Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.2 Hàm lồi R 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính liên tục 1.2.3 Đặc trưng hàm lồi 12 Hàm lồi không gian tuyến tính định chuẩn 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Tính liên tục hàm lồi 14 1.3.3 Hàm lồi khả vi 16 1.3 Tính lồi hình cầu đơn vị 2.1 2.2 22 Một số khái niệm tính lồi không gian Banach 22 2.1.1 Không gian lồi chặt không gian lồi 22 2.1.2 Modun lồi không gian Banach 24 2.1.3 Đặc trưng lồi không gian 26 2.1.4 Đặc trưng không gian lồi chặt 28 Không gian siêu phản xạ 29 2.2.1 Không gian phương 29 2.2.2 Không gian siêu phản xạ 30 2.2.3 Đặc trưng không gian siêu phản xạ Modun lồi không gian có cấu trúc chuẩn tắc 3.1 35 Modun lồi không gian có cấu trúc chuẩn tắc 35 3.1.1 Số đặc trưng cấu trúc chuẩn tắc 36 3.1.2 Điều kiện đủ hàm modun lồi để không gian có cấu trúc chuẩn tắc 3.1.3 3.2 30 36 Điều kiện đủ cho tính ổn định cấu trúc chuẩn tắc 38 Cấu trúc chuẩn tắc trơn 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa Toán −Lý −Tin, phòng khảo thí đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học, thầy cô tổ môn Giải tích, đặc biệt thầy giáo Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, động viên có thêm nghị lực hoàn thành khóa luận Nhân dịp xin cảm ơn tới người thân bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn la, tháng năm 2015 Người thực Sinh viên: Trần Thị Hằng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết tập lồi hàm lồi có ví trí quan trọng toán học, liên quan đến hầu hết ngành toán học giải tích hàm, hình học, toán kinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến Một cách tổng quát, tính lồi không gian Banach ứng dụng làm cho chúng sử dụng rộng rãi toán học lý thuyết toán học ứng dụng Ở trường ĐH Tây Bắc đề tài nghiên cứu tính lồi không gian Banach ứng dụng chưa nghiên cứu nhiều, gây khó khăn cho sinh viên tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt sinh viên lớp Toán, khoa Toán - Lý - Tin Xuất phát từ lí chúng em mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu số tính lồi không gian Banach ứng dụng Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến tính lồi Từ nghiên cứu tính lồi không gian Banach ứng dụng 2.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận tính lồi không gian Banach ứng dụng 2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích trên, đặt nhiệm vụ tìm hiểu trình bày lại vấn đề kiến thức có liên quan cách có hệ thống logic Từ xây dựng sở tính lồi không gian Banach ứng dụng 2.4 Phương pháp nghiên cứu Do đặt nhiệm vụ đặc thù môn, chọn phương pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhóm nghiên cứu Từ hệ thống lại kiến thức theo nội dung khóa luận 2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu vấn đề tính lồi không gian Banach ứng dụng Bố cục Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục đề tài xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính lồi hình cầu đơn vị Chương 3: Modun lồi không gian có cấu trúc chuẩn tắc Đóng góp khóa luận Khóa luận trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan Xây dựng sở tính lồi không gian Banach ứng dụng Khóa luận tài liệu tham khảo có giá trị cho bạn sinh viên quan tâm đến vấn đề tính lồi không gian Banach ứng dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa tính chất không gian Banach, không gian Hilbert, làm sở cho nghiên cứu chương sau Trước hết khái niệm không quan định chuẩn quan trọng sau 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi hàm : E → R chuẩn không gian vector E thỏa mãn điều kiện sau: 1) x ≥ với x ∈ E 2) λx = |λ| 3) x+y ≤ x x = ⇒ x = 0, với λ ∈ K với x ∈ E, x + y với x, y ∈ E Chúng ta xét ví dụ chuẩn không gian vector sau Ví dụ 1.2 a) R không gian vector với x = |x|, x ∈ R chuẩn b) Rn không gian vector có chuẩn x = x21 + x22 + + x2n , x = (x1 , x2 , , xn ) Định nghĩa 1.3 Tập X không gian vector E gọi là: a) Tập lồi [a, b] ⊂ X với a, b ∈ X b) Tập cân λx ∈ X với x ∈ X λ ∈ K mà |λ| ≤ c) Tập hút với x ∈ E tồn số ε > cho λx ∈ X với λ ∈ K mà |λ| ≤ ε Định nghĩa 1.4 Không gian vector E với chuẩn cho E gọi không gian tuyến tính định chuẩn, hay thường gọi không gian định chuẩn Chú ý không gian định chuẩn không gian metrix với khoảng cách sinh chuẩn: d(x, y) := x − y , x, y ∈ E Như vậy, không gian định chuẩn có khái niệm giới hạn dãy điểm, dãy Cauchy, tập mở, tập đóng, tập compact, tập bị chặn, tập hoàn toàn bị chặn, giới hạn ánh xạ không gian định chuẩn Định nghĩa 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn E gọi không gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy Từ Ví dụ 1.2 định nghĩa trên, có ví dụ sau số không gian định chuẩn thường gặp Ví dụ 1.6 R không gian tuyến tính định chuẩn với x = |x|, x∈ R không gian định chuẩn Tổng quát Rn không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn Euclide x = x21 + x22 + + x2n , x = (x1 , x2 , , xn ) không gian định chuẩn Mệnh đề sau cho ta thấy tính liên tục hàm chuẩn không gian định chuẩn Mệnh đề 1.7 Nếu E không gian định chuẩn hàm chuẩn x → x liên tục E Chứng minh Trước hết ta ý tính liên tục theo nghĩa ánh xạ liên tục không gian metric Cho ε > bất kì, chọn δ = ε Khi đó, với x, y ∈ E, d(x, y) = x − y < δ | x 1.2.1 y | ≤ x − y = d(x, y) = δ = ε : E → R liên tục E Chứng tỏ hàm 1.2 − Hàm lồi R Định nghĩa Hàm f : I −→ R xác định số khoảng R, I khoảng mở, nửa mở, đóng hữu hạn hoăc vô hạn ( I điểm) Khi hàm f hàm lồi nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) x, y ∈ I, λ ∈ (0, 1) (có thể lấy λ ∈ [0, 1]) f gọi lồi nghiêm ngặt BĐT (1.1) nghiêm ngặt vớix = y Ý nghĩa: Nếu P, Q, R ba điểm đồ thị hàm số f , với Q nằm R P Q nằm cung P R Về độ dốc, ta có: Độ dốc P Q ≤ độ dốc P R ≤ độ dốc QR (1.2) Ví dụ 1.8 : Các hàm lồi: f (x) = x2 (−∞; +∞) g(x) = sin x [−π; 0] h(x) = |x| (−∞; +∞) Trong f (x), g(x) hàm lồi nghiêm ngặt Nếu hàm −f : I −→ R lồi hàm f : I −→ R hàm lõm Hàm f : R −→ R tuyến tính nếu: f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), ∀α, β, x, y ∈ R Hàm f : I −→ R hàm afin có dạng f (x) = mx + b I Rõ ràng hàm afin hàm lồi lồi nghiêm ngặt 1.2.2 Tính liên tục Một hàm lồi hữu hạn khoảng đóng [a; b] bị chặn M = max f (a), f (b), từ cho z = λa + (1 − λ)b, z ∈ [a; b] f (z) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) ≤ λM + (1 − λ)M = M bị chặn dưới, viết điểm tùy ý có dạng f( a+b + t đó: a+b a+b a+b ) ≤ f( + t) + f ( − t) 2 2 Hoặc : f( a+b a+b a+b + t) ≥ 2f ( ) − f( − t) 2 Mặt khác −f ( a+b − t) ≥ −M Do vậy: a+b a+b + t) ≥ 2f ( ) − M = m 2 Ta chứng minh cho khoảng đóng [a; b] miền, f( có số K, cho: ∀x, y ∈ [a; b] |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y| (1.3) Một hàm thoả mãn (1.3) với số K ∀x, y khoảng gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz ( lipschitz) khoảng Định lý 1.9 Nếu f : I −→ R hàm lồi, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz khoảng đóng [a; b] nằm phần I o I Kết quả, f hoàn toàn liên tục [a; b] liên tục I o Chứng minh Chọn > cho a − b + thuộc I Cho m M giới hạn giới hạn f [a − ; b + ] Nếu x, y ∈ [a; b], x = y Đặt: z=y+ |y − x| (y − x), λ = |y − x| + |y − x| Khi đó: z ∈ [a − ; b + ], y = λz + (1 − λ)x ta có: f (y) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x) = λ[f (z) − f (x)] + f (x) |y − x| f (y) − f (x) ≤ λ(M − m) < (M − m) = K|y − x| M −m , ∀x, y ∈ [a, b] Ở đó: K = Suy ra: |f (y) − f (x)| ≤ K|y − x| Mặt khác: a f hoàn toàn liên tục [a; b] tương ứng: ∀ > 0, ∃δ > cho: {(ai , bi )}ni=1 n khoảng mở, rời rạc [a; b] với (bi − ) < i=1 n |f (bi )f (ai )| < Chọn δ = δ, i=1 b Do lấy tùy ý {(ai , bi )}ni=1 ta f liên tục khoảng K nên ta có f hoàn toàn liên tục [a; b] Xét điểm w < x < y < z I o với P, Q, R S điểm tương ứng đồ thị f Áp dụng bất đẳng thức (1.2) cho điểm ta được: Độ dốc P Q ≤ độ dốc P R ≤ độ dốc QR ≤ độ dốc QS ≤ độ dốc RS (1.4) với bất đẳng thức nghiêm ngặt f lồi nghiêm ngặt Từ độ dốc P R ≤ độ dốc QR, rõ ràng: độ dốc QR tăng x ↑ y ; tương tự: độ dốc RS giảm z ↓ y Do phía trái bất đẳng thức f (x) − f (y) f (z) − f (y) ≤ x−y z−y 10 Chương Modun lồi không gian có cấu trúc chuẩn tắc 3.1 Modun lồi không gian có cấu trúc chuẩn tắc Trong chương này, nghiên cứu mối liên hệ tính lồi modun với không gian có cấu trúc chuẩn tắc Trước hết ta có khái niệm không gian có cấu trúc chuẩn tắc sau Định nghĩa 3.1 Một tập lồi K không gian X gọi có cấu trúc chuẩn tắc tập bị chặn, lồi S K với diamS > chứa điểm không điểm đường kính Không gian X gọi có cấu trúc chuẩn tắc tập lồi K có cấu trúc chuẩn tắc Ta có kết sau cho ta điều kiện đủ modun lồi không gian Banach làm cho không gian có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.2 Nếu modun lồi δ không gian Banach X thỏa mãn δ(1) > (nghĩa (X) < 1), X có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh Cho K ⊂ X tập đóng lồi với diam K = d > Lấy µ > cho d − µ > (X)d chọn u, v ∈ K u − v ≥ d − µ, z = 12 (u + v) Khi cho x ∈ K : x−u ≤ d, x−v ≤ d, u−v ≥ d−µ ta có x−z ≤ 1−δ 35 d−µ d d (3.1) từ δ d−µ d > 0, z không điểm đường kính K Từ phép chúng minh ta suy X lồi ( (X) = 0) với u, v ∈ K với u = v điểm z = 21 (u + v) không điểm đường kính K Do không gian lồi tất điểm đường kính K điểm cực trị K (Một điểm K gọi điểm cực trị điểm đầu điểm cuối đoạn nằm K chứa nó) Như vậy, thực rút kết luận chặt chẽ từ chứng minh Định lí 3.20 Những kết luận có liên quan đến khái niệm cấu trúc chuẩn tắc khai niệm sau 3.1.1 Số đặc trưng cấu trúc chuẩn tắc Khái niệm số đặc trưng cho cấu trúc chuẩn tắc sau đưa Bynum năm 1980 Định nghĩa 3.3 Số đặc trưng cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach X định nghĩa N (X) = sup r(K) : K ∈ X bị chặn lồi, diamK > diam(K) Nói cách khác, N (X) số nhỏ mà r(K) ≥ N (X)diam K với tập lồi bị chặn K X Rõ ràng N (X) ≤ 1, N (X) < X có cấu trúc chuẩn tắc 3.1.2 Điều kiện đủ hàm modun lồi để không gian có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.4 Nếu modun lồi δ không gian Banach X thỏa mãn δ(1) > 0, X có cấu trúc chuẩn tắc N (X) ≤ − δ(1) 36 Đặc biệt từ kết định lý, ta có r(K) ≤ (1 − δ(1)) diam K (3.2) từ cho ta đánh giá cho đường kính tâm Chebyshev C(K) K Thật vậy, lấy µ > chọn u, v ∈ C(K) cho u − v ≥ (1 − µ) diam C(K) Đặt z = 21 (u + v) chọn x ∈ K cho x − u ≤ r(K) z − x ≥ (1 − µ)r(K) Khi đó, x − v ≤ r(K), (1 − µ)r(K) ≤ z − x ≤ (1 − µ) diam C(K) r(K) 1−δ r(K) Suy (choµ → 0+ )δ[diam C(K)/r(K)] ≤ tức diam C(K) ≤ (X)r(K) Theo (3.2) diam C(K) ≤ (X)(1 − δ(1)) diam K (3.3) Kết cho thấy tâm Chebyshev tập lồi bị chặn không gian lồi chứa xác điểm.Mặt khác đánh giá (3.2) nhìn chung không chặt Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.5 Cho không gian Hilbert H, − δ( ) = (1 − ) (3.2) suy N (H) ≤ 32 Tuy nhiên, r(K) < ( 222 ) diam K bất đẳng thức tốt Thật vậy, K phần dương hình cầu đơn vị l2 , K = {x = xi : x ≤ 1, xi ≥ 0, i = 1, 2, }; r(K) = diam K = 2 Một công thức chung cho N (X) không gian Banach tùy ý nhìn chung chưa biết, hệ số hiểu đầy đủ số trường hợp đặc biệt Tiếp tục quay lại Định lý (3.4), ta xét trường hợp tự nhiên ε0 (X) = không gian có cấu trúc chuẩn tắc Ví dụ sau Bynum (1972) điều kiện ε0 (X) < chặt 37 Ví dụ 3.6 Xét không gian cổ điển lp = lp (N với ≤ p < +∞, bao dãy x = xn thỏa mãn p ∞ x |xn |p p= < +∞ n=1 Mỗi phần tử x ∈ lp biểu diễn x = x+ − x− thành phần thứ i x+ x− cho xi + |xi | ; |xi | − xi (x− )i = max 0, −xi = Bây cho p, q ∈ [1, +∞) tùy ý x ∈ lp đặt (x+ )i = max xi , = x p.q = x p,∞ = ( x+ q p x− + max x+ p, q 1q p) ; x− p Các bước cung cấp lp với họ chuẩn tương đương, tạo không gian ký hiệu lp.q Các không gian lp.q lồiđều p, q ∈ (1, ∞), (l p,∞ ) = (l p,1 ) = p Điều ta không gian lp,∞ cấu trúc chuẩn tắc, điều cho thấy giả thiết ε0 (X) < Định lý (3.4) chặt Hơn không gian lp,∞ lp,1 đối ngẫu nhau.Điều cho thấy cấu trúc chuẩn tắc không điều kiện bất biến qua phép lấy đối ngẫu.Kết cho thấy cấu trúc chuẩn tắc ổn định với số nhiễu nhỏ 3.1.3 Điều kiện đủ cho tính ổn định cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.7 Cho X không gian Banach cho X1 = (X, x2 = (X, ), α 1≤ 2≤ β 1) hai chuẩn tương đương X thỏa mãn α, β > 0, Khi đó, k = β α x x x 1, x ∈ X ( )N (X1 ) ≤ N (X2 ) ≤ kN (X1 ) k 38 (3.4) Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa Theo giả thiết Định lí 3.7 ta xác định mối quan hệ modun lồi δ1 = δX1 δ2 = δX2 Lưu ý với x, y ∈ X >   −1   x 2≤  x 1≤ α    −1 ⇒ (3.5) ⇒ y 2≤ y 1≤ α     x−y ≥  x − y ≥ β −1  x+y 1≤ (1 − δ1 ( k −1 ))α−1 ⇒ x+y 2≤ k(1 − δ1 ( k −1 )) Khi δ2 ( ) ≥ − k(1 − δ1 ( k −1 )) Từ ta thu kết sau Định lý 3.8 Với giả thiết Định lý 3.7, (X1 ) < k(1 − δ1 (k −1 )) < 1, (X2 ) < Ví dụ đánh giá chặt Ví dụ 3.9 Xét X1 = l2 không gian Xλ , λ > 1, định nghĩa Ví dụ 2.17 Khi k = kλ = λ δi2 ( ) = − (1 − ( )2 ) 52 λ < Trên thực tế, (Xλ ) tăng từ đến λ tăng từ đến 2 Ngoài 52 với ≤ λ < 2 , theo Định lí N (X1 ) ≤ kN (X1 ) = λN (X1 ) < 1, 1 Xλ có cấu trúc chuẩn tắc với < λ < 2 Nhưng với 522 < λ < 2 , 1< (Xλ ) = 2(λ2 − 1) < Với λ = 2 , (Xλ ) = k = 2 Ở Xλ cấu trúc thông thường kể từ K ⊂ X2 21 xác định ∞ K= x2i ≤ x = xi : xi > 0, i=1 thỏa mãn r(K) = diam K = tương ứng với chuẩn X2 21 39 Như ví dụ rằng, không gian lồi (không gian Hilbert) có chuẩn (tương đương) làm cho cấu trúc chuẩn tắc Mặt khác ý trước đó, không gian siêu phản xạ có chuẩn tương đương lồi Điều cho phép rằng, theo nghĩa rấ không bình thường không gian cấu trúc chuẩn tắc Chúng ta bắt đầu với kết sau Bổ đề 3.10 Giả sử X, ) không gian siêu phản xạ chuẩn lồi X tương đương với chuẩn µ > 0, chuẩn µ l Khi cho xác định x µ= x +µ x 0, x ∈ X, lồi Chứng minh Chỉ cần với xn yn thuộc X, điều kiện lim xn n→∞ suy lim n→∞ µ= lim yn n→∞ x n − yn µ= µ= n→∞ lim xn + yn µ= + (3.6) Để làm điều này, từ (3.6) suy xn + yn µ n→∞ = lim inf( xn + yn +µ xn + yn ) n→∞ ≤ lim inf( xn + yn +µ xn + yn ) n→∞ = lim inf { xn µ + yn µ +µ[ xn + yn −( xn n→∞ = − lim sup µ( xn + yn − xn + yn ) = lim yn )]} n→∞ Vì lim sup( xn n→∞ lồi đều, nên lim n→∞ µ, lim n→∞ x n − yn + yn xn − yn µ= − 0= x n − yn 0) Nên = tương đương với Theo hệ trên, tiêu chuẩn X đóng chuẩn lồi Chúng trình bày sau 40 Với hai sở tương đương chuẩn 1, không gian Banach X, thiết lập κ( 1, 2) = inf β/α : α 1≤ x 2≤ x β x ∀x ∈ X 1, Nói cách khác, κ( 1, 2) = sup( x / x ) sup( x=0 x=0 = I1 x / x 2) I2 , Ở hai số cuối biểu thị tự đồng cấu chuẩn nhóm đơn vị tương ứng ánh xạ từ (X, (X, ) 1) đến (X, 2) từ (X, 2) đến Các hàm số κ gọi khoảng cách Banach- Mazur hai sở tương đương, khoảng cách metric κ( 1, 1= 1) Tuy nhiên, đại số đối xứng từ, κ( 1, 3) ≤ κ( 1, ).κ( 2, ), họ N chuẩn tương đương X lũy thừa cách lấy ρ( 1, 2) = ln κ( 1, ) Từ kết biết trước đó, thu kết sau Định lý 3.11 Nếu (X, ) không gian Banach siêu phản xạ N = (N, ρ) kí hiệu không gian tất chuẩn X tương đương với chuẩn Khi (a) Các họ tất chuẩn lồi N trù mật N; (b) Các họ tất chuẩn N với < mở trù mật N; (c) Các họ tất chuẩn N cho ứng với chuẩn X có cấu trúc chuẩn tắc mở trù mật N Như vậy, theo kết không gian tính chất siêu phản xạ có chuẩn lồi tương đương với chuẩn cho Tuy nhiên ý tưởng mở rộng nhờ vào kết V Zizler Để làm điều cần tới định nghĩa sau 41 Định nghĩa 3.12 Cho (X, ) không gian Banach z ∈ X phẩn tử cho z = 1, ta gọi modun lồi X theo hướng z hàm δz : [0, 2] → [0, 1] xác định δz (ε) = inf{1 − x + y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = εz} Nếu δz (ε) > với ε > với z ∈ X, ta nói X lồi theo hướng Zizler rằng, không gian X lồi theo hướng, xong không lồi (thậm chí trường hợp ε0 (X) = 2) Tất nhiên không gian phải lồi chặt Chúng ta nhức lại rằng, họ hàm J không gian X gọi tách điểm x, y ∈ X tồn hàm f ∈ J cho f (x) = f (y) Từ đến kết Zizler Định lý 3.13 (Zizler, 1971) Giả sử (X, ) không gian Banach có không gian đối ngẫu X ∗ chứa họ đếm hàm J tách điểm X Khi đó, tồn chuẩn X tương đương với chuẩn cho lồi theo hướng Chứng minh Chúng ta sơ lược phép chứng minh Zizler sau Cho S = f1 , f2 , µ > Với x ∈ X, ta đặt ∞ x µ = x +µ i=1 fi (x) 2i 2 Khi chứng minh chuẩn chuẩn lồi theo hướng với µ đủ nhỏ gần với theo metric ρ Rõ ràng Định lí Zizler áp dụng cho tất không gian tách Thật vậy, x1 , x2 , tập hợp đếm X, theo Định lí Hahn - Banach, tồn hàm fij ∈ X ∗ cho fij (xi − xj ) = xi − xj Rõ ràng họ f = fij điểm tách điểm X Định lý 3.14 Giả sử X thỏa mãn giả thiết Định lí Zizler Sau đó, họ tất chuẩn N có cấu trúc chuẩn tắc hội tụ N 42 Chứng minh Bởi họ tất chuẩn N (lồi theo hướng) trù mật N, ta cần chứng minh tất chuẩn có cấu trúc chuẩn tắc Cho K bị chặn, đóng lồi, giả sử u, v ∈ K với u = v Ta có z = (u − v)/ u − v w = 12 (u + v) Khi với x ∈ K, ta có x − u ≤ diam K x − v ≤ diam K ⇒ x−w ≤ − δz u−v diam K diam K, điều cho ta thấy w điểm đường kính Do không gian tách thỏa mãn giả thiết Định lý Zizler, đồng thời nhiều không gian tách không phản xạ, Định lý không gian không phản xạ có cấu trúc chuẩn tắc, chí có đặc trưng lồi ε0 = Chúng ta có ví dụ thú vị sau Ví dụ 3.15 Cho C[0, 1] cho tn dãy trù mật [0, 1] Cho chuẩn µ với µ > xác định C[0, 1] thiết lập ∞ x µ x(ti ) 2i = max |x(t)| + µ i=1 2 , x ∈ C[0, 1], chuẩn lồi theo hướng Do C[0, 1] không gian phổ dụng lớp không gian Banach tách, điều chuẩn tồn cho không gian tách nhúng đẳng cự vào không gian C[0, 1] Mặt khác, thấy ánh xạ T : K → K xác định K = x ∈ C[0, 1] : = x(0) ≤ x(t) ≤ x(l) = cách lấy (T x)(t) = tx(t) không ánh xạ co mờ (ánh xạ có hệ số co 1) mà ánh xạ co chuẩn µ Nhận xét 3.16 Lý thuyết không gian chuẩn tắc hay chuẩn tắc đều, lồi đều, không gian phổ dụng lý thuyết điểm bất 43 động Từ Ví dụ 3.15, thấy tính chất điểm bất động cho ánh xạ co mờ không đảm bảo tính chất cấu trúc chuẩn tắc 3.2 Cấu trúc chuẩn tắc trơn Trong mục này, dành cho việc trình bày mối quan hệ tính lồi hay cấu trúc chuẩn tắc không gian với tính chơn Định nghĩa 3.17 Một không gian Banach X gọi trơn với x = 1, tồn tai x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn x ∈ X với x∗ = x∗ (x) = Không khó khăn để chứng minh không gian Banach X trơn với x, y ∈ X với x = giới hạn sau tồn lim t−1 [ x + ty − t→0 x ] = ϕx (y) (3.7) giới hạn xác định hàm số ϕx ∈ X ∗ gọi đạo hàm Gateaux x Định nghĩa 3.18 Một không gian Banach X gọi trơn giới hạn định nghĩa (7.1) tồn tập {(x, y) : x = y = 1} ; X trơn với > tồn δ > cho |t| < δ x, y ∈ X với x = y = 1, | x + ty − Nếu giới hạn (7.1) tồn với x −ϕx (y)| < |t| y = x cố định, chuẩn X gọi khả vi Fréchet Như với modun lồi, mở rộng không gian Banach tính trơn cách đưa khái niệm modun trơn Định nghĩa 3.19 Các modun trơn không gian Banach X hàm số ρX : [0, ∞) → [0, ∞) xác định ρX (τ ) = sup [ x + τy + x − τy ] − : x = y = 44 (3.8) Dễ dàng thấy không gian X trơn ρX (τ ) ρX (0) = lim = (3.9) τ →0 τ Giới hạn đóng vai trò việc mở rộng "tính trơn" tương tự (X) việc mở rộng tính lồi Định lý 3.20 Đối với không gian Banach X: (a) ρX ∗ (τ ) = sup ( τ2 ) − δX ( ) : ≤ ≤ với τ > (X) ρX ∗ (τ ) = (b) ρX ∗ (0) = lim τ →0 τ (c) X không gian lồi X ∗ trơn Chứng minh Với τ > 0, x, y ∈ X, vàx∗ , y ∗ ∈ X ∗ , 2ρX ∗ (τ ) = sup { x∗ + τ y ∗ + x∗ − τ y ∗ −2 : x∗ = y ∗ = 1} = sup {x∗ (x) + τ y ∗ (x) + x∗ (y) − τ y ∗ (y) − : x = y = x∗ = y ∗ = = sup { x + y +τ x−y −2 : x = y = 1} = sup { x + y +τ − : x = y = 1; x − y = , ≤ ≤ 2} = sup {τ − 2δX ( ) : ≤ ≤ 2} Khi khẳng định định lý dễ dàng suy từ đánh giá Bởi tất không gian lồi đều siêu phản xạ không gian trơn tất không gian siêu phản xạ có chuẩn tương đương cho vừa lồi vừa trơn Mặt khác câu hỏi đặt liệu không gian trơn có có trúc chuẩn tắc không vấn đề đặt Năm 1982, B Turett tiên đoán điều này, cung cấp phép chứng minh đơn giả S Prus Định lý 3.21 Nếu không gian Banach X có ρX (0) < 12 , X siêu phản xạ có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh Tính chất siêu phản xạ suy từ tính chất không gian hiển nhiên đối ngẫu với không gian mà có tính chất ε0 < 45 Nếu X không siêu phản xạ với c < tồn x1 , x2 hình cầu đơn vị X x∗1 , x∗2 hình cầu đơn vị X ∗ cho x∗1 (x1 ) = x∗1 (x2 ) = x∗2 (x2 ) = c; x∗2 (x1 ) = Do tất τ > ρx (τ ) ≥ ( x2 + τ x1 + x2 − τ x1 ) − ∗ ≥ [x1 (x2 + τ x1 + x∗2 (x2 − τ x1 )] − = c(1 + (τ /2)) − Ở c < tùy ý, ρX (τ ) ≥ τ /2 Bây giả sử X cấu trúc chuẩn tắc.Chúng quan sát thấy trước nhận xét tính chất điểm đường kính suy tồn dãy xn hình cầu đơn vị X mà w − limn→∞ xn = 0, limn→∞ xn = 1, diam x1 , x2 , ≤ Xét dãy x∗n với chuẩn mà x∗n (xn ) = xn , n = 1, 2, Từ X ∗ phản xạ giả sử x∗n hội tụ yếu đến phần tử x∗ ∈ X ∗ Chọn i cho|x∗ (xi )| < /2 xn > − với n ≥ i Khi cho j > i đủ lớn, |(x∗j − x∗ )(xi )| < /2, |x∗i (xj )| < Do đó, |x∗j (xi )| < có với τ ∈ (0, 1) : ρX (τ ) ≥ ( xi − xj + τ xi + xi − xj − τ xi ) − ≥ ( x∗i ((1 + τ )xi − xj )| + |x∗j (xj − (1 − τ )xi )|) − ≥ ((1 + τ )(1 − ) − + − − (1 − τ ) ) − = (τ /2) − , > tùy ý, ρX (τ ) ≥ τ /2 từ ρX (0) ≥ 21 , mâu thuẫn với giả thiết ρX (0) < 12 46 Nhận xét 3.22 Chúng ta ý điều kiện ρX (0) < suy X có cấu trúc chuẩn tắc Tuy nhiên điều thú vị phép chứng minh trên, Prus Khamsi (1987) lại chứng minh theo cách khác cách trực tiếp nêu 47 KẾT LUẬN Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu khóa luận giải vấn đề đặt ra: Trình bày số tính lồi không gian Banach ứng dụng Cụ thể, trình bày vấn đề liên quan đến tính lồi hàm lồi đặc biệt không gian định chuẩn Từ đó, chương 2, trình bày định nghĩa không gian lồi quan trọng có không gian lồi chặt không gian lồi mối quan hệ chúng Điều ý tính lồi không gian liên quan mật thiết tới tính lồi hình cầu đơn vị không gian Tiếp theo đó, nghiên cứu số đặc trưng lồi không gian, kết cho thấy có liên quan mật thiết chúng modun lồi không gian Trong cuối chương 1, dành cho việc nghiên cứu số không gian quan trọng không gian phương không gian siêu phản xạ Trong chương 3, nghiên cứu số ứng dụng kết trình bày chương để nghiên cứu không gian có cấu trúc chuẩn tắc Cụ thể kết cho thấy có tính liên hệ mật thiết modun lồi không gian với tồn cấu trúc chuẩn tắc không gian cho Đây nội dung chương phần khóa luận Do thời gian nghiên cứu có hạn kiến thức chuyên môn chưa tích lũy nhiều nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp, giúp đỡ, góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Cơ Sở Lí Thuyết Hàm Giải Tích Hàm, Nxb Giáo dục [2] Phạm Minh Thông (2007), Giải Tích Hàm, Nxb Giáo dục [3] K Goebel and W A Kirk (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press 49 [...]... nay, các nhà toán học đã mở rộng và phát triển lớp các không gian khác liên quan tới tính lồi Trước hết là khái niệm không gian lồi đều sau đây của Clarkson đưa ra lần đầu năm 1936 2.1 2.1.1 Một số khái niệm về tính lồi trên không gian Banach Không gian lồi chặt và không gian lồi đều Chúng ta bắt đầu bằng định nghĩa sau 22 Định nghĩa 2.1 Một không gian Banach X được cho là lồi đều nếu cho mỗi ∈ (0, 2]... chung hầu hết đều liên quan đến bản chất của tính lồi của hình cầu lồi đơn vị Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính chất lồi của tập trong không gian Banach thông qua tính lồi của hình cầu đơn vị Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm về không gian lồi chặt sau đây Chúng ta nói không gian định chuẩn X là không gian lồi chặt là những không gian thỏa mãn tính chất sau: Với x, y ∈ X  x ≤1    x+y... 2 Tính đơn điệu ngặt của hàm δX trên [ 0 , 2] dễ dàng suy từ định nghĩa do δX là infimum của các hàm không giảm, lồi δu,v Chúng ta lưu ý rằng điều đó không suy ra được tính lồi của δX Thật vậy, tồn tại không gian con hai chiều không có tính chất modun lồi (xem Ví dụ 2.19) Các modun lồi của một không gian Banach là một bất biến qua phép đẳng cự Thật vậy, nếu (X, X) và (Y, ) là không gian Banach và. .. xét một chuẩn khác trên c0 như sau Với x = xi ∈ c0 ta xác định chuẩn mới ∞ x µ= x c0 +µ i+1 23 xi i 2 1 2 Như trong Ví dụ (2.3), không gian (c0 , µ) với µ > 0 là lồi chặt nhưng không lồi đều, trong khi c0 không lồi chặt với chuẩn thông thường đã cho Các khái niệm sau đây là hữu ích trong việc nghiên cứu các tính chất hình học của không gian Banach một cách có hệ thống hơn 2.1.2 Modun lồi của không gian. .. của R C James Định nghĩa 2.13 Không gian Banach X được gọi là không gian chính phương đều nếu 0 (X) < 2 Đây là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết không gian Banach Đồng thời R C James (1964) đã chứng tỏ rằng tất cả các không gian không chính phương đều đều là phản xạ và sau đó P Enflo (1972) đã chứng minh rằng tất cả các không gian như vậy đều có một chuẩn tương đương lồi đều Các nội dung này được... 1 Điều này cho thấy đồ thị của µ đối xứng qua đường thẳng µ + = 1 2.2 2.2.1 Không gian siêu phản xạ Không gian chính phương đều Các modun lồi trong một số trường hợp có liên quan chặt chẽ tới tính lồi của không gian Banach đã cho Thật vậy, có thể nói nếu X và Y là hai 29 không gian Banach và nếu δX ( ) ≥ δY ( ) với mọi X là "lồi hơn" hoặc "tròn hơn" Y Nếu 0 (X) ≤ ∈ [0, 2] thì có thể nói 0 (Y ) khi... xác định không âm đối với mỗi x ∈ U Hơn nữa, nếu ma trận Hessian xác định dương trên U thì f lồi nghiêm ngặt 21 Chương 2 Tính lồi của hình cầu đơn vị Lớp của không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc là một lớp đủ tốt theo nghĩa trong lớp này mọi không gian chỉ chứa các tập lồi bị chặn tầm thường chứa các điểm đường kính Có nhiều cách khác nhau để nghiên cứu tính chất hình học của một không gian Banach. .. là một đường chéo có hướng π 4 hoặc −π 4 bất đẳng thức trên sảy ra Như vậy các modun lồi của (R, )  1 0 nếu 0 ≤ ≤ 2 2 δ( ) = max 1 − (2 − 2 ) 12 , 1 − (1 − 2 ) 12 nếu 2 12 ≤ ≤ 2 2 8 là hàm không lồi 34 khi đó Chương 3 Modun lồi và không gian có cấu trúc chuẩn tắc 3.1 Modun lồi và không gian có cấu trúc chuẩn tắc Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa tính lồi modun với không gian. .. niệm không gian có cấu trúc chuẩn tắc như sau Định nghĩa 3.1 Một tập lồi K của không gian X được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mỗi tập con bị chặn, lồi S của K với diamS > 0 đều chứa một điểm không là điểm đường kính Không gian X gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi K đều có cấu trúc chuẩn tắc Ta có kết quả sau đây cho ta một điều kiện đủ của modun lồi của một không gian Banach làm cho không. .. → Y là một đẳng cấu, khi đó ta xét Y với chuẩn mới y A−1 y A= X là tương ứng đẳng cự đến X và có cùng các modun lồi Trong trường hợp tổng quát, nói chung là khó khăn để mô tả các modun lồi của không gian Banach Tuy nhiên theo (2.5), nếu E là không gian con hai chiêu của không gian Banach X thì ta có thể áp dụng khẳng định sau: δX ( ) ≤ δE ( ) và 0 (E) ≤ 0 (X) Bây giờ chúng ta chuyển sang một số ví dụ