Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Một số phức biểu thức có dạng a  bi , a, b số thực số i thoả mãn i  1 Ký hiệu số phức z viết z  a  bi (dạng đại số) i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re  z   a b gọi phần ảo số phức z  a  bi , ký hiệu Im  z   b Tập hợp số phức ký hiệu C Chú ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z  a  bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z  a  bi z’  a’  b’i a  a ' z  z’   b  b ' VD: Tìm số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) HD: 2 x   y  x  y  x  (1)     3 y   3x  x  y  y  Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z  a  bi Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn số phức là: z A = + i , z B = –3 + i , zC = –2 i , z D = – i Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z  a  bi z’  a’  b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z  a  bi z’  a’  b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i VD: Phân tích z + thành nhân tử z + = z – (2i )2 = (z – i )(z + i ) Số phức liên hợp Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Cho số phức z  a  bi Số phức z  a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z  a  bi  a  bi Chú ý: 1) z  z  z z gọi hai số phức liên hợp với 2) z z = a2 + b2 - Tính chất số phức liên hợp: (1): z  z (2): z  z '  z  z ' (3): z.z '  z.z ' (4): z z = a  b ( z  a  bi ) Môđun số phức Cho số phức z  a  bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực không âm xác định sau:  - Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z  a  bi , z  OM  a  b - Nếu z  a  bi , z  z.z  a  b VD: z = – i có z   4i  32  (4)2 = Chú ý: z  a  b  2abi  (a  b )  4a 2b  a  b  z Phép chia số phức khác Cho số phức z  a  bi  (tức a  b  ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z 1 số phức z ≠ số 1 z 1  z z a b z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z  z z 1  z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường Lũy thừa đơn vị ảo: Cho k N  i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ = -1; i 4k +3 = -i Thương VD: Tìm phần thực ảo số phức: z = (2  2i )13 HD: z   (2  2i)  (2  2i)  (8i) (2  2i )  86.2  86.2i  219  219 i Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219 II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian)   góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM hay   (Ox, OM ) gọi acgumen z Mọi acgumen z sai khác k2 tức có dạng  + k2 (k ) (z nz sai khác k2 với n số thực khác 0) VD: Biết z  có acgumen  Hãy tìm acgumen số phức sau: –z; z ; – z ; z HD:   z biểu diễn OM –z biểu diễn – OM nên có acgumen  + (2k + 1)  z biểu diễn M đối xứng M qua Ox nên có acgumen –  + k2   – z biểu diễn – OM ' nên có acgumen –  + (2k + 1) z 1  = z 1  , số thực nên z 1 có acgumen với z –  + k2 z |z| | z |2 Dạng lượng giác số phức Xét số phức z  a  bi  a, b  R , z   Gọi r môđun z  acgumen z Ta có: a = rcos , b = rsin z  r  cos   i sin   r  , gọi dạng lượng giác số phức z  z = a + bi (a, b  R) gọi dạng đại số z r  a  b môđun z a  cos   r  acgumen z thỏa  sin   b  r VD:  Số –1 có môđun acgumen  nên có dạng lượng giác z = cos + i sin  Số + i có môđun acgumen  thoả cos  = sin  = 2     Lấy  = + i = 2(cos + i sin ) 3  Số có môđun acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác = 0(cos  + i sin  ) Chú ý:  Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(  + ) + i sin(  + )  Số cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(–  ) + i sin(–  )  Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác cos( –  ) + i sin( –  ) Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '  r  0, r’   thì: z.z '  r.r '  cos    '  i sin    '  z r  cos    '  i sin    '   z' r' CM: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  z.z = r r [cos  cos  ’ – sin  sin  ’ + i (sin  cos  ’ + sin  ’cos  )] = r r [cos(  +  ’) + i sin(  +  ’)] 1  Ta có z có acgumen –  ’ + k2 nên  [cos(  ')  i sin( ')] z' z' r' z r Do  [cos(   ')  i sin(   ')] ( r ’ 0) z' r' 3 3  5 5  z1   VD: z1   cos  i sin  i cos  z2   sin  Tính z1 z2 4  12 12  z2      5 5   Với z2   cos  i sin  ; z1 z2 = 2  cos  i sin 12 12  6       2   i    2.i    2      z1  2 2   =  i sin i    i  cos       3  2 z2 2  2  Công thức Moivre n Với n  N *  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác    Căn bậc hai số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) r  cos  i sin  2           r  cos  i sin   r  cos      isin      2  2  2   100 VD: Đổi sang dạng lượng giác tính: 1  i  bậc hai w = + 3.i HD:      Ta có + i =   i    cos  i sin  4    100      Do 1  i  =   cos  i sin    250  cos 25  i sin 25  4           w = + 3.i =  cos  i sin  có bậc hai  cos  i sin  3 6   100 7 7    cos  i sin  6   A BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC THUỘC TÍNH Dạng 1: Các phép tính Số phức Phương pháp: - Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý: Trong tính toán số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 1: Cho số phức z  Email: Loinguyen1310@gmail.com 3  i Tính số phức sau: z ; z ; z ;  z  z 2  Giải: Vì z  3  iz  i 2 2   3 Ta có z    i    i  i  i 4 2  2  2   3  z    i    i  i  i 2 4 2   1   3 z  z z    i    i    i i i 2 2 4       Ta có:  z  z   1 3  1  i  i  i 2 2 2 Nhận xét:  Trong toán này, để tính z ta sử dụng đẳng thức số thực Tương tự: Cho số phức z    i Hãy tính :  z  z 2  1 3    Ta có z    i Do đó:  z  z      i      i   4 2 2     Bài 2: a Tính tổng sau:  i  i  i3    i 2009 b Cho hai số phức z1 , z thoả mãn z1  z2  1; z1  z2  Tính z1  z2 Giải: Ta có – i 2010  1 – i  1  i  i  i    i 2009  2009  Mà  i 2010  Nên  i  i  i   i 1 i  1 i b Đặt z1  a1  b1i; z2  a2  b2 i a12  b12  a22  b22  Từ giả thiết ta có  2 (a1  a2 )  (b1  b2 )  Suy 2(a1b1  a2 b2 )   (a1  a2 )  (b1  b2 )   z1  z2  Bài 3: Tính giá trị biểu thức: i  i  i   i 2009 a P  (i  1) i  i  i  i 2010 b M   (1  i)  (1  i )4   (1  i )10 100 c N  1  i  Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Giải: Email: Loinguyen1310@gmail.com 1003 a Ta có i  i  i   i 2009  i 1  i  i   i  i2    i  i   1  i  i  2004 i  i5  i   i 2010  1  i  i3  i  i  i  i 2010 2 i  i 2011 i 1   (1   i )  i   P    i 1 i i 1 2 b M tổng 10 số hạng cấp số nhân có số hạng u1  , công bội q  (1  i )2  2i  q10  (2i )10  210 1025(1  2i) Ta có : M  u1     205  410i 1 q  2i  2i 100 c N  1  i   1  i     50  ( 2i ) 50 50  ( 2) (i ) 50  2 50 Bài 4: 1 i Tính giá trị z 2010 1 i 2010 2008 2006 b Chứng minh 1  i   4i 1  i   1  i  a Cho số phức z  Giải:  i (1  i )2  i 1 i  i 2010  i 4502   i 4502 i  1.(1)  1 a Ta có : z  nên z 2010 b Tacó: 1  i  2010  4i 1  i  2008  1  i  2006 4  1  i   4i 1  i    1  i   4  4i  4  (đpcm) Bài 5: Tính số phức sau: 16 15 1 i  1 i  a z   b z  1  i     1 i  1 i  Giải:  i (1  i)(1  i ) 2i 1i a Ta có:   i  i 1 i 2 1 i 16 8 1 i  1 i  16 Vậy      i   i   1 i  1 i  b 14 Ta   2i   128.i  128.i có: 1  i    2i –  2i  1  i  15 14 z  1  i   1  i  1  i   128i 1  i   128  1  i   128 – 128i Bài 6: a Tính: i105  i 23  i 20 – i 34 b Cho hai số phức z1 z2 thoả mãn z1  3; z2  4; z1 – z2  37 Tìm số phức z  z1 z2 Giải: a Để tính toán này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Ta có: i  1; i  i; i  i i  1; i  i; i  1 Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i n  1; i n 1  i; i n   1; i n 3  i; n  N * Vậy i n  1;1; i; i , n  N n n 1 Nếu n nguyên âm, i   i       i  i Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 i 23  i 20 – i 34  i 4.26 1  i 4.53  i 4.5 – i 4.8  i – i    b Đặt z1  x1  iy1 z2  x2  iy2 Từ giả thiết ta có : n 1  n  z1  x12  y12   x12  y12  x22  y22  37  x x  y y   6   2 2   z2  x2  y2  16  ( y x  x y )2   x  y   x  y   ( x x  y y )2  144  36  108 2 1 2 2 ( x  x )  ( y  y )  37  2 2  z z z zz x x  y1 y2  ( y1 x2  x1 y2 ).i 6  3.i 3  3.i  z    22    z2 z z 16 16 z2 Bài 7: a Tính : 1  i 2 b (TN – 2008) Tìm giá trị biểu thức: P  (1  3i)  (1  3i) 2 z  z  c Cho số phức z1 , z2 số phức thỏa mãn: z1  z  z1  z2 Tính A        z2   z1  Giải: a Ta có: 1  i 2   i  2  1   i   i    2  2  i   2 i b P  4 c Ta chứng minh với hai số phức z1 , z2 ta có z1 z2  z1 z2 z1  w ta | z w  z |  | z w |  | z |  Hay | w  |  | w |  z2 Giả sử w  a  bi (a, b  ) Khi ta có Đặt (a  1)  b  a  b  hay a  , b   2 Với w   i ta có A  1 2 Với w   i ta có A  1 2 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Dạng 2: Số phức thuộc tính Loại 1: Tìm phần thực phần ảo Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy phần thực a, phần ảo b Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau a z  i    4i     2i  b z  (1  i)  (2i) (1  i) 2010 c z  1 i Giải: a z     3  1    i  1  i Vậy số phức cho có phần thực − 1, phần ảo − b Kết quả: + 10i (1  i) 2010 (2i )1005 (1  i ) c z    21004 i (1  i)  21004  21004 i 1 i Bài 2: a Tìm phần thực, phần ảo số phức i   – 4i  –  – 2i  b (TN – 2010) Cho hai số phức: z1   2i, z2   3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1  z2 c (TN – 2010) Cho hai số phức: z1   5i, z   4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 z  z 1   i d Cho số phức z thỏa mãn  z   Tìm số phức liên hợp z z  Giải: a Ta có: i   – 4i  –  – 2i       1   i   3  2i    – 3   3   i  1 – i Vậy số phức cho có phần thực – 1, phần ảo – b Phần thực – ; Phần ảo c Phần thực 26 ; Phần ảo  a  b  ab  d Theo giả thiết   2 2 a  b  ab   41     a  b     2 2  i  i z  z  2 2       2 2  i  i z   z    2  2 Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức a b 3  1  i    2i  20 z   1  i   1  i   1  i     1  i  Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 c 1  i  Email: Loinguyen1310@gmail.com 2009 Giải: a Ta có: 3  1  i    1   1 i   1 i  i   2i  2i   23.i  8i 3   1  i    2i    10i Vậy số phức cho có phần thực 2, phần ảo 10 (1  i) 21  b Ta có P   (1  i )   (1  i )20  i 10 (1  i )21  (1  i)  (1  i)  (2i )10 (1  i )  210 (1  i ) 210 (1  i )   210  210  i i Vậy: phần thực 210 , phần ảo: 210   P c Ta có 1  i  2009   1  i   1004  (1  i )  (2i)1004 (1  i )  21004 (1  i )  21004  21004 i Vậy phần thực số phức 21004 ảo 21004 Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết z   2i  1  2i  Giải: Ta có: z   i  1  2i   1  2i 1  2i    2i  2i  4i   2i  z   2i Phần ảo số phức z  2 Bài 5: (CĐ – 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   3i  z    i  z   1  3i  Tìm phần thực phần ảo z Giải: Gọi z  a  bi  a  R , b  R   z  a  bi Đẳng thức cho trở thành   3i  a  bi     1 a  bi    1  3i   6a  4b  2(a  b)i   6i (coi phươn trình bậc theo i) Đồng theo i hệ số hai vế ta  6a  4b  a  2   2a  2b  b  Vậy số phức z cho có phần thực 2 , phần ảo Bài 5: (CĐ – A 2009) Cho số phức z thỏa mãn 1  i    i  z   i  1  2i  z Tìm phần thực phần ảo z Giải: Ta có: 1  i    i  z   i  1  2i  z Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  z 1  i    i   1  2i     i  z  2i   i    2i    i    i   i 1  2i   15i  10  15i z      3i 2i  5 Vậy số phức z cho có phần thực 2, phần ảo -3 Bài 8: n a Tìm phần thực số phức z  1  i  , biết n  N thỏa mãn phương trình log  n – 3  log  n    b Cho số phức: z   3.i Hãy viết số zn dạng lượng giác biết nN thỏa mãn: n  2n   4log3 ( n 2 n  6)  (n  2n  6) log3 Giải: n  N a Điều kiện:  n  Phương trình log  n – 3  log  n     log  n –  n    n   (n – 3)(n + 9) = 43  n2 + 6n – 91 =    n  13 Vậy n = (thoả mãn) (không thoả mãn) n Khi z  1  i   1  i   1  i  1  i    1  i  (2i)  (1  i).(8i)   8i   Vậy phần thực số phức z log3 b Đặt log (n  2n  6)  t  n  2n   3t ; (n  2n  6)log3   3t   5t Ta phương trình: 3t + 4t = 5t Phương trình có nghiệm t =  n2 – 2n + =  n2 – 2n – =  n =3 Loại 2: Biếu diễn hình học số phức Phương pháp: - Sử dụng điểm M  a; b  biếu diễn số phức z mặt phẳng Oxy Chú ý: Với câu hỏi ngược lại “ Xác định số phức biểu diễn điểm M  a; b  ” ta có z  a  bi Bài 1: (SGK – ban nâng cao) Cho số phức + 3i; + 2i; – i a Biểu diễn số mặt phẳng phức b Viết số phức dạng liên hợp biểu diễn mặt phẳng phức c Viết số đối số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức HD: M  2;3 , M 1;  , M  2; 1 N1  2; 3 , N 1; 2  , N3  2;1 K1  2; 3 , K  1; 2  , K3  2;1 Bài 2: Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i 10 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Do : z  w2007  2007  1   1  2 w Do : Re  z   2 ; Im  z   Email: Loinguyen1310@gmail.com n   3i  Bài 6: Xét số phức   Với n số phức số thực, số ảo   3i  Giải: Ta có        cos  i sin cos   i sin       3 i   3i  i 6 6      cos   i sin        6  3i  3i  cos   i sin   cos      i sin       3i        3   3  3 n     n   3i  n n  i sin    cos 6   3i  n   3i    số thực n  6k , số ảo n  6k    3i  Ứng dụng dạng lượng giác Bài 1: Chứng minh rằng: sin 5t  16sin t – 20sin t  5sin t cos 5t  16cos5 t – 20cos3 t  5cos t Giải: Dùng công thức Moivre công thức khai triển nhị thức  cos t  i sin t  Ta được: cos 5t  i sin 5t  cos5 t  5i cos t sin t  10i cos3 t sin t  10i3 cos2 t.sin t  5i cos t.sin t  i sin t 2  cos 5t  i sin 5t  cos t  10 cos3 t 1  cos t   5cos t 1  sin t   i 5 1  sin t  sin t – 10 1  sin t  sin t  sin t    Đồng hai vế ta điều phải chứng minh Bài 2: Giải phương trình: z  z  z  z  z   1 Giải: Ta có: 1  z  z  1  z  z  1   z  1   z  1   z  1  z  z  1    z  z 1   z    1  3i Xét phương trình: z  z    z    2 z     2 2 i  cos  i sin 3  2   2  i  cos     i sin        80 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498    z  cos  i sin  2 2 3 Từ z  cos  i sin  3  z   cos   i sin   3       z  cos     i sin         2   2   Từ z  cos     i sin             z   cos     i sin     3  3  Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm: 3 3 z  1 ; z = z   i; z   i; z   i; z    i 2 2 2 2 Bài 3: Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1   i z2  – i z a Xác định dạng đại số dạng lượng giác z2 7 7 b Từ suy giá trị xác của: cos sin 12 12 Giải: z 1 i 1 1   Ta có    i   z2 1 i         Ta có: z1 = 2(cos + isin ); z2 = (cos    + isin    ) 3  4  4 z 7 7  = (cos + isin ) 12 12 z2  cos 7 12 = 1 7  sin = 12 Bài 4: Cho số phức z0 có môđun argument 2 A CMR z0 nghiệm phương trình z –  b Rút gọn biểu thức  z – 1 1  z  z  z  z  1  1  c Hãy suy z0 nghiệm phương trình:  z     z   + = z   z  d Giải phương trình câu c 2 2 e.Từ suy giá trị z0 biểu thức giá trị cos sin 5 Giải: 2 2 a Ta có: z0 = cos + i sin 5 81 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 2 + i sin ) = cos2  + isin2 =  z0 nghiệm phương 5 trình z5 – = b Khai triển đẳng thức ta z –  c z –    z – 1 1  z  z  z  z   mà z0   z0 nghiệm phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 =  z2 ( 1 + + + z + z2 ) (với z  0) z z 1 + + + z + z2 = (*)  đpcm z z 1  d Đặt y = z +  phương trình (*) có dạng: y – y    y1,2  z 1 e Từ câu ta có: z0 nghiệm hai phương trình sau: z + = y1 z + = y2 z z 1 - Xét phương trình: z + = y1  z2 – y1z + =  z2 + z+1=0 z  1  i  2  z1     1  5 5 2        i      2       z  1   i   2  z0 nghiệm phương trình 1 = y2  z2 – y2z + =  z2 + z+1=0 z  1  i  2  z1      5 5 2     i      2      z  1   i   2 2 sin dương  phần thực phần ảo z0 dương - Xét phương trình: z + 1     Vì cos 2  z0  z1  1  i  2 1  2    cos  sin  2 5 2  Bài 5: Tìm n số nguyên dương n  1,10  cho số phức z   i  n số thực Giải:   n n    Ta có: + i =  cos  i sin   z = 2n  cos  i sin  3 3    n n Để z  R  2n.sin =  sin =  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9] 3 Bài 6: Giải phương trình: z  64 1 Giải: 82 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Giả sử z  x  yi  r (cos   i sin  ) Ta có: 64  64(cos   i sin  ) Z  64  r (cos 6  i sin 6 )  64(cos   i sin  )  r  64  r    Và cos6  + isin6  = cos  + isin    =  +2k  (k  Z)   =  2k 6    Với k =  z1 =  cos  isin  = +i 6        Với k = -1  z1   cos  -   isin       i  6       Với k =  z1   cos  i sin   2i 2        Với k = -2  z1   cos     i sin      2i  2      5 Với k = -3  z1   cos       5     i sin       i    Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  acgumen i   z Giải: Ta có z   z  4(cos   i sin  )  z  4(cos( )  i sin( ))   i 1       i   cos  i sin     cos      i sin      6 2 z  6  6  Theo giả thiết           6       Vậy z   cos     i sin       3i  3    Bài 8: Tính tổng sau: S  (1  i )2008  (1  i) 2008 Giải:    i  2(cos  i sin )  (1  i )2008  21004 (cos 502  i sin 502 ) 4      i  2(cos  i sin )  2(cos( )  i sin( )) 4 4 2008 1004  (1  i)  (cos(502 )  i sin(502 )) 1005 Do S  cos(502 )  21005 Bài 9: Chứng minh điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác Giải: 83 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Xét phương trình z   , có nghiệm z  r (cos   i sin  ) Khi r  z   r (cos 3  i sin 3 )    3  k 2 , k   Do phương trình có ba nghiệm ứng với ba giá trị k - Với k = ta có z  cos  i sin  ; 2 2  i sin   i ; 3 2 4 4 - Với k = ta có z2  cos  i sin   i 3 2 Nên có ba bậc ba số phức xác định Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C    2 2 điểm biểu diễn số phức z , z1 , z Khi OA  OB  OC  1; AOB  ; BOC  3 Từ suy tam giác ABC tam giác - Với k = ta có z1  cos Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta nhiều kết hay bất ngờ tổ hợp Một số ứng dụng khác 2006 2008 Bài 1: Tính giá trị S  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 Giải: Xét khai triển: 2009 (1  i )2009  C k 2009 2008 2009 i k   C2009  C2009  C2009   C2009  C2009  C2009   C2009    C2009 i k 0 2009 2009   1004 1004 Mặt khác (1  i )2009  ( 2) 2009  cos  i sin    i 4   1004 So sánh phần thực phần ảo ta S  Nhận xét Bằng việc xét khai triển (1  i) n ta có kết tổng quát sau: n  n Cn  Cn  Cn   ( 2) cos (n  N * )  n  C  C  C   ( 2) n sin n n  n 4 2010 Bài 2: Tính tổng S = C2010  C2010  C2010   C2010 Giải: 2010 Ta có S = C2010  i 2C2010  i 4C2010   i 2010 C2010 Do giải sau: (1  i )2010  (1  i) 2010 Cách 1: S = 2010 2010 2010 Cách 2: S phần thực số phức 1  i  (do 1  i  1  i  hai số phức liên hợp) Bài 3: 84 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 2004 2008 a Tính tổng: S  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 Email: Loinguyen1310@gmail.com b Tính tổng : 1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1 Giải: 2009 a Ta có: (1  i )2009  C2009  iC2009   i 2009C2009 2006 2008 C2009  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009  2007 2009 (C2009  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 )i 2006 2008 Thấy: S  ( A  B ) , với A  C2009  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 2 2006 2008 B  C2009  C2009  C2009  C2009  C2009  C2009 + Ta có: (1  i )2009  (1  i )[(1  i) ]1004  (1  i).21004  21004  21004 i Đồng thức ta có A phần thực (1  i )2009 nên A  21004 2009 + Ta có: (1  x )2009  C2009  xC2009  x C2009   x 2009C2009 2008 2009 Cho x=-1 ta có: C2009  C2009   C2009  C2009  C2009   C2009 2008 2009 Cho x=1 ta có: (C2009  C2009   C2009 )  (C2009  C2009   C2009 )  22009 Suy ra: B  22008 + Từ ta có: S  21003  22007 b Xét khai triển: f ( x)  (1  x )8 n  C80n  xC81n  x 2C82n  x8 nC88nn Suy ra: f ( x)  8n(1  x)8 n 1  C81n  xC82n  3x 2C83n   (8n  1) x8 n 2 C88nn 1  8nx8 n 1C88nn Cho x  i ta A  1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1 phần thực khai triển số phức 8n(1  i )8 n 1 Ta có: 8n(1  i)8 n 1  4n(1  i )8 n (1  i )  4n.2 n  4n.24 n i Vậy A  1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1  4n.24 n Bài tập tự giải: Viết dạng lượng giác số phức Bài 1: a Viết dạng lượng giác số phức z2, biết z   i b Viết dạng lượng giác số phức z  2i (  i ) Bài 2: Viết số phức z dạng đại số: z  (   i  )8 Bài 3: Viết dạng lượng giác số phức sau: a  i b + i e 2.i.(  i) f c (1  i )(1  i )  2i d 1 i 1 i g z  sin   i.cos  Đs:    a  cos           i.sin      b     cos  i sin  4      c 2  cos( )  i.sin( )  12 12   85 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7 7  2       d  cos( )  i.sin( )  e 4(cos  i sin ) f cos( )  i sin(  )   12 12  3  4       g cos     i sin     2  2  Bài 4: Cho số phức z   i Hãy viết dạng lượng giác số phức z5  i Suy bậc hai số phức z 2 Bài 6: Viết số sau dạng lượng giác: a z1 = + 6i b z2    i 4 c z3    i d z3  – 9i e z5  4i 2 Đs:   1 2 2  4 4  z1  12  cos  i sin  ; z2   cos  i sin  i sin  ; z3  cos 3 2 3  3  5 5  3 3    z4  18  cos  i sin  i sin  ; z5   cos ; 3  2    Bài 7: Viết số phức sau dạng lượng giác:        a 2  cos  i sin  b  cos  i sin  6 17 17        c  sin  i cos  d – cos a  i sin a, a  [0; 2 ) 17   17 Đs: 7 7       a 2(cos +isin ) b cos    + isin    6  17   17  15 15 c cos + isin 34 34 d a a  a  a - Nếu a  (0;2 )  sin >  z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - )) 2 2 2 - Nếu a =  không tồn số phức dạng lượng giác Bài 8: Tìm acgumen số phức sau: Bài 5: Viết dạng lượng giác số z  a   3.i e  sin Đs: 2 a b – 4i    i cos 8 b 3 c - 3.i d cos    i sin 4 f (1  i )(1  i) c   d   e  5 f   12 86 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài 9: Xác định điểm M mặt phẳng biểu diễn số phức z cho z 2  có argument z2   Đs: Tập hợp điểm M phần đường tròn tâm I  0; nằm phía trục thực (trục Ox)  bán kính R  3  Bài 10: Hãy tìm dạng lượng giác số phức: z ;  z; ; kz (k  R*) trường hợp sau: z a z  r  cos   i sin    r   b z   3i HD: a z  r  cos( )  i sin( )  ;  z  r  cos(   )  i sin(   )  ; z    cos   i sin   z |z| r        b z   3i   cos  i sin  ; z   cos  i sin ; 3 3    4 4  1    4 4     z   cos  i sin  i sin  ;   cos  i sin  ; kz  2k  cos  k < 3  z 2 3 3    Bài 11: Viết số phức sau dạng lượng giác: 1 i a  i 3;  i;  i 1  i  ; c 1 i  2i b 2i  i ; d z  sin   i cos      HD:         7 7      a  cos  i sin  i sin  i sin  ;  cos  i sin  ; 2  cos  ;  cos  3  4 12 12  12 12                b 2i   cos  i sin  ;  i   cos  i sin  ; 2i  i   cos  i sin  2 6  3    1 i 2    c    i sin  cos   2i 4  4      d z  sin   i cos   cos      i sin     2  2  Bài 12: Viết số phức sau dạng lượng giác: a.z =1 + i; b z =1  i; c z = 3; d z = 5; e z = I; f z = 2i g z   i ; h z   i ; i z  1  i HD:          a z   cos  i sin  ; b z   cos     i sin     ; c z   cos   i sin   4   4     d z   cos  i sin  ;    g z   cos  i sin  ; 3     e z  1 cos  i sin  ; 2        h z   cos     i sin     ;  3           f z   cos     i sin      2    2 2   i z   cos  i sin  3   87 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài 13: Xét số phức z1   2i, z  2  2i, z3  z1 z2 a Viết z1 , z2 , z3 dạng lượng giác 7 7 b Tính cos sin từ câu a 12 12 HD:    3 3  7 7   a z1  2  cos  i sin  i sin  i sin  ; z2  2  cos  ; z3  cos 6  4  12 12    2i   6 7   7 6 b z3    i cos  sin  2  2i 4 12 12 Bài 14: Cho z     i     a Viết z dạng đại số lượng giác; b Từ a suy dạng lượng giác z HD:    a z   8i  16  cos  i sin  6      b z   cos  i sin  12 12   Dạng toán tính toán: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 10  5  1 i  a  cos  i sin i  3i ; b ; 3  3i    c z 2000   z 2000 biết z   z 12  3i Bài 2: Chứng minh rằng:   số thực  1 i  12  3i Đs: Sử dụng công thức Moavrơ :    64  i   Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau   (1  i)10  a b  cos  i sin  i  i 3  i     HD: Sử dụng công thức Moivre Đs: a Phần thực  , phần ảo 16 b Phần thực 0, phần ảo 128 Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính 12 o o a (cos15  i sin15 ) b  cos 30  i sin 30 o o  16 c (1  i ) 1 3 d   i   2 88 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 2  i sin n n Bài 6: Hãy tính tổng S   z  z  z  z n 1 biết z  cos Bài 7: Thực phép tính a  cos120o  i sin120o  (cos 45o  i sin 45o ) b      i sin )3(cos  i sin ) 6 4 2 2 2(cos  i sin ) 3 e   2(cos  i sin ) 2   g (cos  i sin )i (1  3i )7 3     i (cos  i sin ).3(cos  i sin ) 6 4 Đs: 3 5 5 a  i b 3(cos  i.sin ) 2 12 12 6 d  i e  i 4 4 Bài 8: Tìm môđun z argument: c 5(cos 2 a z   2i  1  i  b z   1  i   1  i  2 10 d f  cos18o  i sin18o  (cos 72o  i sin 72o ) cos85  i sin 85 cos 40  i sin 40 (cos 45  i sin 45 ) 3(cos15  i sin15 ) h z 2008  z 2008 biết z  1 z c f  i 6  2i     i    2i  c z  1  i   1  i  n n Đs: a z  213  5 ; arg z  13 ; arg z =  29 5n c z  2n 1 cos ; arg z    {0;  } b z  Bài 9: Tính:   i  i ;    1 i   2004   3i  ;     3i  21 HD:  i         cos  i sin 6    6    cos( )  i sin( )   2  89 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  i   1 i    2004 1 i      2004 Email: Loinguyen1310@gmail.com  2     cos  i sin    4    21 2004  21   3i    2 2  i sin    1  3i    cos 3     3i  Bài 10: Thực phép tính:   1002  cos   i sin     21 b 2 2  i sin ) 3   2(cos  i sin ) 2 (cos 45  i sin 45 ) (cos15  i sin 15 ) (cos Đs: 3 a  i 2 Bài 11: Tính: b d (cos  i a (cos12o + isin12o)5 d (1 + i) 16 c  i 4 12  i  1 f    i       i sin ).3(cos  i sin ) 6 4 d 15(cos b  2(cos 300  i sin 300 )  1  e   i  2  21 21     cos14  i sin14    a  cos 20o  i sin 20o  cos 25o  i sin 25o  c 1002 5 5  i sin ) 12 12 c (  i ) 2008   3i   g     2i  21 Đs a i 2 b   i.4 c 26 d 28 e Bài 12: Tìm acgumen số phức sau: 2 a   3.i ĐS: b – 4i    c - 3.i ĐS:  d cos  i sin 4   5 e  sin  i cos ĐS:  f (1  i )(1  i) 8 Bài 13: Cho hai số phức z1   2i z2   3i a Tính môđun argument hai số phức nói z3 b Tính môđun argument z13 z22 z2   c Từ suy giá trị xác cos sin 12 12 Đs:   a Ta có |z1| = 2; 1 = ; |z2| = 2; 2 = f ĐS: 1 21004 h 221 3   ĐS:  12 ĐS:  90 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 3 2 z13  b |z13| = 8; 3 = ; |z2| = 4; 4 = ; = 2; 5 = z2 12 2 6   = sin = 12 12 Bài 14: Tìm bậc hai số phức sau: i  a z   i b c 2  i 2 Đs:      2k   k   a zk   cos  i sin  , k  {0;1} 2        2k  2k b zk  cos  i sin , k  {0;1} 2    2k  2k 4 c zk  cos  isin , k  {0;1} 2 4 4    2k   2k   d zk   cos  isin  , k  {0;1} 2     Bài 15: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau: 1 3 a   i b 1  i  2  2i  i   3  3i   2i  2 Email: Loinguyen1310@gmail.com c.cos    d  24i  c 2i (4  3i)   3i  Đs: 7 7 a 12 (cos + isin ) 4 5 5 c 48 (cos + isin ) 12 12 Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn d 1  i  5  5i  b 4(cos0 + isin0) d 30(cos   + isin ) 2 z  3i   z  có acgumen  z i Đs: z    2i Bài 17: Viết dạng lượng giác số phức z cho z  z 3 acgumen  1 i 1   Đs: z   cos  i sin  3 2 Bài 18: Gọi M, M mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số z   i; z '  (3  3)  (1  3)i 91 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 z' a Tính ; z b Chứng minh hiệu số acgumen z với acgumen z số đo góc lượng giác (OM, OM) Tính số đo góc HD: z'     a   3i   cos  i sin  có Acgumen  k 2 z 3   b Hiệu số acgumen z với acgumen z  '    k 2  Theo định nghĩa, số đo góc  OM , OM '  sñ  Ox, OM '  sñ  Ox, OM  =  '    k 2 Bài 19: Cho số phức w  1  i    1  3i 2   a Chứng minh z0  cos  i sin , z1  z0 , z  z0 nghiệm phương trình z  w  12 12 b Biểu diễn hình học số phức z0 , z1 , z2 HD:   2 2       w  cos  i sin ,   cos  i sin ; z0   cos  i sin   cos  i sin  w ; 4 3 12 12  4    3 z13   z0    z03   z03  w ; z23   z0    z03   z03  w Bài 20: Dùng công thức Moavrơ để tính sin 4 cos 4 theo lũy thừa sin  cos  HD: cos 4  i sin 4   cos   i sin    cos   cos .i sin   cos .i sin   cos  i sin   i sin   cos   cos  sin   sin    cos3  sin   cos  sin   i Vậy cos 4  cos   cos  sin   sin  sin 4  cos3  sin   cos  sin  Bài 21: Cho số phức w    3i Tìm số nguyên dương n để wn số thực Hỏi có số nguyên dương m m để w số ảo? HD: 4 4 4n 4n w    3i  cos  i sin  wn  cos  i sin 3 3 4n W số thực sin  , điều xảy n bội nguyên dương 3 Không có m để wm số ảo Bài 22: Viết dạng lượng giác số phức z bậc hai z cho trường hợp sau: 5 a z  acgumen iz ; z 3 b z  acgumen  1 i     92 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 HD:  5 iz 5  3 a Ta có acgumen i acgumen iz nên acgumen z  – = i 4 3 3  3 3  11 11     Vậy z   cos  i sin  i sin  i sin  bậc hai z  cos  ;  cos  4  8  8     b Gọi  acgumen z –  acgumen z  z  3  Với  i có acgumen nên có acgumen –  – =   1 i 4 3   3 5 5  1   Vậy z   cos  i sin  bậc hai z  i sin  cos  i sin  ;  cos  3 2  4  4  Bài 23: Tìm phần thực phần ảo số phức   3i HD:       i  2  i   cos  i sin   2  6    Theo công thức Moa-vrơ            28  cos8  i sin   28  cos      i sin       28    i  2  6   3   3   7 Phần thực 2 , phần ảo 2  i  Bài tập tự giải phần ứng dụng: Bài 1: Cho n nguyên dương a Chứng minh rằng: C20n  3C22n  9C24n  27C26n   (3) n C22nn  22 n.cos 2n 20 b Tính S = C200  3C202  32 C204   310 C20 Bài 2: Cho số nguyên dương n a Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n b Chứng minh 1  C 4n 2  C44n  C46n   C44nn    C41n  C43n  C45n  C47n   C44nn 1   16n Bài 3: a Cho z  cos  i sin  (   R ) Chứng minh với số nguyên n  , ta có 1 z n  n  cos n ; z n  n  2i sin n z z b Từ câu a chứng minh cos   cos 4  cos 2  3, sin   sin 5  sin 3  10 sin   16 LỜI KẾT: 93 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Trong năm gần đây, số phức xuất nhiều kì thi TN, CĐ, ĐH trở thành phần thiếu đề thi, nhiên có mặt hạn chế kiến thức đưa vào chương trình PT mà em cảm thấy lo lắng sợ gặp toán số phức Vì viết chuyên đề hi vọng em học tốt hơn, bạn đồng nghiệp có thêm tài liệu giảng dạy…xin chân thành cảm ơn Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa “Vì ngày mai tươi sáng, em cố lên, chúc em học tốt đạt kết cao… chào thân ái” 94 [...]... Loại 4: Tìm số đối của số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra số đối z   a  bi …đang cập nhật Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra số phức liên hợp là z  a  bi Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình z  z 2 , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z Giải: Gọi z  a  bi , trong đó a,b là các số thực 12... biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i F  cos ;sin  6 6  3 1 3 1 nên F biểu diễn số  i C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số   i 2 2 2 2 3 1 E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số  i B đối xứng E qua O nên B 2 2 3 1 biểu diễn số   i 2 2 Loại 3: Tính modun của số phức Phương pháp: Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra modun là z  a 2  b 2 Bài 1: a Tìm môđun của số phức z  1... 26 Loại 2: Viết số phức dưới dạng đại số Bài 1: Viết các số phức dưới dạng đại số 3 a 3 1  2i   1  i  z 2 2  3  2i    2  i  b z  2i10  i 3 Đs: 44 5 a z   i 318 318 c z  2  i b z  5i 1  i  2  3i  d z  i 2007  i 2008 12 5  i 3 13 d z  1  i b z  Loại 3: Hãy biểu diễn số phức z Bài 1: Cho số phức z  m   m  3 i, m  R a Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường... z 2  2  2 3 i Bài 6: Cho số phức z  x  yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: a u  z 2 – 2 z  4i b v  zi iz  1 Đs: a x 2 – y 2 – 2 x và 2  xy – y  2  b  2 xy y 2  x2  1 và x 2  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2  3  3i   Bài 7: Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức   3  3 i   Bài 8: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: n là số thực, là số ảo? 2 1  7 1 1 1 i ... ) là số thực; zz b z 2  ( z )2 4ab  i là số ảo;  i là số ảo 3 3 3 2 z  (z ) a  3ab 1  z.z 1  a 2  b2 Bài 11: zi z i zi b Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện là số thực dương z i HD: x2  y 2 1 2x a Phần thực là 2 , phần ảo 2 2 x  ( y  1) x  ( y  1)2 a Cho số phức z  x  yi (x, yR) Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức 33...  2i Kết hợp đk (a) Vậy: Số phức cần tìm là z  1  i; z  2  2i Dạng 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Loại 1: Số phức z thỏa mãn về độ dài (modun), khi đó ta sử dụng công thức z  a 2  b 2 Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương) Khi đó ta sử dụng kết quả a Để z là số thực điều kiện là b  0 a  0 b Để z là số thực âm điều kiện là... z cùng có modun bằng 1 So sánh modun của các số x  y  z và xy  yz  zx c z  Đs: x  y  z  xy  yz  zx Bài 4: Cho z  cos180  cos 720 i Tính z Đs: z  1 Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z biết a z  3  4i b z  3  2i Đs: 1 3 4 1 3 2 a   i b   i z 25 25 z 13 13 Bài 2: Tìm nghịch đảo của số phức z, biết: a z = 1 + 2i b z = 2 – 3i c z =... 9 13 Vậy số phức cần tìm là: z   13 26 Bài 13: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  2 , tìm số phức z có modun nhỏ nhất  13M 1 H  3 13  Giải: Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z Ta có 2 2 z  1  2i  2   x  1   y  2  4 2 2 2 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (C) :  x  1   y  2   4 có tâm (1;2) Đường thẳng OI có phương trình y  2x Số phức z thỏa...  và bán kính R  2 2 2  Dạng 5: Số phức với các bài toán chứng minh Phương pháp: - Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức - Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun của số phức đã được chứng minh Bài 1: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất...  0 Vậy các số phức cần tìm là: z  0; z  i; z  i Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn : z  2  i  2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị Giải: Gọi số phức z  a  bi Theo bài ra ta có:  a  2   2 2  b  1   a  2   b  1 i  2  a  2    b  1  4    b  a  3 b  a  2  a  2    b  1    Bài 8: Tìm số phức z thỏa mãn  z  1  z  2i  là số thực và