i Nghiờn cu mt s bi toỏn nhn dng tam giỏc ii MC LC Trang ph bỡa i Li cm n ii Mc lc .ii Danh mc cỏc t vit tt iv 1.1.2 nh lý hm s cosin 1.1.3 Cỏc cụng thc v din tớch 1.1.4 nh lý ng phõn giỏc 1.1.5 Cụng thc ng phõn giỏc 1.1.6 nh lý ng trung tuyn 1.1.7 Cụng thc ng trung tuyn .5 1.1.8 Cụng thc bỏn kớnh ng trũn ni tip 1.1.9 Cụng thc bỏn kớnh ng trũn bng tip .5 1.1.10 Cỏc h thc lng giỏc c bn 1.2 Cỏc bt ng thc tam giỏc 17 1.2.1 Bt ng thc tam giỏc .17 1.2.2 Cỏc bt ng thc lng giỏc c bn 17 1.3 Mt s bt ng thc i s 23 1.3.1 Bt ng thc Cụsi 23 1.3.2 Bt ng thc Bunhiacopxki .24 1.3.3 Bt ng thc Chebyshev 24 CHNG 25 BI TON NHN DNG TAM GIC 25 2.1 Nhn dng tam giỏc vuụng 25 2.1.1 S dng cỏc phộp bin i ng thc 25 2.1.2 S dng bt ng thc .31 2.1.3 Phng phỏp thờm tham s mi 34 2.2 Nhn dng tam giỏc cõn 35 2.2.1 S dng cỏc phộp bin i ng thc 36 2.2.2 S dng bt ng thc 39 iii 2.2.3 Phng phỏp thờm tham s mi 43 2.3 Nhn dng tam giỏc u 45 2.3.1 S dng bt ng thc lng giỏc c bn 45 2.3.2 S dng cỏc phộp bin i ng thc 47 2.3.3 S dng bt ng thc 50 2.3.4 Nhn dng tam giỏc t h iu kin 52 2.3.5 Phng phỏp thờm tham s mi 55 2.4 Nhn dng tam giỏc cỏc trng hp khỏc 56 CHNG 60 CC BI TP P DNG .60 3.1 Cỏc bi cú li gii 60 3.1.1 Nhn dng tam giỏc vuụng .60 3.1.2 Nhn dng tam giỏc cõn 63 3.1.3 Nhn dng tam giỏc u 64 3.1.4 Nhn dng tam giỏc cỏc trng hp khỏc 67 KT LUN .74 TI LIU THAM KHO 75 75 M U Tớnh cp thit ca ti Lng giỏc l mt phõn mụn quan trng chng trỡnh toỏn hc ph thụng Tuy nhiờn kh nng i sõu vo ny ca ngi hc cũn nhiu mt hn ch Nhn dng tam giỏc l mt lp bi toỏn phn h thc lng tam giỏc núi riờng v chng trỡnh mụn hc lng giỏc nh trng ph thụng núi chung Nhn dng tam giỏc l mt dng toỏn hay v khú, thng gp cỏc thi tuyn sinh vo i hc v Cao ng hoc cỏc K thi cú tớnh cht tuyn chn hc sinh Ni dung c bn ca nú cú th túm tt nh sau: Cho mt tam giỏc tha mt iu kin no ú (thng l di dng mt ng thc lng giỏc), chỳng ta cn ch tam giỏc ú cú c im gỡ Ngoi ra, nhn dng tam giỏc cũn c a vo nh mt bc trung gian ca rt nhiu bi toỏn Trong ú vic oỏn nhn xem mt tam giỏc l u, vuụng, cõn hay dng c bit no ú s giỳp ớch rt nhiu cho vic tớnh din tớch, chu vi hay cỏc yu t khỏc tam giỏc Cỏc bi v nhn dng tam giỏc rt phong phỳ v a dng, bờn cnh nhng bi toỏn cú thut gii cũn cú khụng ớt nhng bi toỏn khụng cú thut gii Vỡ vy, vic gii bi toỏn nhn dng tam giỏc hc sinh gp khụng ớt khú khn cn thit phi cú nhng nh hng hoc mt bc no ú quỏ trỡnh gii bi toỏn T nhng hng ú hc sinh cn phi cú nhng k nng bin i cụng thc v nhn nhng du hiu i n li gii cho lp bi toỏn tng t Chớnh vỡ vy, tụi ó chn ti " Nghiờn cu mt s bi toỏn nhn dng tam giỏc lm khúa lun tt nghip nhm cung cp thờm kin thc cho ngi hc th hin h thng li cỏc kin thc c bn, cỏc ý tng v phng phỏp gii in hỡnh v bi toỏn nhn dng tam giỏc Mc tiờu khúa lun H thng cỏc phng phỏp gii bi toỏn nhn dng tam giỏc Xõy dng vớ d minh cho tng phng phỏp kốm phõn tớch, nhn xột lm c s cho Nguyn Hin cỏc bi toỏn tng t Tng hp cỏc bi toỏn cho tng phng phỏp Nhim v nghiờn cu H thng li kin thc v cỏc ng thc lng giỏc c bn tam giỏc, bt ng thc tam giỏc v mt s bt ng thc i s thng dựng gii bi toỏn nhn dng tam giỏc H thng cỏc du hiu nhn dng tam giỏc vuụng, tam giỏc cõn, tam giỏc u v tam giỏc mt s trng hp khỏc Da vo cỏc du hiu nhn bit xõy dng phng phỏp gii thụng qua cỏc vớ d in hỡnh lm c s cho bi toỏn t Tng hp cỏc bi toỏn cú li gii cho tng phng phỏp v cỏc bi toỏn khụng cú li gii Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu t lun: c v nghiờn cu ti liu, giỏo trỡnh cú liờn quan n lng giỏc, h thc lng tam giỏc v mt s ti liu liờn quan gii cỏc bi toỏn nhn dng tam giỏc Phng phỏp tng kt kinh nghim: Qua vic nghiờn tham kho ti liu, giỏo trỡnh t ú rỳt kinh nghim ỏp dng vo vic nghiờn cu Phng phỏp ly ý kin chuyờn gia: Ly ý kin ca ging viờn trc tip hng dn, cỏc ging viờn khỏc hon thin v mt ni dung v hỡnh thc ca khúa lun i tng v phm vi nghiờn cu i tng: Bi toỏn nhn dng tam giỏc Phm vi: S dng kin thc v lng giỏc, h thc lng tam giỏc v mt s bt ng thc i s gii cỏc bi toỏn nhn dng tam giỏc í ngha khoa hc v thc tin Khúa lun l ti liu tham kho cho sinh viờn ngnh toỏn mun tỡm hiu v bi toỏn nhn nhn dng tam giỏc Gúp phn rốn luyn thúi quen phõn tớch tỡm hiu v cỏc quỏ trỡnh gii toỏn, phỏt trin k nng phõn Nguyn Hin tớch, t v thc hnh gii toỏn thc s hu ớch cho cụng tỏc ging dy sau ny trng Ph thụng B cc ca khúa lun Ngoi phn m u, kt lun, ti liu tham kho, khúa lun c chia thnh chng: Chng Mt s ng thc v bt ng thc s dng bi toỏn nhn dng tam giỏc Trong chng 1, chỳng tụi h thng cỏc kin thc c bn v mt s ng thc v bt ng thc s dng bi toỏn nhn dng tam giỏc Chng Bi toỏn nhn dng tam giỏc Trong chng 2, chỳng tụi h thng cỏc bi toỏn nhn dng tam giỏc a cỏc phng phỏp gii cho tng lp bi toỏn ng thi a cỏc nhn xột, chỳ ý gii bi toỏn hay khỏi quỏt bi toỏn Chng Bi ỏp dng Trong chng 3, chỳng tụi h thng cỏc bi toỏn m cú th gii c bng cỏch ỏp dng cỏc phng phỏp gii ó a chng Nguyn Hin CHNG MT S NG THC V BT NG THC S DNG TRONG BI TON NHN DNG TAM GIC 1.1 Cỏc ng thc c bn tam giỏc 1.1.1 nh lý hm s sin Trong tam giỏc A BC ta cú a b c = = = 2R sin A sin A sin A 1.1.2 nh lý hm s cosin Trong tam giỏc A BC ta cú a = b2 + c - 2b cos A b2 = c + a - ca cos B c = a + b2 - ab cosC 1.1.3 Cỏc cụng thc v din tớch Din tớch tam giỏc A BC c tớnh theo mt cỏc cụng thc sau: 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 S = bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 S = abc 4R S = 2R sin A sin B sin C S = pr S = ( p - a ) = ( p - b) rb = ( p - c ) rc S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) 1.1.4 nh lý ng phõn giỏc Trong mt tam giỏc, ng phõn giỏc ca mt gúc chia cnh i din thnh hai on thng t l vi hai on thng t l vi hai cnh k hai on y Nguyn Hin 1.1.5 Cụng thc ng phõn giỏc Trong tam giỏc A BC ta cú 2bc cos la = A 2, b+ c 2ac cos lb = B , a+c C a+b 2ab cos lc = 1.1.6 nh lý ng trung tuyn Trong mt tam giỏc, ba ng trung tuyn gp ti mt im c gi l trng tõm ca tam giỏc Trờn mi ng trung tuyn, khong cỏch t trng tõm n nh bng hai ln khong cỏch t trng tõm n chõn ng trung tuyn 1.1.7 Cụng thc ng trung tuyn Trong tam giỏc A BC ta cú m a2 = b2 + c a a + c b2 a + b2 c , m b2 = , m c2 = 4 1.1.8 Cụng thc bỏn kớnh ng trũn ni tip Trong tam giỏc A BC ta cú r = ( p - a ) t an A B C = ( p - b) t an = ( p - c ) t an 2 1.1.9 Cụng thc bỏn kớnh ng trũn bng tip Trong tam giỏc A BC ta cú = p t an A B C , rb = p t an , rc = p t an 2 1.1.10 Cỏc h thc lng giỏc c bn 1.1.10.1.Cỏc ng thc c bn ca hm s sin Trong tam giỏc A BC , ta cú cỏc ng thc sau: sin A + sin B + sin C = cos A B C cos cos 2 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C sin 3A + sin 3B + sin 3C = - cos Nguyn Hin 3A 3B 3C cos cos 2 sin 4A + sin 4B + sin 4C = - sin 2A sin2B sin 2C sin(2k + 1)A + sin(2k + 1)B + sin(2k + 1)C = (- 1)k cos(2k + 1) A B C cos(2k + 1) cos(2k + 1) 2 sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (- 1)k + sin kA sin kB sin kC sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cos C sin 2A + sin 2B + sin 2C = - cos 2A cos 2B cos 2C sin kA + sin kB + sin kC = + ( - 1) k+1 cos kA cos kB cos kC Chng minh: 1.Ta cú: sin A + sin B + sin C = sin A+B A- B C C cos + sin cos 2 2 = cos Cổ A- B A + Bử ữ ỗ ữ + cos ỗcos ữ ữ ỗ 2ố 2 ứ = cos A B C cos cos 2 2 Ta cú: sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin(A + B ) cos(A - B ) + sin C cos C = sin C ộcos(A - B ) - cos(A + B )ự ỳ ỷ = sin A sin B sin C Ta cú: sin 3A + sin 3B + sin 3C = sin v A + B = p - C ị ị sin 3A + 3B 3A - 3B 3C 3C cos + sin cos 2 2 3A + 3B 3p 3C = 2 ổ 3A + 3B 3p 3C 3C ữ ữ = sin ỗ = - cos ỗ ữ ữ ỗ 2 ứ ố2 Nguyn Hin Tng t C = p - ( A + B ) ị ị sin 3C 3p 3A + 3B = 2 ổ 3C 3p 3A + 3B 3A + 3B ữ ữ = sin ỗ = cos ỗ ữ ỗ ữ 2 ố2 ứ Do ú sin 3A + sin 3B + sin 3C = - cos = - cos 3C ổ 3A - 3B 3A + 3B ữ ỗ ữ cos + cos ỗ ữ ỗ ữ 2 ố ứ 3A 3B 3C cos cos 2 Ta cú: sin 4A + sin 4B + sin 4C = sin ( 2A + 2B ) cos ( 2A - 2B ) + sin 2C cos 2C ự = - sin 2C ộ ờcos ( 2A - 2B ) - cos ( 2A + 2B ) ỷ ỳ =- sin 2A sin 2B sin 2C Ta cú: sin(2k + 1)A + sin(2k + 1)B + sin(2k + 1)C = sin (2k + 1)A + (2k + 1)B (2k + 1)A - (2k + 1)B 2k + 2k + cos + sin C cos C 2 2 = cos(2k + 1) k C ộ ổ k A- Bử A+ Bự ữ ờcos ( 2k + 1) ỗ ỳ( - 1) ữ + cos k + ỗ ( ) ữ ỗ ữ ỳ ố ứ ỷ = ( - 1) cos(2k + 1) vỡ: A B C cos(2k + 1) cos(2k + 1) 2 ổ A+B p C A+B p Cử ữ ữ = ị ( 2k + 1) = ( 2k + 1) ỗ ỗ ữ ỗ ữ 2 2 2ứ ố2 ị sin ( 2k + 1) ổ A+B p Cử ữ ữ = sin ( 2k + 1) ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố2 ứ ổ p Cử ữ ữ = sin ỗ k p + k + ỗ ( ) ữ ữ ỗ 2ứ ố Nguyn Hin 62 sin ( B + 2C ) + sin ( B - 2C ) = sin B + sin ( B - 2C ) sin ( B + 2C ) = sin B B + 2C = p - B B +C = p ị D A BC vuụng ti A (pcm) Bi Chng minh rng tam giỏc A BC vuụng nu nú tha iu kin sin ( A + B ) cos ( A - B ) = sin A.sinB Li gii: Gi thuyt tng ng vi sin ( A + B ) cos ( A - B ) = cos ( A - B ) - cos ( A + B ) sin C cos ( A - B ) = cos ( A - B ) + cosC Ta t t = t an C > Ta c 2t 1- t2 cos ( A - B ) = cos ( A - B ) + 1+ t2 1+ t2 ( ) 2t cos ( A - B ) = + t cos ( A - B ) + - t 2 ( t - 1) cos ( A - B ) + - t = (1- t) ộ - t ) cos ( A - B ) + + ở( tự =0 ỳ ỷ ột = ờt ộ1 - cos A - B ự+ ộ1 + cos A - B ự= ( ) ỳỷ ờở ( ) ỳỷ ởờ M t ộ1 - cos ( A - B ) ự> v + cos ( A - B ) ỳ ỷ Suy t = t an Nguyn Hin C = C = 900 63 Vy tam giỏc A BC vuụng ti A 3.1.2 Nhn dng tam giỏc cõn Bi Chng minh rng tam giỏc A BC cõn nú tha cỏc h thc sau: a S = a + b2 ( b = bc cos ) A c m a = bc cos A Li gii: a Theo bt ng thc Cụsi,ta cú: a + b2 ab ( ) ab sin C = S Du " = " xy v ch a = b Do ú, tam giỏc A BC cõn ti C b Ta luụn cú Ê la Mt khỏc theo bt ng thc Cụsi, ta cú: ỡù 2bc ùù Ê bc ùù b + c ị ùù ùù cos A ùợ bc cos A 2bc A cos b+ c Suy bc cos A la Du " = " xy v ch b = c Do ú tam giỏc A BC cõn ti A c Ta cú m a2 = 2 2b + 2c - a = ộ b + c b2 ự ỳ ỷ 4ở ( ) Mt khỏc theo bt ng thc Cụsi, ta cú: Nguyn Hin ( ) 64 m a2 = b + c + 2bc cos A 2bc + 2bc cos A 4 ( ) ( ) A = bc ( + cos A ) = bc cos2 2 Suy m a bc cos A A ( vỡ cos ) 2 Du " = " xy v ch b = c Do ú tam giỏc A BC cõn ti A 3.1.3 Nhn dng tam giỏc u Bi Cho tam giỏc A BC tha iu kin 1 + + = 2 sin A sin B sin C sin A B C sin sin 2 Chng minh tam giỏc A BC l tam giỏc u Li gii: Do sin A sin B sin C > nờn ng thc ó cho tng ng vi ổ 1 sin A sin B sin C ữ ữ + + = ữ ữ A B C sin C ứ ốsin A sin B sin sin sin 2 ( sin A sin B sin C ) ỗỗỗ sin B sin C sin A sin C sin A sin B A B C + + = cos cos cos sin A sin B sin C 2 Do sin A + sin B + sin C = cos A B C cos cos nờn da vo nh lớ hm s 2 sin , suy (1) bc ca ab + + =a + b+ c a b c b2c + a 2c + a 2b2 = abc ( a + b + c ) 2 ( ab - bc ) + ( bc - ca ) + ( ca - ab) = Nguyn Hin ( 1) 65 ỡù ab = bc ùù ùù ùớ bc = ca a = b = c ùù ùù ùùợ ca = ab Vy tam giỏc A BC l tam giỏc u (pcm) Bi Chng minh D A BC u nu a m a + m b + m c = R b cot A + cot B + cot C = t an A B C + t an + t an 2 ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 1 1 1 ữ ỗ ữ + + = + + c ỗ ữ ỗ ữ A B C A B C 2 ỗ ữ ữ sin sin sin ỗ sin sin sin ỗ ố ứ 2 2 2ữ Li gii: ( a, Theo Bunhiacopxki ta cú: ( m a + m b + m c ) Ê m a + m b2 + m c 2 ( ma + mb + mc ) Ê a + b2 + c ( ) ( ( m a + m b + m c ) Ê 9R sin A + sin B + sin C m sin A + sin B + sin C Ê ị ( m a + m b + m c ) Ê 9R ị ma + mb + mc = 81 = R 4 R ng thc xy v ch D A BC u ị pcm b Ta cú Nguyn Hin ) ) 66 cot A + cot B = sin ( A + B ) sin A sin B = sin C sin C sin A sin B ổ sin A + sin B ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ (do bt ng thc Cụsi) C C C cos sin C 2 = = t an A+B A- B C A- B sin cos2 cos cos2 2 2 sin (1) Tng t cot A + cot C t an B (2) cot B + cot C t an A (3) T (1), (2), (3) ta cú: ổ A B Cử ữ ( cot A + cot B + cot C ) ỗ ỗt an + t an + t an ữ ữ ữ ỗ 2 2ứ ố Do ú du " = " xy ỡù ùù cos A - B = cos A - C = cos B - C = 2 ùớ ùù ùù sin A = sin B = sin C ợ A = B =C D A BC u c Theo bt ng thc Bunhiacopxki, ta cú: ổ ữ ỗ ữ ỗ 1 1ỗ 1 ữ ữ ỗ ữ + + ỗ + + ữ ữ 3ỗ A B C A B 2C ỗ ữ ữ sin sin sin ỗ sin sin sin ỗ ố ứ 2 2 2ữ Mt khỏc theo bt ng thc Cụsi, ta cú: Nguyn Hin 67 sin A + + B sin C sin 3 sin A B C sin sin 2 Theo bt ng thc c bn , ta c: sin A B C sin sin Ê 2 Do ú: sin A + sin + B C sin ổ ữ ỗ ữ ỗ ỗ 1 1 1 ữ ữ ỗ ữ + + 2ỗ + + ữ ỗ A B Cữ A B 2C ỗ ữ sin sin sin ỗ sin sin sin ữ ữ ỗ ố 2 2 2ứ Du " = " xy v ch A = B = C Vy tam giỏc A BC u 3.1.4 Nhn dng tam giỏc cỏc trng hp khỏc Bi 1.Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc A BC nu ba gúc A , B ,C tha món: ( cos 2B+ cos 2C ) + cos 2A + =0 Li gii: Ta cú: cos 2A + ( cos 2B + cos2C ) + =0 cos2 A + cos ( B + C ) cos ( B - C ) - + cos2 A - cos A cos ( B - C ) + =0 =0 cos2 A - cos A cos ( B - C ) + = ộ cos A Nguyn Hin cos ( B - C ) ự + sin ( B - C ) = ỳ ỷ 68 ỡù cos A = cos B - C ( ) ùù ùù ùùợ sin ( B - C ) = ị B - C = k p ị B = C + p Vỡ < B ,C < p ị < C + k p < p ị k = ị B = C ị cos A = p 5p ị A = ị B =C = 12 ỡù ùù A = p ùù Vy tam giỏc A BC cú ùù p ùù B = C = ùợ 12 Bi Tỡm c im ca tam giỏc A BC nu nú tha mt cỏc iu kin sau: a sin A + sin B + sin C = cos A + cos B + cosC b S = a + b2 ( ) ( 3 c 3S = 2R sin A + sin B + sin C ) Li gii: a sin A + sin B + sin C = cos A + cos B + cosC ( sin A - ổ ỗ1 2ỗ ỗ2 sin A ỗ ố ổ ỗ1 + 2ỗ sin C ỗ ỗ ố Nguyn Hin ) ( cos A + sin B - ữ cos A ữ + ữ ữ ữ ứ ổ ỗ1 2ỗ ỗ2 cos B ỗ ố ữ cosC ữ =0 ữ ữ ữ ứ ) ( cos B + sin C - ữ cos B ữ ữ ữ ữ ứ ) cos C = 69 ổ pử ổ pử ổ pử ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ sin ỗ + sin B + sin C- ữ =0 ỗA - ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ 3ứ 3ứ 3ứ ố ố ố ổ ổ ổ A pử A pử B +C pử B- C ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ sin ỗ cos + sin cos =0 ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ố ữ ữ ỗ ỗ2 ứ ỗ 3ứ ố2 ứ ố ổ ổ ổ A pử A pử p A pử B- C ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ sin ỗ cos + sin - ữ cos =0 ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ2 ứ ỗ2 ứ ữ ố ữ ữ ố2 ứ ố ổ ổ A p ửộ A pử B- Cự ữ ờcos ỗ ỳ= ữ ữ sin ỗ cos ỗ - ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỳ ố2 ứở ố2 ứ ỷ ộ ờA = ộ ổ A p ữ ờsin ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ờA ố ứ ờ2 ổ A pữ B- C ờcos ỗ - ữ = cos ỗ ữ ỗ ữ ờA ố ứ ờ ở2 p p B- C = p C- B = ộ ộ ộ ờA = p ờA = p ờA = p ờ 3 ờ ờ ờ p p p ờ ờA + C = B + ờp - B = B + B = 3 ờ ờ ờ ờ p p p C = ờA + B = C + ờp - C = C + ờ ờ 3 ở Vy tam giỏc A BC cú ớt nht mt gúc bng b Cỏch 1: Ta cú Nguyn Hin p 70 a sin 2B + b2 sin 2A = R sin A sin B cos B + R sin B sin A cos A ( ) = 2R sin A sin B ( sin A cos B + sin B cos A ) = ( 2R sin A ) ( 2R sin B ) = ab sin C =S Do ú: S = a + b2 = a sin 2A + b2 sin 2A 4 ( ) ( ) a ( - sin 2B ) + b2 ( - sin 2A ) = 2 a ( sin B - cos B ) + b2 ( sin A - cos A ) = ỡù sin B - sin B = ù ùớ ùù sin A - cos A = ùợ ỡù ổ ùù sin ỗ ỗB ùù ỗ ố ù ùù ổ ùù sin ỗ ỗA ùù ỗ ố ợ ị C = pử ữ ữ =0 ữ ữ 4ứ ùỡù p ùù B = ớù ùù pử ữ ùù A = p ữ =0 ữ ữ ùợ 4ứ p ị D A BC vuụng cõn ti C Cỏch 2: Ta cú: Nguyn Hin sin C 71 S = a + b2 = ab sin C ( ) a + b2 - 2ab sin C = ( a - b) + 2ab ( - sin C ) = ỡù a - b = ù ùớ ùù - sin C = ùợ ỡù a = b ùù ùớ p ùù C = ùù ợ ị D A BC vuụng cõn ti C c Ta cú S = abc = 2R sin A sin B sin C ị 3S = 6R sin A sin B sin C 4R (1) Mt khỏc sin A + sin + sin C sin A sin B sin C ( ) ị 2R sin A + sin B + sin C 6R sin A sin B sin C T (1) v (2) suy du " = " xy v ch sin A = sin B = sin C A = B = C Vy D A BC l tam giỏc u 3.2 Cỏc bi khụng cú li gii Bi Chng minh tam giỏc A BC vuụng tha iu kin a sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B b cos B + cosC = c cos b+ c a A B C A B C cos cos - sin sin sin = 2 2 2 d t an 2C = 2bc b2 - c Nguyn Hin (2) 72 e S = ( a + b - c) ( a + b + c) f b c a + = cos B cosC sin B sin C h sin A + cos B = t an A sin A + cos A Bi Chng minh tam giỏc A BC l tam giỏc cõn nú tha mt cỏc ng thc sau: = bc cos A b r + = 4R sin c sin B t an B = t an C sin C B ( sin A + cos B + cos C ) = d cos A sin B sin C + e + cos B = sin B 17 2a + c 4a - c f t an A + t an B = cot C Bi Chng minh tam giỏc A BC l tam giỏc u nu nú tha mt cỏc ng thc sau: a S = a + b + c) ( 36 b sin 6A + sin 6B + sin 6C = ( 4 2 c a + b + 2c = 2c a + b d 1 + = b c la Nguyn Hin ) 73 e 1 + = a + c b+ c a + b+ c f sin A sin B sin C a + b+ c = ab + bc + ca 18R ỡù + cos C 2a + b ùù = ù sin C 4a - b2 g ùớ ùù ùù a ( b + c - a ) = b + c - a ùợ ỡù a - b - c ùù a = ù a - b- c h ùù ùù a = 2b cosC ợ Bi D A BC cú ba cnh lp thnh cp s cng a Chng minh rng cụng sai ca cp s cng l: d= ổ C Aử ữ ữ rỗ t an t an ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ b sin A sin B = sin C vi a, b, c theo th t a + b = 2c Bi Tam giỏc A BC cú: ỡù ùù A = p ùù ùù cos6 B cos6 C ùù + = ùợ B C p Tớnh hai gúc B v C Nguyn Hin 74 KT LUN Trong khuõn kh khúa lun" Nghiờn cu mt s bi toỏn nhn dng tam giỏc", chỳng tụi ó trỡnh by cỏc sau: Th nht khúa lun trỡnh by mt cỏch cú h thng kin thc v cỏc ng thc c bn tam giỏc, bt ng thc tam giỏc v bt ng thc i s s dng bi toỏn nhn dng tam giỏc Th hai khúa lun trung nghiờn cu v bi toỏn nhn dng tam giỏc C th l sau mi phng phỏp gii chỳng tụi rỳt nhng nhn xột, chỳ ý ca bi toỏn , khỏi quỏt bi toỏn hay nờu phng phỏp thit lp bi toỏn Th ba khúa lun a mt s bi cú li gii m li gii tr nờn thun li hn ỏp dng cỏc phng phỏp gii ó trỡnh by trc ú ti cng a mt s bi dng cỏc phng phỏp ó Nguyn Hin 75 TI LIU THAM KHO [1] Phan Huy Khi (2008), Lng giỏc, Nh xut bn giỏo dc, H Ni [2] Lờ Ngc Lc (2010), Bt ng thc v trung tuyn tam giỏc, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [3] Nguyn V Lng (2006), Mt s bi ging v cỏc bi toỏn tam giỏc, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [4] Trn Phng (2010), Tuyn cỏc chuyờn luyờn thi i hc mụn toỏn h thc lng tam giỏc, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [5] on Qunh (ch biờn) (2009), i s v Gii tớch lp 10, Nh xut bn giỏo dc, H Ni [6] Hunh Cụng Thỏi (2002), Chuyờn lng giỏc ng thc, bt ng thc tam giỏc, nhn dng tam giỏc, Nh xut bn i hc quc gia TP H Chớ Minh Nguyn Hin 76 XC NHN CA GIO VIấN HNG DN Nguyn Hin [...]... NHN DNG TAM GIC 2.1 Nhn dng tam giỏc vuụng Bi toỏn nhn dng tam giỏc vuụng thng cú dng nh sau: Cho tam giỏc tha món iu kin no ú, ta phi chng minh rng tam giỏc ú l tam giỏc vuụng gii cỏc bi tp loi ny, ta thng s dng mt trong cỏc phng phỏp sau: 2.1.1 S dng cỏc phộp bin i ng thc Khi nhn din tam giỏc vuụng phng phỏp bin i tng ng l phng phỏp c dựng hn c Thc hin cỏc phộp bin i tng ng ng thc ó cho i n tam giỏc... ti A ờ ở Vy D A BC vuụng ti A 2.1.2 S dng bt ng thc Khộo lộo s dng bt ng thc t h thc ó cho i n tam giỏc ó cho cú mt gúc bng 90o , hoc i n h thc Pitago, hoc ng thc liờn quan n tam giỏc vuụng Vớ d 2.1.4 Cho tam giỏc A BC tha món iu kin 3 ( cos B + 2 sin C ) + 4 ( sin B + 2 cos C ) = 15 Chng minh A BC l tam giỏc vuụng Li gii: p dng bt ng thc Bunhiacopxki ta cú: 3 cos B + 4 sin B Ê Nguyn Hin 9 + 16 cos2... ng thc liờn quan n tam giỏc vuụng Vớ d 2.1.1 Chng minh rng nu tam giỏc D A BC vuụng khi nú tha món iu kin sau ra = r + rb + rc Nhn xột: i vi bi toỏn liờn quan n bỏn kớnh ng trũn ni tip, ng trũn bng tip ta thng i theo mt trong hai hng sau: Cỏch 1: S dng cụng thc ỡù ùù r = S ùù p ớ ùù ùù ra = S , rb = S , rc = S ùùợ p- a p- b p- c Sau ú bin i a n h thc Pitago hoc ng thc liờn quan n tam giỏc vuụng Cỏch... C = B ờ ở ộ p ờ C = ịD A BC vuông tại C ờ 2 ờ ờ p ờ ờB = ịD A BC vuông tại B 2 ở Nhn xột: i vi cỏc bi toỏn liờn quan n yu t cnh ca tam giỏc thng s dng cụng thc a = 2R sin A ; b = 2R sin B ; c = 2R sin C bin i a v tam giỏc cú mt gúc bng 900 Vớ d 2.1.3 Chng minh rng nu tam giỏc D A BC vuụng khi nú tha món iu kin sau sin A + sin B + sin C = 1 + cos A + cos B + cos C Li gii: sin A + sin B + sin C =... 1) cot ( 2k + 1) - 1 2 2 cot ( 2k + 1) cot ( 2k + 1) A B C + cot ( 2k + 1) + cot ( 2k + 1) 2 2 2 = cot ( 2k + 1) A B C ( 2k + 1) cot ( 2k + 1) cot 2 2 2 1.2 Cỏc bt ng thc trong tam giỏc 1.2.1 Bt ng thc tam giỏc Trong tam giỏc D A BC ta cú: b - c < a < b + c, c - a < b < c + a, 1.2.2 Cỏc bt ng thc lng giỏc c bn Vi mi D A BC ta luụn cú cỏc bt ng thc sau: 1 sin A + sin B + sin C Ê 3 3 2 2 cos A + cos... B = 4 = ùù 3 ùù 4 3 Du " = " xy ra ớ ớ ùù sin C ùù cos C ùù ùù cot C = 4 = 8 3 ợù 6 ợù t an B = cot C B +C = p 2 Vy tam giỏc A BC vuụng ti A (pcm) Khai thỏc: Cho tam giỏc A BC tha món iu kin 3 ( cos B + k sin C ) + 4 ( sin B + k cosC ) = 5 + 9k 2 + 16k 2 (k ẻ Chng minh A BC l tam giỏc vuụng Li gii: p dng bt ng thc Bunhiacopxki ta cú: 3 cos B + 4 sin B Ê 9 + 16 cos2 B + sin 2 B = 5 v ( 3k ) 2 2... thc xy ra khi v ch khi A = B = C = l tam giỏc u 6 cos A cos B cosC Ê 1 8 1ộ 1 cos ( A - B ) + cos ( A - B ) ự cosC Ê ờ ỳ ỷ 2ở 8 - 4 cos2 C + 4 cos ( A - B ) cosC - 1 Ê 0 4 cos2 C - 4 cos ( A - B ) cos C + 1 0 2 ự + sin 2 ( A - B ) 0 (luụn ỳng) ộ ờcos C - cos ( A - B ) ỳ ở ỷ Nguyn Hin p hay D A BC 3 22 Du " = " xy ra khi v ch khiA = B = C = p hay D A BC l tam giỏc 3 u 7 sin 2 A + sin 2 B + sin... B = 3 4 3 ùớ Du "=" xy ra ùớ ùù sin C ùù cos C ùù ùù cot C = 4 = ùợ 3k ùợ 4k 3 t an B = cot C Nguyn Hin sin 2 C + cos2 C ( 3k ) 2 + ( 4k ) 2 Â* ) 33 B +C = p 2 Vy tam giỏc A BC vuụng ti A (pcm) Nhn xột: Cỏch ra cho bi toỏn nhn dng tam giỏc cõn bng bt ng thc Bunhiacopxki tng t vớ d 2.1.4: T D A BC cõn ti A ị B = C Ly t an hoc cot hai v Gi s t an B = t an C sin B sin C a = = vi b ạ 0 cos B cosC... bt ng thc Bunhiacopxki cho cỏc s a, b, sin B , cos B v c, d , sin C , cos C Cng hai v bt ng thc li vi nhau, ti v trớ du " = " xy ra ta c bi toỏn Vớ d 2.1.5 Cho tam giỏc A BC cú A , B nhn v sin 2 A + sin 2 B = 3 sin C (1) Chng minh A BC l tam giỏc vuụng Li gii: Vỡ 0 < sin C Ê 1 nờn theo tớnh cht hm s m y = a x (0 < a < 1) , ta cú: 3 sin C sin 2 C T ú theo gii thit ta cú: sin 2 A + sin 2 B sin 2 C... Sau ú bin i a n h thc Pitago hoc ng thc liờn quan n tam giỏc vuụng Cỏch 2: S dng cụng thc ỡù ùù r = ( p - a ) t an A ùù 2 ớ ùù ùù ra = p t an A , rb = p t an B , rc = p t an C ùợ 2 2 2 Sau ú bin i a n tam giỏc ó cho cú mt gúc bng 900 Nguyn Hin 26 Di õy l cỏch gii theo 2 hng ó nờu trờn Li gii: Cỏch 1: ra = r + rb + rc S S S S = + + p- a p p- b p- c 1 1 1 1 = + + p- a p p- b p- c p- p+ a p- c+ p-