Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm ST: 0989.245.256 *Một số toán hình học giải tích không gian có yếu tố cực trị Dng 1: ng vuụng gúc v ng xiờn Bt ng thc tam giỏc x y z = = v mt phng ( P ) : x + y z = 1 Gi B l im i xng vi A qua Tỡm im C ( P ) cho di BC nh nht b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng x y z : = = cho độ dài MH nhỏ (A_2002) 1 c) Lp phng trỡnh mt phng (P) ct cỏc trc Ox, Oy, Oz ti A, B, C tng ng cho tam giỏc ABC x y z = = cú trng tõm G thuc ng thng : ng thi di OG nh nht 2 a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm A, B tơng ứng hai đờng thẳng x y +1 z x y z d1 : = = = = cho độ dài AB nhỏ ; d2 : (Dự bị ĐH_2006) 1 x y z = = b) Cho đờng thẳng : v hai im A(5; 4;3), B(6;7; 2) Tìm điểm M thuộc cho diện tích tam giác AMB nhỏ (D b H_2008) x +1 y z + = = c) Cho đờng thẳng : v hai im A(2;1; 1), B(1;3;0) Tìm điểm M thuộc cho diện tích tam giác AMB nhỏ (D b H_2010) a) Cho im A(2;1;0) ng thng : Cho A(1;1;3), B (2;1; 4) v mt phng ( P ) : x y z 12 = a) Cmr: AB / /( P) b) Tỡm hp tt c cỏc im M thuc ( P ) cho diện tích tam giác AMB nhỏ Cho A(1;0;0), B(2; 2;1) v mt phng ( P ) : x + y + z = a) Lp phng trỡnh mt phng trung trc (Q) ca on AB Lp phng trỡnh giao tuyn ca ( P ), (Q) b) Tỡm im M thuc ( P ) cho MA = MB v nh nht a) Cho t din ABCD cú A(1;1;6), B( 3; 2; 4), C (1; 2; 1), D(2; 2; 0) Tỡm im M trờn ng thng CD cho chu vi tam giỏc ABM nh nht (HD: AB CD nờn M l hỡnh chiu vuụng gúc ca A, B lờn CD Cú th s bt tam giỏc cho hai vộc t mt phng) x y z = = b) Cho A(0; 2; 3); B (4;1; 5) v ng thng d : Tỡm im M thuc d cho 2 chu vi tam giỏc ABM nh nht x y z = = a) Cho A(0; 2; 3); B(1;8;6) v ng thng d : Tỡm im M thuc d cho 2 r r r r rr chu vi tam giỏc ABM nh nht (HD: u + v u + v vi u , v l cỏc vộct mt phng) b) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) đờng thẳng : ( MA + MB ) nhỏ c) Cho A(5; 4;3); B(6;7; 2) v ng thng d : vi tam giỏc ABM nh nht x y + z = = Tìm điểm M thuộc cho 1 x y z = = Tỡm im M thuc d cho chu (DB_ 2008) Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm ST: 0989.245.256 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) đờng thẳng d : x y z = = 2 a) Tìm toạ độ điểm B hình chiếu vuông góc A lên d b) Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn (A_2008) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x y + z = hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong số đờng thẳng qua A song song với (P), lập phơng trình đờng thẳng mà khoảng cách từ B đến đờng thẳng nhỏ (B_2009) x +1 y z +1 = = Cho mt phng ( P ) : x + y + z = v ng thng d : Lp phng trỡnh 1 ng thng i qua im A(1; 1; 2) vuụng gúc vi d cho khong cỏch t im B (1;1; 1) n nú l ln nht, nh nht 10 a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) đờng thẳng x y + z : = = Trong số đờng thẳng qua A cắt , lập phơng trình đờng thẳng 1 cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng lớn ? nhỏ ? b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;2), B(2;1;1) đờng thẳng x +1 y z : = = Trong số đờng thẳng qua A cắt , lập phơng trình đờng thẳng 1 cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng lớn ? nhỏ ? 11 a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y z + = , điểm A(1;-1;2), đx + y + z = ờng thẳng d : Hãy viết phơng trình đờng thẳng qua A, song song với ( P ) cho x y + z = khoảng cách d lớn x +1 y z +1 = = b) Cho mt phng ( P ) : x + y + z = v ng thng d : Lp phng trỡnh 1 ng thng i qua im A(1; 1; 2) song song vi (P) cho khoảng cách d lớn 12 a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) hai đờng thẳng x y + z x y +1 z : = = , d: = = Trong số đờng thẳng qua A cắt , lập phơng 1 2 1 trình đờng thẳng cho khoảng cách d lớn b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;-1;2) hai đờng thẳng x +1 y z x y z : = = = = Trong số đờng thẳng qua A cắt , lập phơng , d: 1 2 trình đờng thẳng cho khoảng cách d lớn 13 Cho hai mt phng ( P ) : x y + z = 0, (Q) : x y + z + = v im M (0; 2;1) Lp phng trỡnh ng thng i qua im M cho nú ct hai mt phng trờn ti hai im A, B tha M l trung im AB ng thi di AB nh nht 14 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với hai đờng thẳng x y2 z+4 x + y z 10 : = = , : = = cho có bán kính nhỏ 1 2 1 15.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) Hãy lập phơng trình mặt cầu qua A, tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x + y + z 13 = có bán kính nhỏ 16.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A(-1;6;6), B(3;-6;-2) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm ST: 0989.245.256 a) (MA + MB) nhỏ b) MA MB lớn 17.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1), B(3;1;-2), C(1;-2;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) : x y + z = cho: a) ( MA + MB ) nhỏ (Tơng tự dự bị ĐH 2007) b) MA MC lớn c) ( MA2 MB MC ) lớn d) ( MA2 + 3MB ) nhỏ (Tơng tự dự bị ĐH 2007) uuur uuur uuuur e) MA + MB + MC nhỏ 18 Cho mt phng ( P ) : x y + z = v ba im A(1; 2; 1), B(2;1; 2), C (1;0; 1) Tỡm im M ( P ) cho a) ( MA + MB ) nhỏ b) MA MC lớn uuur uuur uuuur c) MA + 3MB MC nh nht d) MA2 MB + MC nh nht; MA2 + MB 3MC ln nht x y +1 z = = 19 Cho ng thng (d ) : v ba im A(2;3;0), B(0; 1; 2), C ( 2;1; 4) Tỡm im 2 M (d ) cho uuur uuur uuur uuur uuuur a) MA + MB nhỏ nhất; MA + MB MC nhỏ b) MA2 + MB + MC nh nht; MA2 MB ln nht 20 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A(1;4;2), B(-1;2;4) đờng thẳng x y + z : = = 1 a) Tìm điểm M thuộc cho ( MA2 + MB ) nhỏ nhất.(D_2007) uuur uuur b) Tìm điểm M thuộc cho MA + MB nhỏ 21 Cho mt phng ( P ) : x y + z + = v hai im A(3; 1; 2), B (1; 5;0) Tỡm im M ( P ) uuur uuur cho MA.MB nh nht 22 Cho mt phng ( P ) : x + y + z + = v mt cu ( S ) : x + y + z 10 x y z + 10 = T im M thuc ( P ) (ngoi ( S ) ) ta k ng thng tip xỳc vi ( S ) ti N Tỡm M MN nh nht Dng 2: Mt s bi toỏn cc tr liờn quan ti gúc x y + z = = Lập phơng trình mặt 1 phẳng (P) chứa cho góc (P) mặt phẳng (Oxy) nhỏ x +1 y z +1 = = b)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng d : điểm A(2;-1;0) 1 Hãy viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa A song song với d cho góc (P) mặt phẳng (Oxy) nhỏ 1.a)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng : Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm ST: 0989.245.256 x y + z = = Lập phơng trình 2.a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng : 1 mặt phẳng (P) chứa cho góc (P) trục Oy lớn b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;-1) mp ( P ) : x y + z + = viết phơng trình mặt phẳng qua A, vuông góc với ( P ) cho tạo với trục Oy góc lớn x2 y z = = c) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng : Lập phơng trình x y z = = mặt phẳng (P) chứa cho góc (P) ng thng d : lớn 2 x y + z x + y z = = ;d ': = = v mt phng ( P ) : x + y + z = Cho hai ng thng d : 2 Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng d cho a) Gúc gia hai mt phng ( P ), (Q) nh nht b) Gúc gia ( P ) v d ' l ln nht a) Lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 1; 2) song song vi ( P ) : x y z + = to x +1 y z = = mt gúc nh nht, ln nht vi ng thng d ' : 2 b) Lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 1; 2) song song vi ( P ) : x + y + z = to vi x +1 y z = = ng thng d ' : mt gúc nh nht, ln nht x y z + = = Lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1;0;1) ct ng thng : to 1 x3 y z +3 = = vi ng thng d ' : mt gúc nh nht, ln nht 2 Dng 3: Mt s bi toỏn cc tr s dng cỏc bt ng thc c bn, kho sỏt hm s x +1 y z = = Tỡm im M d Cho cỏc im A(1;0; 1), B (0; 2;3), C ( 1;1;1) v ng thng d : 2 uuuur uuur cho AM + BC nh nht x y z x y z +1 x +1 y z + = = ; d2 : = = ; d3 : = = Lp phng 1 2 1 trỡnh ng thng d vuụng gúc vi d3 , ct d1 , d ti A, B tng ng cho di AB nh nht x y z + x y + z = = ; d2 : = = Cho hai ng thng d1 : Lp phng trỡnh ng thng d 1 song song vi mt phng ( P ) : x + y + z = , ct d1 , d ti A, B tng ng cho di AB nh nht Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC bit A( a;0;0), B( a;0;0), C (0;1;0), B '( a;0; b)( a, b > 0) a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng BC v AC theo a, b b) Cho a, b > thay i tha a + b = Tỡm GTLN ca khong cỏch gia hai ng thng BC v AC (D-2004) x y z = = Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) đờng thẳng d : 2 a) Tìm toạ độ điểm B hình chiếu vuông góc A lên d Cho ba ng thng d1 : Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm ST: 0989.245.256 b) Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn (A_2008) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;2), B(2;1;1) đờng thẳng x +1 y z : = = 1 a) Trong số đờng thẳng qua A cắt , lập phơng trình đờng thẳng cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng lớn ? nhỏ ? b) Trong số đờng thẳng qua A cắt , lập phơng trình đờng thẳng cho khoảng cách d lớn Cho mt phng ( P ) : x + y z = v cỏc im A(1;0;0), B (0; 2; 3) Lp phng trỡnh ng thng d nm ( P ) i qua A cho khong cỏch t B ti d l ln nht, nh nht Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, lập phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1 ;2 ;4), cắt tia Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C tơng ứng (không trùng với gốc toạ độ) cho tứ diện OABC tích nhỏ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, lập phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1 ;2 ;3), cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C tơng ứng (không trùng với gốc toạ độ) cho 1 1 + ) nhỏ nhất; b) ( + + ) nhỏ nhất; a) ( + 2 OA OB OC OA OB OC c) (OA + OB + OC ) nhỏ (với A, B, C tơng ứng thuộc tia Ox, Oy, Oz); d) (4OA + 2OB + 3OC ) nhỏ (với A, B, C tơng ứng thuộc tia Ox, Oy, Oz) 10 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x y + z 14 = mặt cầu (S ) : x2 + y + z x + y + z = a) Lập phơng trình mặt phẳng chứa trục Ox cho cắt mặt cầu (S) theo đờng tròn có bán kính lớn ? Có bán kính ? b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) lớn ? Nhỏ ? (B-2007) x y z + = = 11 Cho mt cu ( S ) : x + y + z x + y z = v ng thng d : Cmr: (d ) ct ( S ) ti hai im A, B phõn bit Lp phng trỡnh mt phng ( P ) i qua A, B v ct mt cu ( S ) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh ln nht (DB-2010) ( P ) : x y + z + = A (0;1; 2), B(2;0;1) 12 Lp phng trỡnh mt cu cú tõm thuc mt phng , i qua v ct mt phng (Oxy) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh nh nht (DB-2010) x y x = = 13 Cho A(1;0;0), B(2; 1; 2), C (1;1;3) v ng thng d : Lp phng trỡnh mt cu 2 cú tõm thuc (d ) , i qua A v ct mt phng (ABC) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh nh nht (DB-2009) 14 Lp phng trỡnh ng thng (d ) i qua im M (0;0;1) , nm trờn mt phng ( P ) : x + y + z = v ct mt cu ( S ) : ( x 3) + ( y 2) + ( z 2) = 16 theo mt on thng cú di nh nht 15* Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z 3) = có tâm I hai đx = x = , : ờng thẳng : z = z = a) Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa cho cắt (S) theo đờng tròn (C) để thể tích khối nón đỉnh I, mặt đáy hình tròn (C), lớn b) Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa cho cắt (S) theo đờng tròn (C) để thể tích khối nón đỉnh I, mặt đáy hình tròn (C), lớn Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm ST: 0989.245.256 16 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(-1;-2;-3), C(1;0;-3) mặt cầu ( S ) : x + y + z x + z = Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) cho thể tích tứ diện ABCD lớn 17 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với hai đờng thẳng x y2 z+4 x + y z 10 : = = , : = = cho có bán kính nhỏ 1 2 1 18* Cho A(4;1; 2), B(1; 4; 2), C (1;1;5) v ng trũn ( K ) l giao ca mt phng ( P ) : x + y + z = vi mt cu ( S ) : x + y + z x y z = Cmr: A, B, C ( K ) v tam giỏc ABC u Tỡm M ( K ) cho MA + MB + MC ln nht