Sử dụng MTBT làm đề thi đại học môn Toán Lâm Hữu Minh (TTMT) “Việc kết hợp trí tuệ máy tính với trí óc người cho hiệu môn khoa học, gọi khoa học phương pháp” TTMT Các kỹ thuật sau TTMT sưu tầm (khoảng dung lượng chuyên đề) tự sáng tạo, bao gồm kỹ thuật giải tay lẫn sử dụng MTBT, phương pháp quy lẫn không quy Các kỹ thuật MTBT dùng cho đề thi ĐH - CĐ, số dùng để thi HSG giải toán MTBT Trong đó, có tác giả kỹ thuật mà TTMT sưu tầm nhiều nhất, là: _ Bạn Bùi Thế Việt (nthoangcute): phần lớn kỹ thuật sử dụng MTBT _ Thầy Trần Phương: kỹ thuật tính tích phân Số lại sưu tầm từ nhiều tác giả khác nhau, chủ yếu kỹ thuật sử dụng MTBT Lưu ý: loại MTBT dùng CASIO fx-570ES, loại máy khác có hình hiển thị tương tự thao tác khác vài chi tiết nhỏ Tuy cấu trúc đề thi ĐH - CĐ thay đổi theo thời gian, kiến thức vĩnh cửu, việc cấu trúc câu khác đề thi thật hay không không quan trọng Ngoài ra, có kỹ thuật vượt khỏi phạm vi kiến thức THPT không thiết phải tìm hiểu, áp dụng chúng dùng để truy nhanh kết mà đề thi không yêu cầu trình bày cách giải, miễn người đọc có khả áp dụng Chỉ cần nắm vững phương pháp giải trình bày toán, tự tin giao cho máy tính giải chi tiết nhỏ nhặn, thời gian lại góp phần để mở rộng vốn kiến thức thân Tài liệu nên bổ sung phát triển theo hướng sát với đề thi ĐH - CĐ năm, người học có lực Câu a) (khảo sát hàm số) _ Tính trước giá trị để biết trước kích cỡ BBT trước kẻ vào _ Dùng MODE TABLE MTBT để tìm điểm thuộc đồ thị trước vẽ (dùng cho việc tính giá trị hàm với nhiều giá trị biến liên tiếp để biết biến thiên khoảng, hay tìm khoảng chứa nghiệm) Vì đồ thị vẽ bên không mặt giấy với trình khảo sát trước nên phải giữ lại bảng giá trị (MODE TABLE) để nhìn vào vẽ (đỡ phải lật giấy lại liên tục để xem tọa độ điểm hay phải ghi nháp) b) (câu hỏi phụ)  adx + 2aex + be − cd y' = (dx + e)  _ Nhớ công thức tính nhanh:  (x0 nghiệm y’ = 0) dùng cho hàm f ( x ) f '( x ) 0  y = =  ( x0 ) g ( x0 ) g '( x0 ) f ( x) ax + bx + c = g ( x) dx + e _ Chia y cho y’: y = y ' f1 ( x ) + f ( x ) ⇒ PT đường qua cực trị y = f ( x) ⇒ tính nhanh y( x0 ) = f ( x0 ) với x0 nghiệm PT y’ = _ Khi đề cho hàm số y = f ( x, m) (hoặc f ( x, m) , câu a), mà để làm câu ta phải tìm (biểu diễn) nghiệm PT f ( x, m) = Lúc nên thử xem PT có nghiệm y= x = x0 ∈ R (không chứa m) hay không Nhập vào máy f3(X) gán m = (đơn giản nhất) cho máy giải tìm X Nếu máy cho nghiệm xấu không làm rõ (hoặc biết phức tạp) chắn x0 cần tìm, cho máy giải lại tìm nghiệm đẹp (thường nguyên) Nếu tìm nghiệm đẹp, quay lại PT, áp dụng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” (xem Câu 2a) để kiểm tra biểu thức thay đổi m Tuy nhiên để đề phòng nghiệm có dạng x = am + b, ta  x0 ∈ ¢ gán m = 1000 cho máy giải Nếu  nghiệm x = am + b Lúc ta chọn a, b x > 100  thỏa mãn −10 < a, b < 10 cho 1000a + b = x0 ta nghiệm x = am + b Lúc thử lại kết cách thay m x = am + b (theo “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất”) xem f ( x, m) = có xảy không (bản chất cách làm kỹ thuật phân tích đa thức ẩn thành nhân tử, tổng quát Câu 2b) Câu a) (PT lượng giác) _ Với PT: rút gọn nhanh biểu thức PT mà giữ nguyên ĐKXĐ nên nhập PT rút gọn cho máy giải (trước bắt tay vào làm, dễ) _ Nguyên tắc thử giá trị tốt (sẽ dùng cho vài kỹ thuật phía sau): dạng khác biểu thức f(x) g(x) tìm nhờ MTBT mà ta gán giá trị X (trên MTBT): + Là số siêu việt (như π ; e; …) f(x) hàm nguyên (VD: hàm đa thức f n ( x) ) + Là số thập phân hữu hạn (như 1,364; 5,2235;…) f(x) hàm vô tỉ để tính f ( X ) − g ( X ) mà kết 0, dạng g(x) tìm (các giá trị X phải thuộc TXĐ f(x)) _ Dùng MTBT kiểm tra xem đẳng thức lượng giác f ( x) = g ( x) (1 vế đại lượng có toán) nhớ có không: nhập vào máy f ( x) − g ( x) dùng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất”) để kiểm tra, sai sửa lại biểu thức thử tiếp _ Cách lưu nghiệm nhanh cho PT f ( x) = g ( x) : nhập vào máy f ( x) − g ( x) (bỏ “= 0”) để giải Sau nghiệm, quay lại PT, ấn = (đương nhiên kết 0) để lưu PT (nếu phải tính nhiều phép tính khác liên quan đến PT này, khoảng 3; phép tính lại quay lại lưu PT lần), lưu nghiệm X sang biến nhớ khác Quay lại PT cho máy giải tiếp tìm nghiệm khác _ Tìm nhân tử (khi nháp chưa ra): giả sử PT F ( x) = bấm máy nghiệm x = x0 (nên nhập π π π π giá trị dự đoán ban đầu (gọi xG ) số đẹp, hay xảy 0; ; ; ; cho máy giải), dự đoán thử tính f ( x0 ) với f ( x) hàm lượng giác có liên quan mật thiết đến PT giải (nhưng trước tiên nên chọn hàm sinx, cosx, tgx), f ( x0 ) = f ( x) nhân tử PT Đến có cách tìm nhân tử xác: + Giải PT nhân tử f ( x) = tìm nghiệm, đối chiếu ĐK (nếu có) ta nghiệm x0, x1, x2,… Thay lại nghiệm vào F(x), giả sử có F ( x1 ) ≠ , f ( x) nhân tử cần tìm (ngược lại coi xong nửa)  1 2 + x0 thuộc họ nghiệm x = x0 + kcπ với c ∈ 1; ; ;  (những số thường rơi vào),  3 ta lưu x0 → A lập chương trình kiểm tra nghiệm: X = A + Cπ : F ( X ) Dùng CALC gán a vào C giá trị xem C làm cho F ( X ) = (có thể dựa vào x0 = π để đoán thêm giá trị b a để kiểm tra), PT có họ nghiệm x = x0 + kCπ Từ ta sửa lại b chương trình: X = A + BCπ : F ( X ) dùng CALC gán giá trị B ∈ ¢ (C giữ nguyên, số giá trị B cần gán phụ thuộc vào C tìm được) để kiểm tra chắn tính xác họ ∗ nghiệm Bấy lập nhân tử dạng f ( x) = sin(mx + nπ ) (m ∈ ¥ , n ∈ ¤ ) (hoặc cos(mx + nπ ) ) chứa nghiệm x = x0 + kCπ , dùng công thức cộng ta nhân tử thức sin mx cos nπ + sin nπ cos mx là: f ( x) =   cos mx cos nπ − sin mx sin nπ Nếu thử cách khoảng 5; lần mà chưa phải giải tay a a _ Khi máy cho nghiệm xấu (trong PT lượng giác nghiệm có dạng π (phân số tối giản) b b mà ấn S ⇔ D không chuyển sang dạng đẹp), chia nghiệm cho π thường xác định a b a _ Nghiệm đẹp họ x = π + kcπ ứng với k = 0, máy không hiển thị b a nghiệm dạng đẹp dù π đẹp, nghiệm ứng với k mà |k| lớn, lấy nghiệm trừ (hoặc b a 1  cộng) dần với nπ ( n ∈  ;1;2  tuỳ độ lớn nghiệm) để tìm π , từ n biết c b 2  _ Đổi góc lượng giác ϕ từ độ → Radian không nhớ công thức: chế độ “D” (độ), viết giá trị lượng giác ϕ , VD sin ϕ , ấn = Chuyển sang chế độ “R”, ấn SHIFT sin Ans = Hoặc chế độ “R”, nhập ϕ o (ấn SHIFT Ans nhập “o”), ấn = Chuyển từ Radian → độ có liên quan đến làm ngược lại b) (phương – bất phương – hệ phương – trình đại số) _ Nếu không muốn đặt ĐKXĐ cho PT (trừ phi ĐK giúp phần việc giải) giải bình thường mang nghiệm thử lại vào PT đầu (nếu dùng cho PT lượng giác phải lưu ý tính tuần hoàn họ nghiệm, có vô số nghiệm) ∗ Đổi số thập phân P = a1a2 am , b1b2 bn (c1c2 c p ) máy thành phân số: g Số thập phân vô hạn tuần hoàn: _ Cách 1: dùng MTBT: + Nếu m + n + p ≤ nhập P vào với lần chu kì, nhập phải dài phần mà máy hiển thị được, ấn = , máy cho phân số Lưu ý: điều kiện “ ≤ ” mức tối đa mà máy làm được, P có điều kiện đổi + Nếu P = a1a2 am ,(c1c2 c p ) với p lớn, ta cần cho máy đổi 0,(c1c2 c p ) thành phân số, cộng với a1a2 am nháp Áp dụng định lí: số thập phân dạng 0,(c1c2 c p ) ( p ≥ 14) , máy tính dòng ES trở lên tìm dạng phân số từ số 0, c1c2 c14 , ngược lại, máy đổi 0, c1c2 c14 thành phân số a chứng tỏ 0, c1c2 c14 số thập phân cắt từ 15 chữ số đầu số thập phân vô hạn tuần hoàn có dạng 0,(c1c2 c p ) (lúc không thiết p ≥ 14 ) mà dạng phân số a _ Cách 2: áp dụng công thức đổi số thập phân tuần hoàn tổng quát: a1a2 am , b1b2 bn (c1c2 c p ) = a1a2 am + ⇒ Dạng đơn giản nhất: 0,(c1c2 c p ) = c1c2 c p b1b2 bn + (m, p ≥ 1) 10n 10n (10 p − 1) c1c2 c p 10 p − g Số thập phân hữu hạn: máy không đổi sang phân số chứng tỏ dạng tối giản phân số vi phạm điều sau: _ Tổng chữ số tử mẫu vượt _ Tổng chữ số tử mẫu số chữ số tử lớn mẫu (lúc ta trừ phần nguyên để đổi phần thập phân) Giả sử số thập phân hữu hạn P = a1a2 am , b1b2 bn cần tìm dạng phân số, ta dùng phương pháp chuyển đổi phần để tìm dạng phân số 0, b1b2 bn Lần lượt nhập vào máy 0, b1b2 bi (i < n) để thử chuyển đổi, máy cho dạng phân số 0, b1b2 bi b ta 0, bi +1 bn thành phân số cách 10i c chuyển đổi 0, bi +1 bn giống 0, b1b2 bi , phân số c Cuối a = a1a2 am + b + i 10 (cộng nháp) g Nếu cách không thành P số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn), máy không đổi Lúc có phương pháp khác (có nói phía dưới) truy P từ dạng thập phân dạng thức bậc (nếu P vậy) thông qua PT bậc nhờ MODE TABLE ∗ Tính nhanh giới hạn: đề thi ĐH không bắt trình bày cách tính lim f ( x) nên ta làm cách miễn tính nhanh nhất, phải dùng cách hàm số sinh việc giải PT không nhẩm đáp án: x0 ∈ (a; b) f ( x)  _ Dạng : tính lim với ( f ( x), g ( x) liên tục [a; b] ):  x→ x g ( x)  f ( x0 ) = g ( x0 ) = f '( x) = L (hữu hạn), + Quy tắc L’Hospital: ∃ f '( x), g '( x) ≠ lân cận x0 lim x→ x g '( x) f ( x) = lim g ( x) = lim f ( x) x →∞ x →∞ lim = L (nếu x0 → ∞ áp dụng được, cần  được) x→ x g ( x) lim g '( x ) ≠  x →∞ f ( x) f ( n ) ( x) = lim Quy tắc L’Hospital áp dụng nhiều lần liên tiếp, tức lim (miễn có đủ x→ x g ( x) x→ x g ( n ) ( x) điều kiện) + Đạo hàm: f '( x0 ), g '( x0 ) hữu hạn, g '( x0 ) ≠ f ( x) − f ( x0 ) d ( f ( X )) |x = x f ( x) f '( x0 ) x − x0 dx lim = lim = = L Do bấm máy biểu thức xong x→ x d g ( x) x→ x g ( x) − g ( x0 ) g '( x0 ) ( g ( X )) |x = x x − x0 dx f ( x) = ∞ (trong đề thi ĐH loại Nếu máy báo “Math ERROR” chắn lim x→ x g ( x) f ( x)  +∞ không tồn giới hạn), lúc nhìn bảng biến thiên biết  g ( x)  −∞ tiếp tục chuyển đổi phần 0,0102 0i bi +1 bn = 0 0 0 0 0 ∞ : ta dùng quy tắc L’Hospital trên, khác lúc ∞ lim f ( x) = lim g ( x) = +∞ x→x x→x _ Dạng 0 f ( x) =  lim x→ x lim f ( x ) g ( x ) _ Dạng 0.∞ : tính x→ x mà  f(x), g(x) hàm lim g ( x ) = ∞  x→ x f ( x) g ( x) tính theo hàm có độ tăng mạnh Khi a x , x m , log a x (a > 1, m > 0) , lim x→ x x → +∞ độ tăng chúng xếp theo thứ tự a x > x m > log a x (tức hàm a x → ∞ nhanh nhất), nhờ đoán kết _ Giản ước giới hạn dạng đa thức cách sử dụng: f ( x) = f(x) VCB trình x → x0 Từ ta có: + Vô bé (VCB): lim x→ x 0 0 x2 x ; tan x → x; log a (1 + x) → ; a x → + x ln a; ln a a n n −1 (1 + x) → + ax; f n ( x) = a1 x + a2 x + + an+1 → an +1 ( f n ( x) đa thức) + Vô lớn (VCL): suy từ VCB dựa vào: h( x) VCB VCL h( x ) F ( x) f ( x)  F ( x ) → f ( x) = lim ⇒ Áp dụng quy tắc:  x → x0 lim (x0 ∞ ) x→ x x→ x G ( x ) g ( x ) G ( x ) → g ( x )  x → thì: sin x → x; cos x → − n +1 _ Nhẩm nghiệm PT ∑a x k =1 n +1 + Nếu + Nếu ∑a k =1  n+2    n − k +1 = dạng đặc biệt: = ⇒ x = nghiệm k ∑a i =1 k i −1 =  n +1   ∑a j =1 2j ⇒ x = −1 nghiệm uuuuuur an+1 Mp p + Khi ak ∈ Z (k = 1; n + 1) , nghiệm x = ∈ Q  q  a1 Mq _ Cách tối ưu hóa việc tìm nghiệm MTBT: + Cách 1: thử giá trị xG phù hợp Cách để máy dễ tìm nghiệm thử với xG = 10; xG = −10; xG = + Cách 2: giả sử máy giải f(X) = X = x0, ta lưu nghiệm vào A bấm > quay lại đầu PT, chèn f(X) lên tử số phân thức cách bấm ( < SHIFT DEL W , sửa biểu W f (X ) Tiếp tục SHIFT CALC cho máy giải, máy phải tìm nghiệm khác A ( X − A) f (X ) (nếu có) Giả sử nghiệm thứ lưu vào B, ta lại sửa biểu thức thành làm ( X − A)( X − B) tương tự Hết nghiệm máy báo “Can’t Solve” Nếu f(x) PT lượng giác với X giải tiếp theo, phải coi có họ với nghiệm trước không (vì có vô số nghiệm) thức thành _ Với PT lúc bắt đầu giải nên chọn xG1 = , sau có nghiệm x0 chọn xG2 = − X (giá trị đối) Dựa vào chiều từ xG2 → x0 (hướng −∞ hay +∞ ) để nhập tiếp xG3 (để tìm nghiệm khác) hướng theo chiều đó, xG3 > x0 n n −1 _ Nếu máy giải PT đa thức f n ( x) = a1 x + a2 x + + an+1 = không nghiệm x0 (hoặc b ∗ cho số gần dạng a × 10 (a ∈ ¡ ) với yêu cầu (có không) “Continue: [=]”), ta cần xác định thu hẹp khoảng nghiệm định lí (ĐL): + ĐL 1: f n ( x1 ) f n ( x2 ) < ⇒ x0 ∈ ( x1 ; x2 ) , ta thu hẹp khoảng cách tiếp tục so dấu x +x  f n  ÷ với f n ( x1 ); f n ( x2 ) (nên dùng MODE TABLE để nhanh hơn)   uur  m1 = max | i = 1; n an +1 m  ≤ x0 ≤ + + ĐL 2:  uuuuuur ⇒ m1 + an+1 a1 m2 = max ak | k = 2; n + uuuuuur a = max | < 0; i = 1; n + a ⇒ ∀x0 ≥ : x0 ≤ + k + ĐL 3:  a1  kmin ∈{1;2; ; n + 1}: ak < _ Thỉnh thoảng PT có nghiệm đẹp hàm solve cho “ X = a,99999998 ” (vì máy dùng thuật toán lặp Newton để xấp xỉ nghiệm), hiểu nghiệm x = a + 1, “ X = a,000000012 ” x = a (MODE EQN mắc lỗi này) _ Loại máy CASIO fx-570ES trở xuống, MODE EQN hiển thị nghiệm dạng { { { } } } 2 với PT bậc 2, dùng lệnh: − B − B − AC − B + B − AC MODE COMP để giải 2A 2A ∗ Kỹ thuật khai triển đa thức fn(x) hệ số nguyên dạng rút gọn MTBT: _ Cách 1: Dùng CALC tính fn(1000) kết K1 Vì nhìn qua fn(x) biết n nên ta xấp xỉ K1 thành số tròn chục gần nhất: K1 ≈ a1 × 103n (a1 ∈ ¢ ) (do ta gán X = 1000 = 103) ⇒ a1 hệ n số xn (có thể xảy a1 = 0) Quay lại biểu thức fn(X), nhập thêm ta “ f n ( X ) − (a1 X ” (biểu thức có bậc n − ), ấn = , kết K2 (nếu làm K2 phải ngắn K1 c ∗ số, K = b × 10 (b ∈ ¤ ) c phải đơn vị so với 3n) Tương tự ta xấp xỉ: K ≈ a2 × 103( n−1) ( a2 ∈ ¢ ) ⇒ a2 hệ số x n −1 , tìm hệ số fn(x) Cuối dùng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” (chỉ cần giá trị đủ) để kiểm tra lại kết với n n −1 n n −1 biểu thức f n ( X ) − (a1 X + a2 X + + an+1 ) ⇒ f n ( x) = a1 x + a2 x + + an +1 Cách trục trặc n ≥ hệ số cuối, gần cuối a1 x n + a2 x n −1 + + x n−i +1 = nên cách gán _ Cách 2: tính giới hạn theo vô bé Vì lim x →0 x n −i +1 X = 10− k → (k ∈ ¥ ∗ ) , ta tính Nhưng phải tính an+1 = f n (0) , sau tính f n ( X ) − an +1 f n ( X ) − an+1 − an X ; a = lim ; … Giá trị hệ số phía sau: an = lim n − X →0 X →0 X X2 X = 10−10 gán để tính an, sau sửa biểu thức ấn = tiếp, kết a1 X n phải giảm k xuống thử lại, hệ số chưa (lỗi với lim ) Tuy X →0 Xn nhiên để hệ số phân số để khai triển kết không hiển thị dạng phân số, số thập phân hữu hạn nhỏ, có chu kì, nên đổi sang phân số nhanh chóng (chi tiết xem phía trên) Cách hoạt động tốt với n ≤ (lúc cố định X = 10−10 ấn = ) a1 x n + a2 x n−1 + + an +1 = a1 , nên cách gán _ Cách 3: tính giới hạn theo vô lớn Vì xlim →+∞ xn f (X ) X = 10k → +∞ (k ∈ ¥ ∗ ) , ta tính a1 Sau quay lại biểu thức n n , sửa thành X n f n ( X ) − a1 X , lại tiếp tục tính giới hạn để tìm a2, ta tìm hệ số f n ( x) X n−1 Nếu n lớn, khoảng 2; hệ số đầu chắn, sau sai lệch khó đoán, f n ( x) để tính xlim hiệu nhất, ta dùng quy tắc: →+∞ xn + Tính a1 gán X = 1015, giá trị (để tìm a2, a3) 1010; 107, giá trị sau lấy số mũ 10 giá trị phía trước + Nếu thấy kết thay đổi k X = 10k đến kết khác (nếu nhận hệ số tìm 0) + Nếu thấy kết dạng phân số làm tròn thử f ( X ) − a1 X n − a2 X n−1 − − an X Lưu ý: để tìm hệ số tự do, ta cần tính n với giá trị X bất kì, không cần giới hạn nữa, lúc nên gán X số siêu việt để kết hợp việc kiểm tra kết (nguyên tắc thử giá trị tốt nhất), kết nguyên an+1, ngược lại tức có hệ số phía trước không _ Cách 4: sử dụng để tìm nốt hệ số lại nằm fn(x) cách kết hợp lại tìm hệ số phía đầu cuối Giả sử cần tìm , +1 (3 ≤ i ≤ n − 2) nằm fn(x) ta xác định a1 , a2 , , −1 , + , , an +1 , tức n −i +1 n −i tìm hạng tử x , +1 x , ta có: f ( x) − A x n−i +1 + +1 x n−i = f n ( x) − a1 x n − − −1 x n−i + − + x n−i −1 − − an+1 = f n ( x) − A ⇔ x + +1 = n n−i x fn ( X1) − A n n −i + n − i −1 = b1 (để Do đó, ta gán A = a1 X + + −1 X + + X + + an+1 tính X 1n−i tránh nhập cồng kềnh dung lượng hình không đủ biểu thức dài) Lại gán X =  X + +1 = b1 ( X , X ≠ 0) , đến dùng MODE EQN X2 tính tương tự, ta hệ  ai X + +1 = b2 MODE TABLE (xem Câu (hình học tọa độ phẳng) để rõ hơn) để tìm , +1 Ta xác định tối đa hệ số qua cách (ở Câu (hình học không gian tuý tọa độ) có cách giải hệ ẩn MTBT), tốt trở xuống _ Cách 5: ứng dụng đạo hàm điểm Trước hết dùng CALC tính f n (0) kết an+1 n −1 n−2 Ta có f n '( x) = na1 x + (n − 1)a2 x + + an Do quay lại đầu biểu thức f n ( X ) , chèn f n ( X ) vào chức đạo hàm điểm cách ấn ( < SHIFT DEL (bật chế độ chèn) W SHIFT ∫ X , hình W d d (( f n ( X )) |x =W, chỉnh lại ( f n ( X )) |x =W ấn = < (lợi dx dx dụng lỗi “Syntax ERROR”) để trỏ nằm vào chỗ giá trị x, sửa thành d ( f n ( X )) |x = X Ấn = dx (đang có X = 0) tiếp kết an Quay lại biểu thức nhập, nhập thêm ta được: d ( f n ( X )) |x = X −an , tiếp tục dùng CALC tính biểu thức với n − giá trị X ∈ ¢ , đối qua dx (từ nhỏ đến lớn: ±1; ± 2; ± 3; ), từ ta hệ n − PT, ứng n − ẩn: n −1 n−2 nxi a1 + (n − 1) xi a2 + + xi an−1 = f n '( xi ) − an uuuuuur Giải tay (để đưa hệ ẩn) giải máy (giải  i = 1; n −  uuuuuur hệ ẩn) tìm (i = 1; n − 1) , từ dễ tìm an+1 _ Cách 6: dùng số phức (trong MODE CMPLX) Giả sử cần khai triển f4(x), ta coi rằng: f ( x) = a1 x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 Tính f (0) với CALC a5, tiếp tục tính f (i ) = a1i + a2i + a3i + a4i + a5 = a1 − a2i − a3 + a4i + a5 = a1 − a3 + a5 + (a4 − a2 )i = m1 + n1i f (2i ) = 16a1 − 8a2i − 4a3 + 2a4i + a5 = 16a1 − 4a3 + a5 + (2a4 − 8a2 )i = m2 + n2i (i đơn vị ảo)  a1 − a3 + a5 = m1  a − a = m1 − a5  a4 − a2 = n1 ⇔ Như ta hệ:   , xử lí 16a1 − 4a3 + a5 = m2 16a1 − 4a3 = m2 − a5 2a4 − 8a2 = n2 hệ MODE EQN thu kết Tuy nhiên bất cập fn(x) có chứa gm(x) k máy không tính g m (i ) với k ≥ (nghĩa với f ( x) trên, ta phải nhập i 3i để tính i thay nhập trực tiếp i ), xem Câu 7b (số phức) để rõ cách xử lí Cách hoạt động tốt với n ≤ (làm tương tự trên) _ Cách 7: dùng SOLVE giải PT fn(X) = (nhập nguyên dạng chưa khai triển) Nếu PT có n nghiệm (nhìn qua fn(X) xác định n, nghiệm bội h coi h nghiệm đơn) ak +1  n  k  ∑  ∏ xl ÷ = − a  k =1  l =1  (k , i ≤ n, k lẻ, i chẵn, hệ lưu nghiệm vào biến dùng hệ thức Viet:  n i   a  x j ÷ = i +1 ∑ ∏   i =2  j =1  a1 n n −1 có n phương trình, dạng tổng quát) để suy f n ( x) = a1 x + a2 x + + an x + an+1 Cách tốt cho n = 2, khai triển mà biết nghiệm Nếu fn(x) có hệ số phân số ta triệt mẫu số cách nhân thêm s (là BCNN mẫu số, nhằm đưa đa thức hệ số nguyên) khai triển sfn(x) cách trên, cuối chia ngược lại hệ số cho s Đối với cách không cần làm vậy, ta khai triển gián tiếp _ Kỹ thuật khai triển đa thức Fn ( x, m) MTBT: + Cách 1: dùng biết tham số m có bậc cao Ta khai triển đa thức thành dạng f ( x) + mg ( x) sau gộp lại theo x Vào MODE (CMPLX), xem m số ảo i, nhập vào máy Fn ( X , i ) , ấn CALC , gán X = 1000 (theo cách 1), ấn = kết quả:  f (1000) = a K = a + bi = f (1000) + mg (1000) ⇒  Từ tìm đa thức f(x), g(x)  g (1000) = b n n −1 + Cách 2: giả sử sau khai triển Fn ( x, m) = f ( m)1 x + f (m) x + + f (m) n x + f (m) n+1 Nhập Fn ( x, m) vào máy (dùng biến X, M; lưu ý triệt mẫu số phân số Fn ( x, m)  X =0 trước nhập), ấn CALC , gán  kết f (1000) n+1 , từ xác định  M = 1000 d f ( m) n+1 (hệ số tự Fn ( x, m) ) Tiếp theo, tính ( Fn ( X , M )) |x =0 với M = 1000 kết dx uuuuuur f (1000) n , xác định f ( m) n Vì đề thi ĐH, f ( m)i (i = 1; n + 1) có bậc tối đa (nếu có thường có đa thức f ( m)i mang bậc 3), nên ta làm tiếp sau: dùng uuuur  X = 1000 uuuur ta tương ứng kết Fn (1000, −1;2) Từ ta CALC tính Fn ( X , M ) với   M = −1;2  m = −1: Fn ( x, −1) = f (−1)1 x n + f ( −1) x n−1 + + f (−1) n+1  m = : Fn ( x,0) = f (0)1 x n + f (0) x n−1 + + f (0) n+1  xác định được:  m = 1: Fn ( x,1) = f (1)1 x n + f (1) x n −1 + + f (1) n +1  n n −1 + f (2) n+1  m = : Fn ( x,2) = f (2)1 x + f (2) x + uuuuuu r Áp dụng định lý: biết k + điểm ( x j ; f k ( x j )) ( j = 1; k + 1) thuộc đồ thị hàm số f k ( x) ta uuuuuur xác định hàm số đó, ta xác định f ( m)i (i = 1; n + 1) dựa vào điểm (m; f (m)i ) với uuuur m = −1;2 Việc thực MODE (STAT), nhảy xuống Câu để xem cách uuuuuur tìm f ( m)i (i = 1; n + 1) từ điểm (m; f (m)i ) Do ta chuyển hệ số Fn ( x, m) dạng tuyến tính (không có phân thức, phân số), nên ∃ f (m)i (i ∈{1;2; ; n − 1}) mà hệ số f ( m)i không nguyên, điểm (2; f (2)i ) không thuộc đồ thị hàm số qua điểm (−1; f (−1)i ), (0; f (0)i ), (1; f (1)i ) f ( m)i có bậc xác định MODE STAT (vì hàm đa thức có bậc 1; 2), ta xác định f ( m)i MODE COMP Ở MODE COMP, ta nhập vào máy Fn ( X , M ) − G ( X , M ) G(X,M) dạng n −i +1 khai triển Fn ( X , M ) bị khuyết hạng tử f ( M )i X (đang cần xác định) Ấn CALC  X =1 tính biểu thức với  kết f (1000)i , từ xác định f ( m)i M = 1000  _ Phương pháp Viet để tìm nhân tử bậc từ nghiệm máy (khi có nghiệm): lấy S = A + B nghiệm (lưu A, B), tính  Nếu S, P số đẹp, PT có nhân tử x − Sx + P ,  P = AB không, thử tiếp với cặp nghiệm khác Lưu ý: cho EQN giải PT bậc nghiệm vô tỉ cách vô dụng Mọi PT đa thức khác gặp phải TH (khi giải solve) thường phải viện đến lượng giác hóa để giải (bằng tay) Với PT vô tỉ, TXĐ nên nghiệm vô tỉ bị loại dẫn đến thiếu nghiệm để dùng phương pháp Viet, ta xử lí cách khác đề cập phía _ Nếu máy giải fn(X) = cho nghiệm xấu x = A (lưu vào A), ta giả sử A nghiệm g2(x) = x2 + bx + c phân tích fn(x) = g2(x)h(x), sử dụng MODE TABLE để tìm nhân tử g2(x) Ta nhờ MODE TABLE tính g2(x) với giá trị b nguyên (còn x = A), từ tìm c Do ta nhập vào MODE TABLE f(X) = A2 + XA (ở X giá trị b nguyên dò, A nghiệm x giải được, MODE dò với biến X) Do A nghiệm nên chắn  Start = −14  A2 + bA = −c Bấm = , gán:  End = 14 Từ bảng giá trị thu được, ta dò giá trị X  Step =   b= X A2 + c = −b nên ta cho f(X) số hữu tỉ, kết quả:  Cũng A c = − f ( X )  c=X A2 + X nhập f ( X ) = , lúc tìm thấy f(X) hữu tỉ  Nhưng để A b = − f ( X ) chắn fn(x) có nhân tử g2(x), ta phải giải nốt nghiệm g2(x) = thử vào fn(x) _ Nếu thấy PT hệ chứa (hoặc đưa chứa) đại lượng k ( x, y ) = ax + bxy + cy , thử phân tích k ( x, y ) = ( mx + ny )( px + qy ) (trừ phi PT at + bt + c = vô nghiệm) hướng làm _ Kỹ thuật phân tích đa thức hệ số nguyên f(x,y) thành nhân tử: trước hết f(x,y) có chứa hệ số phân số ta nhân sf(x,y) cho hết phân số (vì làm việc với đa thức hệ số nguyên) Tiếp đến bậc y lớn (ngược lại làm tương tự), thay y = 1000 ta sf ( x, y ) = g n ( x) Dùng MODE EQN hay chức solve giải PT g n ( x) = ta x = x0 (nếu nhiều nghiệm làm tương tự): + Nếu x0 số hữu tỉ (với phân số tử số thường có liên quan đến số tròn chục), ta phân  g n ( x) = ( x − x0 )(c1 x n−1 + + cn −1 x + cn )  h( y ) uur tích  (thường gặp  có dạng ay + b ), từ đó: x0 = h( y ), ci = h( y )i (i = 1; n)   h( y ) i sf ( x, y ) = [x − h( y )][h( y )1 x n −1 + + h( y ) n−1 x + h( y ) n ] + Nếu x0 tất nghiệm lại (nếu có) số vô tỉ ⇒ f ( x, y ) không phân tích thành nhân tử Dù thay x = 1000 hay y = 1000 kết Với đa thức ẩn x, y, z gán y = 10; z = 100 phân tích tương tự (nhưng phải tư suy đoán nhiều hơn) Bậc đa thức cao, phương pháp khó xác (vì máy khó giải PT hệ số lớn) n +1 n −i +1 _ Phương pháp sơ đồ Horner để phân tích Fn ( x) = ∑ x (có nghiệm thực x = x0) thành i =1 uuur n− j nhân tử: giả sử Fn ( x) = ( x − x0 )∑ b j x , ta tìm b j ( j = 2; n; b1 = a1 ) câu lệnh nhập vào n j =1 máy  B = b1 uuur uuur  X = x b ( j = 2; n) ứng với A = (i = 2; n) B = BX + A với input  , dùng CALC , thu j A=a  _ Kỹ thuật tìm nhân tử PT vô tỷ: ∗ PT chứa 1; nhị thức bậc nhất:  t2 − b  t − b g PT f x, ax + b = : đặt ax + b = t ⇔ x = , t ÷ = (hay g(t) = PT g  a  a  0) Dùng kỹ thuật phân tích g(t) thành nhân tử MTBT (giả sử PT g(t) = có nghiệm) g(t) = g1(t)g2(t) Thế trở lại t = ax + b PT g1 ax + b g ax + b = ( ) ( ) ( )  ax + b = u g PT f x, ax + b , cx + d = : đặt  , làm tương tự (dùng kỹ thuật phân tích cx + d = v  thành nhân tử cho đa thức ẩn) ∗ PT chứa biểu thức bậc cao: g PT F ( x) = f n ( x) + a hm ( x) = (các hệ số hữu tỉ), trước hết cho máy giải tìm nghiệm, lưu vào biến A, B (chỉ cần tối đa nghiệm): ( ) _ Trong cách phân tích đa thức fn(x) thành nhân tử nêu, sau tìm nhân tử bậc f n ( x) = g n−2 ( x) kỹ thuật khai triển đa thức MTBT để xác định g n−2 ( x) g2(x) ta chia g ( x) k Nhưng ta cần chia F ( x) = f n ( x) + ∑ h( x)i ( h( x)i đa thức) cho nhân tử i =1 k G ( x) = g m ( x) + ∑ bi h( x)i để tìm nhân tử lại phải làm cách khác Ta giả sử rằng: i =1 k f n ( X ) + ∑ h( X )i k F ( x) i =1 = u p ( x) + ∑ ci h( x )i , nhập vào máy: (1) Để xác định hệ số k G ( x) i =1 g m ( X ) + ∑ bi h( X )i i =1 c1 c1 h( x )1 nhân tử cần tìm, ấn CALC , ta gán X cho h( X )1 số xấu uuur h( X ) j ( j = 2; k ) số đẹp, kết có dạng p + q w (nếu kết xấu chọn X khác) Quay lại biểu thức (1) , nhập thêm “ − p ” ấn = , kết q w , chia kết h( X )1 ta hệ số c1 (thường gặp c1 = q) (∗) Như quay lại (1) , nhập thêm ta cho k f n ( X ) + ∑ h( X )i i =1 k g m ( X ) + ∑ bi h( X )i − c1 h( X )1 (2) Bây để xác định hệ số c2 c2 h( x) , ta lại i =1 chọn X gán vào (2) cho h( X ) số xấu uuur h( X ) j ( j = 3; k ) số đẹp, lặp lại thao tác tương tự ta tìm c2, quay lại (2) nhập thêm “ −c2 h( X ) ”, ta xác định k ∑c i h( x ) i i =1 F ( x) k − ∑ ci h( x)i (3) Như G ( x) i =1 việc tính (3) với X = 1000, ta kết u p (1000) , từ tìm u p ( x) Trong trường hợp hệ số h( x)i bước chia (∗) thay đổi liên tục (thử chia với giá trị X khác Cuối xác định đa thức u p ( x) , ta có: u p ( x) = thấy), suy hệ số h( x)i thương đa thức v( x)i số, đề thi ĐH có bậc 2, ta dùng MODE (STAT) để tìm đa thức Trước hết ta thực bước chia (∗) lần để tìm giá trị c1 khác ứng với X = x1, X = x2, X = x3, giá trị v( x1 )i ; v( x2 )i ; v( x3 ) i Như biết điểm ( x1 ; v( x1 )i ); ( x2 ; v( x2 )i ) ; ( x3 ; v( x3 )i ) thuộc đồ thị hàm v( x)i có bậc 2, ta hoàn toàn xác định hàm số Cách xác định v( x)i MODE STAT nêu Câu F ( x) k − ∑ ci h( x)i Ngoài ra, ta thường gặp u p ( x) với p = 1; 2, ta tính để G ( x) i =1 lim x →+∞ xp xác định hệ số xp (và toàn u p ( x) ) giống kỹ thuật khai triển đa thức bậc cao _ Sau tìm nhân tử PT f ( x) = f1 ( x ) + f ( x ) g1 ( x ) = h( x) = g1 ( x) + g ( x) f ( x) phân tích f(x) thành nhân tử cách chia , song ngại chia chuyển h( x ) sang cách triệt tiêu (bản chất nhân liên hợp với h(x)):  h( x)  g1 ( x) − g ( x)  = g1 ( x) − g 22 ( x) = k ( x)     f ( x) − f ( x )h( x ) = f1 ( x ) − f ( x ) g ( x ) = u ( x )k ( x) ⇒ f ( x) = f ( x)h( x) + u ( x)k ( x) = h( x )  f ( x ) + u ( x ) g1 ( x ) − u ( x ) g ( x)  (f(x) chứa nhiều làm tương tự) _ PT f n ( x) ( n ≥ 3) máy giải tất nghiệm xấu, hầu hết phải sử dụng lượng giác hóa Lúc thử tính arcsin x0 ; arccos x0 ; arctan x0 (x0 nghiệm lưu vào biến) để tìm uur dạng lượng giác nghiệm, x = sin(ϕ + kcπ ) với k = 1; l ứng với l nghiệm khác (có thể thay sin cos hay tan) Nếu không tìm dạng lượng giác, tùy vào khoảng giá trị x (có thể dựa vào nghiệm mà máy giải) để đặt t = sin x; t = cos x hay t = tan x , lao vào giải tay _ Vài cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa (tương tự nguyên hàm - tích phân): + PT f n ( x) = : tổng quát đặt x = tgt chuyển PT đẳng cấp với sint, cost + PT chứa a − x : đặt x = | a | sin t |a| + PT chứa x − a : đặt x = sin t  | a | tgt + PT chứa x + a : đặt x =   | a | cotg t + PT chứa a±x : đặt x = a cos 2t a mx ( x − a)(b − x) : đặt x = a + (b − a )sin t + PT chứa (Nếu BPT chứa đại lượng đặt tương tự) _ Nếu HPT có PT1 chứa phần đa thức có bậc ≥ nhiều hơn, PT2 chứa dạng khác hẳn, thường rút quan hệ x, y đơn giản từ PT2, để vào PT1  f ( x) = x _ Nếu vế PT f(x) = g(x) hàm ngược quy giải PT   g ( x) = x _ Máy không tìm nghiệm PT dù PT có nghiệm (do xG − giá trị ban đầu, nhập vào không phù hợp), lúc trường hợp PT F ( x) = ax + bx + cx + dx + e = , nên xử lí theo cách:  4ac − b  4ac − b ∆ g ( x ) + Xét dấu f ( x) =  = cực trị g ( x) = ax + bx + c ): ÷x + dx + e ( − 4a 4a  4a  Nếu f ( x) > 0∀x ∈ D ⊆ R : F(x) = vô nghiệm D, có nghiệm R \ D Nếu f ( x0 ) = : F(x) = có nghiệm nghiệm x = x0 + Phương pháp tam thức bậc 2: viết lại F ( x) = (ax + bx + c) x + dx + e = ⇒ F ( x) = có nghiệm ⇔ ∆ x = d − 4(ax + bx + c)e = −4aex − 4bex + d − 4ce ≥ Từ tìm khoảng nghiệm c/m PT vô nghiệm  F ( x) = ( ax + bx) x + (cx + d ) x + e  ∆x  2 2 (Có cách viết lại F(x) sau:  F ( x) = a( x ) + (bx) x + (cx + dx + e) để  có bậc ∆ x2 2   F ( x) = a( x ) + (bx + c) x + ( dx + e)  2) _ Phương pháp luân hồi thường dùng cho PT: f ( x ) + f ( x ) = g ( x ) + g ( x ) ⇔ F ( x ) = G ( x ) ⇔ F ( x) = G ( x ) 2 ⇔ f1 ( x) + f ( x) + 3F ( x) f1 ( x) f ( x) = G ( x) = g1 ( x) + g ( x) + 3G ( x) g1 ( x) g ( x) + Nếu f1 ( x) + f ( x) ≠ g1 ( x) + g ( x) 3 (∗) ⇒  f1 ( x)  +  f ( x)  + 3F ( x) f1 ( x) f ( x) = F ( x) ⇔ ( f1 + f − F ( )( ) f12 + f 22 + F − f1 f + F f1 + F f = )( ) ( f1 + f − F  f1 − f +  + Nếu f1 ( x) + f ( x) = g1 ( x) + g ( x) ⇔ (∗) f2 + F ) +( F + ) f1  = (∗∗)  F ( x) =  (∗) ⇒ F ( x) f1 ( x) f ( x) = F ( x) g1 ( x) g ( x) ⇔  (∗∗) f ( x ) f ( x ) = g ( x ) g ( x )  2 (Ở TH sau tìm nghiệm (∗∗) phải thử lại vào PT đầu) k _ Phương pháp đồng hệ số cho PT F ( x) = f n ( x) + ∑ g ( x)i h( x)i = (k ≥ 3) : giả sử i =1   l  uur  F ( x) = ∏   ∑ u ( x) j v( x) j  + w( x)i  (trong v( x) j ( j = 1; l ) nhân tử tối giản (tức i =1   i   j =1 uur nhân tử vô nghiệm) khác bao gồm nhân tử h( x)i (i = 1; k ) h( x)i có nghiệm h( x)i vô nghiệm; u ( x) j , w( x)i đa thức có deg < deg g ( x)i ): + Nếu F(x) vô nghiệm: khai triển hoàn toàn F(x) đồng hệ số + Nếu F(x) có nghiệm x = x0: biểu diễn g ( x)i qua u ( x) j , w( x)i cách khai triển F(x) không hoàn toàn (chỉ nhằm xác định đại lượng tương ứng F(x) khai triển hoàn toàn) đồng không hoàn toàn (chỉ nhằm xác định dạng, bậc biểu thức) để mối liên hệ công bội u ( x) j , w( x)i (VD u ( x) j = aw( x)i với a ∈ R , chưa cần xác định rõ a) Từ tìm liên hệ công bội hệ số u ( x) j , w( x)i nhân tử k  l  f ( x)i =  ∑ u ( x) j v( x) j  + w( x)i , nhằm giảm số đại lượng chưa biết (để biểu diễn hệ số)  j =1 i xuống Tiếp đến giả sử nhân tử f ( x)i cho nghiệm x = x0 ⇒ f ( x0 )i = , kết hợp tìm trên, xác định hệ số u ( x) j , w( x)i , tức nhân tử f ( x)i , từ tìm nhân tử lại (có thể phải dùng thêm nghiệm khác có) cách triệt tiêu (được cách phân tích) Tiếp tục giả sử tương tự với nhân tử chưa biết khác, tìm cách phân tích khác Cuối chọn cách phân tích thoả mãn (không phải cách đúng)  f ( x, y ) = ∗ Phương pháp cộng giải hệ đa thức hệ số nguyên  : việc phân tích thành  g ( x, y ) = nhân tử với f(x,y), g(x,y) không thực được, ta tìm k cho f ( x, y ) + kg ( x, y )  f ( x, y ) = a1 x + b1 y + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 = phân tích thành nhân tử Xét hệ  : 2  g ( x, y ) = a2 x + b2 y + c2 xy + d x + e2 y + f = _ Cách 1: đặt a = a1 + ka2 ; b = b1 + kb2 ; c = c1 + kc2 ; d = d1 + kd ; e = e1 + ke2 ; f = f1 + kf F ( x, y ) = f ( x, y ) + kg ( x, y ) = ax + by + cxy + dx + ey + f ⇒ F(x,y) phân tích thành nhân 2 tử ⇔ F ( x, y ) = ax + (cy + d ) x + by + ey + f = có nghiệm x ∀y ∈ ¡ , tức là: ∆ = G ( x) = (cy + d ) − 4a(by + ey + f ) = (c − 4ab) y + 2(cd − 2ae) y + d − 4af ≥ ∀y ∈ ¡ c − 4ab <  ⇒ (∗) 2 ∆ G ' = (cd − 2ae) − (c − 4ab)(d − 4af ) ≤ Do ta dùng máy tìm k thỏa mãn hệ (∗) Ngoài để làm nhanh (nhưng số giá trị k bị 2 2 2 đi), ta giải PT ∆ G ' = ⇔ (cd − 2ae) = (c − 4ab)( d − 4af ) ⇔ cde + 4abf = ae + bd + fc 2 (PT bậc ẩn k) tìm k Lúc ∆ = (c − 4ab)( y − n) , c − 4ab < có ∆ = ( y = n) thỏa mãn ⇒ F ( x, y ) = a( x − m) ⇒ ( x; y ) = (m; n) (nhưng không rơi 2 vào TH này) Nếu ban đầu viết F ( x, y ) = by + (cx + e) y + ax + dx + f tương tự ta 2 2 2 ∆ G ' = (ce − 2bd ) − (c − 4ab)(e − 4bf ) = ⇔ cde + 4abf = ae + bd + fc _ Cách (dùng hệ có nghiệm ( x1; y1 ); ( x2 ; y2 ) phải nhẩm nghiệm đó): + Lập phương trình đường thẳng qua điểm A( x1; y1 ); B( x2 ; y2 ) : (∆) : ( y2 − y1 ) x − ( x2 − x1 ) y + x2 y1 − x1 y2 = ⇔ ax + by + c = Do H ( x, y ) phải có nhân tử ax + by + c (ở Câu có cách lập PT đường thẳng qua điểm MTBT) f ( x0 ; y0 ) + Lấy M ( x0 ; y0 ) ∈ (∆) ( M ≠ A, B ) ⇒ k = − g ( x0 ; y0 ) + Từ phân tích H ( x, y ) = (ax + by + c)h( x, y ) , chia đa thức kết hợp khai triển để tìm h(x,y) (Nếu nhẩm nghiệm vô tỉ ta tìm liên hệ ax + by + c = ) _ Cách (áp dụng dễ nhẩm từ nghiệm trở lên): + Sau tìm nhân tử ax + by + c , giả sử F ( x, y ) + kG ( x, y ) = ( ax + by + c)h( x, y ) (bậc h(x,y) xác định dựa vào bậc F(x,y), G(x,y)) + Dùng hệ số bất định tìm h(x,y) Với hệ PT đa thức hệ số nguyên có dạng khác hệ (bậc PT không nhau, thường đơn vị), ta tìm cách đưa hệ cách sử dụng cách tìm liên  f ( x, y ) = u ( x ) = u ( x) ⇒k = = w( x ) (biểu thức chứa biến) Cách hệ y = ax + b , đó:  v ( x)  g ( x, y ) = v ( x ) = gây phức tạp k = w( x) , đặt y = ± x + t để làm cho bậc PT nhau, tìm k số  f ( x1 ) = g ( x2 )  f (x ) = g(x )  _ HPT hoán vị vòng quanh (HPT vòng) n ẩn ( n ≥ ):  , thường gặp n = 3,   f ( xn ) = g ( x1 ) ta có cách giải tổng quát:  x = F ( y)  + B1: đặt ĐKXĐ, đưa hệ dạng  y = F ( z ) cần  z = F ( x)  + B2: giả sử x ≥ y ≥ z (vì x, y, z bình đẳng), xét hàm F (t ) , dùng F '(t ) c/m F (t ) đơn điệu, giả sử F (t ) đồng biến ⇒ F ( x) ≥ F ( y ) ≥ F ( z ) , nên từ hệ ⇒ z ≥ x ≥ y Vậy x = y = z  x = F ( x)  + B3: giải PT  y = F ( y ) kết luận  z = F ( z ) _ Phương pháp biến thiên số: biến đổi PT f ( x) = ⇔ F [x, g ( x)] = (nên cho g(x) = a F[x,g(x)] hàm đa thức theo g(x)) Đặt g(x) = t (không cần đặt điều kiện cho t) ta F ( x, t ) = ⇔ t = h( x) ⇒ g ( x) = h( x) , giải tìm x Nếu h(x) phức tạp f(x) không nên giải tiếp (tìm cách khác) Câu (Tích phân) _ Khi nháp, nên bỏ qua số k biến đổi ∫ f ( x)dx = k ∫ g ( x )dx (với tích phân bỏ qua cận, coi nguyên hàm) để làm nhanh hơn, lúc trình bày tính toán viết vào _ Với toán ∫ f ( x)dx = ? chưa tìm nguyên hàm cuối không viết thêm “+ C” (hằng số nguyên hàm họ) _ Nếu phải tìm ∫ f ( x)dx phương pháp định (thường có trình học) mà khó giải nên tìm tất phương pháp biết (khi biết trước) để ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ghi rõ quy trình tính F '( x) = f ( x) nháp, lật ngược lại quy trình để xác định rõ cách biến đổi tìm _ Nếu ∫ f ( x)dx theo phương pháp yêu cầu b ∫ f ( x)dx = F ( x) + C f(x) gián đoạn a, b tính ∫ f ( x)dx điều a không với F(x) _ Nguyên hàm tính chất sau tích phân: b b a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt _ Biến đổi phải tránh tạo nguyên hàm sau đây, dạng nguyên hàm cao cấp, HS THPT chưa thể giải: dx sin x 2 ; + x dx ; + x dx ; sin xdx ; cos xdx ; sin x dx ; cos x dx ; ∫ x4 + x2 + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x dx; cos x dx ln( x + 1) ex x −x ∫ x dx; ∫ ln sin x dx; ∫ ln x ; ∫ x dx; ∫ ln xdx; ∫ e ln xdx; ∫ x dx; ∫ e dx (Các nguyên hàm biểu diễn dạng sơ cấp người ta xấp xỉ chuỗi số vô hạn) _ Vài cách đổi biến hay dùng: + Chứa : đặt t = ln x x 1 + Chứa : đặt t = x x + Chứa f ( x) : đặt t = f ( x) + Chứa ∫ F  n f ( x), m f ( x)  dx : đặt + Chứa e x : đặt t = e x BCNN ( n ,m ) f ( x) = t (nhiều tương tự)  ± ax + t (a > 0)  _ Phương pháp Euler: khử g ( x) = ax + bx + c cách đặt g ( x) =  tx ± c (c > 0) t ( x − x ) ( g ( x ) = 0) 0  Có dạng đặc biệt lượng giác hóa:  sin t + Dạng a − x : đặt x =   cos t  a tan t + Dạng a + x : đặt x =   a cot t 2 2 (Mở rộng: chứa a − x ; a + x đặt trên)   x = t BCNN {m2 ;n2 } ( p ∈ Z ) m n p   I = ∫ x (ax + b) dx    n p  m +1 ∈Z ÷ _ Với  (m, n, p tối giản), đặt  ax + b = t  m1 n1 p1  n  ;n= ; p= (∈ Q) m =  m n p  2  ax n + b p2  m +  =t  + p∈Z ÷  n  n   x mk m1    n1  ∫ F  x, f ( x), , f nk ( x)  dx BCNN {n1 , ,nk } _ Với    , đặt f ( x) = u  ∗  {m1 , n1 , , mk , nk } ⊂ N ∗ Đổi biến hàm lượng giác: _ Chứa sinx: đặt t = cos x _ Chứa cosx: đặt t = sin x _ Chứa : đặt t = tanx cos x _ Chứa : đặt t = cotx sin x _ Dạng ∫ f (sin x,cos x) dx : x 2t 1− t2 2t ; cos x = ⇒ tan x = sin x = 2 1+ t 1+ t 1− t2 + Nếu f ( − sin x,cos x) = − f (sin x,cos x) (hàm lẻ theo sinx): t = cos x + Nếu f (sin x, − cos x) = − f (sin x,cos x) : t = sin x + Nếu f ( − sin x, − cos x) = − f (sin x,cos x) : t = tan x n m _ Dạng ∫ f (sin x,cos x) dx : + Tổng quát đặt t = tan + Nếu n chẵn, m lẻ: đặt t = sinx (và ngược lại) + Nếu n, m lẻ, n < m: t = cosx (và ngược lại)  tan x + Nếu n, m chẵn: t =  hạ bậc  cot x _ Một cách đổi biến không điều kiện tìm nguyên hàm khoảng cận tính tích phân  x = f (u ) ⇔ x = f [g (t )] để kết hợp lần đổi biến _ Có thể dùng nguyên lí đổi biến:   u = g (t ) giấy nháp thành lần làm _ Phương pháp tích phân phần luân hồi (tích phân quay vòng) thường dùng f(x) tích b G ( x) |ba b bx + c hàm a , ln x, lượng giác: I = ∫ f ( x )dx = = G ( x) |a + kI ⇔ I = 1− k a (Nếu f ( x) = g[ln x] ⇒ ∫ f ( x)dx = xg[ln x] − ∫ xg '[ln x]dx ) dx _ Nếu I = ∫ với P(x), Q(x) hàm lượng giác sin(ax + b), cos(ax + c) ), biến đổi: P ( x)Q( x) sin[(ax + b) − ( ax + c)]  dx ∫  sin(b − c) P ( x)Q ( x) dx I = (nếu I = ∫ với F(x), G(x) hàm lượng F ( x) + G ( x ) cos[(ax + b) − (ax + c)]  dx  cos(b − c) ∫ P ( x ) Q ( x )  giác biến tổng thành tích: F ( x) + G ( x) = P( x)Q( x) ) (ax + b) n  ax + b  dx = f ( x)d  _ Kỹ thuật chồng nhị thức: I = ∫ ÷: m ∫ (cx + d ) ad − bc  cx + d  n −1  ax + b  + Nếu m = n + 1: f ( x) = (ax + b)  ÷  cx + d  + Nếu m > n + : m−n−2 m −n − n n     ax + b   ax + b    ax + b  f ( x) =  a − c ÷  ÷ =  ÷  ÷ m −n −2    cx + d   cx + d  (ad − bc )  cx + d    cx + d   k  ni j  f ( x) f ( x) dx f m ( x) I =∫ m dx = ∫ k m ( m < n) = ∑  quy đồng ∑ k Gn ( x) _ Với : phân tích g ( x ) i = j =   i j  ∏ g ni ( x)i ∏ g n ( x )i i =1 i =1 k khử mẫu, sau đồng hệ số, thay ∑n i i =1 i giá trị thử (có dùng nghiệm Gn ( x) có) để hệ phương trình bậc nhất, giải tìm j p +q−2 dx 1   I =∫ = ÷ p  p q ∫ Trường hợp đặc biệt: (ax + b) (cx + d ) ad − bc  ax + b   cx + d   ÷  cx + d  Tương tự: ∫ (t + 1) tn dx [1 + tg (ax + b)] = ∫ sin n (ax + b)cosm (ax + b) ∫ tg n (ax + b) m+n−2 _ Tách hàm m+n−2 dtg (ax + b) song việc tính dt khó (nhất m + n lẻ) c = (ax + b)(cx + d ) f n ( x) bc − ad  ax + b  d ÷  cx + d    a −    (cx + d ) f n ( x) c(ax + b) f n ( x)  f n ( x) nhanh hơn: ( x − a)k g ( x) f n '(a ) f n ''(a ) f n( n ) (a ) f n ( x) = f n (a ) + ( x − a) + ( x − a) + + ( x − a)n 1! 2! n! 20 x 20 _ “Về nguyên tắc ta tính ∫ x e dx ∫ x sin xdx phương pháp hệ số bất định có _ Dùng khai triển Taylor cho hàm đa thức để tách hàm lời giải khoảng trang giấy, sử dụng tích phân phần 20 lần dài khoảng trang giấy, giải biến đổi dấu “=” với khoảng 10 dòng lại đẳng cấp khác… Đó tác dụng to lớn mà kỹ thuật “tách gọn tích phân” (hay “tách tích phân triệt để”) cho thấy Kỹ thuật tách tích phân mà giải theo cách thông thường dài thành tích phân sử dụng tích phân phần lần để rút gọn toàn (chỉ lại kết quả), mô tả theo sơ đồ: I = ∫ F ( x) g ( x )dx = ∫ f1 '( x ) g ( x)dx + ∫ f ( x ) g ( x )dx = f1 ( x ) g ( x ) − ∫ f1 ( x) g '( x )dx + I = f1 ( x) g ( x) − I + I = f1 ( x) g ( x) + C " (TTMT) Kỹ thuật tách gọn tích phân thường dùng để giải nhanh cách ngoạn mục (chỉ cần khoảng nửa trang giấy) dạng sau:  A1 An2 (−1) n−1 Ann  ax +b n−2 I = ∫ x n m ax +b dx = ∫  n x n−1 − x + + m dx n  a ln m ( a ln m ) ( a ln m )    An1 n−1 An2 ( −1) n Ann  ax +b n−2 + ∫  xn − x + x + + m dx = I1 + I 2 n a ln m ( a ln m ) ( a ln m )    An1 ( −1) n−1 Ann−1 ( −1) n Ann  ax +b n n −1 = ∫ x − x + + x+ ' m dx + I (a ln m) ( a ln m) n (a ln m) n+1   a ln m   An1 (−1) n−1 Ann−1 (−1) n Ann  ax +b n n −1 =  x − x + + x + m − I  + I2 n n +1  a ln m ( a ln m ) ( a ln m ) ( a ln m )    n n −2 −1 A A  A J = ∫ x n cos(ax + b)dx = ∫  n x n−1 − n3 x n −3 + + (−1) nn−2 x  sin(ax + b)dx a a a  n n n −1 −1 A  An2 n −2 An4 n −4   n An2 n −2 Ann−1  n 2 + ∫  x − x + + (−1)  cos(ax + b)dx + ∫  x − x + + (−1) n−1  cos( ax + b)dx a a n−1  a a  a  n n−2 −1 A  An1 n−1 An3 n−3  n − ∫  x − x + + ( −1) x  sin(ax + b)dx = J1 + J + J − J n−2 a a a  n  x n A2 An−1  = ∫  − n3 x n−2 + + (−1) nn  'sin( ax + b)dx a  a a n n −2 −1 A  An1 n−1 An3 n−3  n + ∫  x − x + + (−1) x  'cos(ax + b) dx + J − J n −1 a a a   n   x n An2 n−2  Ann−1  =   − x + + (−1) sin( ax + b ) − J  3 an    a a  n n−2   An1 n−1 An3 n−3 −1 A n +   x − x + + (−1) a a n−1   a   x  cos( ax + b) + J  + J − J   n (Ở J tính cho n chẵn, trường hợp n lẻ K = ∫ x sin( ax + b)dx tính tương tự) _ Cách tách hàm kỹ thuật tách gọn tích phân dạng (mấu chốt sử dụng công k n −k k +1 n −k −1 thức: ( An x ) ' = An x ): ax +b ax +b ax +b + C Ở F(x) hàm + Dễ thấy ∫ F ( x )m dx = ∫ [ f '( x ) + (a ln m) f ( x )]m dx = f ( x )m đa thức Fn(x) ⇒ f ( x) = f n ( x) = k1 x n + k x n−1 + + kn x + kn+1 ⇒ f '( x ) = nk1x n−1 + + 2k n−1x + k n uuuuuur Do f n ( x) = x n ⇒ chọn k1 = , dùng đồng hệ số tìm ki (i = 2; n + 1) thoả mãn: a ln m  n  a ln m(k2 x n−1 + + kn x + k n+1 ) = −  x n −1 + + 2k n−1 x + k n ÷  a ln m  + Giả sử ∫ Fn ( x)cos( ax + b)dx = f m ( x)sin(ax + b) + g p ( x )cos(ax + b) + C Đạo hàm vế ta có: Fn ( x)cos( ax + b) = f m '( x)sin(ax + b) + af m ( x)cos( ax + b) + g p '( x )cos(ax + b) − ag p ( x)sin(ax + b)  m −1 = p f m '( x) = ag p ( x)   ⇒ ⇒   m = n ⇔ m = n = p + ( m, n , p ∈ N ) af m ( x) + g p '( x) = Fn ( x)   p − = n   Fn ( x)cos(ax + b) = [ af n ( x) + g n−1 '( x) ] cos( ax + b) + [ f n '( x) − ag n −1 ( x) ] sin(ax + b)  ⇒ f n ( x) = k1 x n + + kn x + kn+1 ⇒ f n '( x ) = nk1 x n−1 + + 2kn −1x + kn  g n−1 ( x) = l1 x n−1 + + ln−1 x + ln ⇒ g n−1 '( x ) = (n − 1)l1x n−2 + + 2ln− x + ln−1  uuuuuur uur n k ( i = 1; n + 1), l ( j = 1; n) thoả mãn: Do Fn(x) = x nên cách đồng hệ số, chọn i j a(k1 x n + + kn x + k n+1 ) + (n − 1)l1 x n −2 + + 2ln−2 x + ln−1 = x n  nk1 x n−1 + + 2kn−1 x + kn = a (l1 x n −1 + + ln−1 x + ln )  (2 cách áp dụng tương tự Fn(x) phức tạp xn) _ Tích phân đặc biệt theo tính chất (ở f(x) liên tục đoạn chứa cận xét): a + I= a ∫ f ( x)dx : f(x) chẵn I = 2∫ f ( x)dx ; f(x) lẻ I = −a + b b a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (a + b − x)dx π π + Hàm f liên tục [0;1] ⇒ f (sin x) dx = f (cos x)dx ∫ ∫ 0 a +T + Nếu f(x) tuần hoàn chu kì T (T > 0): ∫ a + 2a a 0 T f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ [f ( x) + f (2a − x)]dx a a f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + Với hàm f(x) chẵn: ∫ x m +1 −a b b a+b f ( x )dx + Nếu f ( a + b − x) = f ( x )∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ xf ( x )dx = ∫ a a b + Nếu f liên tục đến f '' [a;b] f(a) = f(b) = b ∫ f ''( x)( x − a)( x − b)dx = 2∫ f ( x)dx a a _ Phương pháp tích phân liên kết (thường dùng cho hàm lượng giác): xét I = ∫ f ( x ) g ( x)dx ∗  I + I ∗ = [f1 ( x) + f ( x )]g ( x) dx = h1 ( x) ∫  tích phân liên kết I = ∫ f1 ( x) g ( x )dx , ta hệ  ∗  I − I = ∫ [f1 ( x ) − f ( x)]g ( x)dx = h2 ( x ) _ Nếu f(x) chứa f1 ( x) f ( x) (tích hàm khác dạng) nằm vị trí khiến cho việc tách phân tích f(x) thành nhân tử siêu khó, ∫ f ( x)dx hầu hết giải theo cách: ∫ f ( x)dx = ∫ G '( x) F{G[ f ( x) f ( x)]}dx _ Thứ tự áp dụng phương pháp hay kĩ thuật tính tích phân (dựa theo xác suất thành công phương pháp làm đề thi ĐH): đổi biến → tích phân phần → tích phân theo tính chất → tích phân liên kết _ Nên dùng phép thử:  k ( x) = F ( x) F ( x) dx , tính K '( x) = k ( x) với K ( x) ⊆ G ( x) xem có xảy  + Với ∫ ( F1 ( x ) G ( x)  k ( x) = F1 ( x) nhân tử F(x)) f ( x)  h( a ) ≠ f ( x ) h( x ) = + Biến đổi (chủ yếu với hàm lượng giác) biết  (a, b: cận tích g ( x ) g ( x)  h(b) ≠ h( x ) phân, h(x) = f(x)) _ Phần diện tích tính kiến thức hình học phẳng không nên dùng tích phân _ Nếu phải tìm giao điểm đồ thị y = f ( x ), y = g ( x ) để tính b ∫ f ( x) − g ( x) dx , lấy a, b a nghiệm max, PT f(x) = g(x) PT có nghiệm _ Kiểm tra tính F ( x) = ∫ f ( x )dx (hoặc f ( x) = F '( x ) ) tìm MTBT: nhập câu lệnh: d ( F ( X )) |x = X − f ( X ) , áp dụng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” để kiểm tra (chỉ cần dx giá trị đủ) + Cách 1: B + Cách 2: ∫ f ( X )dx + F ( A) − F ( B) , kiểm tra (giá trị thử cận A b toán ∫ f ( x)dx = ? làm) a Câu (Hình học không gian tuý tọa độ) _ Vẽ hình nháp trước vẽ vào để xác định yếu tố: có nhiều yếu tố sau giải (1 phần hay toàn toán) vẽ (thường xác định đường cao) _ Dùng “tư động” quan sát hình: yếu tố có điều kiện giống yếu tố vị trí khác không gian yếu tố ngược lại Nghĩa nhìn hình quan điểm “các vị trí khác chuyển động” hình khác “tập hợp” hình tương tự tạo nên _ Tưởng tượng trực quan: thay đổi kiện kiện khác giữ nguyên mà làm cho kết luận cần c/m bị thay đổi kiện cần để c/m kết luận, ngược lại _ Với toán hình: vạch quy trình giải giấy nháp để tránh lủng củng, thiếu sót: A → B ⇒ C → D , dấu “ → ” cho biết thứ tự giải phần liên quan trực tiếp đến (A, B, …) toán, dấu “ ⇒ ” cho biết suy phần khác từ phần tìm (liên quan trực tiếp đến nhau) _ Đơn giản hoá hình vẽ (tách co hình): lựa chọn phần hình H chứa điều cần tìm (c/m) hình ban đầu D, chuyển tất kiện đề cho D H (bằng cách vẽ kiện không thuộc H vào H vị trí hợp lí cho chúng giữ nguyên tính chất), cuối vẽ lại H riêng (đã chứa tất kiện) _ Phương pháp giới hạn hình học (đặc biệt, TTMT, chưa áp dụng thức) để xác định mặt phẳng quỹ tích (trước nhìn vào để tìm cách dựng phương pháp đề cho phép), dựa nguyên lí tương đối: + Tại vị trí không gian, điều kiện riêng yếu tố hình học A không thay đổi tính chất, hệ A không thay đổi + Yếu tố hình học A tiến dần vị trí yếu tố B không trùng vào B ( lim A = B ) tính chất, hệ B chung với A _ Nguyên lý kỹ thuật giới hạn TTMT: đề yêu cầu chứng minh (hay tìm) tính chất (hoặc quỹ tích) K hình H, ta chứng minh giới hạn H (hoặc vài) yếu tố h tiến mút quỹ tích A B (được chọn thích hợp số mút thuộc tập xác định H,  lim H = F   h→ A ÷ mang tính chất K, H có tính H đồng biến AB) hình F G    lim H = G ÷   h→ B  chất K AB (hoặc K tính chất cần tìm H, quỹ tích H từ F đến G) Cách dùng kỹ thuật để: + C/m quan hệ song song (vuông góc) H, K (các đường thẳng hay mặt phẳng thoả lim H = K lim K = H tính chất AB): c/m h→ A h→ A (chọn tính giới hạn yếu tố B B mà việc thay đổi yếu tố h hợp thành (hoặc không) gây ảnh hưởng đến yếu tố khác (trừ nó)) + Xác định quỹ tích điểm H có tính chất K thay đổi đoạn AB: tính H =F lim h→ A ⇒ H ∈ FG , AB chứa đoạn MN mà tính chất H khác K (H  lim H = G  h→ B H =P  hlim  FP o QG →M ⇒ H ∈ không xác định), tính thêm  (giới hạn H M, N tính H =Q FQ o PG   hlim →N theo chiều từ đoạn MN) + C/m điểm H, K, L thẳng hàng: c/m quỹ tích H đoạn (đường) thẳng có phương trùng KL + C/m đường H, K, L đồng quy + Tính thể tích khối H: chọn phần khối K ≠ H cho yếu tố K biến hình VK = VH (k, h thành yếu tố H đơn giản biểu thức tính VK dễ tìm, tính lim k →h (hoặc vài) yếu tố nhỏ hợp thành K, H) + Tính khoảng cách đường thẳng (mặt phẳng) H, K + Tính góc H, K _ Đôi ta phải giải hệ bậc ẩn, PT (là hệ việc sử dụng biến số để lập PT đường thẳng, mặt phẳng hay đường tròn) mà MTBT không giải hệ ẩn, ta dùng MTBT để trợ giúp sau: trước hết chuyển hệ hệ số nguyên hệ số chưa ai x + bi y + ci z + d it = ei uur nguyên, ta được:  Đặt t = 1000 vào PT đơn giản hệ, ta i = 1;4  ai x + bi y + ci z = ei − 1000d i uur có:  Dùng máy giải hệ khéo léo trở lại 1000 = t ta được: i = 1;3   x = x0 = m1t + n1   y = y0 = m2t + n2 Cuối dùng SOLVE giải PT tìm t: z= z =mt+n  3 (m1t + n1 ) + bi (m2t + n2 ) + ci (m3t + n3 ) + d it = ei , từ suy x, y, z Câu (Hình học toạ độ phẳng) _ Bắt đầu giải nên tìm đặc biệt (nếu có) yếu tố mà đề cho biết: vẽ chúng lên mặt phẳng Oxy Câu 1a (bằng bút chì, nhớ sau tẩy đi) để quan sát _ Yếu tố A điều kiện yếu tố B chúng thuộc quỹ tích chắn phải áp dụng tính chất B cho A _ Khi tìm cách giải yếu tố toán thử áp dụng cách giải cho tất yếu tố khác có điểm tương tự với yếu tố _ Với hình có số liệu: số liệu cho số liệu tìm thêm dự phần vào việc tìm đáp án cuối cùng, ngược lại _ Nếu kiện đề cho nhìn qua thấy (hoặc không) có liên quan đến phải vẽ thêm số yếu tố phụ (cách vẽ suy từ ra) để kết nối chúng lại với _ Nếu thấy quỹ tích yếu tố xác định có hình dạng đẹp (thường đường tròn) nên sử dụng thử để tìm yếu tố khác _ Cách lập PT đường thẳng (hoặc cong) qua M, N, P MTBT: bấm MODE (STAT) ta thấy danh sách dạng hàm số (hoặc loại đường) xếp sau: :1 − VAR : A + BX 3: _ + CX : Ln X 5:e ^ X : A ×B ^ X : A ×X ^ B :1 / X (Trừ − VAR hàm số) + Ta giả sử PT đường thẳng qua M, N cần lập y = A + Bx , MODE STAT, ta chọn dạng (A + BX) Nhập tọa độ M, N vào cột x, y, sau ấn AC SHIFT (để vào menu STAT), chọn (Reg), muốn xem giá trị A B chọn tương ứng 2, ấn = Nếu máy báo “Math ERROR” chứng tỏ giả sử sai, nói cách khác, PT đường thẳng x = xM (hoặc x = xN, lúc xM = xN) + Để lập PT parabol qua M, N, P ta làm tương tự, khác chọn dạng thứ (_+ CX2) thay A + BX, nhập tọa độ M, N, P vào mở menu STAT Reg để xem A, B, C ⇒ phương trình cần lập là: y = A + Bx + Cx (Các dạng hàm lại sử dụng tương tự) _ Cùng với phương pháp lập PT đường qua M, N, P trên, ta kết hợp để kiểm tra tính thẳng hàng thuộc đường cong n điểm: + Cách để kiểm tra thẳng hàng: chọn dạng A + BX MODE STAT (hoặc menu STAT (Type)), nhập vào tọa độ n điểm, sau xem A, B menu STAT Reg, ghi nhớ lại A, B Tiếp theo vào menu STAT (Data) để xem lại tọa độ n điểm nhập, ấn DEL xóa tọa độ điểm bảng (làm cho nhanh xóa điểm được) Sau xem lại A, B: giá trị cũ n điểm thuộc đường thẳng y = A + Bx, không chúng không thẳng hàng + Cách để kiểm tra thẳng hàng: ta kiểm tra điểm dạng hàm _+ CX2 Nếu C = điểm thuộc đường thẳng y = A + Bx, lúc tiếp tục kiểm tra với điểm đủ n điểm Nếu C ≠ , chúng thuộc parabol y = A + Bx + Cx2 ⇒ n điểm không thẳng hàng + Để kiểm tra n điểm có thuộc đường parabol không, ta có cách tương tự (Các dạng hàm lại thao tác hoàn toàn giống) Câu (Bất đẳng thức, cực trị) _ Với BĐT VT ≥ VP , áp dụng BĐT Cauchy cho hạng tử VT VP tổng n hạng tử, để giải phải dùng BĐT Cauchy n lần, cộng vế _ Nếu VT, VP BĐT VT ≥ VP tích thừa số dương muốn áp dụng BĐT Cauchy phải khai triển tích _ Muốn tạo mối quan hệ fn fk (k < n) qua BĐT Cauchy, ta sử dụng BĐT Cauchy cho n số lấy lặp lại từ số fn cách phù hợp _ Để áp dụng BĐT Cauchy cho VT ≥ a (a ∈ R ) , hạng tử dùng áp dụng phải nghịch đảo cách đồng (có thể phải nhân vế BĐT với để VP = a), áp dụng để khử mẫu hạng tử VT (nếu có) _ Áp dụng kiện đề cho: f ( x1 , , xn ) = k ∈ R để tăng số lượng biến từ số khử biến thành số BĐT cần c/m n _ C/m BĐT n biến đối xứng ∑ f ( x ) ≥ a (có thể thay “ ≥ ” thành “ ≤ ”) MTBT: i =1 i uur g ( x ) = b : BĐT đối xứng nên dự đoán điểm rơi x = x ( i = 1; n) (x0 ∑ i i n + Nếu điều kiện i =1 b nghiệm PT g ( x) = ) ⇒ ta cần c/m f ( xi ) ≥ mg ( xi ) + n (có thể dùng đạo hàm) với m tính n d ( f ( X )) dx x = x0 ⇒ n = f ( x0 ) − mg ( x0 ) máy cách: m = d ( g ( X )) dx x = x0 n + Nếu điều kiện ∏x i i =1 = b : tìm cách đặt yi = g ( xi ) cho n n chuyển c/m BĐT ∑ h( y ) ≥ a Biến đổi: ln ∏ y i =1 i i =1 i n ∏y i =1 n i n n i =1 i =1 = ⇒ ∑ f ( xi ) = ∑ h( yi ) , = ln1 ⇔ ∑ ln yi = (chuyển điều kiện i =1 tổng) làm tiếp tương tự uur _ Phương pháp khử biến đạo hàm riêng: giả sử cần c/m f ( xi | i = 1; n) ≥ a (tương tự thay “ ≥ ” “ ≤ ”), thực theo thuật toán sau: + Xem f hàm biến xk với k = (các biến lại tham số), đạo hàm c/m: uur uuur f ( xi | i = 1; n) ≥ g ( x j | j = 2; n) k (k = 1) uuuuuur uuuuuur g ( x | j = k + 1; n) k với k = 2; n − + Lặp lại bước cho j + Đến k = n – 1, ta có g ( xn ) n−1 ≥ a Tìm điều kiện đẳng thức để kết luận uuur uuur uuur f ( x ) = f x | j = 2; n x + f x | j = 2; n x + f x | j = 2; n dùng phương pháp tam Nếu j j j uuuuuur thức bậc 2: xét ∆ x = f 22 − f1 f3 để tìm cực trị cho f(x) (tương tự cho g ( x j | j = k + 1; n) k với uuuuuur k = 2; n − ) Câu a) (Tổ hợp, xác suất) ( ) ( ) ( ) n k _ Giả sử đề yêu cầu c/m a ∑ f (k )Cn = g (n) , sử dụng đạo hàm, tích phân đẳng thức k =0 gốc, dùng phương pháp (của TTMT): 0 + Quy nạp toán học: tính S0 = af (0)Cn ; S1 = a  f (0)Cn + f (1)Cn  (có thể thêm S2, S3, …), dùng n k quy nạp c/m Sn = a ∑ f (k )Cn = g (n) k =0  u0 = aCn0 n − k + k −1  k Cn , xét dãy truy hồi  + Sai phân: dựa Cn = , (n − k + 1) f (k ) uk −1 (k = 1, n) k uk = kf (k − 1)  n dùng kiến thức dãy số, c/m af (0)C + ∑ uk = g (n) n k =1 i f (k )Cnk = g (n) + Giới hạn điểm: dựa vào kiến thức giới hạn, c/m a lim ∑ i→n k =0 b) (Số phức) _ Chuyển đổi dạng dạng đại số (ĐS) a + bi dạng lượng giác (LG) r (cos ϕ + i sin ϕ ) số phức z: + Ở MODE (CMPLX): để chuyển dạng ĐS → LG, nhập vào a + bi ấn SHIFT (để vào menu CMPLX) để nhập thêm >r∠θ , ấn = kết Muốn chuyển ngược lại làm tương tự, nhập vào r∠ϕ >a + bi Ngoài menu CMPLX, có chức tính Arg(z) Conjg(z) để tìm tương ứng argument số phức liên hợp z Còn để tính modun z ta nhập |a + bi| Trong MODE phép toán khác số phức tính bình thường trừ việc khai giải PT + Ở MODE (COMP): để chuyển dạng ĐS → LG, nhập vào Pol(a,b), ấn = kết quả, lúc kết số xấu, xem lại r ϕ tương ứng biến X, Y (lưu dạng đẹp có thể) Để chuyển ngược lại, nhập vào Rec(r, ϕ ) ấn = , lúc X, Y lại lưu tương ứng kết a, b chức không giúp ta thực phép toán số phức ngoại trừ tính r1r2 phép nhân r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ )] cách nhập: Pol (a1 , b1 ) Pol (a2 , b2 ) , không hoạt động MODE CMPLX n ∗ _ Giả sử cần tính f ( z ) (n ∈ ¥ ) với z = a + bi (b ≠ 0) : n + Nếu n ≤ : ta nhập f ( z ) ấn = bình thường n + Nếu n > : máy tính f ( z ) với n ≤ nên ta viết lại ( z ) f ( z ) f ( z ) f p ( z ) f n ( z ) = f 3m ( z ) f p ( z ) ( p ≤ 2) nhập 1f 44 4 43 , ấn = Hoặc viết lại m lân ( )  f ( z) N  f ( z ) n p ) ÷  ( f ( z ) = f ( z ) f ( z ) ( p ≤ 2) , lúc nhập 1 44 43 Nếu ta cần tính F ( x, z ) với p m m lân x ∈ ¡ có chứa f ( z ) ∀ deg x (bậc x), miễn n ≤ , ta nhập nguyên F ( X , z ) (X biến để gán số thực số cụ thể) để tính mà không cần viết lại _ Tính z = n w với w = a + bi = R (cos ϕ + i sin ϕ ) MTBT: uuuuuur 2π  2π    ϕ ϕ n + i sin + k ( k = 0; n − 1) , nhập vào biểu thức: Ta biết z = R cos  + k ÷  ÷ n  n   n  n  arg( a + bi ) 2π   arg( X ) 2π  n | a + bi | ∠  + M ÷ (nếu w lớn nhập n | X | ∠  + M ÷ dùng n n n    n  uuuuuur CALC gán X = w) Dùng CALC tính biểu thức với M = 0; n − n bậc n w (thi thường hay gặp n = 2) _ Với dạng PT tìm số phức z đơn giản (tức PT không xuất yếu tố: | z |, z.z , z k (k ∈ ¥ , k ≥ 2) ), máy tính giúp ta giải (ngoài việc dùng để thử lại nghiệm) Ta giả sử z = X + Yi, xử lí phân số (hoặc để yên) để PT tuyến tính  X = 100 hệ số nguyên: f ( X , Y ) = a + bi Dùng CALC tính f(X,Y) với  (ta gán X, Y Y = 10000 số tròn chục khác X ≠ Y , gán tốt nhất), kết m + ni  m = 100a1 + 10000b1 = a1 X + bY  100 = X Ta trả lại  vào kết cách tách:  Cuối 10000 = Y n = 100a2 + 10000b2 = a2 X + b2Y n =a  a1 X + bY vào MODE EQN để giải hệ  , tìm X, Y a2 X + b2Y = b [...]... vị trí trong không gian, nếu các điều kiện riêng của yếu tố hình học A không thay đổi thì tính chất, hệ quả của A cũng không thay đổi + Yếu tố hình học A khi tiến dần về vị trí của yếu tố B nhưng không bao giờ trùng vào B ( lim A = B ) thì các tính chất, hệ quả của B cũng không thể chung với A _ Nguyên lý của kỹ thuật giới hạn TTMT: khi đề bài yêu cầu chứng minh (hay tìm) tính chất (hoặc quỹ tích) K... từng phần 20 lần dài khoảng 3 trang giấy, nhưng nếu giải nó bởi 5 biến đổi dấu “=” với khoảng 10 dòng thì lại là một đẳng cấp khác… Đó chính là tác dụng to lớn mà kỹ thuật “tách gọn tích phân” (hay “tách tích phân triệt để”) cho thấy Kỹ thuật này là tách 1 tích phân mà giải theo cách thông thường rất dài thành các tích phân con có thể sử dụng tích phân từng phần 1 lần để rút gọn toàn bộ (chỉ còn lại... thành nhân tử siêu khó, khi đó ∫ f ( x)dx hầu hết giải được theo cách: ∫ f ( x)dx = ∫ G '( x) F{G[ f ( x) f ( x)]}dx 1 2 _ Thứ tự áp dụng các phương pháp hay kĩ thuật khi tính tích phân (dựa theo xác suất thành công của từng phương pháp khi làm đề thi ĐH): đổi biến → tích phân từng phần → tích phân theo tính chất → tích phân liên kết _ Nên dùng các phép thử:  k ( x) = F ( x) F ( x) dx , tính K '( x) =... ∫ f ( X )dx + F ( A) − F ( B) , kiểm tra như trên (giá trị thử có thể chính là 2 cận trong A b bài toán ∫ f ( x)dx = ? đang làm) a Câu 4 (Hình học không gian thuần tuý và tọa độ) _ Vẽ hình nháp trước khi vẽ vào bài để xác định đúng các yếu tố: có nhiều yếu tố chỉ sau khi đã giải (1 phần hay toàn bộ bài toán) mới vẽ được đúng (thường là xác định đường cao) _ Dùng “tư duy động” trong quan sát hình: nếu... đổi 1 dữ kiện trong khi các dữ kiện khác giữ nguyên mà làm cho kết luận cần c/m bị thay đổi thì đó là dữ kiện cần để c/m kết luận, và ngược lại _ Với mọi bài toán hình: vạch ra quy trình giải ngoài giấy nháp để tránh lủng củng, thi u sót: A → B ⇒ C → D , dấu “ → ” cho biết thứ tự giải các phần không có liên quan trực tiếp đến nhau (A, B, …) của bài toán, dấu “ ⇒ ” cho biết sự suy ra 1 phần khác từ phần... x )dx (với tích phân thì bỏ qua cận, coi như nguyên hàm) để làm nhanh hơn, lúc trình bày mới tính toán viết vào _ Với bài toán ∫ f ( x)dx = ? khi chưa tìm ra nguyên hàm cuối cùng thì không được viết thêm “+ C” (hằng số bất kì của mỗi nguyên hàm trong họ) _ Nếu phải tìm ∫ f ( x)dx bằng 1 phương pháp nhất định (thường chỉ có trong quá trình học) mà khó giải thì nên tìm bằng tất cả phương pháp đã biết... D, chuyển tất cả những dữ kiện đề cho của D về H (bằng cách vẽ những dữ kiện không thuộc H vào H ở vị trí hợp lí sao cho chúng giữ nguyên tính chất), cuối cùng vẽ lại H riêng ra (đã chứa tất cả dữ kiện) _ Phương pháp giới hạn hình học (đặc biệt, của TTMT, chưa được áp dụng chính thức) để xác định mặt phẳng và quỹ tích (trước khi nhìn vào để tìm cách dựng bằng phương pháp đề cho phép), dựa trên 2 nguyên... tử đã nêu, sau khi tìm được 1 nhân tử bậc 2 là f n ( x) = g n−2 ( x) bằng kỹ thuật khai triển đa thức trên MTBT để xác định g n−2 ( x) g2(x) ta chia g 2 ( x) k Nhưng nếu ta cần chia F ( x) = f n ( x) + ∑ ai h( x)i ( h( x)i là các đa thức) cho nhân tử là i =1 k G ( x) = g m ( x) + ∑ bi h( x)i để tìm nhân tử còn lại thì phải làm cách khác Ta giả sử rằng: i =1 k f n ( X ) + ∑ ai h( X )i k F ( x) i =1... z Câu 5 (Hình học toạ độ phẳng) _ Bắt đầu giải nên tìm sự đặc biệt (nếu có) giữa các yếu tố mà đề đã cho biết: vẽ chúng lên mặt phẳng Oxy của Câu 1a (bằng bút chì, nhớ sau đó tẩy đi) để quan sát _ Yếu tố A không có các điều kiện như yếu tố B nhưng chúng thuộc cùng 1 quỹ tích thì chắc chắn phải áp dụng được tính chất nào đó của B cho A _ Khi đã tìm ra cách giải 1 yếu tố nào đó của bài toán thì thử áp... i n ∏y i =1 n i n n i =1 i =1 = 1 ⇒ ∑ f ( xi ) = ∑ h( yi ) , = ln1 ⇔ ∑ ln yi = 0 (chuyển về điều kiện i =1 tổng) rồi làm tiếp tương tự trên uur _ Phương pháp khử biến bằng đạo hàm riêng: giả sử cần c/m f ( xi | i = 1; n) ≥ a (tương tự khi thay “ ≥ ” bằng “ ≤ ”), thực hiện theo thuật toán sau: + Xem f là hàm 1 biến xk với k = 1 (các biến còn lại là tham số), bằng đạo hàm c/m: uur uuur f ( xi | i = 1;