Chương IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT Bài viết giới thiệu đến bạn số Phương pháp giải phương trình mũ - Logarit, với mong muốn nhiều tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, qua chuẩn bị hành trang cho bạn học sinh kỳ thi tuyển sinh vào Đại học LÝ THUYẾT Cho phương trình ax = m (a > 0, a = 1), ta có: • Nếu m > phương trình cho có nghiệm x = loga m • Nếu m phương trình cho vô nghiệm Hàm số logarit: • ac = b ⇔ c = loga b • aloga b = b • loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 • loga bα = α loga b • loga c = logb c logb a • logb c = logb a loga c • loga b = logb a • logaα c = loga c α Sau số phương pháp giải phương trình mũ - logarit PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp phổ biến toán phương trình hệ phương trình Các toán giải phương trình mà ta áp dụng phương pháp này, dễ, ta thấy dấu hiệu biểu thức chứa biến lặp lặp lại nhiều lần, khó hơn, ta cần phải có biến đổi khéo léo, chủ yếu để đưa hình dạng sơ khai toán, phương trình với biểu thức chứa biến lặp lại Cũng có trường hợp, toán yêu cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác, nhằm tạo phương 158 159 trình hệ phương trình dễ dàng giải Sau đây, xét ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ ý tưởng giải toán dạng Bài Giải phương trình 2x −x + 22+x−x = Giải Ý tưởng: Ta nhận thấy biểu thức x2 − x lặp lại phương trình Vì thế, ta có ý tưởng phải đặt ẩn thay cho biểu thức Lời giải: Đặt t = x2 − x, phương trình cho trở thành: 2t + 22−t = ⇔ 2t + = ⇔ (2t )2 + = 3.2t t Đến đây, ta lại thấy phương trình thu có biểu thức 2t lặp lại, ta đặt thêm ẩn Đặt u = 2t , ta : u2 − 3u + = Phương trình vô nghiệm Do đó, ta có phương trình cho vô nghiệm ✷ Bài Giải phương trình log2 x + 10 log2 x + = Giải Đặt t = log2 x, phương trình viết lại thành: t+ √ 10t + = ⇔ t ⇔t=3⇒x=8 10t + = t2 − 18t + 81 Vậy phương trình cho có nhiệm x = ✷ Nhận xét: Ở hai toán trên, biểu thức lặp lại “phơi bày” trước mắt, dễ dàng nhận biết phương pháp đặt ẩn phụ toán Những toán sau đây, biểu thức chứa biến lặp lại bị giấu đi, từ đơn giản, đến tinh xảo, độ khó việc tìm quy tắc “bí ẩn” đấy, nấc thang để định mức độ khó toán Bài Giải phương trình 34x+8 − 4.32x+5 + 27 = (∗) Giải Ý tưởng: Với toán này, ta nhận thấy hạng tử phương trình có lũy thừa 3, đó, ta triệt tiêu lũy thừa Lời giải: Ta có: (∗) ⇔ 34x+8 − 4.32x+5 + 33 = ⇔ 34x+5 − 4.32x+2 + = ⇔ 3.34x+4 − 4.32x+2 + = 160 Đến đây, ta dễ dàng có cách đặt ẩn phù hợp Đặt t = 32x+2 > Phương trình cho trở thành:  t=1 32x+2 = 3t2 − 4t + = ⇔  ⇒ 32x+2 = 3−1 t= −1; − Vậy phương trình cho có tập nghiệm S =  ⇔ x = −1 x=− ✷ Ta luyện tập thêm với toán Bài Giải phương trình 22x+6 + 2x+7 − 17 = (∗) Giải Ta có: (∗) ⇔ 22x+6 + 16.2x+3 − 17 = Đặt t = 2x+3 > 0, ta có: t2 + 16t − 17 = ⇔ t=1 ⇒ 2x+3 = ⇔ x = −3 t = −17 (loại) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {−3} ✷ √ x √ x Bài Giải phương trình + + − = (∗) Giải Ý tưởng: Với toán này, để ý + làm xuất biểu thức chung Lời giải: Ta có: √ (∗) ⇔ + Đặt t = + √ x √ 2− x + 2+ √ √ = Ta nhân lượng liên hợp để x =4 > Phương trình trở thành: √ t=2+ √ ⇒ t+ =4⇔ t t=2− √ x √ 2+ =2+ x=1 √ −1 ⇔ √ x x = −1 2+ = 2+ Vậy phương trình cho có nghiệm x = ±1 ✷ Bài Giải phương trình 2.16x − 15.4x − = Giải Ý tưởng: Ta ý 16x = (4x )2 , đó, ta định hướng phương pháp đặt ẩn phụ 161 Lời giải: Đặt t = 4x > 0, ta có:  2t2 − 15t − = ⇔  t=8 ⇒ 4x = ⇔ 22x = 23 ⇔ x = t = − (loại) ✷ Vậy phương trình có nghiệm x = √ x √ x Bài Giải phương trình + + 16 − = 2x+3 (∗) Giải √ Ý tưởng: Với toán này, ý tưởng nhân lượng liên hợp cho (3 − 5) Thế nhưng, vế phải phương trình 2x+3 , đó, ta cần phải biến đổi phương trình cho biến x hạng tử 2x+3 Lời giải: Ta có: √ x √ x 3+ 3− (∗) ⇔ + 16 =8 2 Đến đây, ta dùng lượng liên hợp bình thường √ x √ x 3− 3+ >0⇒ = Ta có: Đặt t = t 16 =8⇔t=4⇒ t+ t √ 3+ x = ⇒ x ln √ 3+ = ln ⇔ x = ln √ ln + − ln ln √ ✷ ln + − ln √ x √ x Bài Giải phương trình + − − + = Vậy phương trình có nghiệm x = Giải Viết lại phương trình: 2+ Đặt t = + √ x >0⇒ t2 − √ 2x −3 2− √ x +2=0 √ x = − Ta có: t √ t=1 +2=0⇔ ⇒ 2+ t t −t+3=0 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ 1 Bài Giải phương trình 2.4 x + x = x Giải x =1⇔x=0 162 Ý tưởng: Bài toán yêu cầu chúng cần phải biến đổi hợp lý để tạo biểu thức thích hợp cho việc đặt ẩn phụ Lời giải: Phương trình cho tương đương với 2+ Đặt t = x 2 x = x > 0, ta có: + t = t2 ⇔ ⇒ x =2⇒ t = −1 (loại) ⇔t=2 t=2 ln x = ln ⇔ x = log2 − Vậy phương trình cho có nghiệm x = log2 − ✷ Bài 10 Giải phương trình 3.16x + 2.81x = 5.36x Giải Phương trình cho tương đương với 3+2 Đặt t = 2x =5 x x > Phương trình trở thành:   t=1 x=0 + 2t2 = 5t ⇔  ⇒ t= x= 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0; ✷ Bài 11 Giải phương trình 125x + 50x = 23x+1 Giải Phương trình tương đương với Đặt t = x 125 x + 50 x = > Ta có: t3 + t2 − = ⇔ t = ⇒ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ Bài 12 Giải phương trình + =1 − log x + log x 163 Giải Đặt t = log x, suy t=4 Phương trình trở thành t = −2 t=1 x = 10 + =1⇔ ⇒ 4−t 2+t t=2 x = 100 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 10 x = 100 ✷ Bài 13 Giải phương trình + log0.04 x + + log0.2 x = Giải Ý tưởng: Đối với biểu thức loga f (x) với a > 0, điều kiện để hàm logarit tồn f (x) > Khi tiến hành giải toán phương trình logarit, ta phải đặc biệt ý đến điều kiện xác định toán Lời giải: ĐKXĐ: log0.2 x −2, x > Đặt t = log0.2 x ⇒ t −2 Ta có: √ 1+ t+ 3+t=1⇒2 Do t −1 nên −3 − t t + t + = −3 − t 2 0, suy t = −2, hay x = 25 ✷ Bài 14 Giải phương trình logx2 16 + log2x 64 = Giải không thỏa mãn phương trình cho Với số biến đổi nhỏ, phương trình tương đương với: Ta nhận thấy x = x = + =3 log2 x + log2 x Đặt t = log2 x ⇒ t=0 Ta có: t = −1  t=2 x=4 + =3⇔ ⇒ t t+1 x = 2−1/3 t=− Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 4; 21/3 ✷ Bài 15 Giải hệ phương trình sau: log1+x (1 − 2y + y ) + log1−y (1 + 2x + x2 ) = (1) log1+x (1 + 2y) + log1−2y (1 + 2x) = (2) (ĐH Quốc gia TP HCM) 164 Giải Điều kiện: 0 2x + 3x+1 + 5x+2 ∗ Nếu x < 22x−1 + 32x = 52x+1 < 2x + 3x+1 + 5x+2 ∗ Nếu x = 22x−1 + 32x = 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2 (= 136) Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Bài Giải phương trình 32x + 42x = 2.12x Giải Áp dụng BĐT AM-GM, ta có: 32x + 42x ∗ Nếu x > 0: 3x < 4x ∗ Nếu x < 0: 3x > 4x ∗ Nếu x = 0: 3x = 4x = 2.12x Dấu đẳng thức xảy ra, đó: 3x = 4x Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ Bài Giải phương trình x + log(x2 − x − 6) = + log(x + 2) Giải Phương trình trở thành: x + log(x + 2) + log(x − 3) = + log(x + 2) ⇔ x+2>0 ⇔ log(x − 3) = − x x>3 log(x − 3) = − x ∗ Nếu x > log(x − 3) > log = > − x ∗ Nếu < x < log(x − 3) < log = < − x ∗ Nếu x = log(x − 3) = log = = − x Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Bài Giải phương trình (1 + 2x )(1 + 3x )(1 + 36x ) = (1 + 6x )3 Giải Ta có BĐT sau: (1 + x)(1 + y)(1 + z) (1 + √ xyz)3 , ∀x, y, z > Áp dụng vào toán, ta có: (1 + 2x )(1 + 3x )(1 + 36x ) (1 + √ 2x 3x 36x ) = (1 + 6x )3 167 Dấu đẳng thức xảy ra, 2x = 3x = 36x ⇒ x = Vậy phương trình có nghiệm x = ✷ Bài Giải phương trình x = 2log5 (x+3) Giải ĐKXĐ: x + > ⇔ x > −3 Đặt t = log5 (x + 3) ⇒ x = 5t − Ta có: t t −3=2 ⇔ t t −3 t =1 t 5 ∗ Nếu t > −3 > − = 2 t t 5 ∗ Nếu t < −3 < − = 2 t t ∗ Nếu t = −3 = Do t = 1, hay x = (nhận) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ✷ Nhận xét: Với toán trên, thấy bước biến đổi kinh điển phương pháp đánh giá BĐT Còn toán sau đây, bạn cần phải có kết hợp khéo léo BĐT việc xét tính đơn điệu hàm số Bài Giải phương trình x.2x = x(3 − x) + 2(2x − 1) Giải Phương trình cho tương đương với: (x − 2)(2x + x − 1) = ⇔ x = (nhận) 2x + x − = Xét phương trình 2x + x − = Đặt f (x) = 2x + x − Ta có f (x) = ln 2.2x + > ∀x ∈ R Nhận thấy x = thỏa phương trình này, đó, phương trình cho có nghiệm x = x=0 ✷ Qua toán này, ta rút điều: Đối với việc giải phương trình 2x + x − = trên, ta suy điều kiện x > Thế điều không thiết cần thiết, số trường hợp, việc giải điều kiện hệ rắc rối Một cách đơn giản ta làm tìm nghiệm phương trình cho, sau thay vào lại phương trình ban đầu để nhận nghiệm thỏa mãn Nhưng lại nhiều trường hợp khác, điều kiện hệ lại tỏ hữu hiệu cho việc giải phương trình chặn miền nghiệm, sử dụng BĐT, xét dấu, tính đơn điệu, v.v 2x + Bài Giải phương trình 2x2 − 6x + = log2 (x − 1)2 Giải 350 Giải Dễ thấy (x; 0; 0) , (0; y; 0) , (0; 0; z) thoả mãn hệ cho Tiếp theo xét xyz = Khi chia phương trình hệ cho x2 y z ta    1 1  1   + =3+ +   + + + = +   z y x x   zy y x x2     z1 1 1 1 + =4+ + + + =4+ + ⇔   x zx z y y x z y y     1    1  1   + = + + +  + = + +  y xy x z z y x z z Cộng lại ta 1 + + = −3  y z − 12 = ⇔  x 1 + + = x y z  1 + + x y z • Với • Với − 1 + + x y z 1 + + = −3, ta x y z     1   + = + +       = −6 x=− x x x          x 5 1 = −5 ⇔ y=− 3+ =4+ + ⇔    y y y y       5       1 z=−  = −4  =5+ +  3+ z z z z 1 + + = 4, ta x y z     1   − = + +       = 13 x= x x x2       x    1 = 12 ⇔ y= 4− =4+ + ⇔    y y y y            = 11  z= 1   4− =5+ +  z z z z 13 12 11 Các nghiệm hệ (x; y; z) = 5 − ; −1; − , (x; y; z) = 9 ; ; 13 11 , (a; 0; 0) , (0; b; 0) , (0; 0; c) với a, b, c ∈ R, tuỳ ý ✷    x2 (y − z) = − (1)   Bài 69 Giải hệ phương trình y (z − x) = (2)     z (x − y) = (3) Giải 351 Ta có đẳng thức sau : x2 y − x2 z + z y − x2 y + x2 z − y z = Từ nhân (1) với y + z, nhân (2) với z + x, nhân (3) với x + y ta (y + z) + (z + x) + (x + y) = 3 ⇔ − 5y − 5z + 9z + 9x + x + y = 5x + 2z 5x ⇔4y = 10x − 4z ⇔ y = ⇒y−z = 2 − Từ (4), (1) 5x = − , suy x, vào (2), (3) hệ hai ẩn Công việc trở 3x nên đơn giản   (1)  xz + y = 7z Bài 70 Giải hệ phương trình yz + x = 8z (2)   x + y + z = 12 (3) Giải Từ (1) có y = 7z − zx Thay vào (2) (3) x (1 − z ) = 8z − 7z (4) x (1 − z) = 12 − 8z (5) (7z − zx) z + x = 8z ⇔ x + (7z − zx) + z = 12 Rõ ràng z = không thoả (5), (5) ⇔ x = 12 − 8z Thay vào (4) 1−z z=2 z = −6 (12 − 8z) (1 + z) = 8z − 7z ⇔ z + 4z − 12 = ⇔ Với z = ta x = 4, y = Với z = −6 ta x = Kết luận: hệ có hai nghiệm (4; 6; 2) , 60 66 ; ; −6 ✷ 7 60 66 ,y= 7 Bài 71 (HSG tỉnh Quảng Bình, năm học 2010-2011) Giải hệ √ √ x− x−y−1=1 (1) √ y + x + 2y x − y x = (2) Giải x − y − Điều kiện x √ Phương trình (1) tương đương x−y−1⇔y =2 x−y−1 √ ⇔y = (x − y − 1) ⇔ (y + 2) = 4x ⇔ y + = x x= (4) x−y−1+1⇔x=x−y+2 Phương trình thứ hai hệ tương đương với √ √ y + x + 2y x − y x = ⇔ y + x = xy ⇔ y + √ √ x = ±y x 352 √ y+2=2 x √ √ ⇔ y + x = ±y x √ y+2=2 x Ta thu 2y + (y + 2) = ± (y + 2) y √ √ − 17 17 − Từ tìm nghiệm hệ (x; y) = ; −1 , (4; 2), ; ✷ Bài 72 Giải hệ phương trình sau : 4x2 + y − 4xy = (1) 4x2 + 2y − 4xy = (2) Giải Lấy (1) trừ (2), vế theo vế, ta : y − 2y − 4xy + 4xy + = ⇔ y − ⇔ y2 − − 4xy y − = y − − 4xy = ⇔ y = y = −1 y − + 4xy = • Nếu y = 1, thay vào phương trình (1) ta : 4x2 + − 4x = ⇔ x (x − 1) = ⇔ x = x = • Nếu y = −1, thay vào phương trình (1) ta : 4x2 + + 4x = ⇔ x (x + 1) = ⇔ x = x = −1 • Nếu y − + 4xy = ⇔ x = − y2 (dễ thấy trường hợp y = 0), thay vào phương 4y trình ta được: − y2 4y + y4 − − y2 4y y3 = ⇔ − y2 + 4y − 4y − y = 4y ⇔ − y2 − 4y − y = 4y − y ⇔ − y2 ⇔ − y2 − y − 4y − 4y + y =0 8y + 5y − = Công việc đến trở nên đơn giản Nhận xét: Đây dạng hệ phương trình đa thức khó, rõ ràng phương trình thứ hai, người ta chia hai vế cho khó nhận biết giá trị mà nhân vào trừ vế Việc phát giá trị để nhân vào dùng cách đặt tham số phụ lựa chọn Bài 73 Giải hệ phương trình y x − x4 = 28 √ xy + 2x2 y + x3 = 18 Giải Ta biến đổi tương đương x(y − x3 ) = 28 (1) √ x(y + x) = 18 (2) 353 Suy để (x; y) nghiệm y > x > Từ (2), rút y theo x vào (1) có √ 348  √ −x x x  Đặt t = √  − x3  = 28 (3) x (t > 0) (3) thành : √ t9 − (3 − t3 )3 + 28t = (4) √ Xét hàm f (t) = t9 − (3 − t3 )3 + 28t, với t > Ta có f (t) > với t > Chứng tỏ hàm f đồng biến (0; +∞), nên (4) có nghiệm nghiệm Từ hệ có nghiệm (x0 ; y0 ) nghiêm Dễ thấy y = 2x từ (1), ta có: x4 = √ √ hay x = Suy y = 2 √ √ Thử lại ( 2; 2) thỏa mãn (2) √ √ Tóm lại hệ cho có nghiệm (x; y) = ( 2; 2) ✷ KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Khi giải hệ phương trình, dù có dùng cách biến đổi mục đích cuối ta chuyển phương trình biến giải phương trình vừa thu Đó suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến quy luật không toán học mà sống thường làm Tóm lại, giải hệ phương trình phải tìm cách làm giảm số ẩn hệ để thuận lợi việc giải Sau số kinh nghiệm mà nhóm biên soạn thu trình học tập giảng dạy, xin chia sẻ bạn đọc Nếu phương trình hệ mà có ẩn xuất dạng bậc nhất, ta rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình thứ hai hệ phương trình thu có bậc không nhỏ ý tưởng giải rõ ràng Bài 1: Giải hệ phương trình 2x3 + y(x + 1) = 4x2 5x4 − 4x6 = y Giải Cách 1: Vì phương trình thứ hệ chứa nhiều y nên ta nghĩ đến việc rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ 2x2 (2 − x) Ta có y = (do x = −1 không nghiệm hệ) x+1 354 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có : x4 − 4x2 = 4x4 (2 − x)2 ⇔ (x + 1)2 x=0 (5 − 4x2 )(x2 + 2x + 1) = 4(4 − 4x + x2 ) x=0 ⇔ 4x4 + 8x3 + 3x2 − 26x + 11 = ⇔ x=0 (x − 1)(2x − 1)(2x2 + 7x + 11) =  x=0⇒y=0   ⇔ x = ⇒ y =  1 x= ⇒y= 2 1 ; ✷ 2 Nhận xét: Cách giải có ưu điểm không cần phải mánh khóe mà cần biến đổi bình thường Tuy nhiên, có nhược điểm giúp giải toán thôi, đường để sáng tác toán cách giải làm rõ Để hiểu rõ nguồn gốc toán cách mà tác giả sáng tác toán trên, ta xem qua cách giải sau: Vậy hệ cho có nghiệm: (x; y) = (0; 0), (1; 1), Cách 2: Ta viết lại hệ sau: 2x3 + y(x + 1) = 4x2 y + 4x6 = 5x4 Nhận thấy x = ⇒ y = 0, hay (x; y) = (0; 0) nghiệm hệ Với x = ta có hệ  y   2x + (x + 1) = x ⇔ y   + 4x2 = x2 y Đặt a = 2x, b = ta có hệ: x  a + b a + =  a2 + b = Đây hệ đối xứng loại I Việc giải hệ không khó khăn Nhận xét: Qua lời giải trên, ta thấy đường để chế tác hệ kiểu xuất phát từ hệ biết thuật giải, thay hình thức biến có mặt hệ biến đổi rút gọn ta thu hệ có hình thức hoàn toàn xa lạ với hệ ban đầu x + y + xy = Chẳng hạn: Từ hệ (lưu ý hệ có nghiệm (1; 2)) x2 + y = y Ta thay x y y ta có hệ: 2x  y y3    + y2 + = y(y + 2x3 y + 1) = 10x3 2x 2x ⇔  y2 y (1 + 4x6 y ) = 20x6   +y =5 4x 355 Vậy ta có hệ phương trình sau: y(y + 2x3 y + 1) = 10x3 y (1 + 4x6 y ) = 20x6 Bài 2: Giải hệ phương trình x2 − 2xy + x + y = (1) x4 − 4x2 y + 3x2 + y = (2) Giải Nhận thấy phương trình thứ hệ phương trình bậc x nên ta rút x theo y vào phương trình thứ hai để phương trình ẩn x2 + x Từ (1) suy y = ( x = không nghiệm hệ), thay vào (2) ta 2x − x4 − 4x2 x2 + x + 3x2 + 2x − x2 + x 2x − =0⇔ x=0 f (x) = Với f (x) = x2 (2x − 1)2 − 4(x2 + x)(2x − 1) + 3(2x − 1)2 + (x + 1)2 = 4x4 − 12x3 + 10x2 − 6x + Ta có f (x) = ⇔ 2x4 − 6x3 + 5x2 − 3x + = ⇔ (x − 1)(x − 2)(2x2 + 1) = ⇔ x = 1, x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) ✷ Nhận xét: Cũng ví dụ 1, cách giải giải toán đường để sáng tác toán Điều thúc tìm lời giải khác cho toán Sự xuất x2 − 2xy x4 − 4x2 y gợi cho ta nghĩ đến đẳng thức Vậy ta thử viết lại hệ sau: (x − y)2 + x + y − y = (x2 − y) + 3x2 − 3y = Việc làm không khả quan, nhìn vào hệ chưa phát mối liên hệ Theo cách làm ví dụ ta biến đổi: Nếu x = ⇒ y = nghiệm hệ Nếu x = 0, ta có hệ   y y    x + = 2y +  x − 2y + + = x x ⇔ 2 y    x + y = 6y −  x2 − 4y + + = x x2 Suy (2y + 1)2 = 6y − Đến toán trở nên đơn giản Với cách giải trên, ta tạo nhiều hệ phương trình khác Ở ý việc giải hệ cuối quy giải phương trình bậc hai nên chuyện hệ số nhận giá trịnào không quan trọng 2y     x + x = 4x + 2y = 4x3 − x2 + 4x qua khai triển ta có hệ Chẳng hạn từ hệ 2y  4x2 y + 4y = −3x2   x+ = x2 − x Ở hai giải theo phương pháp Dấu hiệu nhận thấy việc xuất phương trình phương trình bậc ẩn Bây chuyển qua xét số hệ mà thực rút mà phương trình ẩn phương 356 trình phương trình bậc Bài 3: Giải hệ phương trình x3 − 8x = y + 2y (1) x2 − = 3(y + 1) (2) Giải Cách 1: Từ (2) ta suy ra: x2 = 3(y + 2) (3) , thay vào (1) ta được:  x=0 yx  x − 8x = y(y + 2) = ⇔ x(3x − xy − 24) = ⇔ 3x2 − 24 y= x • Nếu x = thay vào (3) ta thấy phương trình vô nghiệm 3x2 − 24 • Nếu y = thay vào (3) ta x 3x2 − 24 + ⇔ 13x4 − 213x2 + 864 = x =3 x   x = ±3 ⇒ y = ±1 x =9  √  ⇔ 96 ⇔  96 78 x = x=± ⇒y=∓ 13 13 13 Vậy hệ có cặp nghiệm là: (x; y) = (±3; ±1), ± √ 96 78 ;∓ 14 13 ✷ Nhận xét: Chúng ta nghĩ đến phép phương trình thứ chứa y y; phương trình thứ hai hệ lại chứa y nên ta thay y vào phương trình thứ phương trình thứ hệ trở thành phương trình bậc đổi với ẩn y ta thực rút y Tuy nhiên, có lẽ đường chế tác toán Từ nhận xét trên, ta thấy phương trình thứ hai biến x, y lệch bậc bậc ( x3 x; y y), đồng thời phương trình thứ hai lệch bậc bậc ( x2 , y số) Điều gợi ý ta tạo đồng bậc sau: Cách 2: Hệ cho tương đương x3 − y = 8x + 2y = x − 3y ⇒ 6(x3 − y ) = (8x + 2y)(x2 − 3y ) Đây phương trình đẳng cấp bậc Việc lại để giải hệ không khó khăn Bài 4: Giải hệ phương trình x3 + 3xy = −49 (1) x2 − 8xy + y = 8y − 17x (2) Giải 357 Bài toán có hai cách giải hệ số bất định ẩn phụ tổng - hiệu Sau ta xem qua hai cách giải khác: Cách 1: Ta thấy x = nghiệm hệ nên từ (1) suy y = − x3 + 49 (∗) 3x Thế vào phương trình (2) ta x3 + 49 = 8y − 17 ⇔ 24y(x2 + x) = 2x3 + 51x2 − 49 3x  x = −1  ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔ 2x2 + 49x − 49 y= 24x x2 − 8xy − • Nếu x = −1 vào (*) ⇒ y = ±4 2x2 + 49x − 49 • Nếu y = vào (*), ta có: 24x x3 + 49 − = 3x 2x2 + 49x − 49 24x 2 ⇔ −192x(x3 + 49) = (2x2 + 49x − 49) Biến đổi rút gọn ta được: 4x4 + 4x3 + 45x2 + 94x + 49 = ⇔ (x + 1)2 (4x2 − 4x + 49) = ⇔ x = −1 Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (−1; ±4) ✷ Cách 2: Vì x = không nghiệm hệ nên ta đặt y = tx Khi hệ trở thành: x3 (1 + 3t2 ) = −49 x2 (1 − 8t + t2 ) = x(8t − 17) Ta viết lại hệ dạng  −49 −49 −49    x = + 3t2 = 49 + 3(t2 − 16) = 49 + 3a với a = t2 − 16; b = 8t − 17 8t − 17 8t − 17 b   x = = = t − 8t + (t − 16) − (8t − 17) a−b −49 b 3 ⇒ + 3ab3 = = ⇔ 49 b + (a − b) 49 + 3a (a − b) ⇔ a 49 b2 − b(a − b) + (a − b)2 + 3b3 = ⇔ a=0 49 b2 − b(a − b) + (a − b)2 + 3b3 = (*) • Với a = ⇔ t2 = 16, thay vào hệ ta có x = −1 ⇒ y = ±4 • Xét (*), khai triển rút gọn, ta có: (∗) ⇔ 49t4 + 360t3 + 547t2 − 360t + 304 = ⇔ (t + 4)2 (49t2 − 32t + 19) = ⇔ t = −4 358 Nhận xét: Hai cách giải đòi hỏi tính toán nhiều, chưa thể nói lên ý tưởng người đề Đối với cách giải hay dùng hệ số bất định (đã đề cập chương Hệ phương trình) Xuất phát từ nghiệm x = −1, ta tạo phương trình chứa nhân tử (x + 1), từ khai triển để hệ Ví dụ hai sau: x3 + 2xy = Bài 4*: Giải hệ phương trình : 2x2 + xy + y = 4x + y x3 + y = (x − y)(xy − 1) Bài 4**: Giải hệ phương trình : Bài 5: Giải hệ phương trình : x3 − x2 + y + = xy(x − y + 1) + x3 y = 19x3 y + xy = −6x2 Giải Vì x = không nghiệm hệ nên hệ tương đương    + y = 19 x ⇔   y + y = −6 x2 x a3 + y = 19 2 a y + y a = −6 (với a = ) x Đặt S = a + y, P = ay Khi ta có S(S − 3P ) = 19 SP = −6 ⇔ S=1 P = −6 ⇒ a=3 y = −2 ∨ a = −2 y=3 1 Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = ( ; −2), (− ; 3) ✷ Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta giải theo cách sau: Do x = không nghiệm hệ, ta viết lại hệ dạng 6(1 + xy)(1 − xy + x2 y ) = 6.19x3 19xy(1 + xy) = −19.6x2 Cộng hai phương trình hệ lại ta được: (1 + xy)(6x2 y + 13xy + 25) = Đến đây, toán trở nên đơn giản Nhận xét:Cùng ý tưởng đó, ta có toán sau: y + xy = 6x2 Bài 5*: Giải hệ phương trình + x2 y = 5x2 Bài 6: Giải hệ phương trình (x2 + 1)y + = 2xy (y − 1) xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Giải 359 Hệ cho tương đương x2 y + 2xy + + y − 2xy = 3x2 y − 2xy − x2 y − 2xy − =  x    x + 2 + − 2xy = −1 y y ⇔ 2x    3x2 y − − x2 − 2xy − = ( y=0 không nghiệm hệ) y y     x + − 2xy = −1  y ⇔   2  =0 3x y − 2xy − x +  y2 Đặt a = x + , b = xy, ta có hệ y2 a2 − 2b = −1 a2 − 3b2 + 2b = a2 = 2b − ⇔ ⇔ b=1 3b2 − 4b + = a = ±1  √   5−1   x = x = x + = 2√ v y2 y ⇔ ⇔ • Nếu a = b = :⇒     y = + xy = y −y−1=0   x =  x + = −1 y2 y • Nếu a = −1; b = :⇒ ⇔ (vô nghiệm)   xy = y +y+1=0 √ √ −1 ± ± ; ✷ Vậy nghiệm hệ cho là: (x; y) = 2  6x5 y   (x − 1) + =   x2 + Bài 7: Giải hệ phương trình  4x − 3x2 y − 9xy   3y − x =  x + 3y  √ +   x = − √2   y = − Giải Từ phương trình thứ hai, ta có 3y x x + 3y = Hệ cho tương đương với:  2   (x − 2x + 4)(x + 2) = 6x y   x + = 6x5 y 4x 4x − 3x2 y − 9x2 y ⇔  2  − 3xy 9y − 6xy + x2 =  (3y − x) = x + 3y x + 3y ⇔ x6 + = 6x5 y (x2 − 3xy + 9y )(x + 3y) = 4x ⇔ x6 + = 6x5 y x3 + 27y = 4x Vì x = không nghiệm hệ, nên ta có  6y  1 + = x x 27y  1 + = x3 x2 360 Đặt a = 3y , ta thu hệ > 0, b = x2 x + a3 = 2b + b3 = 2a ⇔ ⇔ + a3 = 2b a=b ⇔ (a − b)(a2 + ab + b2 + 2) = a3 − 2a + =   a = b a=b √ ⇔ −1 +  (a − 1)(a + a − 1) =  a = 1, a = • Với a = b = 1, ta có:    √ √    x = x = −  =1 x √ v √ ⇔ 2 3y    y = y = −  =1 3 x √ −1 + ta có: • Với a = b =   √ −      = x = x √ ⇔      3y = − y = x  √ √   x = − 5+1 5+1 √ √ √ √ v  5+1 5−1 5+1 5−1  y = − 6 √ √ √ √ √ ( − 1) 5+1 Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = ± 2; ± + 1; − , − Bài 8: Giải hệ phương trình ✷ 6x4 − x3 − x y − (y + 12) x2 = −6 5x4 − x2 − y − 11x2 = −5 Giải Nhận thấy, x = không nghiệm hệ nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được:   1   1 2   6 x − 6 x + − x − y − y − 12 = − x− y2 − y =   x x x x ⇔ 2   1 1   2   x + − x − y − 11 = − x− y2 − = 5 x −  x2 x x x Đặt a = x − , ta có hệ x 6a2 − ay − y = 5a2 − a2 y − = Chia hai vế hệ cho a2 = ta có:  y y   + =6 a a2   y2 + = a2 Đặt u = , ta có hệ a y u + u2 y = u2 + y = ⇔ uy(u + y) = (u + y)2 − 2uy = ⇔ u+y =3 uy = 361 Từ ta tìm được: u=1 y=2 u=2 y=1 √ ± • Với u = ⇒ a = ⇔ x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = x √ 1 1 ± 17 • Với u = ⇒ a = ⇔ x − = ⇔ 2x2 − x − = ⇔ x = x √ √ ± 17 1± ;2 , ;1 ✷ Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = Bài tập tự luyện Giải  hệ phương trình sau: √ √   x+ y+ x− y =2 1)   y + √x − y − √x = 2) 3) 4) 5) x2 − xy + y = 3(x − y) x2 + xy + y = 7(x − y)2 √ x+y+ x−y =8 √ y x−y =2 x3 + 3xy = 6xy − 3x − 49 x2 − 8xy + y = 10y − 25x − x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + x2 + 2xy = 6x +    x2 + y + x3 y + xy + xy = − 6)   x4 + y + xy(1 + 2x) = − xy + x + y = x2 − 2y 7) √ x 2y − y x − = 2x − 2y 8) 9) 10) x4 − x3 y + x2 y = x3 y − x2 + xy = −1 x+y (x4 + y )(x7 + y ) = x11 + y 11  2     y + x − 12y + = 12 (x + 17)  x2 2x x3 x2 y   + = + −  8y 3y   y + y + 2x = xy − x2 y 11)  4xy + y + 2x2 + + (2x − y)2 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài (IMO 1967): Trong thi đấu thể thao, tổng số huy chương m, phát n ngày thi đấu Trong ngày thứ nhất, người ta phát huy chương số huy chương lại Ngày thứ hai, người ta phát huy chương số huy chương lại Những ngày lại tương tự Ngày sau lại n huy chương để phát Tính m, n? Giải Giả sử số huy chương lại bắt đầu ngày thi đấu thứ r mr 6(mk − k) = mk+1 Khi m1 = m, mn = n ∀k < n : Ta biến đổi: m = 1+2 +3 + +n Do (6; 7) = ⇒ n − 6n−1 ⇒ n−1 = 36 − (n + 1) |n − 6| n +n n+1 = 36+ 7n (n − 6) 6n−1 |6n−1 | n−6=0 Dễ thấy có n = thoả Vậy m = 36 ✷ Bài (APMOPS 2004): Một đồng cỏ phát triển theo tốc độ không đổi: 200 cừu ăn hết cỏ 100 ngày 150 cừu ăn hết cỏ 150 ngày Hỏi 100 cừu ăn hết cỏ ngày? Giải Giả sử cừu ăn hết “miếng” cỏ ngày, 100 ngày 200 cừu ăn hết 20000 “miếng” cỏ, tương tự, 150 cừu ăn hết 22500 “miếng” cỏ 150 ngày Đặt x (đơn vị: “miếng” cỏ) lượng cỏ đồng cỏ ban đầu, a tốc độ mọc cỏ (đơn vi: “miếng” cỏ/ngày), t thời gian để 100 cừu ăn hết đồng cỏ (đơn vi: ngày), từ giả thiết, ta có hệ:     x + 100a = 20000 (1) x + 150a = 22500 (2)    x + at = 100t (3) Từ (1) (2) ta suy x = 15000, a = 50, từ ta dễ dàng suy t = 300 ✷ 362 363 Bài 3: Một người cha chết để lại di chúc phân chia gia tài cho đồng tiền vàng sau : đuợc 100 đồng số lại , người thứ hai 200 đồng 10 1 số lại, người thứ ba 300 đồng số lại, Cứ 10 10 gia tài chia hết số tiền Hỏi người cha có đồng tiền vàng, có người chia đồng tiền vàng? Giải Gọi số tiền cha x (đồng) (x > 0) x − 100 Con 100 + 10 x − 100 x − 300 − 10 Con thứ hai 200+ 10 x − 100 x − 300 − x − 100 10 = 200 + Cho 100 + 10 10 Giải phương trình ta tìm x = 8100 nên có người người 900 đồng ✷ Bài 4: Một nhóm gồm 21 người du lịch đến nước Anh, Pháp,Ý, người nước không nước, biết rằng: Số người nước Ý Anh gấp đôi số người nước Pháp Ý Số người Pháp Ý lại gấp đôi số người Anh Pháp Số người Ý (không Pháp Anh) số người Anh (không Pháp Ý) người số người Pháp Hỏi: a/ Hãy tìm số người nước b/ Hãy tìm số người nước Anh Pháp Giải Gọi A, P, Y tập hợp số người đến nước Anh, Pháp, Ý Gọi x, y, z số người Anh, Pháp, Ý Gọi t số người nước Anh Pháp, số người Pháp Ý 2t, số người nước Ý Anh 4t Theo đề ta có hệ phương trình:     x + y + z + 7t = 21 (1) z = x + (2)    z = y + 3t (3) Từ (1) ⇒ 7t < 21 ⇒ t < Từ (1); (2); (3) ⇒ 3z + 4t = 22 ⇒ (t − 1) Mà t < ⇒ t = Khi t = thì:     x + y + z = 14 z =x+1    z = y + 364 Do (x; y; z) = (5; 3; 6) Vậy có 14 người nước, 15 người nước Anh Pháp ✷ Bài 5: Một người xe đạp điện dọc đường tàu điện nhận thấy rằng: phút có đoàn tàu chạy chiều với phút có đoàn tàu chạy ngược lại Hỏi cách phút ga có đoàn tàu khởi hành? Biết rằng, đoàn tàu khởi hành sau khoảng thời gian chuyển động với vận tốc không đổi, không dừng lại nơi đường người xe đạp điện với vận tốc không đổi Giải Đặt t khoảng thời gian xuất phát tàu điện (tính phút), x, y vận tốc tàu điện xe đạp (đơn vị độ dài/phút, x > y), ta có khoảng cách tàu điện xt Giả sử gặp tàu điện, xe đạp cách tàu sau xt, theo công thức xe ngược chiều, ta có xt = 5(x + y) (1) Tương tự, ta có xt = 7(x − y) (2) 35 Từ (1) (2) ta suy x = 6y, vào (1), ta lại có 6yt = 7(6y − y) ⇒ t = 35 phút ✷ Vậy tàu khởi hành cách Bài 6: Một hồ nước cung cấp vòi nước Biết vòi cung cấp nước cho hồ vòi thứ làm đầy hồ nhanh vòi thứ hai giờ, vòi thứ ba lại làm đầy hồ nhanh vòi thứ Còn vòi thứ thứ hai cung cấp nước cho hồ thời gian chúng làm đầy hồ thời gian vòi thứ ba Hỏi vòi cung cấp nước cho hồ chúng làm đầy hồ bao lâu? Giải Gọi thời gian vòi thứ ba làm đầy hồ t (giờ), t > Thời gian vòi thứ làm đầy hồ t + (giờ) Thời gian vòi thứ hai làm đầy hồ t + (giờ) 1 Trong giờ, vòi thứ thứ hai chảy + hồ nước vòi thứ ba chảy t+4 t+9 hồ nước t Theo đề bài,ta có phương trình: 1 + = t+4 t+9 t Tương đương: t(t + 9) + t(t + 4) = (t + 4)(t + 9) Ta tìm t = Vậy giờ, ba vòi chảy được: 1 1 + + = t+4 t+9 t