Đang tải... (xem toàn văn)
Toán cực trị và độ lệch pha; Tài liệu tham khảo Đề thi Vật lý khối A
Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều Bi giảng 5: TOÁN CỰC TRỊ VÀ ĐỘ LỆCH PHA I CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị biểu thức xuất phát từ cơng thức tổng qt chúng, thực phép biến đổi theo quy tắc tử số mẫu số đại lượng biến thiên để biểu thức thay đổi (chia tử mẫu cho tử số chẳng hạn ) Bổ đề : a+b ♦ Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b ≥ ab ⇔ a + b ≥ ab Dấu xảy a = b b ∆ 4ac − b ∆' ♦ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, với a > đạt giá trị nhỏ điểm x = − ; y = − = =− 2a 4a 4a a Mạch RLC có R thay đổi Bài toán tổng quát 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC R thay đổi (R cịn gọi biến trở) Tìm giá trị R để a) cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại b) điện áp hiệu dụng hai đầu L C đạt cực đại c) công suất tỏa nhiệt R P0 cho trước d) công suất tỏa nhiệt điện trở R đạt cực đại Hướng dẫn giải: a) Cường độ hiệu dụng I = U U = → I max ⇔ R = Z R + ( Z L − ZC ) Vậy R = Imax giá trị I max = U Z L − ZC b) Ta có UL = I.ZL Do L khơng đổi nên (UL)max Imax ⇒ R = U.ZL Khi đó, ( U L )max = I max ZL = ZL − ZC ( U C ) max ← →R = Tương tự ta có U.ZC ( U C ) max = I max ZC = Z − Z L C U c) Theo ta có P = P0 ⇔ I2 R = P0 ⇔ R = P0 ← → P0 R − U R + P0 ( ZL − ZC ) = R + ( Z L − ZC ) Thay giá trị U, ZL, ZC P0 vào phương trình ta giải R cần tìm d) Cơng suất tỏa nhiệt R: U2 U2 U2 U2 U2 P = I2 R= R = R = ≤ = 2 Z Z L − ZC R + ( Z L − ZC ) ( Z − ZC ) Z L − ZC ) ( R+ L R R R Dấu xảy R = ( Z L − ZC ) R → R = ZL − ZC Pmax = U2 Z L − ZC R = Z L − ZC Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị R Pmax tương ứng U2 P = max Z L − ZC Chú ý: Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiÒu R R = = , R = ZL − ZC 2 Z R +R ♦ Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r ≠ ta cịn có thêm dạng tính cơng st tỏa nhiệt R, cuộn dây tồn mạch TH1: Cơng suất tỏa nhiệt tồn mạch cực đại U2 U2 U2 U2 Ta có P = I2 ( R + r ) = ( R + r ) = R + r = ≤ ) 2 ( Z Z L − ZC Z L − ZC ) ( R + r ) + ( Z L − ZC ) ( (R + r) + (R + r) ♦ Trong trường hợp Pmax hệ số cơng suất mạch cosφ = R + r = Z L − ZC R = Z L − ZC − r Từ ta giá trị R Pmax tương ứng ← → U U2 = = P P max Z − Z max Z − Z L C L C TH2: Công suất tỏa nhiệt R cực đại U2 U2 U2 Ta có PR = I2 R = R = R = 2 Z ( R + 2Rr + r ) ( R + r ) + ( ZL − ZC ) R Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta PR ≤ ( Z − ZC ) + L R U r + ( Z L − ZC ) 2r + R R 2 = = U2 r + ( Z L − ZC ) R + 2r + R U 2r + r + ( Z L − ZC ) 2 R = r + Z − Z ( L C) Từ ta giá trị R (PR)max tương ứng U2 P = ( ) R max 2r + r + ( Z L − ZC ) 4.10−4 Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có u = 150 2cos (100π ) V, L = (H), C = (F), điện trở R thay đổi π 5π Tìm R để a) cơng suất tỏa nhiệt P = 90 W viết biểu thức cường độ dịng điện b) hệ số công suất mạch cosφ = 1/2 c) công suất tỏa nhiệt mạch cực đại Pmax tính giá trị Pmax Hướng dẫn giải: Ta có ZL = 200 Ω, ZC = 125 Ω, U = 150 V R = 225Ω U2 1502 R a) Ta có P = I2 R = 90 ⇔ 90 = R ⇔ = 90 ⇔ 90R − 1502 R + 90.752 = → Z R + 75 R = 25Ω U 150 2 = = A Z 75 10 Z − ZC 75 1 1 Độ lệch pha u va i thỏa mãn tan φ = L = = → φ = arctan = φ u − φi → φi = − arctan R 225 3 3 Biểu thức cường độ dòng điện i = cos 100 πt − arctan A ♦ Với R = 225 Ω → Z = 2252 + 752 = 75 10 Ω → I0 = ♦ Với R = 25 Ω ⇒ Z = 252 + 752 = 25 10 Ω → I0 = Độ lệch pha u va i thỏa mãn tan φ = U 150 = = A Z 25 10 ZL − ZC 75 = = → φ = arctan ( 3) = φ u − φi → φi = − arctan ( 3) R 25 cos (100πt − arctan ( 3) ) A R b) Từ cơng thức tính hệ số cơng suất ta có cosφ = ⇔ R + (Z − Z Biểu thức cường độ dòng điện i = L Mobile: 0985074831 C ) = R2 ⇔ = → R = 25 Ω 2 R + 75 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều R = Z L ZC c) Ta có Pmax U2 P = max ZL − ZC Thay số ta R = 75 Ω Pmax = U2 1502 = = 150 W ZL − ZC 2.75 Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 Ω, L = 0,4/π (H) tụ điện có điện dung C = 10–4/π (F) điện trở R thay đổi Điện áp hai đầu mạch u = 100 2cos (100πt ) V Tìm R để a) hệ số cơng suất mạch 1/2 b) cơng suất tỏa nhiệt tồn mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại c) công suất tỏa nhiệt điện trở R cực đại Tính giá trị cực đại cơng suất Hướng dẫn giải: Ta có ZL = 40Ω, ZC = 100Ω, U = 100V R+r R+r a) Hệ số công suất mạch cosφ = ⇔ = 2 Z (R + r) + (Z − Z ) L Thay số ta R + 50 ( R + 50 ) + 602 = C 2 ⇔ ( R + 50 ) = ( R + 50 ) + 602 Giải phương trình ta nghiệm R cần tìm b) Cơng suất tiêu thụ đoạn mạch đạt giá trị cực đại R + r = ZL − ZC ⇔ R + 50 = 60 → R = 10 Ω Khi đó, cơng suất cực đại mạch Pmax = U2 1002 250 W = = ZL − ZC 2.60 R = r + ( Z − Z )2 L C c) Công suất tỏa nhiệt R cực đại U2 P = ( ) R max 2r + r + ( ZL − ZC ) R = r + ( Z − Z ) = 502 + 602 = 10 61 Ω L C Thay số ta U2 1002 = = P W ( ) R max 100 + 20 61 2r + r + ( ZL − ZC ) Bài tốn tổng qt 2: Cho mạch điện RLC có R thay đổi Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện U Khi R = R1 R = R2 mạch tiêu thụ cơng suất (hay P1 = P2) Chứng minh a) R R = ( Z L − Z C ) π , với φ1, φ2 độ lệch pha u i R = R1, R = R2 U2 c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng P1 = P2 = P = R1 + R b) φ1 + φ = Hướng dẫn giải: a) Theo giả thiết ta có P1 = P2 U2 U2 2 ⇔ I12 R = I22 R ⇔ R = R ⇔ R R 22 + ( ZL − ZC ) = R R 12 + ( ZL − ZC ) 2 R + ( Z L − ZC ) R + ( Z L − ZC ) ⇔ R1R 22 + R ( ZL − ZC ) = R R 12 + R ( ZL − ZC ) ⇔ R 1R ( R − R ) = ( ZL − ZC ) ( R − R ) ⇔ R 1R = ( ZL − ZC ) 2 Z L − ZC tan φ1 = R1 Z − ZC R2 → L = ← → tan φ1 = cot φ b) Ta có , R 1R = ( ZL − ZC ) R1 Z L − ZC tan φ = ZL − ZC R2 Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiỊu Từ ta φ1 + φ = π → dpcm c) Ta có P = P1 = P2 = I12 R1 ⇔ P = U2 R 12 + ( ZL − ZC ) R1 = U2 U2 R = → dpcm R 12 + R 1R R1 + R R R = ( Z − Z )2 L C π Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 R = R2 P1 = P2 thỏa mãn φ1 + φ = U P = R1 + R Ví dụ : (Đề thi Đại học – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng khơng đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện Dung kháng tụ điện 100 Ω Khi điều chỉnh R hai giá trị R1 R2 công suất tiêu thụ đoạn mạch Biết điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện R = R1 hai lần điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện R = R2 Các giá trị R1 R2 A R1 = 50 Ω, R2 = 100 Ω B R1 = 40 Ω, R2 = 250 Ω C R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω D R1 = 25 Ω, R2 = 100 Ω Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có P1 = P2 U2 U2 ⇔ I12 R = I22 R ⇔ R1 = R ⇔ R R 22 + ZC2 = R R 12 + Z2C 2 R + ZC R + ZC R1R 22 + R1 ZC2 = R R12 + R ZC2 ⇔ R1R ( R − R1 ) = ZC2 ( R − R1 ) ⇔ R1R = ZC2 ⇔ R1R = 1002 , (1) Mặt khác, gọi U1C điện áp tụ điện R = R1 U2C điện áp tụ điện R = R2 I Khi theo ta U1C = 2U 2C ⇔ I1ZC = 2I2 ZC ⇒ = I2 I R Lại có P1 = P2 ⇔ I R = I R ⇔ = = , (2) R1 I2 Giải (1) (2) ta R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω Vậy chọn đáp án C Ví dụ 2: Một mạch điện gồm tụ điện C, cuộn cảm L cảm kháng biến trở R mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện điện áp xoay chiều u = 120 2cos (120πt ) V Biết ứng với hai giá trị biến trở R1 = 18 Ω R2 = 32 Ω cơng suất tiêu thụ P đoạn mạch Công suất P đoạn mạch nhận giá trị ? 2 Hướng dẫn giải: U2 1202 Theo chứng minh công thức ta P = = = 288 W R + R 18 + 32 Vậy P = 288 W Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u = 30 2cos(100πt)V, R thay đổi Khi mạch có R = R1 = Ω độ lệch pha u i φ1 Khi mạch có R = R2 = 16 Ω độ lệch pha u i φ2 biết π φ1 + φ = a) Tính cơng suất ứng với giá trị R1 R2 b) Viết biểu thức cường độ dòng điện ứng với R1, R2 10−3 c) Tính L biết C = (F) 2π d) Tính cơng suất cực đại mạch Hng dn gii: Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều R = R1 , R = R U2 302 a) Theo chứng minh công thức trên, → P = P1 = P2 = = = 36 W π R + R + 16 φ1 + φ = R = R1 , R = R 2 b) Ta có → ( ZL − ZC ) = R 1R = 9.16 = 144 ⇒ ZL − ZC = ±12Ω π φ1 + φ = U ♦ Khi R = R1 = Ω ta có tổng trở mạch Z = R 12 + ( ZL − ZC ) = 92 + 144 = 15Ω → I = = A Z Z − ZC ±12 4 4 Độ lệch pha u i thỏa mãn tan φ = L = = ± → φ = arctan ± = φ u − φi → φi = m artan ± R1 3 3 Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện i = 2cos 100πt m artan ± A U = 1,5A Z Z − ZC ±12 3 3 Độ lệch pha u i thỏa mãn tan φ = L = = ± → φ = arctan ± = φ u − φi → φi = m artan ± R2 16 4 4 ♦ Khi R = R1 = 16 Ω ta có tổng trở mạch Z = R 22 + ( ZL − ZC ) = 162 + 144 = 20Ω →I = Từ đó, biểu thức cường độ dịng điện i = 1,5 2cos 100πt m artan ± A L= (H) ZL = 32 Ω 10 25π c) Khi C = (F) ⇒ ZC = 20Ω Mà ZL − ZC = ±12 Ω → ← → 2π L = (H) ZL = 8Ω 25π U 302 d) Công suất cực đại mạch R biến thiên tính Pmax = = = 37,5 W ZL − ZC 2.12 −3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u = U 2cos( ωt )V , R thay đổi Khi mạch có R = R1 = 90 Ω độ lệch pha u i φ1 Khi mạch có R = R2 = 160 Ω độ lệch pha u i φ2 Biết π φ1 + φ2 = a) Tìm L biết C = 10–4/π (F) ω = 100π rad/s 3,2 10 −4 b) Tìm ω biết L = ( H ),C = ( F ) π 2π Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u = U 2cos( 100πt )V , R thay đổi Khi mạch có R = R1 = 90 Ω R = R2 = 160 Ω mạch có cơng suất P a) Tính C biết L = 2/π (H) b) Tính U P = 40 W Bài 3: Cho mạch điện RLC, R thay đổi được, Hiệu điện hai đầu mạch u = 200 2cos( 100πt )V , L = 2/π (H), C = 10–4/π (F) Tìm R để a) hệ số cơng suất mạch b) điện áp hiệu dụng hai đầu điện trở U R = 50 V c) công suất tỏa nhiệt R P = 80 W 10 −4 Bài 4: Cho mạch điện RLC, R thay đổi được, điện áp hai đầu mạch u = 240 2cos( 100πt )V ,C = ( F ) π Khi R = R1 = 90 Ω R = R2 = 160 Ω mạch có cơng suất P a) Tính L, công suất P mạch b) Giả sử chưa biết L, biết Pmax = 240 W với giá trị R3 R4 mạch có cơng suất P = 230,4 W Tính giá trị R3 R4 Mạch RLC có L thay đổi Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiỊu Bài tốn tổng qt: Cho mạch điện xoay chiều RLC L thay đổi Tìm giá trị L để a) cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại b) công suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax c) điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại Hướng dẫn giải: U U a) Ta có I = = → I max ⇔ Zmin ← → Z L − ZC = ⇔ L = 2 Z ωC R + (Z − Z ) L V ậy L = C U Imax giá trị I max = ωC R b) Công suất tỏa nhiệt mạch P = I R Do R không đổi nên Pmax ← → I max →L = U2 R c) Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm U U U L = I.ZL = ZL = ZL = Z R + ( Z L − ZC ) ω2 C Từ Pmax = I 2max R = U R Z L − ZC + Z2L ZL U = R ZC + 1 − Z2L ZL = U ⇒ ( U L )max ← → y y R2 Z Với y = + − C , đặt = x → y = R x + (1 − ZC x ) = ( R + ZC2 ) x − 2ZC x + ZL ZL ZL −2ZC ZC R + ZC2 b Do hệ số a = ( R + ZC2 ) > ⇒ ymin x = − = − ⇔ = → Z = L 2a ZL ( R + ZC2 ) ZC ( R + ZC2 ) Khi y = − ZC2 − ( R + ZC2 ) ∆ ∆' R2 =− =− = → ( U L ) max = 4a a R + ZC2 R + ZC2 U = y U R2 R + ZC2 = U R + ZC2 R Vậy ( U L )max = R + Z C2 U R + Z C2 Z L = R ZC Chú ý: - Khi L = L1 L = L2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) khơng đổi ta có Z C = ZL + ZL 2 - Khi UL cực đại ta có (U L )max = U + U R2 + U C2 - Khi UL cực đại điện áp hai đầu đoạn mạch RC vuông pha với điện áp u hai đầu mạch - Khi L = L1 L = L2 mà UL không đổi, đồng thời L = L0 mà UL đạt cực đại ta có hệ thức liên hệ 1 đại lượng = + L0 L1 L2 10−4 (F) Cuộn dây cảm có độ tự cảm L thay đổi 2π Điện áp hai đầu đoạn mạch u = 200cos(100πt) V Xác định độ tự cảm cuộn dây trường hợp sau ? a) Hệ số công suất mạch cosφ = b) Hệ số công suất mạch cosφ = c) Điện áp hiệu dụng cuộn cảm L cực đại Hướng dẫn giải: Ta có ZC = = 200 Ω ωC → L = (H) a) Từ cosφ = ⇒ mạch có cộng hưởng điện Khi ZL = ZC = 200 Ω π Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 Ω, C = Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng b) Khi cos = Bài giảng Dòng ®iƯn xoay chiỊu R 2 ⇔ = ⇔ 4R = 3Z = R + ( ZL − ZC ) → R = ( ZL − ZC ) Z L = Z L = 300Ω R Thay số ta ZL − ZC = ± = ±100 → ← → L = Z L = 100 Ω ( (H) π (H) π ) 100 + 2002 R + ZC2 35 c) Theo chứng minh trên, UL đạt cực đại ZL = (H) = = 350Ω →L = ZC 200 10π ( ) U 100 100 42 R + ZC2 = 100 + 2002 = V R 100 Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, điện áp hai đầu mạch u = 170 2cos (100πt ) V Biết Giá trị cực đại ( U L )max = 10−4 (F) Tìm L để 2π a) cơng suất tỏa nhiệt R cực đại Tính Pmax b) cơng suất tỏa nhiệt có giá trị P = 80W c) điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại Tính giá trị cực đại Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có R = 80 Ω, ZC = 200 Ω a) Do P = I2 R → Pmax ← → ZL = ZC = 200Ω ⇔ L = (H) π 2 U U 170 Khi Pmax = I max R= 2R= = = 361, 25 W R R 80 R = 80Ω, C = 3,5 L= (H) Z = 350Ω L U 170 80 π b) P = I2 R = 200 ⇔ R = 80 ⇔ = 80 → ← → Z = 50Ω Z 80 + ( ZL − 200 ) L = (H) L 2π 2 2 R + ZC 80 + 200 58 = = 232 Ω →L = c) Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại ZL = (H) ZC 200 25π U 170 Giá trị cực đại UL ( U L )max = R + ZC2 = 802 + 2002 = 85 29 V R 80 Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có L thay đổi Điện áp hai đầu mạch điện u = 200 2cos (100πt ) V Khi 2 3 (H) L = L = (H) mạch có cường độ dịng điện hiệu dụng giá trị π π tức thời lệch pha góc 2π/3 rad a) Tính giá trị R C b) Viết biểu thức cường độ dịng điện chạy mạch Hướng dẫn giải: Ta có ZL1 = 300 Ω, ZL2 = 100 Ω mạch có L = L1 = ( a) Do I1 = I ⇔ Z1 = Z ⇔ R + ZL1 − ZC ) ( = R + ZL2 − ZC Chỉ có trường hợp thỏa mãn, thay số ta ZC = ) ZL1 = ZL2 ZL1 − ZC = ZL2 − ZC → ← → ZL1 + ZL2 Z − Z = Z − Z L1 C C L2 ZC = ZL1 + ZL2 = 200 Ω →C = Gọi φ1 độ lệch pha u i L = L1, φ2 độ lệch pha u i L = L2 Mobile: 0985074831 10−4 (F) 3π Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều ZL1 − ZC 300 − 200 100 = = tan φ1 = R R R Ta có tan φ = ZL2 − ZC = 100 − 200 = − 100 R R R Do ZL1 − ZC = ZC − ZL2 →ϕ1 = − ϕ2 π φ1 = φ1 > Mặt khác ZL1 > ZL2 → ← → φ < φ = − π π 100 = = → R = 100 Ω R 10−4 Vậy giá trị cần tìm R = 100Ω, C = (F) 3π b) Viết biểu thức i: Từ ta tan 200 = A 200 ZL − ZC 100 π π π Độ lệch pha u i : tan φ = = = ⇒ φ = = φ u − φi ⇒ φi = − → i = 2cos 100πt − A R 100 3 3 200 → Z = 200Ω → I0 = = A ♦ Với R = 100 Ω, ZC = 200 Ω, ZL2 = 100 Ω 200 ZL − ZC −100 π π π Ta có tan φ = = = − ⇒ φ = − = φ u − φi ⇒ φi = → i = 2cos 100πt + A R 100 3 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 10 −4 Bài 1: Cho mạch điện RLC có C = ( F ), R = 120Ω Điện áp hai đầu mạch u = 200 2cos( 100πt )V , L 0,9π thay đổi a) Tính L để ULmax Tính giá trị ULmax b) Tính L để U L = 175 V ♦ Với R = 100 Ω, ZC = 200 Ω, ZL1 = 300 Ω → Z = 200Ω → I0 = Bài 2: Cho mạch điện RLC có L thay đổi Điện áp hai đầu mạch u = 100 2cos( 100πt )V Khi L = L1 = ( H ) L = L1 = ( H ) mạch có cơng suất tỏa nhiệt P = 40 W π π a) Tính R C b) Viết biểu thức i ứng với giá trị L1 L2 10 −4 Bài 3: Cho mạch điện RLC có C = ( F ), R = 80 Ω Điện áp hai đầu mạch u = 170 2cos( 100πt )V , L thay 2π đổi Tìm L để a) cơng suất tỏa nhiệt cực đại, tính giá trị Pmax b) cơng suất tỏa nhiệt mạch đạt P = 80 W 10 −4 Bài 4: Cho mạch điện RLC có C = ( F ), R = 200 Ω Điện áp hai đầu mạch u = 200 2cos( 100πt )V , L có 4π thể thay đổi a) Khi L = 2/π (H) tính P viết biểu thức cường độ dòng điện chạy mạch b) Tìm L để Pmax, tính giá trị Pmax c) Tìm L để (UL)max, tính giá trị (UL)max Mạch RLC có C thay đổi Bài tốn tổng qt: Cho mạch điện xoay chiều RLC C thay đổi Tìm giá trị C để a) cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại b) công suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax c) điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều Hướng dẫn giải: U U → I max ⇔ Zmin ← → Z L − ZC = ⇔ C = a) Ta có I = = Z ωL R + ( Z L − ZC ) V ậy C = U Imax giá trị I max = ωL R b) Công suất tỏa nhiệt mạch P = I R Do R không đổi nên Pmax ← → I max →C = U2 R c) Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện U U U C = I.ZC = ZC = ZC = 2 Z R + ( Z L − ZC ) ω2 L Từ Pmax = I 2max R = U R ZL − ZC + ZC2 ZC U = R ZL + − 1 Z L ZC U ⇒ ( U C ) max ← → y y = R ZL + 1 − = x → y = R x + (1 − ZL x ) = ( R + ZL2 ) x − 2ZL x + , đặt ZC ZC ZC b −2ZL ZL R + ZL2 Do hệ số a = ( R + ZL2 ) > ⇒ ymin x = − = − ⇔ = → Z = C 2a ZC ( R + ZL2 ) ZL ( R + ZL2 ) Với y = Khi y Z2L − ( R + Z2L ) ∆ ∆' R2 =− =− =− = → ( U C )max = 4a a R + ZL2 R + ZL2 Vậy ( U C )max = U = y U R R + ZL2 = U R + Z2L R R + Z L2 U R + Z L2 Z C = R ZL Chú ý: - Khi C = C1 C = C2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) khơng đổi ta có Z L = - Khi UC cực đại ta có ( ) U C max =U + U R2 Z C + ZC 2 + U L2 - Khi UC cực đại điện áp hai đầu đoạn mạch RL vuông pha với điện áp u hai đầu mạch - Khi C = C1 C = C2 mà UC không đổi, đồng thời C = C0 mà UC đạt cực đại ta có hệ thức liên hệ C + C2 đại lượng C0 = Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 Ω, L = 1/π (H), C thay đổi Điện áp hai đầu mạch có biểu thức u = 100 2cos (100πt ) V Tìm giá trị điện dung C để a) mạch tiêu thụ công suất P = 50W b) Mạch tiêu thụ cơng suất cực đại Tính Pmax c) UCmax Hướng dẫn giải: Ta có R = 100Ω, ZL = 100Ω a) P = I2 R = 50 ⇔ 100 − ZC = 100 ZC = U2 1002.100 R = 50 ⇔ = 50 ⇔ → 2 Z 100 + (100 − ZC ) 100 − ZC = −100 ZC = 200 Ω Nhận nghiệm ZC = 200 Ω ta C = 10−4 (F) 2π b) Từ P = I2R ta thấy R không đổi nên Pmax ← → I max ⇔ ZL − ZC = ⇔ ZC = ZL = 100Ω →C = U2 U 1002 R = = = 100 W R2 R 100 R + ZL2 1002 + 1002 10−4 c) (UC)max ZC = = = 200 Ω →C = (F) ZL 100 2π Khi đó, Pmax = I 2max R = Mobile: 0985074831 104 (F) Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều U 100 R + ZL2 = 1002 + 1002 = 100 V R 100 Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch u = 200 2cos (100πt ) V Khi Khi đó, ( U C ) max = 10−4 10−4 (F) C = C1 = (F) mạch có cơng suất P = 200 W 4π 2π a) Tính R L b) Tính hệ số cơng suất mạch ứng với giá trị C1, C2 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta tính ZC1 = 400 Ω, ZC2 = 200 Ω C = C1 = a) Theo giải thiết ta có P = P1 = P2 = 200 ⇔ I12 R = I 22 R ⇔ Z12 = Z22 ⇔ ZL − ZC1 = ZC2 − ZL ⇔ ZL = Với ZL = 300 Ω, P1 = 200 W ta ( U2 R + ZL − ZC1 ) ZC1 + ZC2 = 300Ω →L = (H) π 2002 R R = 200 ⇔ = 200 ⇔ R − 200R + 1002 = R + 1002 Giải phương trình ta nghiệm R = 100 Ω Vậy R = 100 Ω, L = (H) π b) Tính hệ số công suất ứng với trường hợp C1 C2 10−4 R 100 ♦ Khi C = C1 = (F) → Z = 1002 + ( 300 − 400 ) = 100 Ω → cosφ = = = 4π Z 100 2 −4 10 R 100 ♦ Khi C = C1 = (F) → Z = 1002 + ( 300 − 200 ) = 100 Ω → cosφ = = = 2π Z 100 2 Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi C thay đổi thấy vai trò L C bình đẳng nên hốn đổi vị trí L R + Z L2 U 2 U = R + Z ← → Z = ( ) C max L C R ZL C ta kết R + ZC2 U 2 U = R + Z ← → Z = ( ) C L L max R ZC Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch u = 200cos(100πt) V Điều chỉnh C 10−4 10−4 đến giá trị (F) (F) i1 i2 lệch pha với u góc π/3 rad π 5π a) Tính R, L b) Viết biểu thức i1 i2 Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ta tính ZC1 = 100Ω, ZC2 = 50 Ω Gọi φ1 φ2 tương ứng độ lệch pha u i ứng với hai trường hợp C ZL − ZC1 Z L − ZC Ta có tan φ1 = ; tan φ = R R Do i1 i2 lệch pha với u góc π/3 nên |φ1| = |φ2| = π/3 trái dấu (do u cố định) π φ1 = − φ1 < Do ZC1 > ZC2 → → φ > φ = π π ZL − ZC1 L= (H) =− ZL = 75Ω tan − = 4π R 3 ZL − 100 = −R Từ ta ← → → → 25 ← Ω π Z L − Z C2 ZL − 50 = R R = R = 25 Ω = 3 tan = R Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều b) Viết biểu thức i1 i2 tương ứng với giá trị C 25 50 100 2 Ω ♦ Khi ZC1 = 100Ω → Z = → I0 = = A + ( 75 − 100 ) = 50 π π π Độ lệch pha u i tương ứng φ1 = − = φ u − φi ⇒ φi = → i1 = 6cos 100πt + A 3 3 25 50 100 2 ♦ Khi ZC2 = 50Ω → Z = Ω → I0 = = A + ( 75 − 50 ) = 50 π π π Độ lệch pha u i tương ứng φ1 = = φ u − φi ⇒ φi = − → i1 = 6cos 100πt − A 3 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp đầu mạch u = 120 2cos( 100πt )V , R = 240 Ω, L = 3,2 ( H ) Tìm giá π trị C để a) I = Imax, P = Pmax Tính Imax, Pmax Tính UL b) (UC)max Tính giá trị (UC)max Bài 2: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch u = U0cos(100πt) V Khi thay đổi C đến giá 10 −4 10 −4 trị C = C1 = ( F ) C = C1 = ( F ) mạch có cơng suất, i1 i2 (ứng với giá trị C) 2π π 1,5 ( H ) lệch pha với góc π/3 Tính R ω biết L = π Bài 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu mạch có biểu thức u = 120 2cos( 100πt )V Khi C = C0 UCmax = 200 V Khi cơng suất tỏa nhiệt tương ứng P = 38,4 W Tính R, L, C0 Mạch RLC có ω (hoặc f) thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC tần số góc ω thay đổi Tìm ω để a) cường độ hiệu dụng dòng điện đạt cực đại Tính giá trị cực đại b) cơng suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại c) điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại Hướng dẫn giải: U U 1 f = 2π LC a) Từ I = = → I max ⇔ ZL − ZC = ⇔ ωL = →ω = ← → Z ωC LC T = 2π LC R + ( Z L − ZC ) U Vậy ω = cường độ hiệu dụng mạch đạt giá trị cực đại giá trị cực đại I max = R LC b) Công suất tỏa nhiệt mạch P = I R, ta thấy R khơng đổi nên Pmax Imax Khi mạch xảy cộng hưởng 1 f = 2π LC điện Ta ZL − ZC = ⇔ ω = ← →ω = → LC LC T = 2π LC U2 Giá trị cực đại cơng suất tỏa nhiệt Pmax = I 2max R = R c) Điện áp hiệu dụng phần tử R, L, C đạt cực đại ♦ UR đạt cực đại U R = IR → ( U R )max ⇔ I max ← →ω = LC Khi ( U R )max = I max R = U ♦ UL t cc i Mobile: 0985074831 Đặng Việt Hùng U L = IZL = U ZL = Z Bài giảng Dòng ®iƯn xoay chiỊu U.ωL R + ωL − ωC U = R + 1 − ω2 L2 ω2 LC 2 U y = R2 R2 R2 x + − , đặt = x → y = x + − = x + − x +1 2 2 2 ω L ω LC ω L LC LC LC L R2 − b 2LC − R C 2LC − R C 2 Do a = 2 > → y ⇔ x = − = LC L = ← → = ⇔ω= ω 2LC − R C LC 2a 2 LC Vậy UL đạt cực đại ω = 2LC − R 2C2 ♦ UC đạt cực đại U U U U U C = IZC = ZC = = = 2 Z y R ω C + ( ω LC − 1) ωC R + ωL − ωC Với y = Với y = R ω2 C + ( ω2 LC − 1) , đặt ω2 = x → y = R C2 x + ( LCx − 1) = L2 C2 x + ( R C − 2LC ) x + 2 Do a = L2 C > → y ⇔ x = − Vậy UC đạt cực đại ω = b 2LC − R C2 2L − R C 2L − R C 2L − R C ω ω = = → = ← → = 2a 2L2 C 2L2 C 2L2 C 2L2 C 2L − R 2C 2L2C Nhận xét: Do việc tính tốn để tìm giá trị (UL)max hay (UC)max tương đối phức tạp nên toán dạng dừng lại việc tìm giá trị ω (hay f ) điện áp hiệu dụng phần tử đạt cực đại Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm điện trở R = 100 Ω, cuộn dây cảm có độ tự cảm 10−4 L = (H) , tụ điện có điện dung C = (F) mắc nối tiếp Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có π 2π điện áp tức thời u MN = 120 2cos ( 2πft ) V có tần số f nguồn điện điều chỉnh thay đổi a) Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng dịng điện tính cơng suất tỏa nhiệt P1 đoạn mạch điện MN Viết biểu thức cường độ dịng điện tức thời chạy đoạn mạch b) Điều chỉnh tần số nguồn điện đến giá trị f2 cho công suất tiêu thụ đoạn mạch điện MN lúc P2 = 2P1 Hãy xác định tần số f2 nguồn điện Tính hệ số công suất Hướng dẫn giải: Z L = 100Ω a) Khi f = f1 = 50 Hz → ω = 100π → → Z = 1002 + 1002 = 100 Ω Z = 200Ω C U 120 1, = (A) Cường độ hiệu dụng dòng điện mạch I = = Z 100 2 1,2 Công suất tiêu thu đoạn mạch điện P1 = I R = 100 = 72 W 2 Z − ZC −100 π π Độ lêch pha u i thỏa mãn: tan φ = L = = −1 → φ = − = φ u − φi → φi = R 100 4 π Biểu thức cường độ dòng điện mạch i = 1, 2cos 100πt + A 4 b) Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144W Ta có P2 = I 22 R = 144 ⇔ U2 R R + ω2 L − ω2 C Mobile: 0985074831 = 144 ⇔ = 144 → ω2 L − =0 ω C 1002 + ω2 L C 1202.100 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều Khi ú mch xy cộng hưởng điện, thay số ta f = Hệ số cơng suất cos φ = = 2π LC 1 10−4 2π π 2π = 50 Hz R = Z 10−4 (H), C = (F) Đoạn mạch mắc vào π 2π điện áp xoay chiều có tần số f thay đổi Khi điện áp hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại tần số f có giá trị ? Hướng dẫn giải: U U U U Ta có U C = IZC = ZC = = = 2 Z y R ω2 C + ( ω2 LC − 1) ωC R + ωL − ωC Ví dụ 2: Một đoạn mạch điện xoay chiều RLC có R = 100Ω, L = Với y = R ω2 C + ( ω2 LC − 1) , đặt ω2 = x → y = R C2 x + ( LCx − 1) = L2 C2 x + ( R C − 2LC ) x + Do hệ số a = L2 C > → y ⇔ x = − b 2LC − R C 2L − R C 2L − R C 2L − R C = = →ω = ⇔ ω = 2a 2L2 C 2L2 C 2L2 C 2L2 C 10−4 − 1002 ω 50 2π = 1002 π ≈ 100π Thay số ta ω = π →f = = ≈ 61 Hz −4 2 2π 10 2 π 2π Vậy UC đạt cực đại tần số dao động f ≈ 61 Hz Chú ý: - Khi ω = ω1 ω = ω2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi đồng thời ω = ω0 mà công suất P cực đại (hoặc I cực đại, mạch có cộng hưởng điện) ta có hệ thức liên hệ đại lượng ω02 = ω1 ω2 ← → f02 = f1 f II ĐỘ LỆCH PHA Mạch RLC có uRL vng pha với uRC Ta có giản đồ véc tơ hình vẽ Từ giản đồ ta thu số kết quan trọng sau: π ♦ Xét độ lớn φ1 + φ = → tan φ1 = cot φ 2 U U Từ đó, L = R ⇔ U 2R = U L U C ⇔ R = ZL ZC UR UC ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURLURC ta U 2RL + U RC = ( UL + UC ) ♦ Cũng tam giác vng OURLURC, từ cơng thức tính đường cao 1 1 1 ta = + ← → = + U R U RL U RC U R U R + U 2L U 2R + U C2 Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở r, urL vng pha với uRC ta có U R U r = U L U C ⇔ Rr = ZL ZC Mạch RLC có uRL vng pha với u Mobile: 0985074831 §Ỉng ViƯt Hïng Ta có giản đồ véc tơ hình vẽ Từ giản đồ ta thu số kết quan trọng sau: π → tan φ1 = cot φ ♦ Xét độ lớn φ1 + φ = U UR → L = ⇔ U 2R = U L ( U C − U L ) ⇔ R = ZL ( ZC − ZL ) UR UC − UL ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURLU ta U 2RL + U = U C2 ← → U C2 = U + U R2 + U L2 ♦ Cũng tam giác vuông OURLU, từ cơng thức tính đường cao 1 1 1 ta = + ← → = + 2 U R U RL U UR UR + UL U Mạch RLC có uRC vng pha với u Ta có giản đồ véc tơ hình vẽ Từ giản đồ ta thu số kết quan trọng sau: π ♦ Xét độ lớn φ1 + φ = → tan φ1 = cot φ 2 U − UC UR → L = ⇔ U 2R = U C ( U L − U C ) ⇔ R = ZC ( ZL − ZC ) UR UC ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURCU ta U 2RC + U = U C2 ← → U L2 = U + U R2 + U C2 ♦ Cũng tam giác vuông OURCU, từ cơng thức tính đường cao 1 1 1 ta = + ← → = + 2 U R U RC U UR UR + UC U Mobile: 0985074831 Bài giảng Dòng điện xoay chiều ... giá trị R3 R4 mạch có cơng suất P = 230 ,4 W Tính giá trị R3 R4 Mch RLC cú L thay i Mobile: 0985074 831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiều Bi toỏn tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC... độ dòng điện ứng với R1, R2 10? ?3 c) Tính L biết C = (F) 2π d) Tính cơng suất cực đại mạch Hướng dẫn giải: Mobile: 0985074 831 Đặng Việt Hùng Bài giảng Dòng điện xoay chiÒu R = R1 , R = R U2 30 2... có cộng hưởng điện Khi ZL = ZC = 200 Ω π Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 , C = Mobile: 0985074 831 Đặng Việt Hùng b) Khi cos = Bài giảng Dòng điện xoay chiều R 2 ⇔ = ⇔ 4R = 3Z = R + (
