TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Trường Trung học Phổ thông Chuyên ——————————————————– TỔ TOÁN TIN ĐỀ NGUỒN VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN OLYMPIC DUYÊN HẢI NĂM HỌC 2014-2015 Hà Nội, Năm 2015 TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ NGUỒN THI OLYMPIC DUYÊN HẢI MÔN TOÁN - LỚP 10 Năm học 2014 − 2015 Thời gian: 180 phút Câu Giải hệ phương trình (xy)3 + 3xy + = 5y 3xy = 2y + Câu Cho ba số dương a, b, c > Chứng minh (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 a b c + + ≥9+2 + + ab bc ca b+c c+a a+b Câu Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) Một điểm M cố định cung nhỏ BC (O) khác với B, C Điểm N thay đổi đoạn AM nằm tam giác ABC N B, N C tương ứng cắt AC, AB X, Y M X, M Y gặp (O) điểm thứ hai Z, T Chứng minh ZT qua điểm cố định Câu Một số nguyên dương n gọi đẹp biểu diễn (x2 + y)(x + y ) dạng , x > y số nguyên dương (x − y)2 Chứng minh tập số đẹp chứa vô hạn số lẻ vô hạn số chẵn Tìm số nguyên dương bé mà số đẹp TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ NGUỒN THI OLYMPIC DUYÊN HẢI MÔN TOÁN - LỚP 11 Năm học 2014 − 2015 Thời gian: 180 phút Câu Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh a b c + + ≥ (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 4(a + b + c) Câu Cho P đa thức hệ số thực có bậc 2016 Hãy xác định tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x) = f (x + P (y) + f (y)) với x, y ∈ R Câu Các điểm C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB điểm P thuộc đoạn AB cho AC = AP , BD = BP N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác P CD AB E giao điểm AC BD K hình chiếu N CD Chứng minh EK ⊥ AB Câu Trong ô vuông bảng 50 × 50 ta viết số ±1 cho tổng số bảng có giá trị tuyệt đối không lớn 100 Chứng minh tồn hình vuông 25 × 25 với cạnh đường lưới cho tổng tất số hình vuông có trị tuyệt đối không lớn 25 Hướng dẫn giải đề thi lớp 10 1 Đầu tiên y = không thỏa mãn Với y = 0, chia phương trình đầu cho y , hệ viết lại dạng x3 + 3x + =  1 y3 y Cộng lại cho ta x3 + 9x = + Suy x = Ta thu 3y = 2y +  y y y 6x = + y y3 hay y = ±1 Từ x = y = ±1 Đáp số (x, y) = (±1, ±1) Bất đẳng thức tương đương với sym a b + b a ≥6+4 cyclic a b+c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: cyclic a a a ≤ + b + c sym b c Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM sym a b + b a ≥ Do ta có kết Gọi D = XY ∩ BC, P = XY ∩ AM, E = DM ∩ (O), Q = AM ∩ BC Ta có (DQBC) = −1 nên M (DBQC) = −1 Suy EBAC điều hòa Từ A(DQBC) = −1 ta suy A(DP Y X) = −1 Do M (DP Y X) = −1 hay M (EAZT ) = −1 Từ ET AZ điều hòa Thành thử ZT, BC, AA đồng quy Cho x = y + ta suy có vô hạn số lẻ đẹp Cho x = 2y + ta suy có vô hạn số chẵn đẹp Đáp số n bé 10 Đầu tiên ta chọn (x, y) = (3, 1) số đẹp 10 Tiếp theo giả sử n đẹp, x − y | (x2 + y) − (x + y ) (x − y)2 | (x2 + y)(x + y ) nên x − y | x2 + y, x + y Từ đặt x2 + y = u(x − y) x + y = v(x − y) Suy u > v số nguyên v ≥ Ta có n = uv x + y − = u − v Do u − v ≥ 2y ≥ Từ v ≥ u ≥ Suy n ≥ Nếu n = u = 4, v = Tuy nhiên x + y − = hay x + y = ta thu x = 2, y = Thay vào không thỏa mãn Nếu n = từ uv = < v < u nghiệm Vậy n ≥ 10 Hướng dẫn giải đề thi lớp 11 Bất đẳng thức tương đương a(a + b + c) b(a + b + c) c(a + b + c) + + ≥ hay viết dạng 2 (b + c) (a + c) (a + b) a2 b2 c2 a b c + + + + + ≥ (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 b + c a + c a + b Tuy nhiên điều suy trực tiếp từ bất đẳng thức Nesbit bất đẳng thức phụ 3(x2 +y +z ) ≥ (x+y +z)2 Ta thấy f (x) ≡ −P (x) nghiệm hàm Giả sử f (x) ≡ −P (x) Đặt g(y) = f (y) + P (y) Khi tồn ta y0 a = g(y0 ) = Suy f (x) = f (x + a) với x Ta có f (x) = f (x + g(y)) với x, y Từ f (x) = f (x + g(y + a)) f (x + a) = f (x + a + g(y)) với x, y Từ f (z) = f (z + g(y + a) − g(y) − a) với z Chú ý h(y) = g(y + a) − g(y) − a đa thức có bậc 2015 lẻ nên h toàn ánh Vậy f số 180◦ − B ACD = Vậy CN phân giác ACD Tương tự DN phân giác 2 BDC Tóm lại N tâm bàng tiếp đỉnh E tam giác ECD Ta có N CD = BP D = AC + BD = Suy AB EB AH EB cot A/2 EB EC S(EAK ) cot A/2 S(ECK ) AB + AE − BE · · = Do · = Suy = HB EA EA cot B/2 EA ED S(EBK ) cot B/2 S(EDK ) AB + BE − AE CK DC + DE − EC CK CK hay tương đương = Vậy ta = Vậy K ≡ K DK CD + F C − DE DK DK Gọi H hình chiếu E lên AB K = EH ∩CD Theo giả thiết cos A+cos B = Phản chứng giả sử tất hình vuông 25 × 25 tính chất Xét hình vuông I Ta tịnh tiến hình vuông sang trái sang phải cột lên xuống dòng ta hình vuông II Ta SI , SII dấu Thực không |SI − SII | = |SI | + |SII | ≥ 26 + 26 = 52 Mặt khác, ta có |SI − SII | ≤ 25 + 25 = 50 (vì hình vuông chung 24 dòng 24 cột) Tóm lại ta tất hình vuông có tổng dấu Ta chia hình vuông ban đầu thành bốn hình bốn góc Vì tổng dấu nên ta suy tổng số có trị tuyệt đối lớn × 25 = 100, mâu thuẫn Danh sách thầy cô đề xuất Thầy Nguyễn Sơn Hà: Câu – Đề lớp 10 Câu – Đề lớp 11 Thầy Nguyễn Minh Hà: Câu – Đề lớp 11 Thầy Hà Duy Hưng: Câu 2,3,4 – Đề lớp 10 Câu 1,4 – Đề lớp 11 Biên soạn đề thi: TS Hà Duy Hưng