http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab  ab bc ca ab   abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x | = | x |b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = x  4x  16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a)  15 b) 17   45 c) 23  19 d) 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 2 nhng nhỏ 19 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  1998 Hãy so sánh S 1999 21 Cho S  Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a x y  2 y x  x y2   x y  b)         x  y x y  x4 y4   x2 y2   x y  c)             x  y x  y x y a) 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n n 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh :       y x y x x y2 z x y z 27 Cho số x, y, z dơng Chứng minh :      y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b = Chứng minh a + b 31 Chứng minh :  x    y   x  y 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  33 Tìm giá trị nhỏ : A  x  6x  17 x y z với x, y, z >   y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d    2 bc cd da ab 39 Chứng minh  2x   x   x   Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  B x  4x  C D x  2x  1 1 x2  E x  2x x G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình : 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 43 Giải phương trình : 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  B E 1  3x G 2x   x 45 Giải phương trình : C    9x D x  5x  x  x2 x 4 H  x  2x    x 2 x  3x 0 x 3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 1 ; b)  13  n+1  n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a   b= 1 c) n   n  49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A    6x  9x  (3x  1) 50 Tính : a) 42 b) 11  c) d) A  m  8m  16  m  8m  16 27  10 e) B  n  n   n  n  (n > 1) 41 51 Rút gọn biểu thức : M  45  41  45  41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x  y)2  (y  2)2  (x  y  z)  53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau : a) x  x   x   d) x  x  2x   b) x    x e) x  4x   x   h) x  2x   x  6x   c) x  x  x  x   g) x   x   5 i) x    x  x  25 Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS k) x   x   x   x   l) 8x   3x   7x   2x  55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x  y2 2 xy 56 Rút gọn biểu thức : a) 13  30   b) m  m   m  m  c)          57 Chứng minh 2  d) 227  30  123  22  2 58 Rút gọn biểu thức : 62 a) C     3  62  6 3  b) D  96  59 So sánh : a)  20 1+ b) 17  12 1 c) 28  16  60 Cho biểu thức : A  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11  10 c) b)  14  11        10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 1 1 1  2    a b c a b c 63 Giải bất phương trình : x  16x  60  x  64 Tìm x cho : x    x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  x  2x  67 Cho biểu thức : A  b) B  16  x  x  8x  2x  x  x  2x x  x  2x  x  x  2x x  x  2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y | với | x | + | y |=5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(   5)(   5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ;  ; 2  75 Hãy so sánh hai số : a  3  b=2  ; 76 So sánh  1     số 2 3 6 84 2 3 77 Rút gọn biểu thức : Q  78 Cho P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x  y  y  x  80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A   x   x 81 Tìm giá trị lớn : M   a b  với a, b > a + b 82 CMR số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n 86 Chứng minh :  a b  (a, b 0)  2(a  b) ab 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (x  2)  8x x x a 2 89 Chứng minh với số thực a, ta có :  Khi có a2 1 88 Rút gọn : a) A  ab  b2 a  b b b) B  đẳng thức ? 90 Tính : A     hai cách 5 6,9 b) 2 2 92 Tính : P    2  2 91 So sánh : a) 93 Giải phương trình : 13  12 7 x   2x   x   2x   2 Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 1.3.5 (2n  1) 94 Chứng minh ta có : Pn  ; n  Z+  2.4.6 2n 2n  95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= a2 b2  b a a b x  4(x  1)  x  4(x  1)   1    x 1  x  4(x  1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) a b b a : ab ab a b (a, b > ; a b)  14  15   b)    2 : 1    1  a  a  a  a  c)   1     a (a a   a 1   > 0) 98 Tính : a) ; b)   13  48   29  20  c)   48   99 So sánh : a)  15 c)  28  16   48  b)  15 12  16 d) 25 18  19 100 Cho đẳng thức : a  a2  b a  a2  b (a, b > a2 b > 0)  2 a b  Áp dụng kết để rút gọn : 2 a)   2 c) 2 32 ; b)  2 17  12 3 2  17  12 2 10  30  2  : 10  2 1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A  xy  x  y2  1 1 với x   a   , y   b   2 xy  x  y  b) B  a  bx  a  bx a  bx  a  bx với x  102 Cho biểu thức P(x)  a 2 b 2am , m  b 1  m2  2x  x  3x  4x  a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A  x 24 x2  x24 x 2 4  1 x2 x Trang: (a > ; b > 1) http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x b) x  x (x  0) c)   x g) 2x  2x  e)   3x d) x   h)   x  2x  i) 2x  x  105 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b)  48  10  4  10    10  c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a a)  a  b  a  b  a  a2  b  94  42  94  42 b b) a  a2  b a  a2  b a b   2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  109 Tìm x y cho : x  y   x  y  2  a  c   b  d  110 Chứng minh bất đẳng thức : a  b2  c2  d2  111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 abc    bc ca ab 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a   b   c   3,5 113 CM : a  c2  b  c   b) a ab  bc  ca   d  b  d   (a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A  x  x 115 Tìm giá trị nhỏ : A  (x  a)(x  b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 117 Tìm giá trị lớn A = x +  x 118 Giải phương trình : x   5x   3x  119 Giải phương trình : x  x 1  x  x   120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x   121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14   2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ; 2 123 Chứng minh x    x  124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c  b(a  c) với a, b, c > Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 125 Chứng minh (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (a  b) a  b   a b  b a với a, b a b c 128 Chứng minh    với a, b, c > bc ac ab 127 Chứng minh 129 Cho x  y2  y  x  Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 132 Tìm giá trị nhỏ A  x   x  2x  133 Tìm giá trị nhỏ A   x  4x  12   x  2x  134 Tìm GTNN, GTLN :  a) A  2x   x b) A  x 99  101  x  135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b  1 x y (a b số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx với x, y, z > , x + y + z =   z x y x2 y2 z2 138 Tìm GTNN A  biết x, y, z > ,   xy yz zx 137 Tìm GTNN A  xy  yz  zx  139 Tìm giá trị lớn : a) A   a b  với a, b > , a + b b) B  a b    a c    a d    b c    b d    c d  với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A  b c  cd ab với b + c a + d ; b, c > ; a, d 142 Giải phương trình sau : a) x  5x  3x  12  d) x   x   b) x  4x  x  e) x  x   x   h) x   x   x   x   k)  x  x  x  m) x   x  x  o) x 1  x   c) 4x   3x   g) x  2x   x  2x   i) x  x   x  l) 2x  8x   x   2x  n) x   x  10  x   x   x  1  x  3x     2x Trang: http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS p) 2x   x   2x   x    x  q) 2x  9x   2x   2x  21x  11  143 Rút gọn biểu thức : A  2     18  20  2 144 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta có : 1    2 n 1   n 1 1 145 Trục thức mẫu : a) 1  b) x  x 1 146 Tính : a)   29  20 b)   13  48  47 Cho a    3 2 148 Cho b   17  12  c)   29  12  10  Chứng minh a số tự nhiên 3 2 b có phải số tự nhiên không ? 17  12 149 Giải phương trình sau : a) c)   1 x  x    5  x   x   x  3 x  5 x  x 3 b) 2   1 x    1 x  3 d) x  x   150 Tính giá trị biểu thức : M  12  29  25  21  12  29  25  21 1 1     1 2 3 n 1  n 1 1 152 Cho biểu thức : P      2 3 4 2n  2n  151 Rút gọn : A  a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ không ? 1 1     1   100 99  99 100 1 154 Chứng minh :      n n 155 Cho a  17  Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 153 Tính : A  17)2000 156 Chứng minh : a  a   a   a  (a 3) 157 Chứng minh : x  x   (x 0) 158 Tìm giá trị lớn S  x   y  , biết x + y = 159 Tính giá trị biểu thức sau với a   2a  2a : A    2a   2a 160 Chứng minh đẳng thức sau :  a)  15  10    15  b)   Trang:   1 http://NgocHung.name.vn 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS c)   10   d)  48   e) 17     2      161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5 5   10  5 5   1   c)     0,  1, 01            1 2 3 3  d)    3    2 6 2 2  a) 27   48 e) h) 2  3 b) 1  5 2      1,9 g)  3 5 3 17  12    i)   2  0,8  n  n  Từ suy ra: n 1 2004       2005 1006009 2 3 163 Trục thức mẫu : a) b) 2 3 6 84 2  3 3 164 Cho x  y= 3 3 162 Chứng minh : n   n  Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 2002 2003   2002  2003 2003 2002 x  3xy  y 166 Tính giá trị biểu thức : A  với x   y   x y2 6x  167 Giải phương trình :   x  x2 x  1 x 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 168 Giải bất pt : a) 3  5x  72 b) 10x  14  c)  2  2x  169 Rút gọn biểu thức sau : a) A    29  12 c) C  x   x2  b) B   a  a(a  1)  a d) D  a 1 a x  5x   x  x 2x   x  3x  x  (x  2)  x 1 1 E     1 2 3 24  25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A    x2 171 Tìm giá trị nhỏ A  với < x <  1 x x Trang: 10