  2)(2c  1)  9(c  1)2  (c  1)  Đẳng thức xảy a  b  c  Nên ta cần chứng minh: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c    b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca) Lời giải : Ta có:  a  b c  a b c   b (c  a )  c(a  b)  a (b  c)      2 c a   b (c  a) c (a  b) a (b  c)  b    a b c      b(c  a )  c(a  b)  a (b  c)   b (c  a ) c ( a  b ) a (b  c )  a b c    33 b c a a b c    Nên b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca) Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi : a b c 3 b c a Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : bc ca ab   1 a (b  2c) b (c  2a ) c (a  2b) Lời giải : Ta có: 1 1     a b c   1  a 2b(b  2c)  b c (c  a )  c a(a  2b)   a a 2b(b  2c)  b b c (c  a ) c c a (a  2b)   GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI  1  1 1  Nên           ab  bc  ca   a b c   a b(b  2c) b c(c  2a ) c a(a  2b)  1 1    Suy ra: a b(b  2c) b c(c  2a) c a(a  2b) (abc) Hay bc ca ab   1 a (b  2c) b (c  2a ) c (a  2b) Bài tập tương tự Cho a, b, c số thực Chứng minh : 2(1  abc)  2(1  a )(1  b )(1  c )  (1  a)(1  b)(1  c) Cho a, b, c số thực Chứng minh : (a  3)(b  3)(c  3)  4(a  b  c  1)2 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : (a  1)(b  1)(c  1)  (a  b  c  1) 16 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a4 b4 c4    3 b (c  a ) c (a  b) a (b  c) Cho a, b, c số thực dương thõa a  b  c  Chứng minh : 1 a 1 b 1 c b a c    2    1 a 1 b 1 c a c b 1.2 Biến đổi thuận dạng Để vận dụng kỹ “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” dạng ta thường xuất phát từ giả thiết toán từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất biểu thức dạng theo biểu thức a2 a12 a22    n Từ đó, biến đổi để đánh giá b1 b2 bn (a1  a2   an ) Ta xem xét qua số ví dụ sau: b1  b2   bn Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a2 b2 c2 abc    bc c a a b Nhận xét: a2 b2 c2 Một cách tự nhiên, xuất biểu thức   vế phải bc ca ab bất đẳng thức cần chứng minh làm cho ta liện hệ đến dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki biến đổi theo chiều thuận Từ ta có lời giải sau: Lời giải : a2 b2 c2 ( a  b  c) (a  b  c )2 a  b  c      b  c c  a a  b (b  c)  (c  a)  (a  b) 2(a  b  c) Đẳng thức xảy a  b  c Ta có: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c   1 2b  c 2c  a a  b GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nhận xét: Quan sát vể phải bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến việc vận dung dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki Nhưng để mà áp dụng không đạt mục đích toán Với tư tưởng toán 1, ta nghĩ đến việc tạo biểu thức có dạng bình phương tử phân thức vế trái cách nhân thêm vào tử mẫu lượng thích hợp Từ ta có lời giải: Lời giải : a b c a2 b2 c2 (a  b  c)       2b  c 2c  a 2a  b a(2b  c) b(2c  a ) c (2a  b) 3(ab  bc  ca) a b c Ta lại có: (a  b  c)  3(ab  bc  ca) nên   1 2b  c 2c  a a  b Đẳng thức xảy a  b  c Ta có: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a3 b3 c3 a  b2  c2    a  2b b  2c c  2a Lời giải : a3 b3 c3 a4 b4 c4 (a  b  c )2       a  2b b  2c c  2a a(a  2b) b(b  2c) c (c  2a ) (a  b  c)2 a3 b3 c3 a  b2  c2 2 2 Ta lại có: a  b  c  (a  b  c ) nên    a  2b b  2c c  2a Ta có: Nhận xét: Tương tự toán 2, toán ta vận dụng dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách nhân tử mẫu phân thức lượng thích hợp để đưa tử số phân thức dạng lũy thừa bậc chẵn Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a4 b4 c4 abc (a  b  c)    2  a b 1 b c  c a  abc Nhận xét: Ở toán tử số phân thức dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta nghĩa đến việc vận dụng : a4 b4 c4 (a  b  c )     a b  b c  c a  a 2b  b c  c a Từ để giải toán ta cần chứng minh: (a  b  c ) abc(a  b  c )  2 3 a b b c  c a  abc Nhưng thực bất ngờ cách áp dụng lại không giúp ta giải toán Nên buộc ta phải tìm hương giải khác GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Lời giải : Ta có:   a c  b2 a  c2 b a4 b4 c4 a 4c b4a c 4b        a b  b2 c  c a c(1  a 2b) a (1  b 2c ) b(1  c a ) c (1  a 2b)  a(1  b 2c)  b(1  c a ) a  c  b2 a  c b  (1  abc)(a  b  c) Ta cần chứng minh : a c  b a  c b  abc (a  b  c) (1) a2 b2 c2 (1)     abc ab ca bc Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacopxki dạng ta được: a2 b2 c2 a2 b2 c2 (a  b  c )2        abc ab ca bc a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2 2 2 Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c 1 1      (a  b  c )     b c a a b c Lời giải : Ta có: a b c a b c ( a  b  c)       (1) b c a ab bc ca ab  bc  ca a b c c a a 2b b 2c (ab  bc  ca )2       b c a abc bca cab abc (a  b  c) (2) Nhân bất đẳng thức (1) (2) vế theo vế ta được: (a  b  c )2 (ab  bc  ca)2 a b c  1 1  ( a  b  c)           b c a  ab  bc  ca abc(a  b  c ) a b c Nhận xét: Ở đay ta vận dụng phối hợp việc biến đổi cách nhân thêm tử mẫu phân thức để tạo biểu thức có dạng bình phương, đồng thời ta vận dụng hai lần bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng để nhân bất đẳng thức với để cần mong muốn Bài tập tương tự Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c abc    2 b  bc  c c  ca  a a  ab  b ab  bc  ca Cho a, b, c số thực dương thõa a  b  c  Chứng minh : a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Cho a, b, c số thực không âm thõa a  b  c  Chứng minh : a b c    a a b b c c 2 1 b 1 c 1 a   Cho a, b, c số thực dương Chứng minh :  a b c     2 2  (b  c) (c  a ) (a  b)  a  b  c  GV: PHAN NGỌC TOÀN PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Cho a, b, c số thực không âm thõa a  b  c  Chứng minh : a2 b2 c2    b  b2  c c  c2  a a  a2  b Kỹ năng” Biến đổi nghịch” 2.1 Biến đổi nghịch dạng Để vận dụng kỹ “Biến đổi nghịch Bunhiacopxki” dạng ta thường xuất phát từ giả thiết toán từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất biểu thức dạng (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Từ đó, biến đổi để đánh giá theo biểu thức (a1b1  a2b2   anbn ) Ta xem xét qua số ví dụ sau: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ : T 3a 4b 5c   bc ca ab Nhận xét: Chính xuất biểu thức T  3a 4b 5c   mà toán lại yều cầu tìm bc ca ab GTNN nên ta liện hệ đến việc vận dung dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki Với suy n p   m    Từ  bc c a a b nghĩ ta cố biến đổi biểu thức T để đưa dạng  a  b  c   ta có lời giải sau cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki dạng Lời giải :  3a   4b   5c  3(a  b  c) 4(a  b  c) 5(a  b  c )  3    4    5    bc ca ab bc  ca   ab       a  b  c     (b  c)  (c  a )  (a  b)       bc ca ab  bc ca ab  32 2 Nên T     12 bc ca a b   Đẳng thức xảy Ta có: T  12       Bài toán Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ : T 3(c  b) 4(a  c) 5(b  a )   2b  a b  2c c  2a Nhận xét: 3(c  b) 4(a  c) 5(b  a )   Với suy nghĩ 2b  a b  2c c  2a n p   m trên, ta cố biến đổi biểu thức T để đưa dạng  a  b  c      Từ  2b  a b  2c c  2a  Chính xuất biểu thức T  ta có lời giải sau cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki dạng GV: PHAN NGỌC TOÀN