UBND HUYỆN PHÚC THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán Ngày thi: 21 - - 2016 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ THI CHÍNH Bài 1: (3 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: −1 2015 2015 17,5 − 2018 + 7,5 + 2 2016 2016 20     2016 R = 2015 − 2016  − (−1) 19 ( 2.5 − 3)   − 10    Q = Bài 2: (4 điểm) a) Cho A = + 22 + 23 + 24 + 25 + + 2200 Chứng tỏ rằng: B = - 1,9A có giá trị số nguyên b) Tìm x biết: (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 49.50) + x = 40642 Bài 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên A nhỏ biết chia A cho 29 dư 5, chia cho 31 dư 28 b) Tính tỉ số M biết: N −40 −35 −30 −25 + + + 31.39 39.46 46.52 52.57 1 1 N= + + + + 31.33 33.35 35.37 55.57 M= Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC = 80 Kẻ tia Bx tia đối tia BA, tia By tia phân giác góc CBx a) Tính góc xBy b) Kẻ tia Bt tia phân giác góc ABC Tính số đo góc kề bù với góc yBt c) Lấy A1 trung điểm đoạn AC, A2 trung điểm đoạn AA1 , A3 trung điểm đoạn AA2 , , A20 trung điểm đoạn AA19 Tính độ dài đoạn thẳng AA20 biết độ dài đoạn AC 410 cm Bài 5: (3 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết cộng với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại kết số phương b) So sánh: A= 22015 − 22016 − B = 22016 + 22017 + - Hết (Giám thị coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN (2015 – 2016) Bài Bài (3 điểm) Biểu điểm Nội dung −1 2015 2015 17,5 − 2018 + 7,5 + 2 2016 2016 −1 2015 ( 2018 − ) = ( 17,5 − 7,5 ) − 2016 −1 2015 2016 = - 2020 = 10 − 2016 Q=   2016 R = 2015 − 2016  − (−1)   1,5(điểm) 20   2.52 − 24.3)   − 103 19 (  R=  20     2015 −  40 − 19   − 1000 = 2015 – 38 – 1000 = 977    Bài (4 điểm) 1,5(điểm) a, Cho A = + 22 + 23 + 24 + 25 + + 2200 Chứng tỏ rằng:B = - 1,9.A có giá trị số nguyên HD : Ta có A = (2 + 22 + 23 + 24 ) + (25+ 26 +27 +28) + + (2197 + 2198 + 2199 + 2200) = 2.(1 + + 22 + 23) + 25.(1+2+ 22 +23 ) + + 2197.(1+2+ 22 +23 ) 2(điểm) = 2.15+25 15 + +2197 15=15.(2+25 + +2197 ) Ta thấy A chia hết cho nên A có chữ số tận Do B = - 1,9.A có giá trị số nguyên b) Tìm x biết: ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 49.50) + x = 40642 Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 49.50 ta có 3A = 49.50.51 ⇒ A = 49.50.17 2(điểm) ⇒ 49.50.17+ x = 40642 Tìm x = - 2016 Bài (4 điểm) a, Tìm số tự nhiên A nhỏ biết chia A cho 29 dư , chia cho 31 dư 28 Ta có A: 29 dư 5, A: 31 dư 28 ⇒A = 29k + = 31q + 28 (k, q ∈N) ⇒ 29(k - q) = 2q + 23 > ( q ∈N) ⇒ k > q > mà 2q + 23 số lẻ, A nhỏ nên k, q nhỏ ⇒ 2q + 23 nhỏ ⇒ k – q nhỏ lẻ ⇒ k – q = ⇒ 29.1 = 2q+23 ⇒ q = ⇒ A = 121, (thỏa mãn 121 = 29.4 + = 31.3 + 28) Vậy A=121 2(điểm) b, Tính tỉ số M biết: N −40 −35 −30 −25 + + + 31.39 39.46 46.52 52.57 1 1 N= + + + + 31.33 33.35 35.37 55.57 M= Ta có: −40 1 −35 1 −30 1 −25 1 ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) 31 39 39 46 46 52 52 57 1 1 = −5.( − + − + − ) 31 39 39 52 57 26 = −5 31.57 1 13 N = ( − ) = 31 57 31.57 M −5.26 13 = : = −10 Vậy N 31.57 31.57 M= Bài (6 điểm) a) Vẽ hình lập luận tính góc CBx=1000 Từ tính xBy=500 2(điểm) A t A2 2(điểm) A1 B C x y b) Lập luận tính góc yBt =900 Do góc kề bù với góc yBt 900 c) Vì A1 trung điểm AC nên AA1 = 1/2 AC 1 A2 trung điểm AA1 nên AA2 = AA1 = AC 2 A AA 20 trung điểm 19 nên 1 AA20 = 20 AC = 20 410 = cm Vậy độ dài AA20 =1cm 2 Bài (3 điểm) 2(điểm) 2(điểm) a) Gọi số phải tìm ab ( a, b chữ số, a khác 0) theo đề ta có: ab + ba = n (n ∈ N ) ⇒ 11a + 11b = n ⇒ 11.(a + b) = n ⇒ a + bM 11 ⇒ a + b = 11 Có số cần tìm 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92 1,5(điểm) b, Xét 2A = 22016 − 22016 + − 5 = = − 2016 2016 2016 +1 +1 +1 Tương tự: 2B = − 22017 + 1,5(điểm) Lập luận có 2A < 2B ⇒ A< B Chú ý: - Điểm lấy đến 0.25 - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa