www.TOANTUYENSINH.com PHN TA TRONG KHễNG GIAN 9.1 Tỡm ta im Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho im A ( 4;1;3) v ng thng x + y z + = = Vit phng trỡnh mt phng ( P) i qua A v vuụng gúc vi ng thng d Tỡm ta im B thuc d cho AB = 27 uu r ng thng d cú VTCP l ud = ( 2;1;3) uu r Vỡ ( P ) d nờn ( P ) nhn ud = ( 2;1;3) lm VTPT d: Vy PT mt phng ( P ) l : ( x + ) + 1( y 1) + ( z 3) = x + y + z 18 = Vỡ B d nờn B ( 2t ;1 + t ; + 3t ) AB = 27 AB = 27 ( 2t ) + t + ( + 3t ) = 27 7t 24t + = t = t = Vy B ( 7; 4;6 ) hoc B ; ; ữ 7 13 10 12 Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(-1;0;0) v ng thng d cú phng trỡnh x y z = = Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A v vuụng gúc vi ng thng d T ú suy ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn ng thng d r +) d cú VTCP l u = ( 1; 2;1) r r +) (P) qua A(-1;0;0) v cú VTPT n = u = ( 1; 2;1) cú pt : x + 2y + z +1 = +) H l giao im ca (d) v (P) nờn ta H l nghim ca h pt x = x y z = = y = Vy H(1;-1;0) x + y + z + = z = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai im A(2;-1;4), B(0;1;0) v ỡù x = 2t ùù ù ng thng D : y = 1- t , t ẻ Ă Vit phng trỡnh mt phng (P) i ùù ùù z = + t ợ qua im A v vuụng gúc vi ng thng v tỡm ta im M thuc ng thng D cho tam giỏc ABM vuụng ti M Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com u r uur a) * Mp(P) cú vtpt n = aD = (2;- 1;1) *Ptmp(P) l: 2x y + z - = *Xột ptg ca t D v mp(P) 4t 1(1-t) + (4 + t) - = t = * Gi N l g cn tỡm Thay t = vo t D ta c N(2 ; ; 5) b) Ta cú M ẻ D nờn ta M(2t ; 1- t ; + t) Vỡ tam giỏc ABM vuụng ti M nờn ta cú ột=0 uuuu r uuur uuuu r uuur AM ^ BM AM BM = ờt= 2 13 ) 3 * Vy ta cú hai im M cn tỡm l M(0;1;4), M( ; ; Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho ba im A(1;-2;1), B(-1;0;3), C(0;2;1) Lp phng trỡnh mt cu ng kớnh AB v tỡm ta im H l chõn ng cao k t A ca tam giỏc ABC Tỡm c ta tõm I ca mt cu I(0;-1;2), bỏn kớnh mt cu: R = Phng trỡnh mt cu (S): x + ( y + 1)2 + ( z 2)2 = uuur uuur uuur Gi s H(x;y;z), AH = (x 1; y+ 2; z 1), BC = (1; 2; 2), BH = ( x + 1; y; z 3) uuur uuur uuur uuur AH BC AH BC = x + y z = uuur x y = uuur 23 , Tỡm c H( ; ; ) BH cựng phng BC 9 y + z = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A ( 2;5;1) v mt phng ( P) : x + y z + 24 = Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn mt phng (P) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú din tớch 784 v tip xỳc vi mt phng (P) ti H, cho im A nm mt cu x = + 6t Gi d l ng thng i qua A v vuụng gúc vi (P) Suy ra: d : y = + 3t z = 2t Vỡ H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (P) nờn H = d ( P) Vỡ H d nờn H ( + 6t ;5 + 3t;1 2t ) Mt khỏc, H ( P) nờn ta cú: ( + 6t ) + ( + 3t ) ( 2t ) + 24 = t = Do ú, H ( 4; 2;3) Gi I , R ln lt l tõm v bỏn kớnh mt cu Theo gi thit din tớch mt cu bng 784 , suy R = 784 R = 14 Vỡ mt cu tip xỳc vi mt phng (P) ti H nờn IH ( P) I d Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Do ú ta im I cú dng I ( + 6t ;5 + 3t;1 2t ) , vi t Theo gi thit, ta im I tha món: ( + 6t ) + ( + 3t ) ( 2t ) + 24 t = = 14 d ( I , ( P)) = 14 2 + + (2) t = t = AI < 14 2 < t < ( 6t ) + ( 3t ) + ( 2t ) < 14 Do ú, I ( 8;8; 1) Vy, mt cu ( S ) : ( x ) + ( y ) + ( z + 1) = 196 2 Cõu Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc im A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tỡm ta im O i xng vi O qua (ABC) *T phng trỡnh on chn suy pt tng quỏt ca mp(ABC) l:2x+y-z-2=0 *Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O l ờn (ABC), OH vuụng gúc vi (ABC) nờn OH // n(2;1;1) ; H ( ABC ) Ta suy H(2t;t;-t) thay vo phng trỡnh( ABC) cú t= 1 suy H ( ; ; ) 3 3 2 *O i xng vi O qua (ABC) H l trung im ca OO O' ( ; ; ) 3 Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P ) : x + y + z - = v ng thng d : x - y +1 z = = Tỡm ta giao im ca (P) v d; tỡm ta - - im A thuc d cho khong cỏch t A n (P) bng x = + t Ta cú phng trỡnh tham s ca d l y = 2t z = t I = d ( P) Ta cú phng trỡnh: (2 + t ) + (1 2t ) + (t ) = t = I (1;1;1) Ta cú A d A(2 + t; 2t; t) Khi ú, ta cú d ( A;( P)) = (2 + t ) + (1 2t ) + (t ) = 2t 2t t = = t = Vy d ( A;( P)) = t = Nguyn Vn Lc 12 + 12 + 12 Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Khi ú t = A(2;7;4); t = A(4; 5; 2) Cõu Trong khụng gian Oxyz cho cỏc im A(3; 4; 0) , B(0; 2; 4) , C (4; 2; 1) Tớnh din tớch tam giỏc ABC v tỡm ta im D trờn trc Ox cho AD = BC Tớnh din tớch tam giỏc ABC [ AB; AC ] = ( 18; 7; 24) S= 18 + + 24 = 494 Tỡm ta im D trờn trc Ox cho AD = BC Gi D(x; 0; 0) Ta cú AD = BC ( x - )2 + 42 + 02 = 42 + 02 + 32 Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng ( P ) : x + y + z = v hai im A ( 1; 3; ) , B ( 5; 1; ) Tỡm ta im M trờn mt phng ( P ) cho MA MB t giỏ tr ln nht Kim tra thy A v B nm khỏc phớa so vi mt phng ( P ) Gi B ' ( x; y; z ) l im i xng vi B ( 5; 1; ) Suy B ' ( 1; 3; ) Li cú MA MB = MA MB ' AB ' = const Vy MA MB t giỏ tr ln nht M , A, B ' thng hng hay M l giao im ca ng thng AB ' vi mt phng ( P ) A B P M B x = 1+ t AB ' cú phng trỡnh y = z = 2t x = 1+ t t = y = x = M x ; y ; z ) l nghim ca h Ta ( z = 2t y = x + y + z = z = Vy im M ( 2; 3; ) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 9.2 Phng trỡnh ng thng Cõu Trong khụng gian vi h trc Oxyz , cho hai im A(7;2;1), B(- 5;- 4;- 3) v mt phng (P ) : 3x - 2y - 6z + = Vit phng trỡnh ng thng AB v chng minh rng AB song song vi (P) x = 12t uuu r + ng thng AB i qua A, VTCP AB = ( 12; 6; ) cú PTTS l y = 6t z = 4t x = 12t y = 6t + Xột h phng trỡnh v CM c h VN z = 4t x y z + = Cõu Trong khoõng gian Oxyz cho ng thng (d 1) : thng (d2) : x2 y z+3 = = v ng 2 x +1 y z = = Tỡm ta giao im ca( d1 )v ( d2).Vit phng trỡnh ng thng (d) i xng (d1) qua (d2) Ta giao im I(1;2;-1) Trờn (d1) ly M1(2;0;-3).ta hỡnh chiu ca M1lờn (d2) l H( 22 34 11 ; ; ) 7 uuur 15 20 ng thng (d) i qua I cú VTCP IM = ( ; ; ) 7 15 x = 1+ t 20 PTTS(d): y = + t (t Ă ) z = t 13 17 16 ; ; ) 7 im i xng ca M1 qua (d2) l M1( Cõu Trong khụng gian oxyz cho im A(0;2;2) Vit phng trỡnh ng thng qua A v vuụng gúc ng thng x d1 : = y+2 x = = ; ng thi ct d : y = t z = + t z Gi s ct d ti B(-2;t;1+t) uuu r Ta cú AB = ( 2; t 2; t 1) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com r ng thng d1 cú VTCP u = ( 3; 2; ) uuu rr uuu r vuụng d1 AB.u = t = AB = ( 2;1; ) x = 2u uuu r Vy qua A cú VTCP AB = ( 2;1; ) cú PTTS: y = + u z = + 2u Cõu Vit phng trỡnh ng thng i qua A ( 3; 2; ) , song song vi mt phng ( P ) : 3x y 3z = v ct ng thng ( d ) : x y + z = = 2 uur Ta cú nP ( 3; 2; 3) Gi s B(2 + 3t ; 2t ; + 2t) l giao im ca v d uuu r uuu r uur uuu r uur Khi ú AB ( + 3t; 2t ;5 + 2t ) , AB || ( P ) AB nP AB.nP = t = uuu r Vy B (8; 8;5) v AB ( 5; 6;9 ) Vy phng trỡnh ng thng ( ) : x y +2 z + = = Cõu Vit phng trỡnh ng thng d l hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng (d) x y +1 z = = trờn mt phng (P): x + y z +1 =0 x = 2t PTTS ca d : y = + t z = + 3t Thay x, y, z ca phng trỡnh ng thng d vo phng trỡnh mt phng (P) ta c: 2t +t 3t + = Phng trỡnh vụ nghim d // (P) Ly im A(0; 1;1) d x = t Gi l ng thng qua A v vuụng gúc vi mp(P) : y = + t z = t Gi H l hỡnh chiu ca A lờn mt phng (P) H = (P) Thay x, y, z ca phng trỡnh vo phng trỡnh mt phng (P) ta c: 1 2 t + t + t + = t = H ; ; ữ 3 3 Gi d l hỡnh chiu ca d lờn mt phng (P) d ' qua H v song song vi d Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com x = + 2t d ' : y = + t z = + 3t Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d1: x +1 y z x y z +1 = = = = ; d2 : v mt phng (P): x - y - 2z + = Vit 1 1 phng trỡnh chớnh tc ca ng thng , bit nm trờn mt phng (P) v ct hai ng thng d1 , d2 Gi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 (P) suy B(2; 3; 1) ng thng tha bi toỏn i qua A vr B Mt vect ch phng ca ng thng l u = (1; 3; 1) Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng l: x y z = = Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng : x +1 y z = = 2 v mt phng (P): x + 3y + 2z + = Lp phng trỡnh ng thng song song vi mt phng (P), i qua M(2; 2; 4) v ct ng thng () ng thng () cú phng trỡnh tham s: Mt phng (P) cú VTPT r n = (1; 3; 2) Gi s N(1 + 3t ; 2t ; + 2t) MN // (P) thỡ uuuu rr MN n = t = x = + 3t y = 2t t Ă z = + 2t uuuu r MN = (3t 3; 2t ;2t 2) N(20; 12; 16) Phng trỡnh ng thng cn tỡm : x2 y2 z4 = = Cõu Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng x +3 y z = = d: v mt phng (P): Lp phng trỡnh ng 3 thng nm mt phng (P), vuụng gúc vi d v cỏch d mt khong bng 238 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Gi cha Gi s ti H H HK , thỡ Vy gúc AKH nhn l gúc gia (P) v (Q) V HK l on vuụng gúc chung ca d v nờn Do (Q) vuụng gúc vi d nờn (Q) cú dng: Vi Vi Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai mt phng ( P ) : x y + z = , mt phng (Q) : 2x + y 2z + = v ng thng D: x y z = = Tỡm im M thuc D , N thuc mt phng (P) cho 1 MN vuụng gúc vi mt phng (Q) v MN = uur VTPTn Q = (2;1; 2) M D M ( t;3 + t; + t ) uuuu r uur MN ( Q ) MN = kn Q = ( 2k; k; 2k ) N ( 2k t + 2; k + t + 3; 2k + t + ) N ( P ) k + t = MN = k = k = k = t = : M ( 6; 1;0 ) ; N(8;0; 2) k = t = : M ( 4;1; ) ; N ( 2;0; ) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 9.3 Phng trỡnh mt phng Cõu Trong khụng gian Oxyz , cho im A(- 3;2;- 3) v hai ng thng d1 : x -1 y+2 z-3 = = 1 -1 v d2 : x-3 y -1 z - = = a/ Chng minh rng d1 v d2 ct b/ Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d1 v d2 Tớnh khong cỏch t A n mp(P) r a/ d1 i qua im M 1(1;- 2;3) , cú vtcp u1 = (1;1;- 1) r d2 i qua im M 2(3;1;5) , cú vtcp u2 = (1;2;3) ổ1 - - 1 1ử ữ r r ỗ = (5;- 4;1) ữ Ta cú [u1,u2 ] = ỗỗỗ2 ; ; 2ữ ữ ữ ỗ ố ứ uuuuuu r v M 1M = (2;3;2) r r r uuuuuu Suy ra, [u1, u2].M 1M = 5.2 - 4.3 + 1.2 = , ú d1 v d2 ct b/ Mt phng (P) cha d1 v d2 im trờn (P): M 1(1;- 2;3) r r r vtpt ca (P): n = [u1, u2 ] = (5;- 4;1) Vy, PTTQ ca mp(P) l: 5(x - 1) - 4(y + 2) + 1(z - 3) = 5x - 4y + z - 16 = Khong cỏch t im A n mp(P) l: d(A,(P )) = Cõu 5.(- 3) - 4.2 + (- 3) - 16 52 + (- 4)2 + 12 42 42 = 42 gian vi h ta Oxyz, cho mt cu ( S ) : x + y + z x + y + z = v mt phng () : x - 2y + 2z + = a Tớnh khong cỏch t tõm I ca mt cu (S) ti mt phng () b Vit phng trỡnh mt phng () song song vi mt phng () v tip xỳc vi mt cu (S) Trong = khụng a (S) cú tõm I(2;-1;-2) v bỏn kớnh R=4 Do ú d(I,( ))=1 b Vit phng trinh mt phng () song song vi mt phng () v tip xỳc vi mt cu (S) Vỡ mt phng () song song vi mt phng () nờn pt ca () cú dng x-2y+2z+D=0 Ta cú d(I, ())=R Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com D =4 D = 12 D = 12 Vy () cú pt l x-2y+2z+12=0 hoc x-2y+2z-12=0 Cõu Trong khụng gian ta Oxyz, cho hai im A ( 1;3; 1) , B ( 1;1;3) v ng x y z2 thng d cú phng trỡnh = = Vit phng trỡnh mt phng trung trc ca on AB v tỡm im C trờn ng thng d cho CAB l tam giỏc cõn ti C uuu r Ta trung im M ca on AB: M ( 0; 2; 1) , AB = ( 2; 2; ) r Mt phng trung trc (P) ca on AB i qua M, nhn n = ( 1; 1; ) lm VTPT nờn cú phng trỡnh: x + y ( z 1) = x + y z = CAB cõn ti C CA = CB C ( P ) x y z = = C ( 6; 4; 1) Vy C l giao im ca d vi (P), ta C l nghim: x + y 2z = Cõu ( S) : Trong khụng gian vi h ta x + y + z x + y + z = , ng thng d : Oxyz, x y z = = cho mt cu a Vit phng trỡnh mt phng (P) vuụng gúc vi ng thng d v tip xỳc vi mt cu (S) b Vit phng trỡnh ng thng i qua tõm ca mt cu (S), ct v vuụng gúc vi ng thng d.r d cú mt vtcp u = (1; 2; 1) , (S) cú tõm I(2;-1;-2) v bỏn kớnh R=4 r Vỡ (P) vuụng gúc vi d nờn (P) nhn u = (1; 2; 1) lm vtpt Do ú pt ca (P) cú dng x+2y-z+D=0 Mt khỏc (P) tip xỳc vi (S) nờn ta cú D = + = D = Vy pt ca (P) l x+2y-z-2+ =0 hoc x+2y-z-2- =0 x=t Pt ca d c vit di dng tham s y = + 2t z = 2t d(I,(P))=R 2+ D Gi d ul t cn tỡm,v H(t ;1+2t ;2-t) l giao im ca d v d uu r Ta cú IH = (t 2; + 2t; t ) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com uuu rr V IH u = t-2+2(2+2t)-(4-t)=0t=1/3 Vy H(1/3 ;5/3 ;5/3) Do ú d i qua im I(2;-1;2) v H(1/3 ;5/3 ;5/3) x = 5t Vy pt t cn tỡm y = + 8t z = + 11t Cõu Trong khụng gian ta Oxyz , cho A ( 1;1;1) , B ( 2;1; ) , C ( 2;0; ) Vit phng trỡnh mt phng ( ) i qua hai im B, C v cỏch A mt khong ln nht Lp lun c mt phng cn tỡm l mt phng cn tỡm l mt phng qua BC v vuụng gúc vi (ABC) r uuur uuur uuur uuu r n( ABC ) = BC , AB = ( 1; 2;1) BC = ( 0; 1; ) , AB = ( 1; 0; 1) Vect phỏp tuyn ca (ABC) l: r uuur uuuuur Suy VTPT ca ( ) l : n = BC , n( ABC ) = ( 5; 2;1) Pt ( ) : x + y + z + = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai im A ( 1; 1; ) , B ( 3; 0; ) v mt phng (P) : x y + z = Tỡm ta giao im ca ng thng AB v mt phng (P) Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng AB v vuụng gúc vi mt phng (P) uuu r AB = ( 2;1; ) l vtcp ca ng thng AB x = + 2t Ptts AB: y = + t z = 6t ( t R) Gi M l giao im ca AB v (P) Khi ú M ( + 2t; + t; 6t ) M (P) ( + 2t ) ( + t ) + ( 6t ) = t = M ; ;1 ữ r uuu r r n = AB Q ( ) Vtpt , n( P ) = ( 10; 10; ) ( Q ) : x + y + z = Cõu Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh: x2 + y2 + z2 2x + 4y + 2z = v mt phng (P): 2x y + 2z 14 = Vit Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng (S) cú tõm I(1; 2; 1), bỏn kớnh R = (Q) cha Ox (Q): ay + bz = Mt khỏc ng trũn thit din cú bỏn kớnh bng cho nờn (Q) i qua tõm I Suy ra: 2a b = b = 2a (a 0) (Q): y 2z = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2;- 1;2), B (0;0;2) v ng thng d : x- y- z- = = Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A v - 2 vuụng gúc vi d v phng trỡnh mt cu cú tõm B, tip xỳc vi (P) r Vộc t ch phng ca d l u = (2; 2;1) r (P) d (P) nhn u = (2; 2;1) l vộc t phỏp tuyn Phng trỡnh ca (P) : 2( x 2) + 2( y + 1) + ( z 2) = x + y + z + = Gi (S) l mt cu tõm B, cú bỏn kớnh l R Ta cú (S) tip xỳc vi (P) nờn ta cú R = d (B;(P)) = phng trỡnh mt cu (S): x + y + ( z 2) = Cõu Trong khụng gian Oxyz ,cho im M(0;2;0) v hai ng thng d1 ; d cú x y z +1 x y +1 z = = ; d2 : = = Vit phng trỡnh mt phng trỡnh: d1 : 2 2 phng (P) i qua M , song song vi trc Ox , cho (P) ct hai ng thng d1 ; d ln lt ti A, B cho AB = Gi s cú mt phng (P) tha yờu cu bi A d1 A ( + 2t;2 2t; + t ) B d B ( + 2l ; 2l ; l ) uuu r AB = ( 2(l t ) + 2; 2(l t ) 3;(l t ) + 1) l t = AB = 9(l t ) + 22(l t ) + 14 = 13 l t = *l t = uuu r r uuu rr AB = ( 0; 1;0 ) VTPT n ( P ) = AB; i = (0;0;1) Pt mt phng (P): z = ( loi vỡ (P) cha Ox) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com *l t = 13 / uuu r r uuu rr AB = ; ; ữ VTPT n( P ) = AB; i = 0; ; ữ 9 9 Pt mt phng (P): - y + z + = ( tha bi nhn) Cõu 10 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S): x + y + z x + y z = v mt phng (P): x + y + z + 2015 = a) Xỏc nh ta tõm I v tớnh bỏn kớnh ca mt cu (S) Vit phng trỡnh ng thng qua I v vuụng gúc vi mt phng (P) b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song mt phng (P) v tip xỳc (S) (S): x + y + z x + y z = v (P): x + y + z + 2015 = a) (S) cú tõm I(1; -2; 3) v R = x = + t r (D) qua I(1; -2; 3) v cú VTCP u = (1; 1; 1;) cú ptts : y = + t z = + t b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = (D 2015) d ( I , ( Q ) ) = D = Vy (Q) : x + y + z = Cõu 11 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng : x y z x3 y z = = v : = = Tỡm ta giao im ca v v vit phng trỡnh mt phng (P) cho ng thng l hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng lờn mt phng (P) Vit li v di dng tham s Gii h phng trỡnh tỡm c giao im A(3; 0; 2) ur ng thng cú VTCP u1 = ( 2; 3; ) uu r ng thng cú VTCP u2 = ( 6; 4; ) r ur uu r Gi (Q) l mt phng cha , thỡ (Q) cú VTPT l n = u1 , u2 = (7; 22; 26) Vỡ l hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng lờn mt phng (P) (P) cha v ( P) (Q) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ur uu r uu r Do ú (P) cng i qua A v cú VTPT l n1 = n , u2 = (214;191; 104) (P) cú phng trỡnh l: 214 x + 191 y 104 z + 850 = Cõu 12 Trong khụng gian Oxyz cho cỏc im A ( 2;3;0 ) , B ( 0;1 ) , C ( 1, 4, 1) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha B, C v song song vi ng thng OA Tớnh khong cỏch t im A n ng thng BC r uuur n BC = ( 1;3;1) r uuur uuu r n = BC ; OA = ( 3; 2; 3) Theo bi mt phng (P) cú VTPT r uuur n OA = ( 2;3;0 ) r ( P ) : ( x ) + ( y 1) ( z + ) = mp(P)cú VTPT n v qua B suy x + y z = uuur uuur AB, AC = ( 4; 0; ) S ABC = 2 2S 4 22 d ( A, BC ) = ABC = = BC 11 11 Cõu 13 Trong khụng gian Oxyz cho im A(3; -2; -2) v mt phng ( P) : x y z +1 = a) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm A v tip xỳc vi mp (P) b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua A, vuụng gúc vi mp (P) bit rng mp (Q) ct hai trc Oy, Oz ln lt ti im phõn bit M v N cho OM = ON a) Vỡ (S) cú tõm A v tip xỳc (P) nờn bỏn kớnh ca (S) l R = d(a, (P)) = ca (S) l: ( x 3) + ( y + 2) + ( z + 2) = r r 64 uur Vy pt uur b) Gi nQ l VTPTca (Q), n P = (1;-1;-1) l VTPT ca (P) Khi ú nQ nP Mp(Q) ct hai trc Oy v Oz ti M ( 0; a;0 ) , N ( 0;0; b ) phõn bit cho a = b OM = ON nờn a = b a = b uuuu r r + a = b thỡ MN = ( 0; a; a ) Z [ u ( 0; 1;1) v uur r uur r uur nQ u => nQ = u , nP = ( 2;1;1) Khi ú mp (Q): x + y + z = v M ( 0; 2; ) ; N ( 0;0; ) (tha món) uur r uur uuuu r r uur r n MN = 0; a ; a Z [ u 0;1;1 n u ( ) ( ) v Q + a = - b thỡ => Q = u , nP = ( 0;1; 1) Khi ú mp (Q): y z = v M ( 0;0;0 ) v N ( 0; 0; ) (loi) Vy ( Q ) : x + y + z = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cõu 14 Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho im A(10; 2; -1) v ng thng d cú phng trỡnh x y z = = Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d, mt phng (P) i qua A v (P)//d, ú khong cỏch gia d v (P) l khong cỏch t H n (P) Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú AH HI => HI ln nht A I Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v nhn AH lm vộc t phỏp tuyn H d H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) vỡ H l hỡnh chiu ca A trờn d nờn AH d AH u = (u = (2;1;3) l vộc t ch phng ca d) H (3;1;4) AH (7;1;5) Vy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Cõu 15 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu ( S ) cú phng trỡnh x + y + z x + y z = Lp phng trỡnh mt phng ( P) cha truc Oy v ct mt cu ( S ) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = ( S ) : x + y + z x + y z = ( x 2) + ( y + 3) + ( z 1) = 16 r ( S ) cú tõm I (2; 3;1) bỏn kớnh R = ; trc Oy cú VTCP j = (0;1;0) r Gi n = (a; b; c) l VTPT mp(P) , r r r ( P ) cha Oy n j b = n = (a;0; c) (a + c 0) Phng trỡnh mp(P): ax + cz = (P) ct mt cu (S) theo ng trũn cú bỏn kinh r = d [ I ,( P )] = R r = 2a + c a2 + c2 = 4a + 4ac + c = a + 4c c = 3c 4ac = 3c = 4a Vy phng trỡnh mp(P) : x = hoc 3x + z = Cõu 16 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1;-1;1) v hai ng x thng (d) : = y +1 z = x v (d ') : = y z = Chng minh: im M, (d), (d) cựng nm trờn mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú uu r *(d) i qua M (0; 1;0) v cú vtcp u1 = (1; 2; 3) uur (d) i qua M (0;1; 4) v cú vtcp u2 = (1; 2;5) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com uu r uur ur uuuuuuur *Ta cú u1 ; u2 = (4; 8; 4) O , M 1M = (0; 2; 4) uu r uur uuuuuuur Xột u1; u2 M 1M = 16 + 14 = (d) v (d) ng phng ur *Gi (P) l mt phng cha (d) v (d) => (P) cú vtpt n = (1; 2; 1) v i qua M1 nờn cú phng trỡnh x + 2y z + = *D thy im M(1;-1;1) thuc mf(P) , t ú ta cú pcm Cõu 17 Cho mt cu (S): x + y + z x + y z + = a) Xỏc nh ta tõm I v bỏn kớnh r ca mt cu (S) b) Vit phng trỡnh mp(P) tip xỳc vi mt cu ti M(1;1;1) 2a = a = 2b = b = a.T phng trỡnh mt cu ta cú: 2c = c = d = d = Ta tõm I(1; -3; 4) Bỏn kớnh: r = + + 16 = Mt phng tip xỳc mt cu ti M nờn IM vuụng vi mp uuur IM = (0; 4; 3) uuur Mp(P) qua M(1;1;1), cú VTPT IM = (0; 4; 3) cú phng trỡnh: A( x x0 ) + B( y y0 ) + C ( z z0 ) = 0( x 1) + 4( y 1) 3( z 1) = y z = Cõu 18 Trong khụng gian ta Oxyz cho hai im A(1; 1; 1), B(2; 2; 2), mt phng (P): x + y z + = v mt cu (S): x2 + y2 + z2 2x + 8z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi ng thng AB, vuụng gúc vi mt phng (P) v ct (S) theo mt ng trũn (C) cho din tớch hỡnh trũn (C) bng 18 Mp(Q) // AB, (Q) (P), ct (S) theo ng trũn cú bỏn kớnh Ta cú x2 + y2 + z2 2x + 8z = (x 1)2 + y2 + (z +4)2 = 24 Suy (S) cú tõm I(1 ; ; 4), bỏn kớnh R = r r Gi n P , nQ ln lt l vecto phỏp tuyn ca mp(P), mp(Q) Ta cú r r uuu r uuu r r n P = (1; 1; 1), AB = (1; 3; 1), [ n P , AB ] = (4; 2; 2) r uuu r nQ AB r (Q) / / AB r r uuu r r Ta cú nờn cú th chn nQ = [ n P , AB ] (Q) ( P) nQ n P r Hay nQ = (2; 1; 1) Suy pt mp(Q): 2x y + z + d = Gi r, d ln lt l bỏn kớnh ca (C), khong cỏch t tõm I ca (S) n mp(Q) Ta cú din tớch hỡnh trũn (C) bng 18 nờn r2 = 18 Do ú d2 = R2 r2 = 24 18 = d = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta cú d = |d 2| = d = hoc d = T ú, cú mp l (Q1): 2x y + z + = 0, (Q2): 2x y + z = Mp(Q) cú pt trờn cú th cha AB Kim tra trc tip thy A(1; 1; 1) (Q1) nờn AB // (Q1); A(1; 1; 1) (Q2) nờn AB (Q2) KL: pt mp(Q): 2x y + z + = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 9.4 Phng trỡnh mt cu Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(0; 0; 3), B(2; 0; 1) v mt phng ( P) : x y z + = Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm nm trờn ng thng AB, bỏn kớnh bng 11 v tip xỳc vi mt phng (P) uuu r ng thng AB i qua A(0;0;-3) cú VTCP AB = (2;0; 2) x = 2t Nờn phng trỡnh tham s ca ng thng AB l: y = z = + 2t Gi I l tõm ca mt cu thỡ I(2t;0;-3+2t) Mt phng (P) tip xỳc vi mt cu (S) v ch khi: d ( I ; ( P)) = 11 6t ( + 2t ) + 11 = 11 t=2 4t + = 22 4t + = 22 4t + = 22 t = 13 t = I (9;0;6) Phng trỡnh mt cu ( S ) : (x 9) + y + (z 6) = 44 13 t = ( I 13; 0; 16) Phng trỡnh ( S ) = (x + 13) + y + (z + 16)2 = 44 Cõu Trong khụng gian Oxyz, cho im A(- 1;1;1), B(5;1;- 1), C (2;5;2), D(0;- 3;1) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm l im D, tip xỳc vi mt phng (ABC).Vit phng trỡnh mp tip din vi mt cu (S) song song vi mp(ABC) uuur uuur Ta cú AB = (6;0;- 2) , AC = (3;4;1) ổ0 - - 6 0ử uuur uuur ữ r ỗ ữ ị vtpt ca mp(ABC): n = [AB, AC ] = ỗ ; ; = (8;- 12;24) ữ ỗ ữ ỗ 1 3 ữ ỗ ố ứ PTTQ ca mp(ABC): 8(x + 1) - 12(y - 1) + 24(z - 1) = 8x - 12y + 24z - = 2x - 3y + 6z - = - Mt cu (S) cú tõm D, tip xỳc mp(ABC) Tõm ca mt cu: A(0;- 3;1) Bỏn kớnh mt cu: R = d(D,(ABC )) = 2.0 - 3.(- 3) + 6.1- 2 2 + (- 3) + = 14 =2 Phng trỡnh mt cu (S) : x + (y + 3) + (z - 1)2 = Gi (P) l tip din ca (S) song song vi mp(ABC) thỡ (P) cú phng trỡnh 2 2x - 3y + 6z + D Â= (D Âạ - 1) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn d(I ,(P )) = R 2.0 - 3.(- 3) + 6.1 + D Â 22 + (- 3)2 + 62 ộ15 + D Â= 14 15 + D Â = 14 ờ15 + D Â= - 14 Vy, phng trỡnh mp(P) cn tỡm l: 2x - 3y + 6z - =2 ộD Â= - (loai) ờD Â= - 29(nhan) 29 = ếOxyz , cho ng thng x y z +6 : = = ( P ) : x +2 y z = , v hai mt phng 1 ( Q ) : x + y z = Vit phng trỡnh mt cu ( S ) cú tõm thuc ng thi tip xỳc vi hai mt phng ( P ) , ( Q ) Gi I l tõm mt cu ( S ) , ú I ( t;3 + t; t ) 5t + 12 5t + 5t + 12 5t + d ( I ;( P ) ) = , d ( I ;(Q ) ) = , theo gi thit = 3 3 t = I ( 2;1; ) , R = 2 Mt cu ( S ) : ( x + ) + ( y 1) + ( z + ) = Cõu Trong khụng gian vi h ta Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A(1;3;2) , ng thng d: x +1 y z = = v mt phng ( P) : x y + z = Tỡm ta giao im ca d 2 vi (P) v vit phng trỡnh mt cu (S) i qua A, cú tõm thuc d ng thi tip xỳc vi (P) x = + 2t d cú phng trỡnh tham s y = t z = 2t Gi B = d (P) , B d nờn B(1 + 2t;4 t ;2t ) Do B (P) nờn 2(1 + 2t ) 2( t ) 2t = t = B(7;0;8) Gi I l tõm mt cu (S), I thuc d nờn I (1 + 2a;4 a;2a) Theo bi thỡ (S) cú bỏn kớnh R = IA = d ( I , ( P)) (2 2a) + (a 1) + (2 + 2a ) = a 2a + = 2( + 2a ) 2(4 a) 2a 2 + 2 + 12 4a 16 9(9a 2a + 9) = (4a 16) 65a + 110a 175 = a = 1; a = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 35 13 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com +) Vi a = I = (1;3;2), R = ( S ) : ( x 1) + ( y 3) + ( z + 2) = 16 +) Vi a = 35 116 83 87 70 I = ; ; ; R = 13 13 13 13 13 2 83 87 70 13456 (S ) : x + + y + z = 13 13 13 169 Cõu Trong khụng gian ta Oxyz, cho mp(P): x + y + z = v hai ng thng d1 : x +1 y + z = = ; 1 d2 : x y z +1 = = Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc d1, tip xỳc vi d2 v ct mp(P) theoo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = ,bit rng tõm mt cu cú cao dng uur d2 qua A(2;1;-1) cú vtcp ud = ( 1; 2;5 ) I d1 I ( + 2t ; + t ;1 t ) uur uur uur AI = ( 2t 3; t 3; t ) , AI , ud2 = ( 7t 19; 11t + 17;3t 3) uur uur AI , ud 179t 658t + 659 d( I , d ) = uur = 30 ud 2 2 d2 tip xỳc vi (S) nờn d( I ,d ) = R 179t 658t + 659 = R(1) 30 2t d( I , P ) = 2 2t 4t 20t + 34 4t 20t + 34 Ta cú: R = d(2I , P ) + r R = R= (2) ữ +3 R = 3 t = 179t 658t + 659 4t 20t + 34 = 139t 458t + 319 = 319 T (1) v (2), ta cú: t = 30 139 599 41 180 ; ; Suy ra: I(1;-1;0) (nhn) hoc I ữ (loi zI > 0) 139 139 139 2 Vi I(1;-1;0) R = ( S ) : ( x 1) + ( y + 1) + z = 2 Kt lun: phng trỡnh mt cu cn tỡm l ( S ) : ( x 1) + ( y + 1) + z = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(2;1;1) v mt phng ( P ) : x y + z + = Vit phng trỡnh mt cu tõm A tip xỳc vi mt phng (P) v tỡm ta cỏc giao im ca mt cu ú vi trc Ox +) Mt cu tõm A tip xỳc vi mt phng (P) cú bỏn kớnh R = d ( A, ( P)) = Nguyn Vn Lc 1+ +1 2 +1 + 2 =2 Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com +) Phng trỡnh mt cu l: (x 2)2 + (y 1)2 + (z 1)2 = +) Ta giao im ca mt cu v trc Ox l nghim ca h pt: ( x 2) + ( y 1) + ( z 1) = x = + y = z = x = +) Cỏc giao im: M (2 + 2;0;0), N (2 2; 0; 0) Cõu Trong khụng gian vi h trc 0xyz, cho hai im A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) v mt phng (P): x + y + z + = Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (P) v vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm thuc ng thng AB, bỏn kớnh bng v tip xỳc vi mt phng (P) uuur + Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn (P), AH = ( x 1; y + 2; z 3) x = + t AH cú ptts l : y = + t z = + t + H AH nờn H ( + t; + t;3 + t ) Mt khỏc: H(P) nờn suy ra: + t + t + + t + = t = Vy H(-1;-4;1) x = 2t + ng thng AB cú ptts l : y = + 2t z = 2t +Gi I l tõm mt cu (S): I AB I(1 2t; + 2t;3 2t ) Mt phng (P) tip xỳc vi (S) cú bỏn kớnh R=1 nờn : d(I,(P))=1 t = 2t = t = + 3 Vy cú hai phng trỡnh mt cu cn tỡm l : ( x+5 ) ( + y + Nguyn Vn Lc ) ( + z+3 ) =1 Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ( ) ( ) ( 2 v x + + + y + z + + ) = Cõu Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A'B'C' cú A(1;1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) v A'(2; 2; 1) Tỡm ta cỏc nh B', C' v vit phng trỡnh mt cu i qua bn im A, B, C, A' uuur uuur - Do ABC.A'B'C' l hỡnh lng tr nờn BB ' = AA ' B ' ( 2;3;1) uuuu r uuur Tng t: CC ' = AA ' C ' ( 2; 2; ) - Gi phng trỡnh mt cu (S) cn tỡm dng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, a + b + c d > Do A, B, C v A' thuc mt cu (S) nờn: 2a + 2b + 2c + d 2a + 4b + 2c + d 2a + 2b + 4c + d 4a + 4b + 2c + d = 3 = a = b = c = = d = = - Do ú phng trỡnh mt cu (S): x + y + z 3x y 3z + = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(2;1;-3), B(4;3;-2), C(6;-4;-1) Chng minh rng A, B,C l ba nh ca mt tam giỏc vuụng v vit phng trỡnh mt cu tõm A i qua trng tõm G ca tam giỏc ABC uuur uuur Ta cú: AB(2; 2;1); AC (4; 5; 2) uuu r uuur AB; AC khụng cựng phng A; B; C lp uuu r uuur thnh tam giỏc Mt khỏc: AB.AC = 2.4 + 2.(5) + 1.2 = AB AC suy ba im A; B; C l ba nh ca tam giỏc vuụng Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vỡ G l trng tõm ca tam giỏc ABC nờn G(4;0; -2) Ta cú: AG = Mt cu cn tỡm cú tõm A v bỏn kớnh AG = nờn cú pt: ( x 2) + ( y 1) + ( z + 3)2 = Cõu 10 Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho im A(1; 1; 0); B(1; 0; 2); C(2;0; 1), D(-1; 0; -3) Chng minh A, B, C, D l nh ca mt hỡnh chúp v vit phnguuutrỡnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp ú r uuuu r uuuu r Ta cú AB = (0; 1; 2); AC = (1; 1;1); AD = (2; 1; 3) uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r AB , AC = ( 1; 2;1) ; AB , AC AD = uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r Do AB , AC AD = , nờn vộc t AB , AC , AD khụng ng phng suy A, B, C, D l nh ca mt hỡnh chúp Gi phng trỡnh mt cu cú dng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( vi a + b + c d > ) 2a + 2b + d = a + c + d = Do mt cu i qua im A, B, C, D nờn ta cú h a + c + d = 2a 6c + d = 10 31 50 Gii h suy a = ; b = ; c = ; d = 14 14 14 31 50 Vy phng trỡnh mc l: x + y + z + x + y + z = 7 7 Cõu 11 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im A ( 3; 0; ) , B ( 1;0; ) Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB v tỡm im M trờn tia Oy cho MA = MB 13 + Gi ( S ) l mt cu cú ng kớnh AB v I l trung im ca AB Ta cú I ( 1; 0; ) , AB = Khi ú mt cu ( S ) cú tõm I v cú bỏn kớnh R = ( x + 1) AB = 2 nờn cú phng trỡnh + y2 + ( z 2) = + M Oy M ( 0; t;0 ) ú MA = MB 13 Nguyn Vn Lc ( 3) 2 2 + ( t ) + 42 = 12 + ( t ) + 02 13 25 + t = 13 ( + t ) t = Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vi t = M ( 0;1;0 ) t = M ( 0; 1;0 ) Cõu 12 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz , cho mt phng ( P ) : x y 2z = v hai im A ( 2;0;0) , B ( 3; 1;2) Vit phng trỡnh mt cu ( S ) tõm I thuc mt phng ( P ) v i qua cỏc im A, B v im gc to O Gi s I ( x, y, z ) Ta cú I ( P ) x y 2z = ( 1) x y + 2z = Do A, B,O ( S ) I A = IB = I O Suy x = ( 2) x y 2z = x = T (1) v (2) ta cú h x y + 2z = y = I 1; 2;1 x = z = ( ) Bỏn kớnh mt cu (S) l R = IA = Vy phng trỡnh mt cu (S) l: ( x 1) + ( y + 2) + ( z 1) = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 [...]... 19; 11t + 17;3t 3) uur uur AI , ud 179t 2 658t + 6 59 d( I , d ) = uur = 30 ud 2 2 2 2 d2 tip xỳc vi (S) nờn d( I ,d ) = R 179t 658t + 6 59 = R(1) 30 2t 5 d( I , P ) = 3 2 2 2t 5 4t 2 20t + 34 4t 2 20t + 34 2 Ta cú: R 2 = d(2I , P ) + r 2 R 2 = R= (2) ữ +3 R = 3 3 3 t = 1 179t 2 658t + 6 59 4t 2 20t + 34 2 = 139t 458t + 3 19 = 0 3 19 T (1) v (2), ta cú: t = 30 3 1 39 599 41... AB = 9( l t ) + 22(l t ) + 14 = 1 13 l t = 9 *l t = 1 uuu r r uuu rr AB = ( 0; 1;0 ) VTPT n ( P ) = AB; i = (0;0;1) Pt mt phng (P): z = 0 ( loi vỡ (P) cha Ox) 2 Nguyn Vn Lc 2 Ninh Kiu Cn Th 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com *l t = 13 / 9 uuu r 8 1 4 r uuu rr 4 1 AB = ; ; ữ VTPT n( P ) = AB; i = 0; ; ữ 9 9 9 9 9 Pt mt phng (P): - 4 y + z + 8 = 0 ( tha bi nhn) Cõu 10 Trong. .. (1 + 2a;4 a;2a) Theo bi ra thỡ (S) cú bỏn kớnh R = IA = d ( I , ( P)) (2 2a) 2 + (a 1) 2 + (2 + 2a ) 2 = 9 a 2 2a + 9 = 2( 1 + 2a ) 2(4 a) 2a 6 2 2 + 2 2 + 12 4a 16 3 9( 9a 2 2a + 9) = (4a 16) 2 65a 2 + 110a 175 = 0 a = 1; a = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 35 13 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com +) Vi a = 1 I = (1;3;2), R = 4 ( S ) : ( x 1) 2 + ( y 3) 2 + ( z + 2) 2 = 16 +) Vi... Cn Th 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com Ta cú d = 6 |d 2| = 6 d = 8 hoc d = 4 T ú, cú 2 mp l (Q1): 2x y + z + 8 = 0, (Q2): 2x y + z 4 = 0 Mp(Q) cú pt trờn cú th cha AB Kim tra trc tip thy A(1; 1; 1) (Q1) nờn AB // (Q1); A(1; 1; 1) (Q2) nờn AB (Q2) KL: pt mp(Q): 2x y + z + 8 = 0 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com 9. 4 Phng trỡnh mt cu Cõu 1 Trong khụng gian vi... Vỡ 2 l hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng 1 lờn mt phng (P) (P) cha 2 v ( P) (Q) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com ur uu r uu r Do ú (P) cng i qua A v cú VTPT l n1 = n , u2 = (214; 191 ; 104) (P) cú phng trỡnh l: 214 x + 191 y 104 z + 850 = 0 Cõu 12 Trong khụng gian Oxyz cho cỏc im A ( 2;3;0 ) , B ( 0;1 2 ) , C ( 1, 4, 1) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha B, C v song song... tip xỳc vi mt cu (S) khi v ch khi: d ( I ; ( P)) = 2 11 6t ( 3 + 2t ) + 1 11 = 2 11 9 t=2 4t + 4 = 22 4t + 4 = 22 4t + 4 = 22 t = 13 2 9 t = I (9; 0;6) Phng trỡnh mt cu ( S ) : (x 9) 2 + y 2 + (z 6) 2 = 44 2 13 t = ( I 13; 0; 16) Phng trỡnh ( S ) = (x + 13) 2 + y 2 + (z + 16)2 = 44 2 Cõu 2 Trong khụng gian Oxyz, cho 4 im A(- 1;1;1), B(5;1;- 1), C (2;5;2), D(0;- 3;1) Vit phng trỡnh mt... 12 5t + 8 5t + 12 5t + 8 d ( I ;( P ) ) = , d ( I ;(Q ) ) = , theo gi thit = 3 3 3 3 2 t = 2 I ( 2;1; 4 ) , R = 3 4 2 2 2 Mt cu ( S ) : ( x + 2 ) + ( y 1) + ( z + 4 ) = 9 Cõu 3 Trong khụng gian vi h ta Cõu 4 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A(1;3;2) , ng thng d: x +1 y 4 z = = v mt phng ( P) : 2 x 2 y + z 6 = 0 Tỡm ta giao im ca d 2 1 2 vi (P) v vit phng trỡnh mt cu (S) i qua A, cú... 3 19 = 0 3 19 T (1) v (2), ta cú: t = 30 3 1 39 599 41 180 ; ; Suy ra: I(1;-1;0) (nhn) hoc I ữ (loi do zI > 0) 1 39 1 39 1 39 2 2 Vi I(1;-1;0) R = 6 ( S ) : ( x 1) + ( y + 1) + z 2 = 6 2 2 Kt lun: phng trỡnh mt cu cn tỡm l ( S ) : ( x 1) + ( y + 1) + z 2 = 6 Cõu 6 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(2;1;1) v mt phng ( P ) : 2 x y + 2 z + 1 = 0 Vit phng trỡnh mt cu tõm A tip xỳc vi mt... x = 0 hoc 3x + 4 z = 0 Cõu 16 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1;-1;1) v hai ng x 1 thng (d) : = y +1 z = 2 3 x 1 v (d ') : = y 1 z 4 = Chng minh: im M, (d), (d) 2 5 cựng nm trờn mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú uu r *(d) i qua M 1 (0; 1;0) v cú vtcp u1 = (1; 2; 3) uur (d) i qua M 2 (0;1; 4) v cú vtcp u2 = (1; 2;5) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com uu r uur... 4 5 M ; ;1 ữ 3 6 r uuu r r n = AB Q ( ) Vtpt , n( P ) = ( 10; 10; 5 ) ( Q ) : 2 x + 2 y + z 2 = 0 Cõu 7 Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh: x2 + y2 + z2 2x + 4y + 2z 3 = 0 v mt phng (P): 2x y + 2z 14 = 0 Vit Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 093 3.168.3 09 www.TOANTUYENSINH.com phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 3 (S) cú