ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN - Thời gian: 90’ I Đề bài: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - (a+b) xy + aby2 b) a2- b2 – 2a + c) a3 – 19a + 30 Bài tập 2: a) Tìm a,b,c cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3 b) cho a + b + c = 2012 Chứng minh : a + b3 + c − 3abc = 2012 a + b + c − ab − ac − bc Bài tập3: a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị biến x+2 x−2 − + ): 2x − 2x + x − x − 2013 2013 2013 + + Q= + x + xy + y + yz + z + zx P= ( b) Cho Chứng minh Q số nguyên; biết xyz = Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý BD.Từ M kẻ ME ⊥ AB; MF ⊥ AD.Chứng minh a) CF = DE; CF ⊥ DE b) CM = FE ; CM ⊥ FE c) CM,BF,DE đồng qui III.Đáp án: Bài tập Đáp án 2 Bài a) = x – a xy – bxy – aby (2,5điểm) = x(x-by) – ay( x-by) = ( x- ay)(x – by) b) = (a2 – 2a + 1) – b2 = ( a – 1)2 – b2 = ( a -1- b)( a – + b) c)= a3-4a -15a -30 = a(a2-4)-(15a-30) = a(a-2)(a+2)-15(a-2) = (a-2) (a2-2a-15) = (a-2)( a2+3a-5a-15a) = (a-2)(a+3)(a-5) Bài a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d) (1,5điểm) = (x3-9x2+27x-27)(x+d) = x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d cân hệ số ta có d-9=0 ⇒ d=9 -27d = c ⇒ c=-243 27d-27=b ⇒ b=216 27-9d=a ⇒ a=-54 Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 x4+a x2+bx+c chia hết cho (x-3)3 b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2 ⇒ a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc = (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c) = (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc) Vậy a + b3 + c − 3abc (a + b + c)(a + b + c − ab − ac − bc) = a + b + c − ab − ac − bc a + b + c − ab − ac − bc điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 025đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ = a+b+c = 2013 Bài (2điểm) ( x + 2) − ( x − 2) + 16 x + 16 : = : 2( x − 2)( x + 2) x − 2( x − 2)( x + 2) x − a) P= 4 = : =1 x−2 x−2 2013 2013 2013 + + b) Q = + x + xy + y + yz + z + zx z xz + + = 2013( ) z + xz + xyz xz + xyz + z xy + z + xz 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ = 2013( Bài (4 điểm) A F N I D z xz + + ) = 2013 z + xz + xz + + z + z + xz E 0,5 đ B G M C a) AEMF hình chữ nhật ⇒ AF=EM · ∆ EBM cân E EBM = 450 ⇒ EB =EM ⇒ AF= EB mà AB = AD ⇒ AE=FD · ⇒ ∆ ADE = ∆ DCF (c,g,c) ⇒ FC=DE ·AED = CFD · mà ·AED + ·ADE =90 ⇒ CFD + ·ADE =90 =900 ⇒ CF ⊥ DE · ⇒ FID 0 · · b) ∆ MEF = ∆ GMC(c.g.c) ⇒ CM = FE EFM = MCG · · ta lại có MFC = FCD (so le trong) · · · · · · mà FCD + FCM + MCG =900 ⇒ EFM + MFC + FCM =900 =900 ⇒ CM ⊥ FE · ⇒ CNF c)Xét ∆ EFC có EI,CK đường cao nên FB đường cao thứ n ên CM,BF,DE đồng qui 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ