CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I - BẤT ĐẲNG THỨC Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức - Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si: a) Đối với số không âm a b: ab  ab hay a  b  ab a Đẳng thức xảy  a = b b) Đối với số không âm a, b c: abc  abc hay a  b  c  33 abc a Đẳng thức xảy  a = b = c c) Tổng quát: Đối với n số không âm a1 ; a ; a ; ; a n : a a1  a  a3   a n n  a1.a a .a n n d) Ch ý: a a  b  2ab với số thực a, b b Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng áp dụng bất đẳng thức Cô-si với kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2, ghép cặp 3, ví dụ: a  2b  a  b  b; e) a a ab  b 2 f) a   a a 1  1  a   2 2 : Chứng minh bất đẳng thức sau: 2) a  b  a  b 3) a  ab  b  4) a b c    , với a, b, c > b c a 5) 3a  6b  9ab a , b  0 6) Tìm GTNN A  x  12  x  32 7) Tìm GTLN A   x  x x  , x  8) Tìm GTNN A  x  9) Tìm GTNN A  x  , x  x2 , x2 x2 10) 11) Chứng minh bất đẳng thức: a , b, c, d  R , ac  bd 2  a  b  c  d  (BĐT Bunhiacopxki) HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức ad  bc 2  12) a b   a  b , a  0; b  b a HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về: a  a b  a b   0, a  b  2a  b  , a  0; b  HD: Do vế bất đẳng thức không âm nên ta bình phương vế 13) x  y  3z  14  x  12 y  z , với x, y, z HD: biến đổi tương đương 14) Cho x  y  15 Chứng minh: x  y  HD: Rt x y từ x  y  15, vo x  y 15) Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca với a , b, c  HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si cặp (a b); (b c); (c a) 16) Chứng minh: a  1b  1a  c b  c   16abc với a, b, c dương 17) Với a bất kì, chứng minh: HD: Tch a2  a 2  a2   a2  a2   a2   a 2  4 a 2 18) Cho a, b, c  , chứng minh: a  b b  c c  a   8abc 19) Cho a, b  , chứng minh: a  b   ab  a  b 20) Cho a, b  , chứng minh: a  b  21) Với x  R , tìm GTNN A  3x  22) Tìm GTNN: A  x  12  x  32 23) HD: Khai triển x  12  x  32 , nhóm đẳng thức Chứng 1      2a 2b  x2 minh: A  24) Tìm GTNN A  x   25) Tìm GTNN của: A  x  với x  x 1 , với x  2 x2 26) HD: Phn tích: A  x   với số x  2;  Áp dụng bất đẳng thức đối x2 x2 27) (Đáp án: A  2  1 28) Tìm GTLN của: A  x  31  x  với  x  29) Tìm GTLN của: A  2 x  35  x  , với   x  30) HD: Phn tích: A  2 x  5  x  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 2  số x  ;5  x 31) Tìm GTNN v GTLN hm số: y  1  x 2 x  4 với 2 x  với x  2x 32) Tìm GTNN của: A   x  33) Tìm GTNN của: A  x  x  34) Chứng minh : 35) Tìm GTNN y    2010 x x  a   a  1, a  a 1 ,0  x  x 1 x ,0  x 1 x 1 x 36) Tìm GTNN y   37) Tìm GTLN y  x3  x ,  x  38) Chứng minh : x  y  x3 y  xy 39) Chứng minh : x  y  z  14  x  12 y  z 40) Chứng minh : 41) Chứng minh : 1   a b ab 42) Chứng minh : a bcd  abcd 43) Chứng minh : 1 1 16     a b c d a bc d 44) Chứng minh : a 2b   2a 45) Chứng minh :  a  b  b  c  c  a   8abc 46) Chứng minh :  47) Chứng minh : 1    a b c abc 48) Chứng minh :  x  y   xy  x  y  , x, y a b   a b b a b a b   2  a  b  ab 49) Chứng minh : x  y  xy  y   0, x, y 50) Chứng minh :  a  1 b  1 a  c  b  c   16abc.a, b, c  51) Chứng minh 1 1 : a  b  c   a 2b  b 2c  c a     a, b, c  a 2 b c 52) 1 1 1      a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a 53) Chứng minh : 2x x6  y 54)  2y 2z 1     y6  z z  x4 x4 y z Cho số thực dương a, b v c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh : a  b4 b4  c4 c4  a4   1 3 3 3 ab a  b bc b  c ca c  a 55) 56)     Tìm giỏ trị nhỏ biểu thức A 57) 58)   xt t  y y  z z  x    t  y y  z z x xt a b2 c Chứng minh :    a  b  c với a, b, c số b c a thực dương