HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT TỈNH QUẢNG NGÃI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm 180 phút (Đề có trang, gồm câu) Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình:  x y − x y = y + x (1 − x )   + ( x + y ) + x(2 y + x ) = Câu (4 điểm) 1  2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ( a b + b c + c a + 3)  + + ÷ a b c  với a, b, c số dương có tổng không lớn Câu (4 điểm) Đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD tiếp xúc với cạnh DA, AB, BC, CD điểm K, P, Q, R Giả sử ( O1 ) , ( O2 ) , ( O3 ) , ( O4 ) đường tròn nội tiếp tam giác AKP, BPQ, CQR, DRK Với cặp đường tròn ( O1 ) & ( O2 ) ; ( O2 ) & ( O3 ) ; ( O3 ) & ( O4 ) ; ( O4 ) & ( O1 ) ta dựng tiếp tuyến chung khác cạnh tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác lập tiếp tuyến hình thoi Câu (4 điểm) Cho p số nguyên tố khác a, b số tự nhiên lẻ cho a + bMp a − bMp − Chứng minh a b + b a Mp Câu (4 điểm) Trong mặt phẳng cho n điểm điểm thẳng hàng Một số điểm nối với đoạn thẳng Khi đó, ta đồ thị G với k cạnh Chứng minh G không chứa tam giác có đỉnh điểm cho  n2  k ≤   ( [ ] kí hiệu phần nguyên) 4 HẾT Người đề Phạm Viết Huy SĐT: 0905564921 ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu Câu (4đ) Nội dung cần đạt Hệ cho tương đương với:  − (1 − x y )2 = y + x (1 − x )   + ( x + y ) = − x(2 y + x ) Lấy (1) trừ (2), ta được: Ta có: Điểm (1) 1đ (2) − (1 − x y ) − + ( x + y ) = ( x + y ) 1đ ≤ ( x + y ) = − (1 − x y ) − + ( x + y ) ≤ Do  − (1 − x y ) = + ( x + y ) =1   x + y =0 có nghiệm x=1, y=-1 x=-1, y=1 Thử lại hệ cho có nghiệm x=1, y=-1 1đ 1đ Câu (4đ) Áp dụng bất đẳng thức Holder cho hai dãy số dương a 2b + 1, b c + 1, c a + 1 , , , b2 c2 a 2 1   a 2b + b 2c + c2a2 +   2 2 2 S = ( a b + b c + c a + 3)  + + ÷ ≥  + + ÷ b2 c2 a2 ÷  a b c    Xét 1đ a 2b + b 2c + c2a2 + S'= + + b2 c2 a2 = a2 + ≥ Xét 1 + b2 + + c2 + 2 b c a ( a + b + c) 2 1 1 + + + ÷ a b c 1đ 1đ 1 1 S " = ( a + b + c) +  + + ÷ a b c 2 1 1 = 16 ( a + b + c ) +  + + ÷ − 15 ( a + b + c ) a b c ≥ 16.92 − 15 153 Do đó, S ≥ ( S ') ≥ S " ≥ tồn a = b = c = để đẳng thức xảy nên 153 minS = 1đ Câu (4đ) L A O2 N I B M K C O1 Ta chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), O1 trung điểm cung BC không chứa A, O2 trung điểm cung CA không chứa B Dựng đường tròn tâm O1 tiếp xúc với BC đường tròn tâm O2 tiếp xúc với AC Khi đó, tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm tiếp tuyến chung đường tròn ( O1 ) ( O2 ) 1đ Thật vậy, từ I kẻ tiếp tuyến IK, IL với đường tròn ( O1 ) ( O2 ) Gọi M, N trung điểm BC, CA Ta có VIKO1 =VCMO1 , suy IK / / AB IK = BC Tương tự IL / / AB 1 IL = CA Từ ta suy đpcm KL = (CA + CB ) 2 1đ B P A T S Q K U V D R C Trở lại toán, dễ thấy O1 , O2 , O3 , O4 trung điểm cung KP, PQ, QR, RK đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Gọi STUV tứ giác tạo thành từ tiếp tuyến chung cặp đường tròn ( O1 ) & ( O2 ) ; ( O2 ) & ( O3 ) ; ( O3 ) & ( O4 ) ; ( O4 ) & ( O1 ) Từ bổ đề ta dễ dàng chứng minh ST / /UV / / KQ; SV / /TU / / PR Hơn nữa, tổng độ dài tiếp tuyến chung cặp đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) ; ( O3 ) , ( O4 ) tổng độ dài tiếp tuyến chung cặp đường tròn ( O1 ) , ( O4 ) ; ( O2 ) , ( O3 ) nửa chu vi tứ giác KPQR Từ suy ST+UV=SV+TU nên STUV hình thoi Câu (4đ) Giả sử a ≥ b Ta có a + bMp nên a ≡ −b(mod p ) Suy a b + b a ≡ b a − bb (mod p ) ≡ bb (b a −b − 1)(mod p ) Nếu bMp a Mp , a b + b a Mp Nếu (b, p) = b a −b − 1Mb p −1 − 1Mp , a b + b a Mp 1đ 1đ 1đ 1d 1đ 1đ Câu (4đ) Gọi P điểm nối với nhiều điểm khác số điểm đồ thị G Giả sử P nối với m điểm P1 , P2 , , Pm Khi ta chia n điểm G thành hai tập: A = { P1 , P2 , , Pm } ; B = { P, Q1 , Q2 , , Qn− m −1} Tập A gồm điểm nối với P, tập B gồm điểm P điểm không nối với P Bất kỳ hai điểm A không nối với G không chứa tam giác  n2  n2 Do đó, ta có tổng số cạnh k ≤ m(n − m) ≤ Suy k ≤   4 Người đề Phạm Viết Huy SĐT: 0905564921 1đ 1đ 1đ 1đ