CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K x Chứng minh M trung điểm HK Chứng minh 1   HK AB CD D C M BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) E H K Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp O Ta có : EAC  sđ AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE A B Hình 01 dây AC đường tròn (O)) Tương tự: xDB  sđ DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC  BD Do EAC  xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD  EMD (cùng chắn cung ED) Mà EAD  ABD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD) Suy ra: EMD  ABD Do EM // AB Chứng minh M trung điểm HK DAB có HM // AB  HM DH  CAB AB DA có MK // AB  MK CK  Mà AB CB DH CK HM MK (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên Do MH = MK   DA CB AB AB Vậy M trung điểm HK Chứng minh 1   HK AB CD Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta  AB DB được: KM BM (2)  CD BD Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: Suy ra: HM KM DM BM DM  BM BD      1 AB CD DB BD BD BD HM KM   , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK AB CD Do đó: HK HK 1 (đpcm)   Suy ra:   AB CD HK AB CD Lời bàn: Do AC = BD  ADC  BCD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE toán giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé) Câu có cách chứng minh khác không? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm Câu toán quen thuộc lớp phải không em? Do học toán em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem? Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC đường tròn (O) theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)  AM  MB Mà CD // BM (gt) nên AM  CD Vậy MKC  900 D AM  CM (gt)  OM  AC  MHC  900 K Tứ giác CKMH có MKC  MHC  180 nên nội tiếp đường tròn = H A Chứng minh CD = MB DM = CB C // M B O Ta có: ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O)  AD  AB ADC có AK  CD DH  AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM  AD Vậy AD  AB  CM // AB  AM  BC Mà AM  MC nên AM  BC  AM  MC  BC = 600 D K Tính diện tích phần tam giác ADC (O) theo R: // M Gọi S diện tích phần tam giác ADC C = đường tròn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD H A O S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 B hình  Tính S1: AD tiếp tuyến đường tròn (O)  AM  MC  BC  600  AOD  600 1 R2 Do đó: AD = AO tg 60 = R  SADO = AD AO  R 3.R  2 AOD  COD (c.g.c)  SAOD = SCOD  SAOCD = SADO =  Tính S2: AC  1200  S quạt AOC =  Tính S: S = S1 – S2 = R –  R 1200  R2 3600 =  R2 R2 = R2 3R   R R2 = = 3   (đvdt) 3   Lời bàn: Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K góc vuông, để có góc K vuông ta cần MB  AM CD// MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vuông suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường tròn Khi gặp loại toán đòi hỏi phải tư cao Thông thường nghĩ có kết toán xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải toán Với tập phát M trực tâm tam giác khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm nửa đường tròn mà BC  600 AD tiếp tuyến Chứng minh nhận định xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến BC  600 Từ kết luận Phát diện tích phần tam giác ADC đường tròn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC toán dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); cắt Ax, By E F Chứng minh: EOF  900 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK  AB Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a y F BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh: EOF  900 x M E K EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt E nên OE phân giác AOM Tương tự: OF phân giác BOM A N O B Mà AOM BOM kề bù nên: EOF  900 (đpcm) hình Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Ta có: EAO  EMO  900 (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác AEMO có EAO  EMO  1800 nên nội tiếp đường tròn  Tam giác AMB tam giác EOF có: AMB  EOF  900 , MAB  MEO (cùng chắn cung MO đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g) Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK  AB Tam giác AEK có AE // FB nên: tiếp tuyến cắt nhau) Nên AK AE  Mà : AE = ME BF = MF (t/chất hai KF BF AK ME  Do MK // AE (định lí đảo định lí Ta- let) KF MF Lại có: AE  AB (gt) nên MK  AB Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a Gọi N giao điểm MK AB, suy MN  AB  FEA có MK//AE nên Mà MK FK NK BK (1)  BEA có NK//AE nên (2)   AE FA AE BE FK BK FK BK FK BK (do BF // AE) nên hay (3)    KA KE KA  FK BK  KE FA BE Từ (1), (2) (3) suy MK KN  Vậy MK = NK AE AE Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên: S AKB KN   S AMB MN 2 Do S AKB  S AMB Tam giác AMB vuông M nên tg A = Vậy AM = MB   MAB  600 MA a a 1 a a   S AKB  MB = = a (đvdt) 2 2 2 16 Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu trình ôn thi vào lớp 10 chắn thầy cô ôn tập, em ôn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài toán có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, toán qui tính diện tích tam giác AMB khó phải không em? Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) AQI  ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: M Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường tròn (O)) Q I Do đó: MO  AC  MIA  900  MQA  900 Hai đỉnh I Q nhìn AM N A AQB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) O x K C H B Hình góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp đường tròn M b) Chứng minh: AQI  ACO Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI  AMI Q Hình (cùng phụ MAC ) (2) AOC có OA = OC nên cân O  CAO  ACO I A C N O H B (3) Từ (1), (2) (3) suy AQI  ACO c) Chứng minh CN = NH Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) AC  BK , AC  OM  OM // BK Tam giác ABK có: OA = OB, OM // BK  MA = MK Áp dụng hệ định lí Ta let cho ABM có NH // AM (cùng  AB) ta được: NH BN  AM BM  AB) ta được: (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho BKM có CN // KM (cùng CN BN  KM BM (5) Từ (4) (5) suy ra: NH CN Mà KM = AM nên CN  AM KM = NH (đpcm) Lời bàn Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vuông Góc AQM vuông có kề bù với ACB vuông, góc MIA vuông suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy AQI  AMI , ACO  CAO , vấn đề lại cần IMA  CAO , điều không khó phải không em? Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ toán có liên quan đến phần thi ta qui toán giải đề thi cách dễ dàng Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D a) Chứng minh OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh OD // BC x Hình F BOD cân O (vì OD = OB = R)  OBD  ODB Mà OBD  CBD (gt) nên ODB  CBD Do đó: OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF E A ACB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)  AC  BF EAB vuông A (do Ax tiếp tuyến ), có AD  BE nên: AB2 = BD.BE (1) C // = ADB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)  AD  BE D O B FAB vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC  BF nên AB2 = BC.BF (2) Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có: CDB  CAB (hai góc nội tiếp chắn cung BC)   CAB  CFA ( phụ FAC )  CDB  CFA Do tứ giác CDEF nội tiếp Cách khác  DBC FBE có: B chung BD BC  (suy từ BD.BE = BC.BF) nên chúng BF BE đồng dạng (c.g.c) Suy ra: CDB  EFB Vậy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp x d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi: F Ta có: ABD  CBD (do BD phân giác ABC )  AD  CD Tứ giác AOCD hình thoi  OA = AD = DC = OC  AD = DC = R  AD  DC  600  AC  1200  ABC  600 Vậy ABC  600 tứ giác AOCD hình thoi E D C Tính diện tích hình thoi AOCD theo R: AC  1200  AC  R 1 R2 Sthoi AOCD = OD AC  R.R  (đvdt) 2 A O Hình Lời bàn Với câu 1, từ gt BD phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ đến cần chứng minh hai góc so le ODB OBD Việc ý đến góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông Ax tiếp tuyến gợi ý đến hệ thức lượng tam giác vuông quen thuộc Tuy nhiên chứng minh hai tam giác BDC BFE đồng dạng trước suy BD.BE = BC.BF Với cách thực có ưu việc giải câu Các em thử thực xem sao? Khi giải câu câu sử dụng câu , chứng minh giải Câu với đề yêu cầu xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi khó Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ đến cung AC 1200 từ suy số đo góc ABC 600 Tính diện tích hình thoi cần nhớ B công thức, nhớ kiến thức đặc biệt mà trình ôn tập thầy cô giáo bổ sung AC  1200  AC  R , em tính dễ dàng Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đường thẳng BC N a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp A b) Chứng minh FB phân giác EFN c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC ABC F E H BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: B C N Ta có : BFC  BEC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) Tứ giác HFCN có HFC  HNC  1800 nên nội tiếp đường tròn đường kính HC) (đpcm) b) Chứng minh FB tia phân giác góc EFN: Ta có EFB  ECB (hai góc nội tiếp chắn BE đường tròn đường kính BC) ECB  BFN (hai góc nội tiếp chắn HN đường tròn đường kính HC) Suy ra: EFB  BFN Vậy FB tia phân giác góc EFN (đpcm) c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC tam giác ABC:  FAH  FBC có: AFH  BFC  900 , AH = BC (gt), FAH  FBC (cùng phụ ACB ) Vậy  FAH =  FBC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: FA = FB  AFB vuông F; FA = FB nên vuông cân Do BAC  450 Bài (Các em tự giải) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cát H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh AD AC = AE AB c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA  DE d) Cho biết OA = R , BAC  600 Tính BH BD + CH CE theo R Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vuông E F C = góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp b) AF phân giác EAD c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích (Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: Ta có: AED  AFD  900 (gt) Hai đỉnh E F nhìn AD góc 900 nên tứ giác EFDA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AF phân giác góc EAD: Ta có:  AE  CD  AE // OC Vậy EAC  CAD ( so le trong)  OC  CD Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên CAO  OCA Do đó: EAC  CAD Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm) c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng:  EFA  BDC có: EFA  CDB (hai góc nội tiếp chắn AE đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA)  EAC  CAB  EAF  BCD Vậy  EFA  BDC đồng dạng (góc- góc)  CAB  DCB d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích: SACD = 1 DF AC SABF = BC.AF (1) 2 BC // DF (cùng  AF) nên BC AC  hay DF AC = BC.AF (2) DF AF Từ (1) (2) suy : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác nữa) Bài Cho tam giác ABC ( BAC  450 ) nội tiếp nửa đường tròn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vuông góc kẻ Trên phần trích dẫn 10 trang đầu tài liệu hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầy đủ tài liệu gốc ấn vào nút Tải phía [...]...Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầy đủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới