Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com SỰ BẤT ĐỊNH CỦA HỆ SỐ ĐA THỨC NGUỒN GỐC CHO LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Người thực hiện: Lê Sỹ Giảng A Đặt vấn đề: Khi giải số phương trình mũ-logarit số phương trình, hệ phương trình đại số kỳ thi quốc gia Bộ GD-ĐT tổ chức.Với câu hỏi thường gặp học sinh trình giải toán” Làm nghĩ lời giải tự nhiên đẹp đến vậy? Mấu chốt vấn đề đâu?”.Để giúp học sinh trả lời câu hỏi, sau giải phần nhỏ vấn đề lớn nêu B.Giải vấn đề: Cở sở phương pháp: • Dùng phép biến đổi tuyến tính đa thức để phân tích thành tổng đa thức, đẳng thức ý muốn • Ứng dụng đạo hàm việc khảo sát biến thiên hàm số để xác định số nghiệm phương trình • Tính đơn điệu hàm số: Giả sử hàm số f (x) đơn điệu tập D ⊂ R với x1 , x2 ∈ D ta có: f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒ x1 = x2 • Bất đẳng thức AM-GM: Cho hai số a, b không âm, đó: √ a + b ≥ ab dấu ”=” đạt a = b • P/S: Ngoài sử dụng phương pháp biến đổi tuyến tính đa thức để sáng tác phương trình, hệ phương trình phù hợp với yêu cầu kỳ thi mức độ "khó" khác nhau! I PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT: Ví dụ 1: Giải phương trình:7x−1 = + log7 (6x − 5)3 (1) Lời giải: Cần tìm α, β ∈ R cho: = α(x − 1) + β(6x − 5) ⇐⇒ = (α + 6β)x − α − 5β Điều kiện: x > ⇐⇒ α + 6β −α − 5β =0 ⇐⇒ =1 α = −6 β =1 =⇒ (1) ⇐⇒ 7x−1 − log7 (6x − 5) = −6(x − 1) + 6x − ⇐⇒ 7x−1 + 6(x − 1) = 6x − + log7 (6x − 5) c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Xét hàm: ϕ(t) = t + log7 t có: ϕ (t) = + > ∀t > t ln Nên ϕ(t) hàm đồng biến, đó: ϕ 7x−1 = ϕ(6x − 5) ⇐⇒ 7x−1 = 6x − Xét hàm: f (a) = 7a − 6a − 1; a = x − > − có: f (a) = 7a ln − 6 ⇒ f (a) = ⇐⇒ a0 = log7 − log7 (ln 7) Hình 1: Vì hàm số f (a) đồng biến (−∞; a0 ) nghịch biến (a0 ; +∞) nên f (a) = có không hai nghiệm Hơn f (0) = f (1) = a1 = 0, a2 = nghiệm phương trình f (a) = Suy phương trình cho có tập nghiệm là: S1 = { 1; 2} Bài toán tổng quát: Giải phương trình: a) af (x) − k loga g(x) = h(x) (∗)(a > 1, k > 0) Giả sử : h(x) = g(x) − kf (x) phương trình (*) trở thành: af (x) + kf (x) = g(x) + k loga g(x) Xét hàm: ϕ(t) = t + k loga t, t > có: ϕ (t) = + k > 0, ∀t > 0, a > ⇒ ϕ(t) hàm số đồng t ln a biến (0; +∞), nên: ϕ(af (x) ) = ϕ(g(x)) ⇐⇒ af (x) = g(x) Yêu cầu toán trở thành: Giải phương trình: af (x) − g(x) = (phương trình thông thường giải cách khảo sát chứng minh nghiệm tìm nhất!) b) af (x) + k loga g(x) = h(x) (∗∗)(0 < a < 1, k > 0) Giả sử: h(x) = g(x) + kf (x) phương trình (**) trở thành: af (x) − kf (x) = g(x) − k loga g(x) Xét hàm: ϕ(t) = t − k loga t, t > 0, có: ϕ (t) = − k > 0; ∀t > 0, < a < 1, k > hàm ϕ(t) t ln a đồng biến (0; +∞) =⇒ ϕ af (x) = ϕ(g(x)) ⇐⇒ af (x) = g(x) Bài toán cho trở thành: Giải phương trình af (x) − g(x) = (khảo sát biến thiên hàm số vế trái , lập bảng để biết số nghiệm tìm nghiệm đó) c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Ví dụ 2: Giải phương trình: log (x − 1)2 = x2 − 18x − 31 (2) 2x + Lời giải: Điều kiện: x > − , x = Cần tìm α, β, γ ∈ R thỏa mãn: x2 − 18x − 31 = α(x − 1)2 + β(2x + 1) + γ ⇐⇒ x2 − 18x − 31 = αx2 + (2β − 2α)x + α + β + γ   α ⇐⇒ −2α + 2β   α+β+γ   =1 α = = −18 ⇐⇒ β = −8   = −31 γ = −24 Khi phương trình (2) viết lại sau: (2) ⇐⇒ log (x − 1)2 − log (2x + 1) = (x − 1)2 − 8(2x + 1) − 24 2 ⇐⇒ log (x − 1)2 − log (2x + 1) = (x − 1)2 − (2x + 1) − 2 ⇐⇒ log (x − 1)2 − (x − 1)2 = log (2x + 1) − (2x + 1) − 2 1 (x − 1)2 − (x − 1)2 = log (2x + 1) − (2x + 1) ⇐⇒ log 2 8 Xét hàm số: f (t) = log t − t có: f (t) = − < 0, ∀t > hàm số: f (t) nghịch biến t ln 21 (0; +∞), suy : (x − 1)2 = f (2x + 1) ⇐⇒ (x − 1)2 = 2x + √ x = + 2√22 ⇐⇒ x − 18x − = ⇐⇒ x = − 22 √ √ Suy phương trình cho có tập nghiệm là: S2 = − 22; + 22 f Bài toán tổng quát: Giải phương trình: loga f (x) = h(x) (∗ ∗ ∗); < a = 1, f (x) > 0, g(x) > g(x) • Trường hợp 1: h(x) = −f (x) + ak g(x) + k a > thì: f (x) = −f (x) + ak g(x) + k g(x) =⇒ loga f (x) − loga g(x) = −f (x) + ak g(x) + k (∗ ∗ ∗) ⇐⇒ loga =⇒ loga f (x) + f (x) = loga ak g(x) + ak g(x) Xét hàm: ϕ(t) = loga t + t, t > có: ϕ (t) = + > với t > 0, a > từ hàm ϕ(t) đồng t ln a biến (0; +∞) nên: ϕ (f (x)) = ϕ ak g(x) ⇐⇒ f (x) = ak g(x) c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com • Trường hợp 2: h(x) = f (x) − ak g(x) + k thì: f (x) = f (x) − ak g(x) + k g(x) =⇒ loga f (x) − loga g(x) = f (x) − ak g(x) + k (∗ ∗ ∗) ⇐⇒ loga =⇒ loga f (x) − f (x) = loga g(x) − ak g(x) + k =⇒ loga f (x) − f (x) = loga ak g(x) − ak g(x) − < với t > 0; < a < từ hàm ϕ(t) t ln a Xét hàm: ϕ(t) = loga t − t, t > có: ϕ (t) = nghịch biến (0; +∞) nên: ϕ(f (x)) = ϕ ak g(x) ⇐⇒ f (x) = ak g(x) • Trường hợp 3: h(x) = kg(x) − kf (x) thì: f (x) = kg(x) − kf (x) g(x) =⇒ loga f (x) − loga g(x) = kg(x) − kf (x) =⇒ loga f (x) + kf (x) = loga g(x) + kg(x) (∗ ∗ ∗) ⇐⇒ loga + k tùy khả mà kết t ln a luận dấu ϕ (t) từ hàm ϕ(t) đơn điệu (0; +∞) suy rằng: Xét hàm: ϕ(t) = loga t + kt, t > có: ϕ (t) = ϕ (f (x)) = ϕ (g(x)) ⇐⇒ f (x) = g(x) Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x √ x − 2x 1−x = 2x2 − 2x − (3) Lời giải: Điều kiện: x = 0, đó: (3) ⇐⇒ √ x − 1−x = 2x2 − 2x − 2x Cần tìm α, β, γ ∈ R thỏa mãn: 2x2 − 2x − 1 = α + β(x − 1) + γ 2x x 2x2 − 2x − −βx2 + (β + γ)x + α ⇐⇒ = 2x x   α = −1   ⇐⇒ β = −    γ =0 =⇒ (3) ⇐⇒ √ x − 1−x =− − (1 − x) 2x 1−x ⇐⇒ 2x ⇐⇒ 2x 1 + = − (1 − x) 2x + = 3x−1 + x − (3 ) 2x c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Xét hàm f (t) = 3t + t có: f (t) = 3t ln + > 0, (−∞; 0) ∪ (0; +∞) đó: = t ∈ R nên hàm số f (t) đồng biến = f (x − 1) ⇐⇒ =x−1 2x √  1+  x= 2√ ⇐⇒ 2x2 − 2x − = ⇐⇒  1− x= √ √ 1+ 1− Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu là: S3 = ; 2 (3 ) ⇐⇒ f 2x Bài toán tổng quát: Giải phương trình sau: af (x) − ag(x) = h(x) (0 < a = 1) (4∗) Giả sử: h(x) = kg(x) − kf (x), phương trình (4∗) tương đương với: af (x) + kf (x) = ag(x) + kg(x) Xét hàm số: ψ(t) = at + kt, có: ψ (t) = at ln a + k từ suy hàm số f (t) đơn điệu khoảng xác định dẫn đến: ψ (f (x)) = ψ(g(x)) ⇐⇒ f (x) = g(x) Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x +5x+1 − 50.9x +x − 812x−1 = (4) Lời giải: Điều kiện: x ∈ R (4) ⇐⇒ 3x +5x+1 +2x − 50.32x − 38x−4 = (4 ) Cần tìm α, β, γ ∈ R cho: x2 + 5x + = α(2x2 + 2x) + β(8x − 4) + γ ⇐⇒ x2 + 5x + = 2αx2 + (2α + 8β)x − 4β + γ     α =   2α =   ⇐⇒ 2α + 8β = ⇐⇒ β =      −4β + γ = γ = =⇒ (4 ) ⇐⇒ (2x Đặt u = 3x +x +2x)+ (8x−4)+3 2 +2x − 50.32x − 38x−4 = (4 ) , v = 34x−2 (4 ) trở thành: 27uv − 50u2 − v = ⇐⇒ 25uv − 50u2 − v + 2uv = ⇐⇒ 25u(v − 2u) − v(v − 2u) = ⇐⇒ (25u − v)(v − 2u) = 25.3x +x = 34x−2 34x−2 = 2.3x +x ⇐⇒ 25u − v = =⇒ v − 2u = =⇒ x2 + x + log3 25 = 4x − ⇐⇒ x2 + x + log3 = 4x − Vì x2 − 3x + + log3 25 = (a) x2 − 3x + + log3 = (b) ∆(a) = − log3 25 < nên phương trình (4’) vô nghiệm! ∆(b) = − log3 < c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Vậy tập nghiệm phương trình: S4 = {∅} Bài toán tổng quát: Giải phương trình: maf (x) + nag(x) + lah(x) + p = Giả sử: h(x) = αf (x) + βg(x), đặt: u = af (x) ; v = ag(x) ta phương trình hai ẩn u, v mu + nv + luα v β + p = Có thể đưa phương trình tích để giải II PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ: √ √ √ Ví dụ 5: Giải phương trình: − x − + x + − x2 = − x (5) Lời giải: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Ta tìm α, β ∈ R cho: −x + = α √ 1−x +β √ 1+x ⇐⇒ −x + = (−α + β)x + α + β = −1 α =2 ⇐⇒ =3 β =1 √ √ √ =⇒ (5) ⇐⇒ + x + 2(1 − x) − − x + + x − − x2 = (5 ) √ √ Đặt: u = + x ≥ 0, v = − x ≥ 0, phương trình (5’) trở thành: ⇐⇒ −α + β α+β u2 + 2v − 2v + u − 3uv = ⇐⇒ (u2 − 2uv) + (u − 2v) − (uv − 2v ) = ⇐⇒ u(u − 2v) + (u − 2v) − v(u − 2v) = ⇐⇒ (u − 2v)(u − v + 1) = √ √ u − 2v = + x = √ 1−x ⇐⇒ ⇐⇒ √ v =u+1 1−x= 1+x+1  5x  =3  (−1 − 2x)2 = 4(x + 1) + x = 4(1 − x) √ ⇐⇒ ⇐⇒   1−x=x+2+2 1+x −1 ≤ x ≤ −   3  x= x=   √   x=     5√ x = ± ⇐⇒  4x2 = ⇐⇒  ⇐⇒     x = − −1 ≤ x ≤ −  −1 ≤ x ≤ − 2 √ Kết luận: Phương trình cho có tập nghiệm là: S5 = − 3 ; √ √ Ví dụ 6: Giải phương trình: x + x + + − 2x = 11 (6) Lời giải: Điều kiện: −3 ≤ x ≤ , : √ √ √ √ x + + − 2x = 11 ⇐⇒ x − 11 + x + + − 2x = (6 ) c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Tìm a, b, c, d ∈ R thỏa mãn: √ √ √ x − 11 + x + + − 2x = a x + + b Đồng hệ số tương ứng :  a − 2c2    2ab  2cd    3a + b2 + 3c2 + d2 √ + c − 2x + d  =1 (a, b, c, d) = (−1, 2, −1, 1)  (a, b, c, d) = (−1, 2, 1, −1) =4 =⇒   (a, b, c, d) = (1, −2, −1, 1) =2 (a, b, c, d) = (1, −2, − 1) = −11 Chọn (a, b, c, d) = (1; −2; 1; −1) ta có: (6 ) ⇐⇒ √ x+3−2 + √ − 2x − = ⇐⇒ √ x+3 =2 √ ⇐⇒ x = − 2x = (nhận) Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S6 = {1} √ Ví dụ 7: Giải phương trình sau: 2x2 − 11x + 21 − 3 4x − = (7) Lời giải: Cần tìm α, β, γ ∈ R cho: 2x2 − 11x + 21 = α(4x − 4)2 + β(4x − 4) + γ ⇐⇒ 2x2 − 11x + 21 = 16αx2 + (4β − 32α)x + (16α − 4β + γ)     α =   16α =   ⇐⇒ 4β − 32α = −11 ⇐⇒ β = −      16α − 4β + γ = 21 γ = 12 √ =⇒ (7) ⇐⇒ (4x − 4)2 − (4x − 4) + 12 − 4x − = (7 ) Đặt: u = √ 4x − phương trình (7’) trở thành: u6 − 14u3 − 24u + 96 = ⇐⇒ (u − 2)2 (u4 + 4u3 + 18u + 24) = =⇒ u−2=0 =⇒ u = =⇒ x = u4 + 4u3 + 18u + 24 = (vô nghiệm) Vì: • Nếu: u ≤ u6 − 14u3 − 24u + 96 > • Nếu: u > u4 + 4u3 + 18u + 24 > Vậy tập nghiệm phương trình là: S7 = {3} III HỆ PHƯƠNG TRÌNH: c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com x3 − y 2x2 + 3y Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau: = 35 (1) = 4x − 9y (2) Lời giải: Lấy (1) + α.(2) ta được: x3 − y − 35 + α(2x2 + 3y − 4x + 9y) = ⇐⇒ x3 + 2αx2 − 4αx − y + 3αy + 9αy − 35 = (1 ) Ta cần tìm số a, b, α ∈ R cho: x3 + 2αx2 − 4αx − y + 3αy + 9αy − 35 = (x + a)3 − (y + b)3   3   a − b = −35  α = −3 ⇐⇒ 3a = 2α ⇐⇒ a = −2     3a = −4α b =3 Do phương trình (1 ) trở thành: (x − 2)3 − (y + 3)3 = (2 ) ta có hệ phương trình: (x − 2)3 − (y + 3)3 x3 − y =0 ⇐⇒ = 35 x−2 x3 − y =y+3 ⇐⇒ = 35 y+5 x3 − y =x = 35 =⇒ (y + 5)3 − y − 35 = ⇐⇒ 15y + 75y + 90 = =⇒ (y + 2)(y + 3) = (3)  x =2   y = −3 (y + 2)(y + 3) = Từ (2 ) (3) ta có hệ phương trình: =⇒   x =3 y+5 =x  y = −2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình ban đầu là: S8 = {(2, −3); (3; −2)} Nhận xét: Những hệ phương trình chứa hạng tử x3 , x2 , x y , y , y ta sử dụng hệ số bất định đưa đẳng thức quen thuộc! Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Ta có:   x2 + y = −y(3x + 1) = 57  4x2 + 3x − 25   x2 + y − (I) ⇐⇒ 57  4x + 3xy + 3x + y − 25 (I) =0 (1) =0 (2) Lấy α(1) + β.(2) : α x2 + y − ⇐⇒ α =⇒ α 1+4 β α 1+4 β α 57 =0 25 α 57β + β(3x + y) − − =0 25 + β 4x2 + 3xy + 3x + y − β x2 + xy + y α β α 57β α 57β x2 + xy + y + β(3x + y) − − = α(3x + y)2 + β(3x + y) − − α 25 25 c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com   1 + β α ⇐⇒ β  3 α =9 ⇐⇒ = 6α α =1 β =2 Từ suy ra: Lấy (1) + 2.(2) ta phương trình hệ quả: (3x + y)2 + 2(3x + y) −   3x + y =⇒  3x + y 17 119 = ⇐⇒ 3x + y − 3x + y + 25 5  7 = y = −3x +  5 (II) 17 =⇒  17 = − y = −3x − 5 =0 Kết hợp (II) phương trình thứ (I) ta được:      x +y −     −3x +      x + y −   17  −3x −  =0    =y  =⇒    =0   =y     x =      42 44     10x − x + =0   y = 5 25       11     x = −3x + =y    25 =⇒   102 284   y = 10x2 +  x+ =0  25 25     17 102 284    10x + =y −3x − x +  5 25  17   −3x − =0 (Vô nghiệm) =y 11 ; ; , 5 25 25 Nhận xét: Những hệ phương trình chứa hạng tử x2 , xy, y x, y ta sử dụng hệ số bất định đưa phương trình bậc với ẩn số dạng (ax + by)! Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho là: S9 = IV.BẤT ĐẲNG THỨC-CỰC TRỊ Ví dụ 10: Cho a, b, c số thực dương.CMR: 8a2 + 9b2 + 3c2 ≥ 14ab + 2ac + 4bc (10) Lời giải: Cần tìm α, β, γ cho: α(a2 + b2 ) + β(b2 + c2 ) + γ(c2 + a2 ) = 8a2 + 9b2 + 3c2 ⇐⇒ (α + γ)a2 + (α + β)b2 + (β + γ)c2 = 8a2 + 9b2 + 3c2     α + γ = α = ⇐⇒ β + α = ⇐⇒ β =     β+γ =3 γ =1 Từ tách vế trái (10) sau: 8a2 + 9b2 + 3c2 = 7(a2 + b2 ) + 2(b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 7(a2 + b2 ) + 2(b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) ≥ 14ab + 4bc + 2ac c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Vậy: 8a2 + 9b2 + 3c2 ≥ 14ab + 4bc + 2ac Bài toán tổng quát: Cho X,Y,Z,U,T,V hàm số tương ứng với biến số a,b,c, α, β, γ, ζ, η, ξ số thực.CMR: αX(a, b, c) + βY(a, b, c) + γZ(a, b, c) ≥ ζU(a, b, c) + ηT(a, b, c) + ξV(a, b, c) Ta cần tìm m, n, p, q ∈ R cho: m (X(a, b, c) + Y (a, b, c)) + n (Y (a, b, c) + Z(a, b, c)) + p (Z(a, b, c) + X(a, b, c)) = = αX(a, b, c) + βY (a, b, c) + γZ(a, b, c) Hay: (m + p)X(a, b, c) + (m + n)Y (a, b, c) + (n + p)Z(a, b, c) = αX(a, b, c) + βY (a, b, c) + γZ(a, b, c)  α+β−γ    m =    m + p = α   β+γ−α ⇐⇒ m + n = β ⇐⇒ n =      n+p = γ  p = α + γ − β Có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM chứng minh được: α+β−γ (X(a, b, c) + Y (a, b, c)) ≥ ζU (a, b, c) β+γ−α (Y (a, b, c) + Z(a, b, c)) ≥ ηT (a, b, c) α+γ−β (Z(a, b, c) + X(a, b, c)) ≥ ξV (a, b, c) Với biểu thức vế phải bất đẳng thức cần chứng minh số B C A Ví dụ 11: Tìm góc của∆ABC , biết: sin A + sin B + sin C = cos + 10 cos + cos 2 Lời giải: Ta biết rằng: A+B A−B C cos ≤ cos 2 A+C A−C B sin A + sin C = sin cos ≤ cos 2 B+C B−C A sin B + sin C = sin cos ≤ cos 2 sin A + sin B = sin (11) (1) (2) (3) Từ bất đẳng thức (1), (2), (3) đẳng thức (11) gợi ý cho ta tìm số α, β, γ thỏa mãn: α (sin A + sin B) + β (sin B + sin C) + γ (sin C + sin A) = sin A + sin B + sin C ⇐⇒ (α + γ) sin A + (α + β) sin B + (β + γ) sin C = sin A + sin B + sin C     α + γ = α = ⇐⇒ α + β = ⇐⇒ β =     β+γ =7 γ =5 10 c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Từ (sin A + sin B) + 2(sin B + sin C) + 5(sin C + sin A) = sin A + sin B + sin C B C A ≤ cos + 10 cos + cos 2 A B C + 10 cos + cos 2 B−C C−A = cos =1 2 =⇒ sin A + sin B + sin C = cos ⇐⇒ cos A−B = cos ⇐⇒ A = B = C = 600 Vậy: A = B = C = 600 Ví dụ 12: Cho x.y, zlà số dương, CMR: 15z − x − y x + 5y + 5z 3x + y − 5z + + ≥ 4x + 6y 2x + 10z 4y + 20z (12) Lời giải: Cộng số m, n, p vào vế trái (12) ta được: 15z − x − y x + 5y + 5z 3x + y − 5z +m+ +n+ +p= 4x + 6y 2x + 10z 4y + 20z = x(4m − 1) − y(6m − 1) + 15z x(2n + 1) + 5y + z(10n + 5) 3x + y(1 + 4p) + z(20p − 5) + + 4x + 6y 2x + 10z 4y + 20z Đồng hệ số tử số phân số có mặt biểu thức trên:     =3 4m − = 2n + m = 6m − = + 4p = ⇐⇒ n =     10n + = 20p − = 15 p =1 Như vậy: 15z − x − y x + 5y + 5z 3x + y − 5z + + 4x + 6y 2x + 10z 4y + 20z 3x + 5y + 15z 3x + 5y + 15z 3x + 5y + 15z + + −3 4x + 6y 2x + 10z 4y + 20z 1 = (3x + 5y + 15z) + + −3 4x + 6y 2x + 10z 4y + 20z AM-GM ≥ (3x + 5y + 15z) −3 2(3x + 5y + 15z) = −3= 2 = Ví dụ 13: Cho x.y, zlà số thực dương, CMR: y + 3z 4x 3y − x + + ≥ (13) x+y y+z z+x Lời giải: Cộng số m, 2n, p vào vế trái (13) ta được: y + 3z +m+2 x+y 2x −x + 3y mx + (m + 1)y + 3z 2x + ny + nz (p − 1)x + 3y + pz +n + +p = +2 + y+z z+x x+y y+z z+x 11 c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com     m = p − = m = Đồng hệ số tử số phân số: m + = n = ⇐⇒ n =     n=p =3 p =3 Từ đó: y + 3z 4x 3y − x + + x+y y+z z+x y + 3z 2x −x + 3y +2+2 +3 + + − 11 x+y y+z z+x 2x + 3y + 3z 2x + 3y + 3z 2x + 3y + 3z = +2 + − 11 x+y y+z z+x 1 + + − 11 = (2x + 3y + 3z) x+y y+z z+x = (x + y + 2(y + z) + z + x) + + − 11 x+y y+z z+x = AM-GM ≥ 16 − 11 = Nhận xét: Kĩ thuật hệ số bất định thường sử dụng bất đẳng thức bất đối, khiến cho lời giải tự nhiên đẹp đẽ! Ví dụ 14: Cho x, y, z số thực không âm x+y+z =2 Tìm GTLN của:B = 5xy + 7yz + 8xz (14) Lời giải: Cần tìm α, β, γ cho: αx(y + z) + βy(x + z) + γz(x + y) = 5xy + 7yz + 8xz ⇐⇒ (α + β)xy + (β + γ)yz + (α + γ)zx = 5xy + 7yz + 8xz     α + β =  α = ⇐⇒ β + γ = ⇐⇒ β =     α+γ =8 γ =5 Khi : B = 3x(y + z) + 2y(x + z) + 5z(x + y) = 3x(2 − x) + 2y(2 − y) + 5z(2 − z) = 10 − 3(1 − x)2 − 2(1 − y)2 − 5(1 − z)2 340 300 450 180 = − 3(1 − x)2 + + 2(1 − y)2 + + 5(1 − z)2 + 31 961 961 961 AM-GM 340 60 60 60 ≤ − (1 − x) + (1 − y) + (1 − z) 31 31 31 31 340 60 = − (3 − x − y − z) 31 31 280 = 31 280 21 16 25 x = , y = , z = 31 31 31 31 V.PHƯƠNG TRÌNH HÀM: Vậy Bmax = Ví dụ 15: Tìm hàm sốf : R −→ R thỏa mãn: f (xf (y) + x) = xy + f (x) (14) ∀(x, y) ∈ R Lời giải: 12 c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com x=1 từ (15) ta có: f (f (y) + 1) = y + f (1)(∗) y∈R Chọn: y = −f (1) − thay vào(∗) được: Cho: f (f (−f (1) − 1) + 1) = −f (1) + f (1) − =⇒ f (f (−f (1) − 1) + 1) = −1 (∗∗) Đặt: a = f (−f (1) − 1) + từ (∗∗) =⇒ f (a) = −1 (3∗) y=a Cho suy từ (14) (3∗) ta có: f (0) = ax + f (x) =⇒ f (x) = −ax + f (0) x∈R Đặt: f (0) = b f (x) = −ax + b (4∗) từ (14) (4∗) ta có: f (xf (y) + x) = xy + f (x) =⇒ f (x(−ay + b) + x) = xy − ax + b =⇒ −a(x(−ay + b) + x) + b = xy − ax + b ⇐⇒ a2 xy − (ab + a)x + b = xy − ax + b    a=1 a2 =1 Đồng hệ số đẳng thức trên: ⇐⇒ a = −1  −ab − a = −a  b=0 Từ f (x) = −x f (x) = x thử lại vào phương trình hàm cho thấy thỏa mãn Vậy f (x) = x; f (x) = −x hàm cần tìm Ví dụ 16: Tìm hàm sốf : R −→ R thỏa mãn: f (x) + 2f (1 − x) = x2 (16) ∀x ∈ R Lời giải: Các biến số vế trái (15) x, − x bậc vế phải bậc hai, dự đoán hàm f (x) có dạng ax2 + bx + c (a = 0) Từ : x2 x2 =⇒ ax2 + bx + c + 2(a(1 − x)2 + b(1 − x) + c) = f (x) + 2f (1 − x) = 2 x ⇐⇒ 3ax2 − (4a + b)x + 2a + 2b + 3c =     a =     3a =   −2 Đồng hệ số tương ứng: 4a + b ⇐⇒ b = =0        2a + 2b + 3c = c = x2 − 4x + Nên f (x) = , ta cần chứng minh f (x) vừa tìm : Thật vậy: Giả sử hàm số ξ(x) = f (x) thỏa mãn phương trình hàm cho: x20 • Lấy x = x0 thay vào (16) ta được: ξ(x0 ) + 2ξ(1 − x0 ) = (a) • Lấy x = − x0 thay vào (16) được: ξ(1 − x0 ) + 2ξ(x0 ) = Từ (a) (b) ta có ξ(x0 ) = Vậy: f (x) = x2 − 4x + (1 − x0 )2 (b) x20 − 4x0 + = f (x0 ) nên điều giả sử sai 13 c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu Sự bất định hệ số đa thức-Nguồn gốc cho lời giải số toán sơ cấp www.VNMATH.com Nhận xét: Các hàm cần tìm dạng giải ! VI.BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải phương trình sau: 2 a)4x +x + 21−x = 2(x+1) + 8x + c)3x2 − 2x − = log3 (x + 1)2 1−2x 1−x2 1 e)2 x2 − x2 = − √2 x g)x − 4x − = x2 + x + = 2x − x2 i) log3 x Bài 2: Giải hệ phương trình sau: x3 + y x2 + 2y a) =9 = x + 4y b) ax2 + bx + c ax + b áp dụng hệ số bất định để b)3x +3x − 6.3x +x − 32x−1 + = d)6x = + 2x + log6 (5x + 1) f)3x − log3 (1 + 2x) = + x √ √ √ h)2x − = −3 − x + + x + − x2 x3 + y 4x2 + 3y k)3cos x+1 − 3cos 3x+cos 2x = cos3 x + cos2 x − cos x − = 91 = 16x + 9y c) 3x2 + 2xy 2y + 3xy = 3y − 16 = 2x + 12 Bài 3: a) Cho: x, y, zcác số thực không âm x+y+z =3 b)Tính góc ∆ABC , biết: sin Tìm giá trị lớn biểu thức:P = 5xy + 11yz + 8xz C A B + sin + 10 sin = cos A + cos B + cos C 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] Sách giải tích 12NC NXBGDVN Tạp chí toán học tuổi trẻ NXBGDVN Bộ đề thi tuyển sinh môn toán NXBGDVN 1996 Cộng đồng HS-SV yêu toán:www.Mathvn.org 14 c Lê Sỹ Giảng THPT Nguyễn Thị Bích Châu