KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT N M 2008 – Môn TOÁNĂ Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn ) sau: Câu 2:Cho tam giác ABC có góc là góc nhọn,trong ó E là đ trung iđ ểm của AB.Trên tia EC lấy iđ ểm M sao cho .Kí hiệu là số o cđ ủa góc ,hãy tính tỉ số theo Câu 3:Đặt .Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà và chia hết cho m? Câu 4:Cho dãy số thực được xác định như sau: và với mọi Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi .Hãy tìm giới hạn óđ Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối a 2008 chđ ữ số và trong ó có ít nhđ ất 2 chữ số 9? Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm , ôi mđ ột khác nhau.Chứng minh rằng Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào? Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD.Xét iđ ểm M nằm trên d.Gọi E,F lần lượt là trung iđ ểm của MB,MC.Đường thẳng i qua E và đ vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng i qua F đ và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng i qua M vuông góc vđ ới đường thẳng PQ luôn i qua 1 iđ đ ểm cố định ,khi iđ ểm M di động trên đường thẳng d. Lời giải của một số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế. Bạn có thể trao đổi qua forum ở trang web: http://toan.edu.ms/forum/viewtopic.php?f=78&t=172 Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình (pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của mình Bài 4 Bằng qui nạp ta có Với mọi n. Xét với Ta có Mà do ó đ t ng , tă ương tự ta có giảm Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2, theo trên nó là dãy t ng nên có giă ới hạn. Đặt Khi ó đ từ ó có đ Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta cũng có giới hạn là 1. Vậy Bài 5 Gọi các số phải tìm có dạng Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9. Bước 1 Tìm t ấ t c ả các s ố chia h ế t cho 9 Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , . , 10 cách chọn chữ số ứng với các cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán. Vậy có số chia hết cho 9 Bước 2 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do ó có đ tất cả số Bước 3 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9 Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số 9 vào Như vậy có số Cuối cùng số các số phải tìm là Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok n cĂ ơm cái ã, tí nđ ữa post tiếp Bài 6 Giả sử Ta có Và Từ ây ta suy ra:đ Vậy ta sẽ chứng minh rằng: Cái ni thì hiển nhiên úng theo Cauchyđ Từ ó suy ra pcm.đ đ Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: Bài 6 Cách ni của một anh bên TPHCM ý tưởng cũng tương tự, post lên xem thử Cho là các số không âm khác nhau ôi mđ ột , tìm hằng số k tốt nhất của bất đẳng thức Đặt : Ta chung minh : That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co : Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac ! Ta co : Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh tươnng đương với Hiển nhiên úng !đ Cách 2 : Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai 2 diem la va vay hang so tot nhat can tim la va dau bang xay ra tai hai diem la va Bài 2 Lấy iđ ểm sao cho là hình bình hành Ta có thẳng hàng. Do ó: tam giác đ cân tại Suy ra Trên tia lấy iđ ểm sao cho Xét hai tam giác và có Do óđ Suy ra Suy ra tam giác cân tại Lấy là trung iđ ểm thì Vậy Bài 2 ngắn gọn, đơn giản, mình giải trước: Từ C kẻ CF song song với BM (F thuộc cạnh BC, cái này dễ thấy, chắc các bạn không thắc mắc). Khi ó CE là phân giác cđ ủa góc ACB. Áp dụng định lí Talet và tính chất phân giác, ta có . mặt khác theo công thức tính diện tích suy ra Từ ó suy ra đ Tương tự . suy ra . Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình (pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của mình Bài 4 Bằng qui nạp ta có Với mọi n. Xét với Ta có Mà do ó đ t ng , tă ương tự ta có giảm Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2, theo trên nó là dãy t ng nên có giă ới hạn. Đặt Khi ó đ từ ó có đ Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta cũng có giới hạn là 1. Vậy Bài 5 Gọi các số phải tìm có dạng Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9. Bước 1 Tìm t ấ t c ả các s ố chia h ế t cho 9 Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , . , 10 cách chọn chữ số ứng với các cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán. Vậy có số chia hết cho 9 Bước 2 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do ó có đ tất cả số Bước 3 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9 Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số 9 vào Như vậy có số Cuối cùng số các số phải tìm là Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok n cĂ ơm cái ã, tí nđ ữa post tiếp Nhầm hết rồi ính chính lĐ ại này Gọi các số phải t“m có dạng Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9. Bước 1 T“m t ấ t c ả các s ố chia h ế t cho 9 Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , . , 10 cách chọn chữ số ứng với các cách chọn này có 1 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán. Vậy có số chia hết cho 9 Bước 2 T“m s ố các s ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn,chữ số a_n có duy nhất 1 cách chọn.Do ó có tđ ất cả số Bước 3 T“m s ố các s ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9 Nếu số 9 đứng đầu: Có số( và có 1 cách chọn) Nếu số 9 không đứng đầu : Có (Lấy số có chữ số không có số 9 nào r�“i thêm số 9 vào) Còn ây là bài 1đ Giả sử hệ có nghiệm (x,y). Ta có x,y>0. Đặt và Ta có hệ (1) Suy ra Đặt Ta có (2) Lại xét hàm Ta có Khi ó đ . từ ó, g(t) là hàm đ đồng biến trên ođ ạn (3) Nhận xét: Từ (1) nếu a<0 thì b<0 . Khi ó dđ ễ thấy (loại) nếu a>0 thì b>0 suy ra và Từ (2) (3) suy ra Mặt khác ta có kết hợp với bảng biến thiên suy ra phương trình có 2 nghiệm, từ ó dđ ễ dàng suy ra hệ có 2 nghiệm. Bài 7 thì mình sử dụng phương pháp tọa độ, tuy nhiên lời giải hơi dài, sẽ post sau Còn ây là bđ ảng biến thiên của bài 1 mình giải ở trên . duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai 2 diem la va vay hang so tot nhat can tim la va dau bang xay ra tai hai diem la va Bài 2 Lấy iđ ểm sao cho là. Ta chung minh : That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co : Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac ! Ta co : Cách