Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức đề thi Đại Học Trần Hoàng Anh, ngày 19-02-2014 Nick diễn đàn VMF : Toc Ngan Bài viết tham dự Cuộc thi Viết kỉ niệm 10 năm Diễn đàn toán học (2004-2014) Lời mở đầu xin gửi lời chào, lời chúc đến thành viên BQT diễn đàn, Mod, thành viên mạnh khỏe, thành công sống mong diễn đàn ta ngày lớn mạnh, viết có tinh thần giao lưu, đóng góp cho phòng trào diễn đàn Một phần trình ôn thi ĐH, thời gian gấp rút khả thân có hạn nên viết có điều hạn chế hay sai sót mong người góp ý cho Như mục đích nói trên, viết chia sẻ số kinh nghiệm làm câu đề thi ĐH, chưa thật đầy đủ khái quát phần ý tưởng đề cách giải Trong viết sử dụng phần lớn ví dụ có diễn đàn đề thi thử trường chuyên trang web http://nguoithay.vn số ví dụ www.moon.vn mà thấy phù hợp với tiêu chí viết Bài viết chia phần nhỏ sau : Phần 1: Khái quát câu bất đẳng thức đề thi năm 2013 Phần 2: Các toán biết đối xứng không đối xứng Phần 3: Các toán biến đối xứng biến, biến dồn biến sử dụng đạo hàm – toán tổng hợp, UCT Bây xin bắt đầu với số ví dụ sau : VD1: Cho a, b, c  1,3 , a  b2  c2  14 Tìm GTLN b c P  (1  )(2  ) a a VD2: Cho a, b  a  18b2  a2  16b3 Tìm GTNN P  a  b  ab VD3: Cho a, b, c  a4  b4  c4  Chứng minh : (ab)5  (bc)5  (ca)5  VD4: Cho a, b, c  a2  b2  c2  Tìm GTLN P  1    ab  bc  ac Hai ví dụ lấy từ đề thi thử trang web www.onluyentoan.vn hai sau bất đẳng thức quen thuộc Chúng ta bàn độ khó mà cần quan tâm hứng thú người bắt tay vào giải chúng Và phần lớn người ta thấy hứng thú làm VD3 VD4 hai đầu, đơn giản toán phát biểu đơn giản, biến đối xứng nhau, VD2 chí ta không tìm đẳng thức xảy ??? Phần I : Chúng ta điểm lại câu đề thi 2013, trước hết đề khối A VD5: Cho a, b, c  0, (a  c)(b  c)  4c Tìm GTNN P  32a3 32b3 a  b2   c (b  3c)3 (a  3c)3 Bài làm : Nhìn qua biểu thức giả thiết thấy biểu thức đỗi xứng a, b nên có hướng đi, dồn theo c sử dụng bất đẳng thức cổ điển, dự đoán đẳng thức a  b  c Thấy biểu thức giả thiết đồng bậc nên ta chia tử mẫu cho c , đặt a b  x,  y ta biểu thức biến đối xứng , toán đơn giản c c nhiều Ta bắt tay vào làm a c b c Từ giả thiết  (  1)(  1)   x  y  xy  Và P  32 x3 32 y   x2  y 3 ( y  3) ( x  3) Áp dụng u  v3  (u  v)3 x y  P  8(  )  x2  y y3 x3 S  x  y  Q  xy Nhận thấy x, y nên ta đặt  S Q 3      P  ( S  1)  S  2S  Bây ta cần tìm miền giá trị S khảo sát hàm số cho Từ giả thiết, áp dụng AM-GM ta có  x  y  xy  x  y  ( x  y)2  S  x y  Khảo sát f (S )  2, ) ta có f (S )  f (2)    P   Đẳng thức xảy a  b  c  Cùng ý tưởng ta có nhiều toán tương tự sau : VD6: Người đưa đề : Trauvang97 Cho a, b, c  a2  b2  6c2  4c(a  b) Tìm GTNN P  a3 b3 a  b2   c b(a  c)2 a(b  c)3 Bài làm: Ý tưởng khác, Pmin   a  b  c  VD7: Đề www.moon.vn Cho a, b, c  1, 2 ( a  b) Tìm GTNN P  c  4(ab  bc  ca) Bài làm  c2 a, b đối xứng mẫu số có đại lượng c , a  b  1 Trước hết ta dự đoán Pmin    chia tử mẫu cho c , đặt P a b  x,  y c c ( x  y)2 1  , x, y   ,   4( x  y  xy ) 2  Do ta cần chứng minh 6( x  y)2   4( xy  x  y) Vì đẳng thức xảy x  y  nên ta nhóm dễ dàng sau 2( x  y)2   4( x  y)  2( x  y)2   4( x  y)  Do cần chứng minh 6( x  y)2  8xy  2( x  y)2  , x, y  VD8: Đề B-2013 Cho a, b, c  Tìm GTLN P  a  b2  c  Bài làm : Sử dụng AM-GM ta có P  Đến khảo sát f (t ), t   (a  b) (a  2c)(b  2c) (a  b  c) 4  2(a  b  c) (a  b  c) ta có đpcm Những toán kiểu ta xét phần sau VD9: Đề D-2013 Cho x, y  thỏa mãn xy  y  Tìm GTLN P  x y x  xy  y 2  x  2y 6( x  y ) Bài làm Nhận thấy P biểu thức đồng bậc nhìn P ta khó dung bất đẳng thức để đánh giá được, khó dự đoán đẳng thức xảy Chia tử mẫu cho y , đặt t  x t 1 t 2 P  y t  t  6(t  1) Bây sử dụng giả thiết tìm miền giá trị t khảo sát hàm số Áp dụng AM-GM ta có xy  y   x 1 1     t  (0,  y y y 4 Đẳng thức xảy y  Đến toán dần giải quyết, công việc khảo sát hàm số f (t ) 1 (0,  4 Một số ví dụ tương tự sau : VD10: Cho x, y  y (11x2  1)  8x4  y  Tìm GTNN P  x2 y ( x  y )( x  y  y ) Bài làm Ý tưởng đồng bậc, sử dụng giả thiết để tìm miền giá trị t  Từ giả thiết ta có y (11x  1)  8x  y   8t  22t   x y 1     t2  y y  1 5 a ,   4 2 t  t2  a   Xét P  f (t )  , đặt a (t  1)( 4t   1)  f (t )  f (a)   (a  1)( 4a   1) Khảo sát ta có f (t )  f (a)  1  x  Đẳng thức xảy   y  VD11: Nguồn : http://nguoithay.vn Cho a, b  a2  3b2   b(3a  2) a  2b Tìm GTNN P  a  3b2  2a  ab  8b 2ab  b2 VD12: Nguồn VMF Cho a, b  a  ab  Tìm GTLN P  3ab a  b2 Như thấy thi ĐH năm vừa xử lí theo phương pháp chung, đánh giá đưa biến, tìm miền giá trị khảo sát hàm số tìm cực trị, xu hướng đề thi thử trường, đề thi thật năm, việc dung bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarzt để đánh giá biến, cần sử dụng công cụ hữu hiệu chương trình THPT, đạo hàm, đường lời giải ví dụ viết Phần II : Các toán biến đối xứng không đối xứng Ở toán biến đối xứng, ta có phương pháp dùng nhiều đưa dạng S  x  y , tính đối xứng nên ta luôn đưa biểu thức dạng biểu diễn   P  xy Đến với đề khối D-2012 VD12: Cho x, y  ( x  4)2  ( y  4)2  xy  32 Tìm GTNN A  x3  y3  3( xy  1)( x  y  1) Bài làm Từ giả thiết  ( x  y)2  8( x  y)   x  y  Nhận thấy A đạt GTNN tâm x  y  , ta viết lại sau A  ( x  y)3  3( x  y)  3xy  Áp dụng AM-GM ta có 3xy  3( x  y)2 3( x  y)2  A  ( x  y)3  3( x  y)  3 4 Đến chuyện rõ, đặt t  x  y  t  (0,8  A  f (t )  t  3t  3t 3 Đẳng thức xảy x  y  VD13: Chuyên Lê Quý Đôn lần 2-2013 Cho x, y  thỏa mãn 3xy  x  y  Tìm GTLN A  3x 3y 1    y ( x  1) x( y  1) x y Bài làm Ta dự đoán đẳng thức xảy x  y  Khi gặp toán này, đọc xong giả thiết ta suy điều kiện S , P Ta có 3xy  x  y   xy   xy  1, hiển nhiên x  y  Bây ta đưa biểu thức dạng hàm số chứa biến P ( S ), sử dụng giả thiết, quy đồng ta A  5P   f ( P) 4P2 Từ ta có A  f ( P)  Đẳng thức xảy x  y  VD14: Cho x, y  thỏa mãn Tìm GTNN A   x4  y  xy 1  xy    x  y  x2  y Bài làm Đối xứng biến, từ giả thiết ta có  x  y   x y   xy  P  xy Dự đoán Pmin   x  y  Đến ta quy đồng , đưa dạng tổng tích, từ giả thiết ta có x4  y   6  ( x  y )4  x y  xy ( x2  y )   xy xy Đã đưa dạng tổng tích S theo P hay ngược lại ta biểu thức cồng kềnh, ta phải sử dụng bất đẳng thức phụ để làm đơn giản biểu thức cho Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau 1 với UV    2  UV 1U 1V Hoặc 1 với UV    2  UV 1U 1V Khi ta có trường hợp sau : TH1: P  xy   ,1 , x.2 y  1 4  Áp dụng bất đẳng thức  Và 1 2     x  y  xy 3  xy   ( x  y)2  4(1  xy)   P    2 3 5 x  y TH2: P  xy  (0, )  1  1 P 1  2x  y Kết hợp lại ta Pmin   x  y  Trở lại với bất đẳng thức phụ trên, phát biểu đơn giản hay quan trọng đối xứng biến, chí biến có dạng phân thức Ta có số ví dụ áp dụng sau : VD15: Cho a, b, c  1,9 , a  b, a  c Tìm GTNN P  a b c   a  2b b  c c  a VD16: ĐH Vinh lần 2-2013 Cho x, y  thỏa mãn 3xy   x  y  Tìm GTLN P  x y  16 x  y2  2 VD17: Cho x, y  thỏa mãn x  y  Tìm GTNN P  xy  xy  xy 2   2  x  y  xy Xét đến dạng toán khác sau : VD18: Người đăng: Ispectorgadet Cho x, y  x  y  x   y   x y Tìm GTNN GTLN P  ( x  y)  ( y  x)  2(1  xy xy ) x y Bài làm Viết P  ( x  y)  x y Bây cần tìm miền giá trị t  x  y khảo sát f (t )  t2  t Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có x  y   x   y   (22  12 )( x   y  1)   t  x  y    Pmin   ( x, y )  (2, 1) Khảo sát hàm số ta   Pmax  18   ( x, y )  (6, 0)  VD19: Cho a, b  a  b   2a   b  Tìm GTLN GTNN P  (a  b)2   a  b  ab Bài làm Ta cần tìm miền giá trị t  a  b Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có a  b   2a   b   a   b   3(a  b  1)   t  a  b  Khảo sát hàm số VD20: Onluyentoan lần 1-2012 Cho x, y  0, x2  y  Chứng minh P  x3 y2  4 y2 x  y Bài làm Cách 1: Theo minhtuyb Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có P  x  ( x  y)  ( x2  y)2 y x2  y2  3y   y  2( y  )  y y y Lại có x  ( x  y)  2( x  y)  2( x  y )  Vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy x  y  Cách 2: Bất đẳng thức tương đương x3 ( x  y)  y  y ( x  y) Ta tạo bất đẳng thức dạng đồng bậc, hay viết lại thành x3 ( x  y)  y  y ( x  y) 2( x  y ) Đặt t  x  (t  1)2 (t  6t  14t  12t  43t  66t  49)  y Vậy ta có đpcm Rõ ràng cách số không hay tự nhiên cách số  Ta có số ví dụ áp dụng sau: VD21:ĐH Vinh lần 4-2013 Cho a, b  0, a2  2b  12 Tìm GTNN P  4   a b 8(a  b)4 VD22: Cho a, b  0, a  2b  ab a2 b2 Tìm GTNN P   8b  a  VD23: Người đăng quanghao98 Cho x, y  , x  y  x   2 y  Tìm GTLN GTNN P  x  y  16 Kết thúc phần 2, ta đến với phần 3, phần quan trọng nhất, trước hết xét số ví dụ sau VD24: Cho a, b, c  0, a  b2  c2  Tìm GTLN P  (1  2a)(1  bc) VD25: Cho a, b, c  1, 4 , a  b  2c  Tìm GTLN P  a3  b3  5c3 Bài làm: Nhìn ví dụ trên, ta rút nhận xét: có biến có vai trò ( dự đoán cực trị đạt biến ) giả thiết biểu thức, tiêu chí phương pháp đạo hàm, ta tìm cách đưa biểu thức dạng hàm số biến lại tiến hành khảo sát Với ví dụ 24, cần áp dụng AM-GM ta có b2  c  a2 P  (1  2a)(1  bc)  (1  2a)(1  )  (1  a)(1  )  f ( a) 4 Khảo sát với a  (0,1) ta có f '(a)  6a  2a  37  0a Lập bảng biến thiên ta P  f (a)  f ( 37  )   37   a  bc Đẳng thức xảy  a  b  c    Ở ví dụ 25, dự đoán Pmax  137  (a, b, c)  (1,1,3) , ta đưa dạng P  f (c) Trong toán biến có biến nhau, công việc dồn biến lại, việc sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá việc quan trọng, giúp ta dồn biến nhanh hiệu Chúng ta đến với ví dụ tiếp sau VD27: Người đăng : Trannhuphuc Cho x, y, z  0,  x2   y   z  Tìm GTLN P  x3  y3  z Bài làm Ta dung bất đẳng thức phụ sau  a   b    a  b Đẳng thức xảy ab  Khi  y   z    y  z , đẳng thức xảy yz     x2   y   z    y  z   x2    x2  y  z  x2  2( y  z )  Ở ta sử dụng điều kiện yz  nên y3  z  ( y  z)3 Xét P  x3  y3  z  x3  ( y  z )3  x3  (  x2 )  f ( x) Khảo sát hàm số với x  0, 2   f ( x)  f (0)  64  P  64 Đẳng thức xảy ( x, y, z)  (0, 4,0)  (0,0, 4) Rõ ràng ví dụ 27 khó ví dụ đầu phải sử dụng bất đẳng thức phụ hay dự đoán đẳng thức xảy ? VD28: Chuyên Vĩnh Phúc lần 1-2013 Cho x, y, z  , x2  y  z  Tìm GTLN P  3x2  y  y  5z  3x2  z Bài làm Cách 1: Trước hết ta tìm cách đưa dạng P  f ( x) Áp dụng AM-GM ta có P3 x  12 2( y  z ) x  12( y  z ) x  12  x 3 3  10 3 Cách 2: Viết P  f (t ) với t  y  z Áp dụng AM-GM ta có x  7( y  z )  5( y  z )  14( y  z )  18  6( y  z )  P  5( y  z )  Lại có y  z  ( y  z )2 nên viết theo t ta có P  f (t )  5t  6t  14t  36,0  t  y  z  2( y  z )  2( x  y  z )   f '(t )  t   6t 6t  14t  36 0t 2 Lập bảng biến thiên  f (t )  f (2)  10  P  10 Đẳng thức xảy ( x, y, z)  (1,1,1)  (1,1,1) VD29: Nguồn VMF Cho a, b, c  0, a3  b3  c(c  1) a  b2  c2 Tìm GTNN GTLN P  (a  b  c) Một số toán đối xứng biến sử dụng đạo hàm VD30: Đề Toán học tuổi trẻ Cho a, b, c   ,3 3  Tìm GTNN GTLN P  a b c   ab bc ca Bài làm Trước hết dự đoán Pmin   (a, b, c)  ( ,1,3) hoán vị Viết P  b 1 a Thì 1 b a   1  c 1 b a 1 c  c b c a 1 , có đại lượng P 1 a c 1 b c nên   c  a  2 a b 1U 1V  1 c a , P  f (t ), t  c a Ta bắt đầu làm, vai trò a, b, c nên ta giả sử c  max P  1 t 1 t2  t2  ,t  1 t t 1 Khảo sát ta P  f (t )  f (3)  c  1,3 a  1  a, b, c   ,3     c   (a, b, c)  ( ,1,3) hoán vị Đẳng thức xảy  t  a   b c   a b  Công việc tìm GTLN hoàn toàn tương tự giả sử c   1 b a  1 c b  1 c a b c a b ,   c 1 a VD31: Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a(b  c)4  b(c  a)4  c(a  b)4  12 Bài làm Những toán kiểu thường có đẳng thức biến Ta làm sau: Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a  b  c   P  a(b  c)4  ba  ca  a(b  c)4  a (b  c) Đặt t  b  c  a  t  P  at  a4t  at (a3  b3 )  at (1  3at ) Đặt x  at  (a  t )2  1  x  0,  , P  f ( x )  x (1  3x )  4 Ta có P  f ( x)  f ( )  12 Đẳng thức xảy (a, b, c)  ( 3 3 , , 0) 6 VD32: Chuyên Vĩnh Phúc lần Cho a, b, c  0, a  b  c  Tìm GTLN P  (a2  ab  b2 )(b2  bc  c2 )(c2  ca  a2 ) Bài làm Do điều kiện toán nên ta dự đoán Pmax  12  (a, b, c)  (2,1,0) Giả sử a  b  c  , suy P  (a  ab  b2 )a b2  (a  b)2  3ab  a b2  (a  b  c)2  3ab  (ab)2  (9  3ab)(ab)2 Đặt t  ab  ( a  b) ( a  b  c )  9    t  0,  4  4 Khảo sát hàm số  f (t )  f (2)  12  P  12 Vậy ta có đpcm VD33: Đề Toán học tuổi trẻ Cho a, b, c  0, a  b2  c2  Tìm GTNN P  16 a b  b c  c a 1 2 2 2  ab  bc  ca  abc Gợi ý: Chứng minh a  b  c  a2b2  b2 c2  c2 a2 Một số tập khác VD34: Cho a, b, c   2, 4 Tìm GTLN P  a b2  b2 c  c a  abc(a  b  c) VD35: Đề Toán học tuổi trẻ Cho a, b, c  , a  b  c  Chứng minh  3  (a  b)(b  c)(c  a)  18 18 Một số tập tổng hợp VD36: Đề Toán học tuổi trẻ + Chuyên ĐH Vinh Cho x, y, z  0, x2  y  z  y Tìm GTNN P    2 (1  x) ( y  2) ( z  3)2 Bài làm Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ sau Khi P 1   a b ( a  b) 1     2 y y (1  x) ( y  2) (1  x) (  1) ( x   2) 2 8 64   y y ( z  3) ( x   2)2 ( x   z  5) 2 y   1 x  1  x  z  y y  Bây ta cần tìm x   z  A mà đảm bảo  x    z     y2  22 x  y  z  3y   Xét A  x  y  z  x2   y  z   y  y   y  ( y  2)2   P x  z  64  , đẳng thức xảy  (3  5)  y2 Ta tham khảo cách dồn biến y hay sau Cách 2: Theo WhjteShadow Áp dụng AM-GM Cacuchy-Schwarzt ta có 27   2 (1  x) ( z  3) ( x  z  4) ( x  z )2 Từ giả thiết y  x  y  z  y  2  3y   y2   2 ( x  z )2 ( x  z  4)2   y2  9    P  f ( y)   2 2 (1  x) ( z  3) 2(3 y   y ) ( y  2) 2(3 y   y ) Xét f '( y)  ( y  2)(2 y  181y  400 y  236)  ( y  4)( y  1)( y  2)  P  f ( y)  f (2)  Cách 3: Theo nguyenthehoan Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có (1  x)2  2(1  x2 ),( z  3)2  4( z  3)  1        2 (1  x) ( z  3) x  z  x  z  z  2( x  z )  P  ( y  2) 2(3 y  y )  Ta có P   ( y  2)2 (2 y  10 y  9)  Vậy cách làm cho ta đáp số !!! VD37: http://nguoithay.vn Cho a, b, c  Tìm GTNN P  a  ab  bc  abc Bài làm Nhìn biểu thức ta dự đoán P  (t ), t  a  b  c Do ta phải viết a  ab  bc  x(a  b  c) , hạng tử đồng bậc Áp dụng AM-GM ta có ab  3a.3b  3a  3b bc  b.4c  b  4c Cộng bất đẳng thức lại ta có đpcm P 1  (  1)2   1 4(a  b  c) abc abc   3a  3b  1 Đẳng thức xảy  b  4c  (a, b, c)  ( , , ) 9 36  t  a  b  c   VD38: http://nguoithay.vn Cho x, y, z  0, x  y   z x3 y3 z3 14    Tìm GTNN P  x  yz y  xz z  xy ( z  1) ( x  1)( y  1) Bài làm Dễ thấy vai trò x, y nên ta viết P  ( z ) ( x  y  2)2 ( z  1)2 Từ giả thiết, để ý x  y   z  ( x  1)( y  1)  z  xy   4 P x3 y3 z3 14    z 1 x  yz y  zx ( z  1) ( z  1) P x3 y3 4z3 28    x  yz y  zx ( z  1) ( z  1)2 Bây cần đánh giá x3 y3  theo z x  yz y  zx Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có x3 y3 x4 y4 ( x  y )2 x2  y      x  yz y  zx x  xyz y  xzy x  y  xyz 1 z Mà x  y ( x  y )2 ( z  1) ( z  1)2 4z3 28 z  z  z  57   nên P      f ( z) 2(1  z ) ( z  1)2 ( z  1) 1 z 2(1  z ) 2(1  z ) 2( z  1) 51z (3z  5)(3z   37 z  23) Đặt g ( z )  f ( z )  g '( z )  ( z  1)4 53 53  f ( z)  f ( )  P 8 1 3 Đẳng thức xảy ( x, y, z )  ( , , ) VD39: Chuyên Lê Hồng Phong Cho x, y, z  0, x2  y  z  2( x  y  z )  2xy Tìm GTNN P  x  y  z  40 y  z 1  40 z3 Bài làm: Ta hi vọng y  z   x   y  z  x  y  z  1, x  số phương để P nhận giá trị hữu tỉ Sử dụng 40 y  z 1 1 ab   , a b2 ta có a b ab  40 x3  160 y  z 1  x  160  y  z 1 x   80 x yz4 Đến ta có ý tưởng đưa biến t  x  y  z Chú ý giả thiết 2( x  y  z )  ( x  y)2  z  ( x  y  z )2  x yz 4 x   y  z  x 1  x  y  z  y  z  Khi dự đoán dấu  Giải x2  y  z sau x2  y  z  x2   y   z   2( x  y  z)   P  2( x  y  z )   80 x yz4  2( x  y  z  4)  10  80 x yz4 Đặt t  x  y  z   t  (2, 2  Khảo sát hàm số  f (t )  f (2 2)  46 Đẳng thức xảy x  y  1, z  VD40: Đề Toán học tuổi trẻ Cho x, y, z  , x2  y  z  Tìm GTNN P  ( xy  yz  xz )2  ( x  y  z )  xy  yz  2 Bài làm Viết lại P  ( xy  yz  xz )2   xy  yz  xz Đặt xy  yz  xz  t  P  f (t)  t  t 3 Ta cần tìm miền giá trị t Do ( x  y  z)2  ( x  z)2  y   2( x2  y  z )  2( xy  yz  2xz)   t  1 Và (2  3) x  (2  3) z  y2 2  xy 2 y2 2  yz 2 (  1) x2  (  1) z  xz.(  1) Cộng bất đẳng thức lại ta t  42 Khảo sát hàm số ta P  f (t )  f (1)  3 x  y  z  y  x  z  1  ( x, y, z )  ( , 0, ) 2 x  y  z 1 2  Đẳng thức xảy  Nhận xét: Việc tìm max t không cần thiết, đầy đủ chắn ta nên tìm chặn chặn biến VD41: Đề www.moon.vn Cho a, b, c  0, a  b  c  Tìm GTNN P  1    9b  36c 2(2a  1) Bài làm Ý tưởng đưa biến a theo bất đẳng thức sau 1 (2  1)       9b  36c 12  36b  36c 12  36b   36c  4a Đẳng thức xảy Khi P    b  2c 12  36b  36c 1   f (a )  4a 2(2a  1) 2 Xét f '(a)   a   f (a)  f ( )   P  1 Đẳng thức xảy (a, b, c)  ( , , ) VD42: Đề chuyên Lào Cai Cho x, y, z  thỏa mãn x  y   z x3 y Tìm GTLN P  ( x  yz )( y  xz )( z  xy )2 Bài làm Bất đẳng thức đối xứng x, y nên Pmax  ( x  yz)( y  xz)( z  xy)2  kx3 y3 Sử dụng giả thiết ta có P  x3 y ( x  y )2 ( x  1)3 ( y  1)3 x3 y x2 y Sử dụng AM-GM ta có P   xy.( x  1)3 ( y  1)3 4( x  1)3 ( y  1)3 x x Ta có x      3 x2 27 x  ( x  1)3  4 Tương tự ta có ( y  1)3  Pmin  27 y 4  ( x, y, z )  (2, 2,5) 729 VD43: http://nguoithay.vn Cho x, y, z  0, x  y   z x3 y Tìm GTLN P  (2 x  yz )(2 y  xz )(2 z  xy) VD44: http://nguoithay.vn Cho a, b, c  thỏa mãn 3b2 c2  a2  2(a  bc) Tìm GTNN P  2a  2a  4   bc ( a  b) (a  c) Bài làm Ta viết P  f (a) Từ giả thiết ta có a2  2a  2bc  3b2 c2  1  bc  Bây sử lí đại lượng Nếu b  c  1 theo bc, a  ( a  b) ( a  c) 1 1      , ta hi vọng 2 2 ( a  b) (a  c) ( a  b) (a  c) (a  bc ) (a  bc )2 bất đẳng thức đúng, tiếc lại bất đẳng thức sai Viết 1  2 ( a  b) a 1 1  b c (a  c) a (1  )2 (1  ) a a   1  1        b c 2 ( a  b) ( a  c ) a  (1  ) (1  ) a a   Sử dụng bất đẳng thức phụ  1   , x, y  2  xy (1  x) (1  y)   1  1  1    2    2 b c bc a  bc ( a  b) (a  c) a  a (1  ) (1  )  1 a a  a  Vậy P  2a  a  4 , bc    2a  2a   bc a  bc a 1 Đến ta khảo sát hàm số làm sau : để viết ta gián tiếp sử dụng điều kiện a  bc  , nên cách làm f (a)  f (1)  (a  1)2 (a  a  1) Ta chứng minh 2a  2a     0 a 1 a2  Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  VD45: http://nguoithay.vn Cho a, b, c  thỏa mãn a2  b2  (a  c)2  (b  c)2  Tìm GTLN P  a(b  c)2 b(a  c)2   ac bc c Bài làm: Ý tưởng dồn khảo sát P  f (c) Áp dụng bất đẳng thức sau ( x  y)2 x y   uv u v  (b  c)2 b2 a(b  c)2  c  b2  ac ac a ac Tương tự ta có a(b  c)2  b2  ac ac  P  a  b  c (a  b)  1   c   f (c) , giả thiết c c Đến khảo sát áp dụng AM-GM ta có c2  1 1  c2    33  P   c 2c 2c 4 Đẳng thức xảy ……………… VD46: Cho a, b, c  0, a  b  c  Tìm GTNN P  1   (c  1)(a  b  3) (a  b)(b  c) (c  a)(a  b) Bài làm Bài đơn giản sau: Sử dụng AM-GM ta có P 1 1 4 (  )  (c  1)(a  b  3)   (c  1)(4  c)   c  3c   f (c) ( a  b) a  c b  c 1 c a  c  b  c 1 c Khảo sát ta có f (c)  f (0)   P  1 2 Đẳng thức xảy (a, b, c)  ( , , 0) a  b  c  10 VD47: Cho a, b, c  thỏa mãn  1   1  a b c Tìm GTNN GTLN P  a2  b2  c2 Bài làm Để ý P  a2  b2  c2  (a  b  c)2  2(ab  bc  ac)  100  2abc Do ta cần tìm GTNN GTLN Q  abc bc 10  a a  a (10  a) Ta có  1    Q  abc   f (a) bc a bc a a 1 Lập bảng biến thiến hàm số ta không tìm cực trị, hàm số gián đoạn a  1, a  Vậy P GTNN, GTLN Bài tập giống đề B-2010 Cho x, y, z   x yz 0 2 x  y  z   Tìm GTLN P  a5  b5  c5 VD48: Cho a, b, c   abc  2 a  b  c   Tìm GTLN P  (abc)2 Bài làm: Với toán đối xứng thế, ta viết dạng hàm số Ta có a  b  c   a  (b  c)2  bc  a  (b2  c )  a2  2 Đến ta cần xét trường hợp 2 TH1: bc   a   P  a (a  )2 1 Đặt t  a  t  0,  , P  t (t  )2  2 Khảo sát hàm số ta có P  f (t )  f ( )    ta 6  bc  Đẳng thức xảy   abc   2 a  b  c  1 54 TH2: Tương tự ta có P  f (t )  ( )  54 Kết thúc viết phương pháp UCT ( thường biết đến dạng phương trình tiếp tuyến ), dung cho mà biến độc lập với nhau, viết dạng hàm số P  f (a)  f (b)  f (c) Tài liệu vấn đề có nhiều diễn đàn, tham khảo tài liệu sau: Phương pháp hệ số bất định http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/90839-ph%C6%B0%C6%A1ngph%C3%A1p-h%E1%BB%87-s%E1%BB%91-b%E1%BA%A5t%C4%91%E1%BB%8Bnh-uct/ Phương pháp UCT – Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Thúc Vũ Hoàng http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/76805-ph%C6%B0%C6%A1ngphap-utc-vo-qu%E1%BB%91c-ba-c%E1%BA%A9n-nguy%E1%BB%85n-thuc-vuhoang/ Địa chỉ: Trường THPT chuyên KHTN Số điện thoại : 0986504770 Trang web học tập: [1] http://diendantoanhoc.net/forum/ [2] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/index.php