GV:Trần Trọng Tiến Định nghĩa Nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn , nửa khoảng R ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x ∈ K Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x ∈ K Định lí 1: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K(với C số) Định lí 2: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C ( với C số) Tính chất nguyên hàm Tính chất Suy từ định nghĩa nguyên hàm ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Ví dụ ∫ (cos x)' dx = ∫ ( − sin x) dx = cos x + c Tính chất ∫ kf ( x ) dx = k ∫f ( x ) dx Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tự chứng minh t/c I Lí thuyết II Bài tập SGK tr 101 Tính Các phương pháp tính nguyên a )∫ ( − x ) dx hàm Đổi biến số ∫ f (u(x)).u' (x)dx = F(u(x)) + C Công thức nguyên hàm phần ∫ udv = u.v − ∫ vdu đặt u=1-x => du = -dx => dx = -du 9 ( ) − x dx = u ∫ ∫ (−du ) = − ∫ u 9du = u 10 (1 − x )10 − +C= − +C 10 10 b ) ∫ x( + x ) 2 dx du đặt u=1+x => du = 2xdx ⇔ xdx = 2 ∫ x( + x ) 2 3 du = ∫ u du = dx = ∫ u 2 2 u + C = (1 + x ) + C 5 I Lí thuyết II Bài tập SGK tr 101 Tính Các phương pháp tính nguyên c)∫ cos x sin xdx hàm Đổi biến số ∫ f (u(x)).u' (x)dx = F(u(x)) + C Công thức nguyên hàm phần ∫ udv = u.v − ∫ vdu đặt u=cos x => -du = sin x dx 3 cos x sin xdx = u ( − du ) = − u ∫ ∫ ∫ du = u4 cos x − +C= − +C 4 e x dx dx =∫ x d)∫ x −x (e + 1) e +e +2 đặt u=1+ex => du = exdx du e x dx − ∫ (e x + 1)2 = ∫ u = u + C = − x +C= e +1 II Bài tập SGK tr 101 Tính a )∫ x ln(1 + x )dx b )∫ ( x + 2x − 1)e x dx c)∫ x sin( 2x + 1)dx d )∫ (1 − x) cos xdx Giải dx  du =  u = ln( + x )   1+ x a) Đặt  =>  dv = xdx x  v =  x2 x 2dx ∫ x ln(1 + x)dx = ln(1 + x) − ∫ 2(1 + x) x2   = ln(1 + x ) − ∫  x − + dx 2  1+ x  x2 1 x2  = ln(1 + x ) −  − x + ln | + x |  + C 2  II Bài tập SGK tr 101 Tính a )∫ x ln(1 + x )dx b )∫ ( x + 2x − 1)e x dx c)∫ x sin( 2x + 1)dx d )∫ (1 − x) cos xdx Giải u = x + x − du = ( 2x + 2)dx b) Đặt  =>  x x v = e dv = e dx  x x x ( x + x − ) e − ( x + ) e dx ( x + x − ) e dx = ∫ ∫ u' = 2x +  x dv ' = e dx  du' = 2dx =>  x v ' = e  ( x x x x ( x + x − ) e − ( x + ) e − e ( x + x − ) e dx = ∫ dx ∫ ) = ( x − 3)e x + ∫ e x dx = ( x − 3)e x + 2e x + C = ( x − 1)e x + C II Bài tập SGK tr 101 Tính a )∫ x ln(1 + x )dx b )∫ ( x + 2x − 1)e x dx c)∫ x sin( 2x + 1)dx d )∫ (1 − x) cos xdx Giải du = dx u = x  c) Đặt  =>  dv = sin( x + ) dx   v = − cos( 2x + 1)   x ( − cos( x + )) − − cos( x + ) x sin( x + ) dx =  dx ∫ ∫   1 = − x cos( 2x + 1) + ∫ cos( 2x + 1)dx 2 1 sin( 2x + 1) = − x cos( 2x + 1) + +C 2 sin( 2x + 1) = − x cos( 2x + 1) + +C II Bài tập SGK tr 101 Tính a )∫ x ln(1 + x )dx b )∫ ( x + 2x − 1)e x dx c)∫ x sin( 2x + 1)dx d )∫ (1 − x) cos xdx d) Đặt Giải u = − x du = −dx =>   dv = cos xdx  v = sin x ∫ (1 − x) cos xdx = (1 − x ) sin x − ∫ sin x( −dx ) = (1 − x ) sin x + ∫ sin x.dx = (1 − x ) sin x − cos x + C Bài tập khác Tính a )∫ x x + 1dx b )∫ sin x cos xdx c)∫ x sin xdx d )∫ x ln( x + 1)dx Giải a )∫ x x + 1dx b )∫ sin x cos xdx 3 Đặt u = x + ⇔ u = x + = ∫ sin x(1 − sin x ) cos xdx ⇔ 3u 2du = 3x 2dx ⇔ x 2dx = u 2du Đặt x x + 1dx = ∫ uu ∫ du = u u du = +C= ∫ 4 x +1 +C u = sin x ⇔ du = cos xdx sin x ( − sin x) cos xdx = ∫ 4 ( )du = u ( − ) du = u − u ∫ ∫ u5 u7 sin x sin x − +C= − +C 7 Bài làm thêm Tính a )∫ x x + 1dx b )∫ sin x cos xdx c)∫ x sin xdx d )∫ x ln( x + 1)dx c)∫ x sin xdx Giải u = x du = 2xdx Đặt  ⇒ dv = sin xdx  v = − cos x 2 x ( − cos x ) − ( − cos x ) xdx = − x cos x + ∫ x cos xdx x sin xdx = ∫ ∫ du' = dx u' = x ⇒ Đặt   v' = sin x dv' = cos xdx 2 − x cos x + 2( x sin x − ∫ sin xdx) x sin xdx = ∫ = − x cos x + 2x sin x − ∫ sin xdx = − x cos x + 2x sin x + cos x + C Bài làm thêm Tính a )∫ x x + 1dx b )∫ sin x cos xdx c)∫ x sin xdx d )∫ x ln( x + 1)dx Giải dx  du =  u = ln( x + 1) x+1 d )∫ x ln( x + 1)dx Đặt  ⇒ x dv = x dx v =  x3 x dx ∫ x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) − ∫ x + x3   = ln( x + 1) − ∫  x = x + − dx 3  x + 1 x3 11  = ln( x + 1) −  x − x + x − ln | x + |  + C 3  CỦNG CỐ Qua học học sinh cần nắm + Phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến số + Phương pháp tìm nguyên hàm phần [...]... 1)dx Giải dx  du =  u = ln( x + 1) x+1 2 d )∫ x ln( x + 1)dx Đặt  ⇒ 3 2 x dv = x dx v =  3 x3 x 3 dx 2 ∫ x ln( x + 1)dx = 3 ln( x + 1) − ∫ 3 x + 1 x3 1  2 1  = ln( x + 1) − ∫  x = x + 1 − dx 3 3  x + 1 x3 11 1  = ln( x + 1) −  x 3 − x 2 + x − ln | x + 1 |  + C 3 3 3 2  CỦNG CỐ Qua bài học học sinh cần nắm được + Phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến số + Phương pháp tìm nguyên hàm. .. x 3 + 1dx b )∫ sin 4 x cos 3 xdx 3 3 Đặt u = x 3 + 1 ⇔ u = x + 1 = ∫ sin 4 x(1 − sin 2 x ) cos xdx ⇔ 3u 2du = 3x 2dx ⇔ x 2dx = u 2du Đặt 2 3 x x + 1dx = ∫ 4 2 uu ∫ du = u u du = +C= ∫ 4 3 4 x +1 +C 4 3 u = sin x ⇔ du = cos xdx 4 2 sin x ( 1 − sin x) cos xdx = ∫ 4 2 4 6 ( )du = u ( 1 − 4 ) du = u − u ∫ ∫ u5 u7 sin 5 x sin 7 x − +C= − +C 5 7 5 7 Bài làm thêm Tính a )∫ x 2 x 3 + 1dx b )∫ sin 4 x cos 3. .. 4 II Bài tập 4 SGK tr 101 Tính a )∫ x ln(1 + x )dx b )∫ ( x 2 + 2x − 1)e x dx c)∫ x sin( 2x + 1)dx d )∫ (1 − x) cos xdx d) Đặt Giải u = 1 − x du = −dx =>   dv = cos xdx  v = sin x ∫ (1 − x) cos xdx = (1 − x ) sin x − ∫ sin x( −dx ) = (1 − x ) sin x + ∫ sin x.dx = (1 − x ) sin x − cos x + C Bài tập khác Tính a )∫ x 2 x 3 + 1dx b )∫ sin 4 x cos 3 xdx c)∫ x 2 sin xdx d )∫ x 2 ln( x + 1)dx Giải a... sin xdx 2 Giải u = x 2 du = 2xdx Đặt  ⇒ dv = sin xdx  v = − cos x 2 2 2 x ( − cos x ) − ( − cos x ) 2 xdx = − x cos x + 2 ∫ x cos xdx x sin xdx = ∫ ∫ du' = dx u' = x ⇒ Đặt   v' = sin x dv' = cos xdx 2 2 − x cos x + 2( x sin x − ∫ sin xdx) x sin xdx = ∫ = − x 2 cos x + 2x sin x − 2 ∫ sin xdx = − x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C Bài làm thêm Tính a )∫ x 2 x 3 + 1dx b )∫ sin 4 x cos 3 xdx c)∫...II Bài tập 4 SGK tr 101 Tính a )∫ x ln(1 + x )dx b )∫ ( x 2 + 2x − 1)e x dx c)∫ x sin( 2x + 1)dx d )∫ (1 − x) cos xdx Giải du = dx u = x  c) Đặt  =>  1 dv = sin( 2 x + 1 ) dx   v = − 2 cos( 2x + 1) 1  1  x ( − cos( 2 x + 1 )) − − cos( 2 x + 1 ) x sin(