Bài toán số nghiệm phương trình Câu Chứng minh phương trình x − x + x − = có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Xét hàm số f ( x ) = x − x + 5x − ⇒ f liên tục R Ta có: f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16 ⇒ f (0) f (1) < ⇒ PT f(x) = có nghiệm c1 ∈ (0;1) f (1) f (2) < ⇒ PT f(x) = có nghiệm c2 ∈ (1;2) f (2) f (4) < ⇒ PT f(x) = có nghiệm c3 ∈ (2; 4) ⇒ PT f(x) = có nghiệm khoảng (–2; 5) Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm [0; 1]: x + 5x − = Xét hàm số f ( x ) = x + 5x − ⇒ f ( x ) liên tục R f (0) = −3, f (1) = ⇒ f (0) f (1) < ⇒ PT cho có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Câu Chứng minh phương trình sau có it nghiệm âm: x + 1000 x + 0,1 = Xét hàm số f ( x ) = x + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục R  f (0) = 0,1 > ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm f (−1) = −1001 + 0,1 <  c ∈ (−1; 0) Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − 3x − x + = Xét hàm số f ( x ) = x − x − x + ⇒ f ( x ) liên tục R • f (−1) = −1, f (0) = ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈ (−1; 0) • f (0) = 2, f (1) = −1 ⇒ f (0) f (1) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;1) • f (1) = −1, f (2) = 26 ⇒ f (1) f (2) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c3 ∈ (1;2) • Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 PT f ( x ) = phương trình bậc ba nên phương trình có ba nghiệm thực Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 5x − 3x + x3 − = Với PT: x − x + x − = , đặt f ( x ) = x − x + x − f(0) = –5, f(1) = ⇒ f(0).f(1) < ⇒ Phuơng trình cho có nghiệm thuộc (0; 1) Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x − 10 x − = Xét hàm số: f(x) = x − 10 x − ⇒ f(x) liên tục R • f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) f ( ) < nên phương trình có nghiệm thuộc c1 ∈ ( −1;0 ) • f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3) • c1 ≠ c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực Câu Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm : x − 5x + x + = Xét hàm số: f ( x ) = x − x + x + ⇒ Hàm số f liên tục R Ta có: + f (0) = >  ⇒ PT f(x) = có nghiệm c1 ∈ (0;1) f (1) = −1  + f (2) = −1 <  ⇒ PT f(x) = có nghiệm c2 ∈ (2;3) f (3) = 13 >  Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = có nghiệm Câu Chứng minh phương trình: (1 − m2 ) x − x − = có nghiệm với m Xét hàm số f ( x ) = (1 − m ) x − x − ⇒ f(x) liên tục R Ta có: f (−1) = m + > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0) f (1) < 0, ∀m ⇒ Phương trình có nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x − x − x − = Đặt f ( x ) = x − x − x − ⇒ f ( x ) liên tục R Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh f(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < ⇒ f ( x ) = có nghiệm thuộc (0; 1) Câu 10 Chứng minh phương trình x + x − x + x + = có nghiệm thuộc (−1;1) Xét hàm số f ( x ) = x + x − x + x + ⇒ f ( x ) liên tục R • f (−1) = −3, f (1) = ⇒ f (−1) f (1) < nên PT f ( x ) = có nghiệm thuộc (–1; 1) Câu 11 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: cos2 x − x =  π Đặt f(x) = cos2 x − x ⇒ f(x) liên tục (0; +∞) ⇒ f(x) liên tục  0;   2 π  π  π f (0) = 1, f  ÷ = − ⇒ f (0) f  ÷ < 2 2  π Vậy phương trình có nghiệm  0; ÷  2 Câu 12 Chứng minh phương trình x − x − = có hai nghiệm phân biệt thuộc (– 1; 2) Gọi f ( x ) = x − x − ⇒ f ( x ) liên tục R f(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f (0) f (2) < nên PT có nghiệm c1 ∈ ( 0;2 ) f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < nên PT có nghiệm c2 ∈ (−1; 0) c1 ≠ c2 ⇒ PT có hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2) Câu 13 Chứng minh phương trình : x − x = có nghiệm thuộc (1; 2) Gọi f ( x ) = x − x − liên tục R f (−1) = 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ phương trình dã cho có nghiệm thuộc (–1; 0) Câu 14 Chứng minh phương trình x − x + x − = có hai nghiệm thuộc khoảng (–1; 1) Gọi f ( x ) = x − x + x − ⇒ f ( x ) liên tục R Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh f(–1) = 5, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < ⇒ f ( x ) = có nghiệm c1 ∈ (−1; 0) f0) = –1, f(1) = ⇒ f (0) f (1) < ⇒ f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;1) c1 ≠ c2 ⇒ phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1) Câu 15 Chứng minh phương trình: x + x + x − = có hai nghiệm thuộc (–1; 1) Gọi f ( x ) = x + x + x − ⇒ f ( x ) liên tục R f(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈ (−1; 0) f(0) = –3, f(1) = ⇒ f (0) f (1) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;1) Mà c1 ≠ c2 ⇒ PT f ( x ) = có nhát hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1) Câu 16 Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m: (9 − 5m) x + (m − 1) x − = Gọi f ( x ) = (9 − 5m) x + (m − 1) x − ⇒ f ( x ) liên tục R  5 f (0) = −1, f (1) =  m − ÷ + ⇒ f (0) f (1) < 2  ⇒ Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với m Câu 17 Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m: m( x − 1)3 ( x + 2) + x + = Gọi f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + x + ⇒ f ( x ) liên tục R f(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c ∈ (−2;1), ∀m ∈ R Câu 18 Chứng minh phương trình x − 2mx − x + m = có nghiệm với m Xét hàm số f ( x ) = x − 2mx − x + m ⇒ f(x) liên tục R • f (m) = −m3 , f (0) = m ⇒ f (0) f (m) = − m • Nếu m = phuơng trình có nghiệm x = • Nếu m ≠ f (0) f (m) < 0, ∀m ≠ ⇒ phương trình có nhát nghiệm thuộc (0; m) (m; 0) Vậy phương trình x − 2mx − x + m = có nghiệm Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 20 Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x ) = x − x + ⇒ f(x) liên tục R • f(–2) = –1, f(0) = ⇒ phuơng trình f(x) = có nghiệm c1 ∈ ( −2; ) • f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = có nghiệm c2 ∈ ( 0;1) • f(1) = –1, f(2) = ⇒ phương trình f(x) = có nghiệm c3 ∈ ( 1;2 ) • Phương trình cho phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực Câu 21 Cho y = f ( x ) = x − x + Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt Xét hàm số y = f ( x ) = x − x + ⇒ f(x) liên tục R • f(–1) = –2, f(0) =2 ⇒ f(–1).f(0) < ⇒ phương trình f(x) = có nghiệm c1 ∈ ( −1; ) • f(1) = ⇒ phương trình f(x) = có nghiệm x = ≠ c1 • f(2) = –2, f(3) = ⇒ f ( ) f ( 3) < nên phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 2;3) Mà ba nghiệm c1 , c2 ,1 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt Câu 22 Chứng minh phương trình x + x − x − = có nghiệm khoảng (–4; 0) Xét hàm số f ( x ) = x + x − x − ⇒ f ( x ) liên tục R • f(–3) = 5, f(0) = –7 ⇒ f (−3) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm thuộc (–3;0) • (−3; 0) ⊂ (−4; 0) ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm thuộc (–4; 0) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh