SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ THỪA THẾN HUẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ QUỐC HỌC NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 10 (Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: ( ) + x = ( x − x ) + 15 + x − x Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi đường thẳng ∆ cắt  1 đường thẳng AB k ∈  0; ÷, ( k số ) Gọi D điểm cạnh AB cho  2 AD = kAB Đường tròn đường kính BD cắt đường thẳng qua C trung điểm đoạn thẳng AB E F Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi Câu (4 điểm) Cho số nguyên tố, chứng minh có vô số số n ∈ ¥ * cho chia hết cho p Câu (4 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 P= + + b(a + 2) c(b + 2) a (c + 2) Câu (4 điểm) Cho tập hợp X = { 1;2;3;K ;2015} Chứng minh ba phần tử tùy ý X có hai phần tử x1 , x2 cho x1 − x2 < HẾT ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG Câu Giải phương trình sau tập số thực: ( ĐIỂM ) + x = ( x − x ) + 15 + x − x Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Vì x = x = nghiệm phương trình nên phương trình cho tương đương với: + 3x = + 15 + x − x ⇔ + = + 15 + x − x 2 x−x x 1− x − x 4x ⇔ + = 16 − (3 x − 1) (2) x 1− x − x 4x  5 + < 16 − (3 x − 1) ≥ Nếu x ∈ [ −1;0 ) ∪ 1;  x − x    5 Vậy x ∈ [ −1;0 ) ∪ 1;  không thỏa phương trình  3 1− x 4x > 0, > Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có Nếu x ∈ ( 0;1) x 1− x − x 4x + ≥ Dấu “=” xảy x = x 1− x Mặt khác 16 − (3 x − 1) ≤ 16 với x ∈ ( 0;1) , dấu “=” xảy 4,0 1,0 1,5 1,5 1 x = Vậy phương trình có nghiệm x = 3 Câu Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi đường  1 thẳng ∆ cắt đường thẳng AB k ∈  0; ÷, ( k số ) Gọi D điểm  2 cạnh AB cho AD = kAB Đường tròn đường kính BD cắt đường thẳng qua C trung điểm đoạn thẳng AB E F Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi 4,0 A D E I M d H F C Gọi M trung điểm AB, H điểm đối xứng với D qua M H điểm cố định BH = AD Vì AD = kAB,0 < k < nên D thuộc đoạn AM, H thuộc đoạn MB, M thuộc đoạn EF Ta có ME.MF = MD.MB = MH MA tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp 1,0 B Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường thẳng d đường trung trực AH 1,0 Đảo lại, với điểm I đường trung trực AH, gọi E F giao điểm đường tròn tâm I bán kính IA với đường tròn đường kính BD Gọi M giao điểm EF AB Khi ME.MF = MH MA = MD.MB , suy MH MB MB − MH BH = = = = , tức M trung điểm HD MD MA MA − MD AD trung điểm AB 1,0 Nếu ∆ qua M cắt đường tròn đường kính BD E,F quỹ tích điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF 0,5 Nếu ∆ không qua M Khi qua M vẽ đường thẳng song song với ∆ cắt đường tròn đường kính DB E,F tâm I’ đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không thuộc quỹ tích Nếu I ≠ I ' : Gọi C điểm giao ∆ đường thẳng EF không trùng với M Khi ta có tam giác ABC mà đường trung tuyến qua C cắt đường tròn đường kính BD hai điểm E, F tam giác AEF có tâm đường tròn ngoại tiếp điểm I Lúc quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi đường trung trực đoạn thẳng AH loại trừ I’ 0,5 Câu Cho số nguyên tố, chứng minh có vô số số n ∈ ¥ * cho chia hết cho Nếu 2015Mp chọn n = kp, k số nguyên dương Nếu , theo định lý Fermat 2015 p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ 2015m ( p −1) ≡ 1(mod p) (m ∈ N* ) Lấy m = kp − , k ∈ N* ta có m ≡ −1(mod p ) m( p − 1) ≡ 1(mod p ) Từ ta có 2015m ( p −1) ≡ m( p − 1)(mod p) Như với k ∈ N* , đặt m = kp − n = m( p − 1) có vô số số để (2015n − n)Mp Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Tìm giá trị nhỏ 4,0 1,0 1,0 1,0 1,0 4,0 a2 b2 c2 + + biểu thức P = b(a + 2) c(b + 2) a (c + 2) 1 Ta có ab + bc + ca = 3abc ⇔ + + = a b c 1 Đặt x = ; y = ; z = Khi x + y + z = a b c x y z P= + + 2 + 2z + 2x + y2 1,0 Ta có x xz 2 xz 2 = x − ≥ x − = x − x z ≥ x − x ( + z ) = x − xz 2 + 2z + 2z 9 33 z4 Dấu “=” xảy z = y ≥ y − xy Dấu “=” xảy x = Tương tự, + 2x 9 z ≥ z − yz Dấu “=” xảy y = 1+ 2y 9 1,0 Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế, ta có: P ≥ ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) 9 Mặt khác ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) P ≥ ( x + y + z ) − ( x + y + z ) = 27 1,0 Vậy giá trị nhỏ P x = y = z = hay a = b = c = 1,0 Câu Cho tập hợp X = { 1;2;3;K ;2015} Chứng minh ba phần tử tùy ý X có hai phần tử x1 , x2 cho x1 − x2 < Xét ba phần tử x1 , x2 , x3 ∈ X Đặt yi = xi , i = 1, 2,3 Ta có yi ∈ [ 1;5 ) Ta chia nửa khoảng thành hai nửa khoảng Khi theo nguyên lý Dirichlet ba số y1 , y2 , y3 có hai số thuộc hai nửa khoảng nói 1,0 Giả sử hai số hai số x1 , x2 hai số thỏa mãn yêu cầu toán -HẾT - 1,0 2,0