60 Hệ Phương Trình BoxMath 151 Giải hệ phương trình:  x3 + y = (1) y + x = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: (x − y) (x2 + xy + y − 1) = - Trường hợp x = y Thay lại vào (1) ta được: x3 + x = ⇔ (x − 1) (x2 + x + 2) ⇔ x = (vì x2 + x + > ∀x ∈ R) - Trường hợp x2 + y + xy = Không tính tổng quát ta giả sử x ≥ y, từ (1) ta có: = x3 + y ≤ x3 + x ⇔ x3 + x − ≥ ⇔ (x − 1) x2 + x + ≥ ⇔ x ≥ (vì x2 + x + > ∀x ∈ R) • ≤ x ≤ ⇒ ≤ y ≤ ta có: x3 + y ≥ x + y Dấu "=" xảy x = y = Thử lại thấy không thỏa mãn x2 + xy + y = • x ≥ Ta có: 2 x + y + x2 ≥ > ⇒ hệ vô nghiệm x + xy + y = Vậy nghiệm hệ phương trình là: x = y = Cách Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: (x − y) (x2 + xy + y − 1) = - Với x = y Thay lại vào (1) ta được: x3 + x = ⇔ (x − 1) (x2 + x + 2) ⇔ x = (vì x2 + x + > ∀x ∈ R) - Với x2 + y + xy = ⇔ (x + y)2 − xy = Cộng vế theo vế hai phương trình ban đầu ta được: x3 + y + x + y = ⇔ (x + y)3 − 3xy (x + y) + x + y = Đặt: a = x + y ; b = xy (a2 ≥ 4b)khi ta có hệ:   a (−2b + 2) = (3) a −b=1 a −b−1=0 ⇔ ⇔ a (a2 − 3b + 1) = a2 − b − = a3 − 3ab + a = (4) Từ (3) suy ra: a = 0, b = a = 1−b Thay vào (4): 2 − b − = ⇔ b3 − b2 − b − = 1−b ⇔ (b − 2) b2 + b + = ⇒b>2 Từ suy ra: boxmath.vn a2 − 4b ≤ −4b = −8 < ⇒ vô lý ⇒ hệ vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) Chú ý: Ta chứng minh x2 + xy + y − = vô nghiệm sau: Từ a2 − b = a2 ≥ 4b ta có: a2 = a2 − b ≥ a2 − ⇔ a2 ≤ ⇔ |a| ≤ √ 3 Thay b = a2 − vào a3 − 3ab + a = ta được: a3 − 2a + = 2 Khảo sát hàm số f (a) = a3 − 2a + đoạn − √ ; √ 3 2 Ta dễ thấy phương trình f (a) = với a ∈ − √ ; √ vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm 3 Cách Cộng, trừ hai vế tương ứng hai phương trình ta được:  (x − y) (x2 + xy + y − 1) = (x + y) (x2 − xy + y + 1) = Trường hợp 1: x = y dễ thấy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) Trường hợp 2: Xét hệ hai ẩn S, P :  S − P = (1) S (S − 3P + 1) = (2) với S = x + y P = xy (S ≥ 4P ) Từ (1) điều kiện S ≥ 4P ta suy ra: −1 ≤ P ≤ Thay S = + P vào (2) ta được: S (1 − P ) = Từ suy S > Mặt khác (2) viết lại theo ẩn S là: S − 2S + = Xét: f (S) = S − 2S + với S > Lập bảng biến thiên ta thấy f (S) > với S > nên trường hợp vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (1; 1) 152 Giải hệ phương trình:  x3 + 4y = y + 16x 1 + y = (1 + x2 ) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách Hệ cho tương đương với:  y (y − 4) = x (x2 − 16) y − = 5x2 boxmath.vn Từ suy ra:  2 x=0  5x y = x (x − 16) ⇔ x (5xy − x + 16) = ⇔  y= x− 16 x - Với x = ta có: y − = ⇔ y = ±2 - Với y = x− x ta có: 25 16 x− x 256 − 100 = 125x2 x2 64 ⇔ 31x2 + 33 − = x 64 31x + =0 ⇔ x− x x − = 5x2 ⇔ x2 − 32x + ⇔ ⇔ x2 = 31x2 = −64 (vô nghiệm) x = ⇒ y = −3 x = −1 ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; −2), (0; 2), (1; −3), (−1; 3) Cách Viết lại hệ cho dạng: x3 − y = 16x − 4y (1) y − 5x2 = (2) Nhân (1) với khéo léo thay (2) vào ta phương trình: x3 − y = (16x − 4y) y − 5x2 ⇔ x3 − y = (4x − y) y − 5x2 ⇔ x3 − y = 4xy − 20x3 − y + 5x2 y ⇔ x 21x2 − 4y − 5xy =  x=0  ⇔ x (4y − 7x) (y + 3x) = ⇔   y = 4x y = −3x - Với x = lại vào (2) ta suy y = ±2 - Với y = x vào (2) ta được: 31x2 = −64 (vô nghiệm) - Với y = −3x vào (2) ta được: x = −1 ⇒y = 4x2 = ⇔ x=1 ⇒y = −3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 2), (0; −2), (−1; 3), (1; −3) Cách Viết hệ phương trình cho lại dạng:  x3 − y = 16x − 4y (1) y − 5x2 = (2) boxmath.vn • Xét x = ta thấy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 2); (0; −2) • Xét x = ta đặt y = mx Hệ trở thành:   x3 − (mx)3 = 16x − 4mx x2 (1 − m3 ) = 16 − 4m (3) ⇔ (mx)2 − 5x2 = x2 (m2 − 5) = (4) - Ta thấy m = 1; m = không thỏa mãn hệ nên chia theo vế (3) (4) ta thu được: m2 − ⇔ − m3 = 4m2 − 20 − m3 + 5m = 1−m 4−m ⇔ 4m2 + 5m − 21 =  m = −3 ⇔ m= - Với m = −3 suy y = −3x vào (2) ta thu được: 4x2 = ⇔ x = −1 ⇒y = x=1 - Với m = ⇒y = −3 7 suy y = x thay vào (2) ta được: 4 31x2 = −64 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 2), (0; −2), (−1; 3), (1; −3) 153 Giải hệphương trình:   y2 + z2 y2 + z2  + = 1+ 2 2 x +y x +y x + y2   (x2 + y ) x2 + y + (y + z ) y + z = y + x2 + y2 + z2 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách 1 u = Đặt: v = x2 + y (u, v ≥ 0) y2 + z2 Do hệ cho đưa về dạng: 1 + v + v = u2 u u2  3 u + v = u + 3v  u2 + uv + v = ⇔ (u + v) (u2 − uv + v − 1) = 2v  u2 + uv + v = ⇔ −2uv (u + v) = 2v  u2 + uv + v = ⇔ (I) v (u2 + uv + 1) = Ta thấy rằng: u + uv + = boxmath.vn u+ v 2 + v + > ∀u, v ≥ 4 Do đó:  u2 + uv + v = (I) ⇔ v = ⇔  u = ±1 v = ⇔  u = (vì u, v ≥ 0) v = Từ suy ra:  x + y = y + z = ⇔  x = ±1 y = z = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 0); (−1; 0; 0) Cách Dễ thấy x = y = z = không nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình cho (x2 + y ) x2 + y đặt:  y2 + z2  u = x + y2  v = x + y2 Ta có hệ:  1 + u2 + u = v 1 + u3 = v + 3uv Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: u2 + u − u3 = −3uv ⇔ u (u2 − u − − 3v) = ( ) Thế tiếp v = + u2 + u vào ( ) biến đổi ta tiếp: u u2 + 2u + = ⇔ u (u + 1)2 + = ⇔u=0⇒v=1 Từ ta suy ra:    y + z2   y = z =  2 = y + z = x + y2 ⇔ ⇔ x + y = x = ±1   = x2 + y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 0); (−1; 0; 0) 154 Giải hệ phương trình:  y = x3 (9 − x3 ) x2 y + y = 6x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách Hệ phương trình cho tương  đương với hệ sau: 9x3 = (x2 + y) (x4 − x2 y + y ) y (x2 + y) = 6x (1) (2) Nhận thấy (x; y) = (0; 0) nghiệm hệ Với xy = 0: - Chia (1) cho (2) ta được: x4 − x2 y + y 3 = x2 ⇔ x4 − x y + y = x2 y 2 ⇔ x2 + y = x2 y ( ) boxmath.vn - Thay (2) vào ( ) ta được: 36x2 x y ⇔ y3 = = y ⇔y=2 - Thay y = lại vào (2) ta được: x2 − 3x + = ⇔ x=1 x=2 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) Cách - Ta thấy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0) - Xét xy = Chia (1) cho x6 chia (2)cho x4 ta hệ phương trình:   y − = −1 x6 x23  y +y = x2 x4 x3 Đặt:  y  u = x (u; v = 0)  v = x3 Ta hệ mới:    u = −1 ⇒v = (loại)  u3 − 9v = −1 v = u +  ⇒v = ⇔ u = ⇔ u + u2 = 6v   1 2u − 3u − 3u + = u= ⇒v =   u = x = • Với: ta suy ra: v = y =    x = u = ta suy ra: • Với: y =  v = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) 155 Giải hệ phương trình:  y + x + xy − 6y + = y x − 8y + x2 y + x = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Hệ phương trình tương đươngvới: (1 + y) x = −y + 6y − yt + (1 + y ) x = 8y (với t = x2 ) Ta có: D = −y (1 + y) Dt = (y + 1) −y + 7y − 16y + 7y − Dx = y y − 6y + Nhận thấy y = hay y = −1 nghiệm hệ phương trình suy D = Từ hệ có nghiệm nhất: boxmath.vn  D  t = t D   x = Dx D Suy ra: Dt = D Dx D ⇔ DDt = (Dx )2 Ta có: DDt = (y + 1) −y + 7y − 16y + 7y − [−y (1 + y)] = y − 5y + 3y + 18y + 3y − 5y + y (Dx )2 = y y − 6y + Do đó: = y − 12y + 38y − 12y + y DDt = (Dx )2 ⇔ y − 5y + 3y + 18y + 3y − 5y + y = y − 12y + 38y − 12y + y ⇔ y − 6y + 15y − 20y + 15y − 6y + y = ⇔ y y − 6y + 15y − 20y + 15y − 6y + = ⇔ y (y − 1)6 = y = (loại) y = (thỏa) Với y = thay lại vào phương trình hệ ta suy x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) ⇔ 156 Giải hệ phương trình: √  x − − √ y = − x3 (x − 1)4 = y (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải  x − ≥ Điều kiện: y ≥ ⇔  x ≥ y ≥ Thay (2) vào (1) ta được: √ √ x − + (x − 1)2 = − x3 ⇔ x − − (x − 1)2 + x3 − = ( ) Ta xét hàm số: √ f (x) = x − − (x − 1)2 + x3 − Ta có: f (x) = √ + 3x2 − 2x + > 0, ∀x > x−1 Suy f (x) hàm số đồng biến (1; +∞) ⇒ ( ) có tối đa nghiệm x ∈ (1; +∞) Mặt khác ta thấy f (2) = nên x = nghiệm Với x = thay lại vào (2) ta được: y = Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) 157 Giải hệ phương trình:  x3 − xy + 2000y = (1) y − yx2 − 500x = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải boxmath.vn Nhận thấy (x; y) = (0; 0) nghiệm hệ Với xy = từ hai phương trình hệ ta có: 2000y x 500x + 500x = ⇔ x2 − y = − y (1) ⇔ x x2 − y + 2000y = ⇔ x2 − y = − (2) ⇔ y x2 − y Suy ra: 2000y 500x = ⇔ 2000y = 500x2 x y ⇔ 4y − x2 = ⇔ (2y − x) (2y + x) = ⇔ x = 2y x = −2y - Với x = 2y vào (1) ta được: 6y + 2000y = ⇔ y (6y + 2000) = ⇔ y = (loại) 6y + 2000 = (vô nghiệm) - Với x = −2y vào (1) ta được: −6y + 2000y = ⇔ y 6y − 2000 = ⇔   ⇔ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = √ √ 20 30 10 30 ; − 3 y = (loại) 6y − 2000 = √ √ 20 30 10 30 ⇒x=− y= 3√ √ 10 30 20 30 y=− ⇒x= 3 √ √ 20 30 10 30 , ;− 3 158 Giải hệ phương trình:  (x + y)2 y = (1) x − y = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách Ta nhận thấy y = nghiệm hệ Chia hai vế (1) (2) cho y ta được:  x   +1 =  y y   x −1=  y y3 Đặt:  x  u = y  v = y3 Khi ta được: boxmath.vn  (u + 1)2 = 9v u3 − = 7v Từ suy ra: (u + 1)2 = u3 − ⇔ 9u3 − 7u2 − 14u − 16 = ⇔ (u − 2) 9u2 + 11u + = u=2⇒v=1 9u2 + 11u + = (vô nghiệm) ⇔ Với:  u = v = ⇒ x  y =2  x = ⇔ y =   =1 y3 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) Cách Ta giải phương pháp hàm số sau Từ phương trình (1) hệ ta suy y > kết hợp điều với phương trình (2) hệ ta suy x>0 Rút x theo phương trình (1) ta được: x= √ −y y √ Đặt y = t ; t > vào phương trình thứ hai hệ thực rút gọn lại ta phương trình: (3 − t3 ) − t9 − 7t3 = Xét hàm số: f (t) = (3 − t3 ) − t9 − 7t3 với t > Ta có: f (t) = −9t2 (3 − t3 ) − 9t8 − 21t2 < ; ∀t > Như hàm số f (t) hàm số nghịch biến (0; +∞) Có f (1) = nên t = nghiệm Từ t = suy y = ; x = Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ cho Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) 159 Giải hệ phương trình:  x3 (2 + 3y) = x (y − 2) = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách Hệ phương trình cho tương đương với:  x3 (2 + 3y) = x3 (y − 2)3 = 27 Ta thấy x = không thỏa mãn hệ nên suy ra: 3 (y − 2) = 27 (3y + 2) ⇔ boxmath.vn y3 − 3 = 3y + y3 − Đặt: t = ta có hệ phương trình đối xứng loại 2:  t3 = 3y + y = 3t + Từ suy ra: t3 − y = −3 (t − y) ⇔ (t − y) t2 + yt + y = −3 (t − y) ⇔ (t − y) t2 + yt + y + = ⇔ t=y t2 + yt + y + = Với t = y suy ra:  y = −1 ⇒ x = −1 y=2⇒x= Với t2 + yt + y + = ( ) ta dễ dàng có phân tích sau: 2 t + yt + y + = t + y + y + > ∀t, y ∈ R ⇒ ( ) vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (−1; −1); ;2 y − = 3y ⇔ y − 3y − = ⇔  Cách Dễ thấy x = không thỏa mãn hệ nên ta đưa hệ dạng:  2 + 3y = x3  y − = x Cộng theo vế hai phương trình hệ ta được: y + 3y = + ( ) x x Bây ta xét hàm số: f (t) = t3 + 3t (t ∈ R) Ta có: f (t) = 3t2 + > ∀t ∈ R ⇒ Hàm số đồng biến R Vì vậy: 1 ( ) ⇔ f (y) = f ⇔ y = ⇔ xy = x x Thay lại vào phương trình hệ ban đầu ta được:  x = −1 (thỏa x = 0) ⇒ y = −1 2x3 + 3x2 + = ⇔ (x + 1)2 (2x − 1) = ⇔  x = (thỏa x = 0) ⇒ y = 2 ;2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (−1; −1); 160 Giải hệ phương trình:  x3 + 3xy = −49 x2 − 8xy + y = 8y − 17x (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Nhân hai vế phương trình (2) với ta được: 3x2 − 24xy + 4y = 24y − 51 boxmath.vn 10  u = √4x − (u ≥ 0) Từ ta có được: Tới ta tiếp tục đặt: v = √ 2x −    u + v = u = − v u = ( )⇔ ⇔ ⇔ u2 − 2v = 2v − v + 2v = v = Từ suy ra: Với: x = √  4x − = √ 2x − = ⇔  4x − = ⇔x= 2x − = ⇒y=0 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (thỏa) (thỏa) ;0 180 Giải hệ phương trình:  x2 y + xy + x − 5y = 2xy + y − 5y + = (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Ta thấy y = không thỏa mãn hệ phương trình cho Từ phương trình (2) hệ ta có được: 5y − y − x= 2y Thế vào (1) ta có: 5y − − y 5y − − y 5y − − y y + y + − 5y = 2y 2y 2y ⇔ 5y − − y 2 + 2y 5y − − y + 5y − − y − 20y = ⇔ y − 3y + =  √ √ 1 −1 − + ⇒ x = y =  2  √ √ 1  y = −1 + ⇒ x = 5−  2 ⇔ √ √ 1  1+ ⇒x= 5− y =  2  √ √ 1 y= 1− ⇒x= 5+ 2 √ √ 5+ − 5±1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x; y) = ; 2 181 Giải hệ phương trình:  x3 − y + 3y − 3x − = √ x2 + − x2 − 2y − y = ; √ √ 5− 5±1 ; 2 (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Ta có: (2) ⇔ x2 + Do điều kiện: |x| ≤ 1; |y − 1| ≤ boxmath.vn √ − x2 = − (y − 1)2 25 Phương trình (1) viết lại dạng: y − 3y + = x3 − 3x ⇔ (y − 1) (y − 1)2 − = x (x2 − 3) (3) Xét hàm đặc trưng: f (t) = t (t2 − 3) với |t| ≤ Ta có: f (t) = 3t2 − ≤ 0, ∀ |t| ≤ Do f (t) hàm nghịch biến đoạn [−1; 1] Do đó: (3) ⇔ f (y − 1) = f (x) ⇔ y − = x Khi (2) trở thành: √ (1 − x2 ) + − x2 − = ( ) √ Đặt: t = − x2 (t ≥ 0) Phương trình ( ) trở thành: √ t = − (thỏa) √ t2 + 2t − = ⇔ t = − − (loại) √ Với t = − suy ra: √ √ √ √ √ x = 2 − ⇒ y = + 2−2 √ √ − x2 = − ⇔ x2 = 2 − ⇔ x=− 2−2⇒y =1− 2+2 Đối chiếu điều kiện suy hệ có nghiệm: √ √ √ √ (x; y) = 2 − 2; + 2 − , − 2 − 2; − 2 − 182 Giải hệ phương trình:  x2 + y = √ √  (x − y) (1 + 4xy) = (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Từ phương trình (1) gợi cho ta đặt ẩn phụ đưa lượng giác  x = sin α Đặt: (α ∈ [0; 2π]) y = cos α Khi phương trình (2) viết lại dạng: (sin α − cos α) (1 + sin 2α) = √ √ ⇔ sin α − cos α + sin 2α sin α − sin 2α cos α = 2√ ⇔ sin α − cos α + cos α − cos 3α − sin 3α − sin α = √ ⇔ sin 3α + cos 3α = − √2 π 5π ⇔ cos 3α + =− = cos  7π k2π α= +  36 ⇔ (k ∈ Z) 13π k2π α=− + 36 7π 31π 55π 11π 35π 59π Vì α ∈ [0; 2π] suy ra: α ∈ ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 7π 31π 55π 11π 35π 59π Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (sin α; cos α) với α ∈ ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 boxmath.vn 26 183 Giải hệ phương trình: √  4x − + y − 4y − 4y − = √y y (y − 2x + 2) = 6x + (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải  x ≥ Điều kiện: y ≥ Ta biến đổi phương trình (2): (2) ⇔ y − (x − 1) − 6x − = ⇔ (y + 3) (y − 2x − 1) = ⇔ y = −3 (loại) y = 2x + Thay y = 2x + vào (1) ta được: √ √ 4x − + (2x + 1)3 − (2x + 1)2 − (2x + 1) − = 2x + √ √ ⇔ 4x − + 8x3 − 4x2 − 18x − 12 = 2x + √ √ ⇔ 4x − − 2x + + 8x3 − 4x2 − 12x − 12 = (x − 2) √ + (x − 2) 8x2 + 12x + = 4x − + 2x + √ + 8x2 + 12x + = ( ) ⇔ (x − 2) √ 4x − + 2x + ⇔√ Vì với x ≥ thì: √ √ + 8x2 + 12x + > 4x − + 2x + Do đó: ( ) ⇔ x = (thỏa) Với: x = ⇒ y = (thỏa) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x; y) = (2; 5) 184 Giải hệ phương trình:  2x − y = + x − y = x(y + 1) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện: x(y + 1) ≥ Từ phương trình (1) ta có: x = x(y + 1) ⇒ y+1  t = y+1 , t > ta t2 + t − = ⇔ t = −2 (loại) x (1) ⇔ 2x = + y + Đặt t = y+1 +1 x Với t = ⇔ y = x − vào (2) ta được: x3 − x2 + 2x − = ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) boxmath.vn 27 185 Giải hệ phương trình: √  x2 + 91 = √y − + y  y + 91 = √x − + x2 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện: x, y ≥ Lấy (1) trừ (2) ta được: √ √ x2 + 91 + x − + x2 = y + 91 + √ y − + y2 Xét hàm√số √ f (u) = u2 + 91 + u − + u2 , u ∈ (2; +∞) u f (u) = √ + √ + 2u > 0, ∀t ∈ (0; +∞) ⇒ Hàm số đồng biến ⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y u + 91 u − √ √ Thay x = y vào phương trình (1) ta có: x2 + 91 = x − + x2 Xét hàm số √ √ g(x) = x2 + 91 = x − + x2 , ∀x ∈ (2; +∞) x g (x) = √ − √ − 2x < 0, ∀t ∈ (0; +∞) x2 + 91 x − ⇒ g(x) có nghiệm x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 3) 186 Giải hệ phương trình:  x4 − 4x2 + y − 6y + = x2 y + x2 + 2y − 22 = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách 22 − x2 vào (1), ta được: x2 + x8 + 4x4 − 144x2 + 256 = Từ phương trình (2) suy y = ⇔ (x − 2)(x + 2)(x2 − 2)(x4 + 6x2 + 32) = x = ±2 √ x=± √ Thay x = ±2, x = ± vào (2) ta y = 3; y = √ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (±2; 3), (± − 2; 5) ⇔ Cách2 Đặt u = x2 − 2; v = y − hệ phương trình  (I) tương đương: u2 + v = uv + 4(u + v) = Hệ phương trình đối xứng có boxmath.vn 28   u + v =  (II)    uv =  ⇔    u + v = −10  (vô nghiệm) uv = 48   x = ±2     x − + y − =  y=3  Hệ (II)⇔ ⇔ √   (x2 − 2)(y − 3) =  x=±  y = √ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (±2; 3), (± 2; 5) 187 Giải hệ phương trình:  √ x + y + √ x−y =8  x3 + x2 y − xy − y = 12 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải  x + y ≥ Điều kiện: x − y ≥ Viết lại hệ phương trình: Đặt u = √ x + y, v = √   √x + y + √ x−y =8 (I)  (x + y)2 (x − y) = 12 x − y, (u, v ≥ 0) Hệphương trình (I) tương đương:  u+v =8    ⇔   u=2 v=6 u=6 v=2  u.v = 12   x = 650 x+y =4  ⇔  y = 646 x − y = 64   ⇔    x = 26  x + y = 36  ⇔ y = 10 x − y = 16 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (650; 646), (26; 10) 188 Giải hệ phương trình:  (x − y)2 + y = x2 + 2xy − 5y − 5x + 13y = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Viết lại hệ phương trình: boxmath.vn 29  x2 − 2xy + y + y = x2 + 2xy − 5y − 5x + 13y = (I) Đặt x = a + 1; y = b + hệ phương  trình (I) tương đương: a2 − 2ab + b2 − 2a + 3b = (1) a2 + 2ab − 5b2 + a − 5b = (2) Nhân −3 cho (1) cộng (2) ta được: − 2a2 + 8ab − 8b2 + 7(a − 2b) = ⇔ −2(a2 − 4ab + 4b2 ) + 7(a − 2b) = ⇔ (a − 2b)(−2a + 4b + 7) =            a = 2b ⇔  −2a + 4b + =              x=1 y=2 x=3 y=3 √   15) + 2(−2 −   x= ⇔  2√     y = (−2 − 15))    √     x = + 2(−2 + 15)  2√    y = (−2 + 15)) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: √ √ √ √ + 2(−2 − 15) 1 + 2(−2 + 15) (x; y) = (1; 2), (3; 3); ( ; (−2 − 15)), ( ; (−2 + 15)) 2 2 189 Giải hệ phương trình:  √ xy x y   + =√  y+1 x+1 xy +   +√ =4 √ y−1 x−1 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải ĐK x, y > ⇒ xy > Ta chứng minh: 1 + ≥√ x+1 y+1 xy + √ √ ⇔ (x + 1) ( xy + 1) + (y + 1) ( xy + 1) ≥ (x + 1) (y + 1) √ √ ⇔ (x + y) xy + xy ≥ x + y + 2xy √ √ √ ⇔ (x + y) ( xy − 1) + xy (1 − xy) ≥ √ √ √ ( xy − 1) x − y ≥ Luôn ∀xy > Ta có: boxmath.vn 30 √ xy y x + =√ y+1 x+1 xy + √ xy x y ⇔ +1+ +1= √ +2 y+1 x+1 xy + √ 2 xy + 1 ⇔ (x + y + 1) + = √ x+1 y+1 xy + Mặt khác: √ x + y + ≥ xy + 1 + y+1 ≥ √xy+1 x+1 √ 2 xy + 1 ⇒ (x + y + 1) + ≥ √ , ∀xy > x+1 y+1 xy + Dấu xảy x = y vào phương trình thứ hai ta x = y = nghiệm hệ 190 Giải hệ phương trình:  3x − y  x + =3 x + y2 x + 3y  y − =0 x2 + y **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách1 Nhân pt(1) với x, nhân PT(2) với y tacó:  x2 + 3x − xy = 3x  x2 + y xy + 3y   =0 y − x + y2 Trừ phương trình cho ta : x2 − y + − 3x = (*) Mặt khác Nhân pt(1) với y, nhân PT(2)  với x ta có: 3xy − y   xy + = 3y xy + y x2 + 3y   =0 yx − x + yx Cộng PT cho ta : 2xy − 3y − = (**) Từ (*) Và (**) ta có: x2 − y − 3x + = 2xy − 3y − = ⇔ x2 − y − 3x + = (−2xy + 3y + 1)i ⇒ (x + yi)2 − 3(x + yi) + − i = Xét số phức z = x + yi Ta phương trình:z − 3z + − i = Giải nghiệm: ⇔ z =2+i z =1−i Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1), (1; −1) Cách2 Nhân phương trình(1) với x, nhân phương trình(2) với y ta có: boxmath.vn 31  3x2 − xy   x2 + = 3x x + y2 xy + 3y   =0 y − x + y2 Trừ PT cho ta : x2 − y + − 3x = ⇒ y = x2 − 3x + Thế y vào phương trình (2 ) loại trường hợp x=0 ta được:y = 2x − Thế y vào (1) đưa phương trình bậc 5,phân tích nhân tử ta có: Ta có: (x − 1)(x − 2)(4x2 − 12x + 13) = x=2 x=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1), (1; −1) ⇔ 191 Giải hệ phương trình:   x2 + y x2 + xy + y + =x+y  x√2xy + 5x + = 4xy − 5x − **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Ta có: x2 + xy + y = 21 (x + y) + 12 (x2 + y ) ≥ 21 (x + y)2 + 41 (x + y)2 = 43 (x + y)2 (x + y)2 2 x + xy + y 2 x +y + ≥ (x + y) + = |x + y| ≥ x + y ⇒ Dấu "=" xảy khi: √ x=y≥0 √ P T (2) ⇔ x 2x2 + 5x + = 4x2 − 5x − ⇔ 2x2 + 5x + + x 2x2 + 5x + − 6x2 = √ 2x2 + 5x + = −3x(V N ) ⇔ √ 2x + 5x + = 2x ⇒ −2x2 + 5x + = ⇒ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (3; 3) 192 Giải hệ phương trình:  x2 + y = 2x2 y x + y + = 3x2 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Viết lại hệ phương trình :   x2 + (3x2 − x − 1)2 = 2x2 (3x2 − x − 1)2 (∗)  y = 3x2 − x − Phương trình (*) tương đương : − 18x6 + 12x5 + 19x4 − 10x3 − 6x2 + 2x + = ⇔ (x − 1)(18x5 + 6x4 − 13x3 − 3x2 + 3x + 1) = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 1) boxmath.vn 32 193 Giải hệ phương trình:  x2 − 2xy + x + y = x4 − 4x2 y + 3x2 + y = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Nhận thấy (x, y) = (0, 0)là nghiệm hệ: Xét(x, y) = (0, 0) Đặt: y = tx Hệ phương  trình tương đương : x2 − 2tx2 + x + tx = x4 − 4tx3 + 3x2 + t2 x2 = ⇔  x + t − 2tx + = x2 + t2 − 4tx + = Đặt x + t = S, xt = P  S − 2P + = S − 6P + =       x+t=0  S=0   (vô nghiệm)    x.t =   P =1    ⇔ ⇔ ⇔     S=3 x+t=3   P =2 x.t = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1, 2), (2, 2) x=2 (vô nghiệm) y=2 x=1 y=2 194 Giải hệ phương trình:  (x2 + 1)x + (y − 4) (3 − y) = 22x2 + 9y + 18 (4 − 3x) = 76 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải √ √ Biến đổi PT (1): x + x = (3 − y) − y + − y Xét hàm số: f (t) = t3 + t ⇒ f (t) = 3t2 + > √ √ Hàm số f(t) đồng biến ⇒ f (x) = f 3−y ⇔x= 3−y √ √ Thay vào PT (2): 22x2 + 9(3 − x2 ) + 18 − 3x = 76 ⇔ 9x4 − 32x2 + 18 − 3x + = (*) √ Xét hàm số: f (x) = 9x4 − 32x2 + 18 − 3x + ≤ x ≤ 27 ⇒ f (t) = 4x(9x2 − 16) − √ < ⇒ f (x) nghịch biến − 3x Mà f (x) = f (1) = ⇒ x = nghiệm phương trình (*)⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 2) 195 Giải hệ phương trình:   + 2x2 y − x4 y + x4 (1 − 2x2 ) = y 1 + + (x − y)2 = x3 (x3 − x + 2y ) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Viết lại hệ phương trình: − (x2 y − 1)2 = 2x6 − x4 + y 1+ Lấy phương trình (2) trừ (1) ta được: boxmath.vn + (x − y)2 = x3 (x3 − x + 2y ) − (x2 y − 1)2 − − + (x − y)2 = (x3 − y )2 ≥ 33 ⇒ − (x2 y − 1)2 ≥ + + (x − y)2 (3) Chú ý : − (x2 y − 1)2 ≤ ≤ + + (x − y)2 đẳng thức (3) xảy ⇒ nghiệm hệ phương trình (1; 1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 1) 196 Giải hệ phương trình:     x + 3x + 2x − = y y + 3y + 2y − = z    z + 3z + 2z − = x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Viết lại hệ phương trình :     (x − 1)(x + 4x + 6) = y − (y − 1)(y + 4y + 6) = z −    (z − 1)(z + 4z + 6) = x − Trường hợp 1: Nếu x = ⇒ y = ⇒ z = Suy (1; 1; 1) nghiệm Trường hợp 2: Nếu x = ⇒ y = ⇒ z = Khi đó, nhân vế theo vế ta được: (x2 + 4x + 6)(y + 4y + 6)(z + 4z + 6) = Điều xảy Nên hệ có nghiệm kể Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (1; 1; 1) 197 Giải hệ phương trình:  x2 + 2xy + 2y + 3x = xy + y + 3y + = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Lấy (1)+2.(2) ta :(x + 2y) + (x + 2y) + = 0⇔ (x + 2y + 1) (x + 2y + 2) = TH1: x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào (2) ta √ √ y = + ⇒ x = −3 − 2 √ √ y − 2y − = ⇒ y = − ⇒ x = −3 + 2 TH2: x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào (2) ta √  √ 1− y= ⇒ x = −3 +  2√ y2 − y − = ⇒  √ 1+ y= ⇒ x = −3 − Do hệ phương trình cho có nghiệm: √ √ √ 1− √ 1+ √ √ √ √ (x; y) : −3 − 2; + ; −3 + 2; − ; −3 + 5; ; −3 − 5; 2 198 Giải hệ phương trình:  x(x2 + y ) = y (y + 1) √4x + + y + = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Nhận thấy y = không nghiệm phương trình nên chia vế(1) cho y phương trình (1)tương đương: boxmath.vn 34 x x ( )3 + = y + y y y x Xét hàm số F (t) = t3 + t hàm số đồng biến F ( ) = F (y) suy x = y y √ √ thay vào phương trình (2) ⇒ pt(2) ⇔ 4x + + x + = suy x = 1, y = Hệ có cặp nghiệm (x,y) =(1;-1) (1;1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; −1); (1; 1) 199 Giải hệ phương trình:  3x2 + 3y + 10xy − = 2x2 + 2xy − 3x − 3y + = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Viết lại hệ phương trình:  (x + y)(2x − 3) + = 0(1) 3(x + y)2 + 4xy − = 0(2)   x + y = (x = ) − 2x ⇔   − x) − = 0(∗) + 4x( (3 − 2x)2 − 2x (∗) ⇔ x4 − 3x3 + 27 x2 − 3x + 32 = ⇔ 12 (x − 1)(2x3 − 4x2 + 3x − = 0) ⇔ x = −10 ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 0); (1; 200 Giải hệ phương trình:  x3 y(1 + y) + x2 y (2 + y) + xy − 30 = x2 y + x(1 + y + y ) + y − 11 = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Đặt a = x + y; b = xy(a ≥ 4b)  ab(a + b) = 30 ab + a + b = 11 Đặt ab = t; a + b = k(k ≥ 4t)    k=5       tk = 30  t=6 ⇒  t + k = 11   k=6       t = −5          ⇒          a=3            ⇒           x = (1; 2) y = (2; 1) √ √ + 21 − 21 x=( ; ) x=5 2√ 2√ − 21 + 21 y=1 y=( ; ) 2√ √ √ √ + 21 − 21 − 21 + 21 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 2); (2; 1); ( ; ); ( ; ) 2 2 b=2 201 Giải hệ phương trình:  x4 + y + 4x2 − 4y = x2 y + 2x2 + 6y = 23 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải 23 − 6y Từ phương trình số ta có: x2 = thay vào phương trình đầu sau thu gọn ta có : y+2 boxmath.vn 35 (y − 2y − 256y + 705) =0 (y + 2)2 Nên ta có : y − 2y − 256y + 705 = Phân tích thành nhân tử ta có : y=3 y=5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 3) (y − 3) (y − 5) (y + 8y + 17) = ⇔ 202 Giải hệ phương trình:     xyz = x2 y + y z + z x = 73    x(y − z)2 + y(z − x)2 + z(x − y)2 = 98 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Phương trình tương đương: xy + yz + zx2 + (x2 y + y z + z x) − 6xyz = 98 ⇔ xy + yz + zx2 = 73 ⇔ xy + yz + zx2 = 73 = x2 y + y z + z x ⇔ (x − y)(y − z)(z − x) = ⇒ x = y; y = z; z = x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = () 203 Giải hệ phương trình:  (x − 1)√y + (y − 1)√x = √2xy √ x√2y − + y √2x − = 2xy **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện :x, y ≥ √ Phương trình thứ hai tương đương với: x−1 + x √ √ √ y−1 x−1 y−1 = Ta thấy , ≤ y x y nên đẳng thức phải xảy Suy x = y = 2, thay vào PT thứ ta thấy thoả Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 2) 204 Giải hệ phương trình:  x  x + ( ) = y+1 y  2 y + ( ) = x+1 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Trừ hai phương trình hệ cho, ta thu được: boxmath.vn 36 x y x y − + =0 y+1 x+1 y+1 x+1 (x − y) (x + y) x y ⇔ (x − y) (x + y) + + =0 (x + 1) (y + 1) y + x +  x = ±y ⇔ x y + =0 1+ (x + 1) (y + 1) y + x + (x − y) (x + y) + ⇔ x = ±y (x + 1)2 (y + 1)2 + x2 + + y + = (vô nghiệm) Trường hợp 1:x = y, ta phải giải phương trình sau: x ) = x2 + ( x+1 2 ⇔ 4x (x + 2x + 2) = 5(x + 1)2 ⇔ 8x2 + 8x3 + 4x4 − 5x2 − − 10x = −1 x=  ⇔ (x − 1)(2x − 1)(2x + 5x + 5) = ⇔ x=1  Trường hợp 2: x = −y, ta phải giải phương trình sau: x x2 + ( ) = 1−x ⇔ 4x2 (x2 − 2x + 2) = 5(x + 1)2 ⇔ 3x2 − 8x3 + 4x4 − 5x2 − + 10x =  x = ⇔ (x + 1)(2x − 1)(2x − 5x + 5) = ⇔  x = −1 Thử lại, ta nhận nghiệm x = y = x = y = − 21 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 1); (− 12 ; − 12 ) 205 Giải hệ phương trình: √     x − 2x + 6log3 (6 − y) = x y − 2y + 6log3 (6 − z) = y   √   z − 2z + 6log (6 − x) = z **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải √ Xét đại diện phương trình (1): x2 − 2x + 6log3 (6 − y) = x ⇔ log3 (6 − y) = √ 6−x Có f (x) = √ > − x > đk tồn pt x2 − 2x +  log (6 − x) < log (6 − z) ⇔ f (z) < f (y) < f (x) 3 Giả sử x > y > z ⇒ f (x) > f (y) > f (z) x2 x = f (x) − 2x + (Vô lý) Cm tương tự với x < y < z (Vô lý) Vậy, x = y = z boxmath.vn 37 Thế vào ta có: log3 − x = f (x) Có: f (x) đồng biến, g(x) = log3 − x nghịch biến nên f (x) = g(x) có nghiệm Nhận thấy x = nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) = (3; 3; 3) 206 Giải hệ phương trình:  x + y = x2 + xy + y − y = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Tương tự coi phương trình (2) phương trình ẩn y tham số x ta được: −1 ≤ x ≤ Vậy phương trình (1)⇔ = x3 + y ≤ ( )3 + ( )2 < phương trình vô nghiệm 3 Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm Coi phương trình (2) phương trình ẩn x tham số y suy δ ≥ từ đó: ≤ y ≤ 207 Giải hệ phương trình:  √ 6 x − = 3x − y + 3y y 2 3x + √3x − y = 6x + 3y − **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải √ √ Phương trình (1): (3y − 3x − y)(y + 3x − y) = ⇔ √ 3y − 3x − y = 0(3) √ y + 3x − y = 0(4) Thế phương trình (3) vào phương tình (2): √ x = (13 + 73)   √ 6x + 3y = 6x + 3y = y = (−5 − 73) ⇔ √ 3y − 2√3x − y = 3y − 16 + 10y = x = (13 − 73) √ y = (−5 + 73) Thế phương trình (4) vào phương tình (2):    x=4        y + √3x − y = y + √3x − y =  y = −4  ⇔ ⇔ 6x + 5y = 2y − + 7y =  x=          y= √ √ √ 1 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ( (13 + 73); (−5 − 73)); ( (13 − 73); (−5 + 6 √ 1 73)); (4; −4); ( ; )             ⇔             208 Giải hệ phương trình:  |x| + |y| = x + y = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** boxmath.vn 38 Lời giải Ta thấy x nghiệm hệ −x nghiệm nên cần xét x ≥ Ta xét hai trường hợp: Nếu y ≥ ta có hệ:    x=1       x + y =  y=0 ⇔  x2 + y =   x=0       y=1 Nếu y < ta có hệ:  x − y = x + y = ⇔  x = y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 0); (0; 1) 209 Giải hệ phương trình:  x + 2y + 2√4x + y = 2(x + 3) = 46 − 2y(3 − 8x − 8y) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải √ 4x + y = − x − 2y Thế vào phương trình (2) ta : 46 − 16y(x + y) − 6y + − 2x − 4y = − 4y ⇔ 46 − 16y(x + y) − 6y = + 2x ⇔ 46 − 16y(x + y) − 6y = + 2x ⇔ 4x2 + 16y(x + y) + 16y + 24x + 6y − 10 = 0(3) √ Kết hợp (3)với (1) đặt:(x + 2y = u; 4x  + y = v; v > 0) cho ta hệ:    x = 4u2 + 6v = 10 v = ⇔ ⇔ −5  u + 2v = u = −1 y = −5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ( ; ) 7 210 Giải hệ phương trình:  x(4x2 + 1) + (y − 3)√5 − 2y = 4x2 + y + 2√3 − 4x = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải √ √ Nhân vế phương trình (1) với 2: (4x + 1)2x = (5 − 2y + 1) − 2y ⇔ f (2x) = f ( − 2y) √ − 4x2 Xét f (t) = (4t2 +1)2t ⇔ f (t) = 3t2 +1 > ⇒ f (t) đồng biến R ⇔ 2x = − 2y ⇒ y = √ 5−4x Thay vàp phương trình (2) : f (x) = 4x2 + ( )2 + − 4x = (0, );f (x) ngịch biến 1 ⇒ g( ) = ⇒ x = nghiệm 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ( ; ±3) 2 boxmath.vn 39