DANAMATH www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang HÌNH HỌC 10 CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ GV:Phan Nhật Nam CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ I Các dạng toán thường gặp : Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ :(Sử dạng quy tắc) Quy tắc điểm : Cho A, B, C tùy ý AC = AB + BC (xen điểm B) AC = AB – CB = BC – BA (phép trừ vectơ chung gốc) Quy tắc hình bình hành : Cho ABCD hình bình hành AC = AB + AD (Vectơ đ/chéo = tổng vectơ cạnh kề chung gốc đ/chéo) Quy tắc trung điểm: Cho O trung điểm AB M điểm tùy ý: OA + OB = MO = ( MA + MB ) D A Quy tắc trọng tâm: Cho B O ∆ ABC có trọng tâm G M điểm tùy ý: MA + MB + MC = 3.MG GA + GB + GC =  Chú ý :Sơ đồ giải toán chứng minh đẳng thức vectơ: Phân Đẳng tíchcác tính chất hình học Trung điểm, trọng tâm    IA = mIB ( I ng`oai AB)  I ∈ AB ⇒      IA = mIB  IA = −mIB ( I AB) Đẳng thức vectơ thức Sử dụng quy tắc điểm để làm xuất vectơ có ycbt Vectơ cần giả chứng thiết minh Dạng 2: Biểu diễn vectơ qua vectơ không phương : Hướng 1: Từ đẳng thức vectơ đề (nếu có) ,nếu không từ giả thiết ta xây dựng đẳng thức vectơ sau cách xen điểm ta thiết lập đẳng thức chứa vectơ cần biểu diễn vectơ biểu diễn GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ (thường ta xen điểm chung vectơ có ycbt) Hướng 2: Từ giả thiết ta dựng thêm hình xác định tính chất hình học từ ta thiết lập đẳng thức vectơ cần tìm (thường sử dụng tính chất trọng tâm trung điểm) Chú ý : Đôi ta phải dùng nhiều đẳng thức vectơ trung gian thực phép cộng trừ đẳng thức với vế theo vế Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước : Phương pháp chung:Dựng điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước Bước 1: Chuyển vectơ không chứa I vế chứa I vế khác      Tức : MA1 + MA2 + + MAn = a {với a cố định} (cần sử dụng quy tắc cộng, trừ vectơ trước chuyển vế             MA + MC + ( MA − MB ) =⇔ MA + MC = AB ) VD: 3MA − 2.MB + MC =⇔     Bước 2:Chọn (dựng) điểm I cho: IA1 + IA2 + + IAn = ta có:         MA1 + MA2 + + MA= nMI + IA1 + IA2 + + IA= nMI (quy vế trái vectơ chứa M) n n Bước 3: Dựng điểm M sau:     Biến đổi đẳng thức đề dạng: IM = b (I cố định, b không đổi )     Lấy I làm gốc dựng IM b M IM Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC Hãy dựng điểm M thỏa mãn đẳng thức :     3MA − 2.MB + MC = Giải : M          Ta có: 3MA − 2.MB + MC =⇔ MA + MC + MA − MB = ( ) A    ⇔ MA + MC = AB    Gọi I trung điểm AC, ta có : IA + IC =        Khi ta có: MA + MC = AB ⇔ 2MI + IA + IC = AB (     MI = AB ⇔ IM = BA I ) B Vậy M đỉnh thứ tư hình bình hành IBAM hình vẽ Dạng 4:Chứng minh điểm thẳng hàng (đường thẳng qua điểm cố định) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com C CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ Cơ sở phương pháp :A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k AC (*) (k ∈ R ) Phương pháp chung: Trường hợp 1: A, M, N thẳng hàng { cóA đỉnh đa giác}     Đặt: a = AB b = AC (với A, B, C ba đỉnh đa giác mà gt cho)       ˆ A xen diem gt ⇒ đẳng thức vectơ (ĐTVT) → AM =m1 AB + n1 AC ⇔ AM =m1 a + n1 b       ˆ A xen diem gt ⇒ (ĐTVT) → AN = m2 AB + n2 AC ⇔ AN = m2 a + n2 b        ⇔ AN = m2 a + n2 b = k m1 a + n1 b ⇔ AN = k AM ( ) m m1 n2 ) n1 (với = k =   ⇔ AN AM phương ⇔ A, M, N thẳng hàng (đpcm) Trường hợp 2: I, M, N thẳng hàng { điểm đỉnh đa giác}     Đặt: a = AB b = AC (với A, B, C ba đỉnh đa giác mà gt cho)       ˆ A xen diem gt ⇒ (ĐTVT) → AI = m1 AB + n1 AC ⇔ AI = m1 a + n1 b       ˆ A xen diem gt ⇒ (ĐTVT) → AM = m2 AB + n2 AC ⇔ AM = m2 a + n2 b       ˆ A xen diem gt ⇒ (ĐTVT) → AN = m3 AB + n3 AC ⇔ AN = m3 a + n3 b (1) (2) (3) Khi đó:             Từ (1),(2) ta có: IM = AM − AI = ( m2 a + n2 b ) − ( m1 a + n1 b ) = (m2 − m1 )a + (n2 − n1 )b       Từ (1),(3) ta có: IN = AN − AI = ( m3 a + n3 b ) − ( m1 a + n1 b ) = (m3 − m1 )a + (n3 − n1 )b       m3 − m1 n3 − n1 ) = k = ⇔ IN = (m2 − m1 )a + (n2 − n1 )b = k (m2 − m1 )a + (n2 − n1 )b  = k IN (với m2 − m1 n2 − n1 Ví dụ minh họa : Ví dụ 1:Cho ∆ ABC Gọi I,J điểm định bởi:   IA = 2.IB JA + 2.JC = a Tính IJ theo AB, AC b Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Giải : GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com a Ta có: CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ        IA = IB ⇔ IA = IA + AB ⇔ AI = AB ( )          JA + JC = ⇔ JA + JA + AC = ⇔ AJ = AC ( )      Do đó: IJ = AJ − AI = AC − AB    −2 AB + AC Vậy ta có phân tích IJ =     b Đặt: a = AB b = AC   AI = 2a Khi ta có: (1)   AJ = b (2)        3 G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC =0 ⇔ AG = AB + AC    ⇔ AG = a + b (3) 3      Từ (1) (2) ta có: IJ = AJ − AI = −2a + b    1 1  5 1   Từ (1) (3) ta có: IG = AG − AI = − a+ b  a + b  − ( 2a ) = 3 3             ⇔ IG = − a + b = −2a + b  =IJ ⇔ IG =IJ 3 6  6   Do vectơ IG IJ phương ⇔ I , G, J thẳng hàng ⇔ G ∈ IJ (đpcm) Ví dụ 2: Cho ∆ ABC Gọi E, F điểm định bởi: AE = 1 AB , AF = AC ( k ≠ k ≠ −1) k k +1 Chứng minh EF qua điểm cố định k thay đổi Giải:    Gọi I điểm xác định sau:= AI m AB + n AC (với m, n ∈ R )        IE = AE − AI =  − m  AB − n AC k       FE = AE − AF = AB − AC k k +1 EF qua điểm I ∀k ∈ R \{-1;0} GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 I A www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ   ⇔ IE phương FE , ∀k ∈ R \{-1;0} −m k ⇔ = k −n , ∀k ∈ R \{-1;0} − k +1 m + n =0 m =−1 ⇔ − km = nk + n , ∀k ∈ R \{-1;0} ⇔ (m + n)k + n − = , ∀k ∈ R \{-1;0} ⇔  ⇔ = n − = n Khi ta có :      AI = − AB + AC ⇔ CI = BA ⇔ I đỉnh hình bình hànhACBI (như hình vẽ) ⇒ I cố định Với điểm I vừa xác định ta có:        k +       IE =AE − AI = + 1 AB − AC = AB − AC =(k + 1)  AB − AC  k k +1 k  k      ⇔ IE =(k + 1) FE ⇔ IE , FE phương ⇔ I , E , F thẳng hàng ⇔ đường thẳng EF qua điểm cố định I (đpcm) Chú ý: Để chứng minh đường thẳng d qua A cố định ta cần chứng minh đường thẳng d có điểm phân biệt thay đổi thẳng hàng với A  Bổ đề liên quan :  A,B,C thẳng hàng ⇔ MC = α MA + (1 − α ) MB (M_tùy ý; α ∈ R) ĐB : Nếu ≤ α ≤ C thuộc đoạn AB  Cho điểm A, B α , β ∈ R thỏa α + β ≠ Nếu: MN = α MA + β MB MN cắt AB I thỏa α IA + β IB = ĐB : Nếu α = β ≠ I trung điểm AB  Cho điểm A, B, Cvà α , β , γ ∈ R thỏa α + β + γ ≠ Nếu: MN = α MA + β MB + γ MC MN qua I thỏa α IA + β IB + γ IC = ĐB : Nếu α = β = γ ≠ I trọng tâm tam giác ABC Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun Phương pháp chung:Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ       MA1 + MA2 + + MAn= MB1 + MB2 + + MBn Bước 1:Rút gọn đẳng thức để vế chứa vectơ    TH1 : Nếu MA1 + MA2 + + MAn khử hết M(tức số vectơ có      dạng + M số vectơ có dạng − M VD: MA + 2MB − 3MC ) ta phải dựng vec tơ tổng chúng    TH2 : Nếu ta không khử M MA1 + MA2 + + MAn ta cần     dựng điểm I thỏa mãn IA1 + IA2 + + IAn =         MA1 + MA2 + + MA= nMI + IA + IA + + IA = nMI n n Bước 2:Sử dụng mệnh đề sau để suy quỹ tích điểm cần tìm  AM = k u với k ∈ R A cố định, u không đổi ⇒ {M} đường thẳng qua A phương với u ĐB : + Nếu k > {M} tia Ax hướng u + Nếu k < {M} tia Ax ngược hướng u + Nếu AM = k AB (k ∈ R ) {M} đường thẳng AB  MA = MB với A, B cố định cho trước {M} trung trực AB  MA = k BC Với A, B, C cho trước {M} đường tròn (A, k.AB) Ví dụ minh họa : Cho ∆ ABC Tìm tập hợp tất điểm M thỏa mãn điều kiện: A MA + MB + MC = MA − MB − MC M Giải: I    Gọi E trung điểm BC ⇒ EB + EC = Khi đó:    2MA − MB − MC =   ( ) ( ) Gọi G trọng tâm ∆ABC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 R = AB G   ( MA − MB ) + ( MA − MC )       = − AB + AC = − AB + EB + EC = BA B E     GA + GB + GC = I trung điểm GA ⇒      IA + IG = www.toanhocdanang.com C   CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ       Khi đó: 4MA + MB + MC= 6MI + 3IA + IA + IB + IC        = MI + IA + IG + GA + GB + GC = MI ( Do ta có:    MA + MB + MC = ) ( )     MA − MB − MC ⇔ MI =  BA ⇔ IM = AB 3 Vậy tập hợp tất điểm M đường tròn tâm I bán hình R = AB Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác} Cho vectơ a , b , c ta có  a + b ≥ a + b từ : a + b = c a + b ≥ c  a − b ≤ a −b từ : a – b = c a − b ≤ c II Bài tập áp dụng: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD , Chứng minh CDEF hình bình hành Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý Tính vectơ sau : a v = AB + DC + BD + CA b u = AB + CD + BC + DA Bài 3: Cho hai vectơ a b ( ≠ ) Hãy tìm mối quan hệ a b thỏa điều kiện a a + b = a + b b a + b = a − b Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh : AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O, I tâm đường tròn qua trung điểm cạnh, M điểm tùy ý chứng minh : a GA + GB + GC = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ b MA + MB + MC = 3.MG c OA + OB + OC = 3.OG = OH d HA + HB + HC = 3.HG = 2.HO e OH = 2.OI Bài 6: Cho điểm A, B, C, D tùy ý chứng minh : AB + CD = AD + CB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh : OA + OB + OC + OD = Bài 8: Cho tứ giác ABCD tùy ý M, N trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh : AB + CD = 2.MN Bài 9: Cho tứ giác ABCD tùy ý M, N trung điểm AD BC Chứng minh : AB + DC = 2.MN Bài 10: Cho tam giác ABC tam giác A’B’C’ có trọng tâm G G’ a AA' + BB' + CC ' = 3GG ' suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm AA' + BB' + CC ' = b Gọi G1, G2 , G3 trọng tâm tam giác ∆BCA' , ∆CAB' , ∆ABC ' Chứng minh G trọng tâm ∆G1G2 G3 Biết G ≡ G ' Bài 11: Cho hình bình hành ABCD a Cho AB = a, AD = b , I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh : BI = b − a , tính AG theo a, b b G’ trọng tâm tam giác BCI Chứng minh : AG ' = a + b c Trên ∆ABC ,gọi A1, B1, C1 điểm xác định A1 B + A1C = , B1C + 3B1 A = , 2C1 A + 3C1 B = Chứng minh hai tam giác ∆ABC , ∆A1 B1C1 có trọng tâm GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ d Gọi B’, C’ hai trung điểm AC, AB Đặt BB' = u , CC ' = v Tính BC , CA , AB theo u, v Bài 12: Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: a AB − CD = AC + DB b AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh : AM + BN + CP = Bài 14: Gọi G, G’ trọng tâm hai tam giác ∆ ABC ∆ A’B’C’ Chứng minh : AA' + BB'+CC ' = 3.GG ' Bài 15: Cho ∆ ABC Gọi M điểm đoạn BC, cho MB = 2.MC Chứng minh : AM = AB + AC 3 Bài 16: Cho ∆ ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2.NA Gọi K trunh điểm MN a Chứng minh : AK = AB + AC b Gọi D trung điểm BC Chứng minh : KD = 1 AB + AC Bài 17: Cho ∆ ABC cạnh a Xác định vectơ AB + AC tính môđun vectơ Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác định vectơ ( ) AB + AC + AD tính môđun Bài 19: Cho đoạn thẳng AB hai số m, n không đồng thời Chứng minh : a Nếu m + n ≠ tồn điểm M cho m MA + n MB = b Nếu m + n = không tồn điểm M cho m MA + n MB = c Nếu m + n = v = m MA + n MB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ d Nếu m + n ≠ với điểm M ta có m MA + n MB = (m + n) MI , I điểm xác định m IA + n IB = e Nếu m + n ≠ với điểm M N xác định MN = m MA + n MB Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 20: Cho hai vectơ a, b(≠ 0) không phương Gọi u, v hai vectơ xác định : u = α a + β1 b , v = α a + β b Chứng minh : α = α a u = v ⇔  β = β b u, v phương ⇔ α β − α β1 = Bài 21: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD AB = 2CD Từ C kẻ CI = DA Chứng tỏ I trung điểm AB DI = CB Bài 22: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD O Qua O vẽ đường thẳng MN song song đáy AD BC Đặt Chứng minh : MN = a = AB , b = CD b AB + a DC a+b Bài 23: Cho hình bình hành ABCD M, N điểm thỏa mãn AM = DN = AB , DC G trọng tâm tam giác MNB, AG cắt BC I Tính tỷ số AG , BI GI IC Bài 24: Cho đoạn thẳng AB Người ta xét 2n điểm cho chúng n cặp điểm đối xứng qua trung điểm O AB Tiếp người ta đánh dấu đỏ n điểm xanh cho n điểm lại Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm đỏ đến A tổng khoảng cách từ điểm xanh đến B Dạng 2: Biểu diễn vectơ thông qua vectơ cho trước : Bài 1: Cho ∆ ABC Gọi A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Đặt AA' = u , CC ' = v Tính BC , CA, CB theo u, v ( ĐS : BC = ( ) u−v, GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 AB = − 11 ( ) 2.u + v , CA = ( ) u + 2.v ) www.toanhocdanang.com Bài 2: Cho ∆ ABC Gọi I CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ ∈ BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5JB = 2JC a Tính AI, AJ theo AB, AC b Gọi G trọng tâm ∆ ABC Tính AG theo AI, AJ (ĐS : AI = AB + AC , AJ = AB − AC , AG = 35 AI − AJ ) 5 3 48 16 Bài 3: Cho ∆ ABC Gọi G trọng tâm H đối xứng với B qua G a Chứng minh : AH = AC − AB 3 CH = − ( AB + AC ) b Gọi M trung điểm BC chứng minh : MH = AC − AB 6 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Đặt AB = u , AD = v Tính vectơ sau theo u, v a BI với I trung điểm CD b AG với G trọng tâm ∆ BCI ( ĐS : BI = u − v, AG = u + v, ) Bài 5: Cho ∆ ABC Gọi G trọng tâm H đối xứng với B qua G a Chứng minh : HA − HB + HC = b Đặt AG = u , AH = v , tính AB, AC theo u, v 2 ( ĐS : BI = (u + v), AC = u − v, ) Bài 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt α , β , γ ∈ R Chứng minh a Nếu α + β + γ = v = α MA + β MB + γ MC không phụ thuộc vào vị trí M b Nếu α+ β+γ ≠ tồn điểm I thỏa : = α IA + β IB + γ IC c v = α MA + β MB + γ MC = (α + β + γ ) MI GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 (Với α+ β+γ ≠ www.toanhocdanang.com 0) CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ d Điểm N xác định MN = α MA + β MB + γ MC (Với α+ β+ γ ≠ 0) Chứng minh MN qua điểm cố định Bài 7: Cho tứ giác ABCD, AB CD lấy điểm M,N cho AM = k AB, DN = k DC (k ≠ 1) a Hãy phân tích MN theo AD, BC b Gọi P, Q, I điểm thuộc AD, BC, MN cho AP = l.AD, BQ = m.BC , MI = m.BC Chứng minh P, Q, I thẳng hàng Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I Chứng minh : a = a.IA + b.IB + c.IC (a, b, c số đo cạnh tam giác) b = tan( A).HA + tan( B ).HB + tan(C ).HC c = S a MA + S b MB + S c MC với M điểm tam giác Sa , Sb , Sc diện tích tam giác: MBC, MCA, MAB Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước : Bài 1: Cho ∆ ABC Hãy dựng điểm I, J, K, L, M biết : a IA − IB = b JA + 2.JB = c 2.KA + KB − KC = AB d LA + LB + LC = BC e 3MA − 2.MB + MC = Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho a OA + 2.OB + 3.OC = b IA + IB + IC + ID = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ c KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = Bài 3:Cho hình bình hành ABCD tâm O Hãy dựng điểm I, J, K cho a IA + IB + IC = 4.ID b 2.JA + 2.JB = 3.JC − JD c KA + 3KB + KC + KD = Bài 4: Cho ∆ ABC Gọi I điểm định IA − 7.IB − IC = a Chứng minh : GI = AB (G trọng tâm ∆ ABC ) b AI cắt BG O tính OA: OI c Xác định điểm M thuộc đường thẳng d cho trước cho 5MA − 3MB nhỏ Bài 5: Cho ∆ ABC có G trọng tâm Xác định vị trí M cho a MA + MB + 2MC = b MA − MB + MC = c MA + MB = d MA + MB = CB = Gọi A’ điểm đối xứng A qua B, B’ điểm đối xứng B qua C C’ điểm đối xứng C qua A Chứng minh ∆ ABC ∆ A’B’C’ có trọng tâm Bài 6: Cho ∆ ABC Hãy dựng điểm I, J, K, L biết : a 2.IA − 3.IB = 3.BC b JA + JB + JC = c KA + KB + KC = AB + AC d LA + LB = 2CB + CA Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M điểm Chứng minh vectơ sau không đổi Tính môđun chúng a v = 3MA − MB − MC − MD GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ b u = MA − 3MB + MC − MD Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, M điểm tùy ý Trong mổi trường hợp tìm số k điểm cố định I cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với M a MA + MB + MC + 3.MD = K MI b 2.MA + MB − MC = k MI c MA + MB + MD = K MI Bài 9: Cho tứ giác ABCD Trong mổi trường hợp tìm số k điểm cố định I cho tổng vectơ K.MI với điểm M a MA + MB + MC b MA − MB − MC c MA + MB + MC + MD d MA + MB + MC + 3MD Bài 10: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm cố định I hệ số k để đẳng thức sau với M a MA + MB + MC = k MI b 2MA + 3MB − MD = k MI c MA − MB − 2MC = k MI d MA + 2MB + 3MC − 4MD = k MI OA + OB + OC + OD = Chứng minh O xác định Với ABCD hình bình hành Vói M, Hãy tìm k điểm I cố định thỏa : a MA + MB + MC + 3MD = k MI b MA + 2MB = k MI c 2MA + MB − MC = k MI Dạng 4: Chứng minh điểm thẳng hàng (đ/thẳng qua điểm cố định) Bài 1: Cho ∆ ABC Gọi I,J điểm định bởi: IA = 2.IB JA + 2.JB = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ c Tính IJ theo AB, AC d Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 2: Cho ∆ ABC M điểm lưu động Dựng MN = MA + 3MB − MC a Chứng minh MN qua điểm cố định M thay đổi b Gọi P trung điểm CN, Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Bài 3: Cho tam giác ABC, M N thay đổi cho MN = MA + 3MB − MC Tìm điểm I thỏa mãn IA + 3IB − IC = Chứng minh M, N thay đổi đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 4: Cho ∆ ABC Gọi M trung điểm BC, I J điểm xác định AI = α AB AJ = β AC Xác định hệ thức α , β Để AM cặt IJ trung điểm AM Bài 5: Cho ∆ ABC có trọng tâm G Các điểm M,N thỏa mãn hệ thức 3MA + 34MB = , MC = BC Chứng minh MN qua trọng tâm G Bài 6: Cho ∆ ABC I điểm định 3IA − IB − IC = Xác định giao điểm cuarIA BC, IB CA, IC AB Bài 7: Cho ∆ ABC Gọi I, J điểm xác định : IA = 2.IB , JA + 2.JC = a Tính IJ theo AB AC b Chứng minh IJ qua trọng tâm G ∆ ABC Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi điểm I, J, K định AI = α AB , AJ = β AC AK = γ AD Chứng minh Điều kiện cần đủ để I, J, K thẳng hàng α + γ = β (α , β , γ ≠ 0) Bài 9: Cho ∆ ABC Gọi I,J điểm định bởi: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ IA + 3.IC = JA + 2.JB + JC = Chứng minh I,J,B thẳng hàng Bài 10: Cho ∆ ABC Gọi M, N, P điểm định bởi: MB = 3MC , NA + NC = PA + PB = a Tính PM , PN theo AB AC b Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 11: Cho ∆ ABC Gọi M, N điểm định bởi: 3MA + MB = , CN = BC G trọng tâm ∆ ABC a Chứng minh M, G, N thẳng hàng b Tính AC theo AG AN AC cắt GN P tính PA PC Bài 12:Cho hình tứ giác lồi ABCD, điểm M mặt phẳng thỏa mãn : MN = MA + 2MB − 3MC + MD a Chứng mịnh MN qua điểm cố định M thay đổi b Gọi P trọng tâm tam giác ABN Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, AB, CD lấy điểm M,N cho : AB = 3AM ; CD =2CN a Tính AN theo AB AC b Gọi G trọng tâm tam giác BMN Tính AG theo AB c Gọi I điểm định BI = k BC AC Tính AI theo AB AC theo k Định k để AI qua G Bài 14: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD = DE = EC i Chứng minh : AB + AC = AD + AE GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ ii Tính AS = AB + AC + AD + AE theo AI suy A, I, S thẳng hàng Gọi M điểm xác định BM = BC − AB , N xác định CN = x AC − BC i Xác định x để A, M, N thẳng hàng ii Xác định x để MN qua trung điểm I BC Khi tính IM IN Bài 15: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC, I J điểm xác định AI = m AB , AJ = n AC Tìm hệ thức liên hệ m,n để AM, IJ cắt trung điểm AM Gọi P điểm lưu động Dựng PQ = PA + 3PB − PC Chứng minh PQ qua điểm cố định P thay đổi H trung điểm CQ Chứng minh PH qua điểm cố định P thay đổi Bài 16: Cho ∆ ABC Gọi E, F điểm định bởi: AE = 1 AB , AF = AC k k +1 (k ≠ k ≠ −1) Chứng minh EF qua điểm cố định k thay đổi Bài 17: Cho ∆ ABC MN = v = MA + 3MB + k MC a Khi k ≠ Chứng minh giá MN qua điểm cố định b Tìm k để MN vectơ không đổi Lấy E, F ∆ ABC cho AE = 1 AC AB , AF = k +1 k (k ≠ 0,−1) Chứng minh EF qua điểm cố định Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun Bài 1: Cho ∆ ABC số thực k thay đổi Tìm tập hợp điểm M cho a MA + k MB = k MC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ b MA + (1 − k ) MB + (1 + k ) MC = c MA + (1 − k ) MB − k MC = Bài 2: Cho ∆ ABC Tìm tập hợp điểm M cho a MA + MB = MB − MC b 2MA + MB = MA + MB + MC c MA + MB − MC = 2MA − MB − MC Bài 3: Cho ∆ ABC số thực k thay đổi Tìm tập hợp điểm M cho a MA + k MB + k MC = b k MA + (1 − k ) MB = c MA + (3 − k ) MB + k MC = d Vectơ v = MA + MB + MC phương với vectơ BC e MA − (1 + k ) MB − 3k MC = Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O, M N lưu động xác định bởi: MN = 3MA − MB − MC + MD a Chứng minh MN không đổi Tìm tập hợp tất điểm M biết giá chúng qua O b Tìm tập hợp tất điểm M biết N chuyển động AC Bài 5: Cho điểm A,B cố định Xác định tập hợp tất điểm M cho a MA + MB = MA − MB b MA + MB = MA + MB c MA + MB = MA + MB d MA + MB = MA + MB Bài 6: Cho ∆ ABC Tìm tập hợp điểm M cho GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com a CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ MA + MB + MC = MB + MC b MA + BC = MA − MB c MA + MB = MB − MC d MA + MB + MC = MA − MB − MC Bài 7: Cho hai hình bình hành tùy ý ABCD, A’B’C’D’ điểm M,N,P,Q điểm xác định : MA + k MA' = , NB + k NB ' = , PC + k PC ' = , QD + k QD' = a Chứng minh MNPQ hình bình hành b Xác định quỷ tích tâm MNPQ M chạy AA’ Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác} Bài 1: Cho tam giác ABC đường thẳng d Xác định M đường thẳng d cho : MA + MB + MC có giá trị nhỏ Bài 2: Trên đường tròn tâm O bán kính lấy 2n+1 điểm Pi, i = 1,2n + n +1 Ở phía đường kính Chứng minh ∑ OP i =1 i ≥1 Bài 3: Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm I cạnh AB (với I khác A, B) ta có : IC.AB < IA.BC + IB.AC Bài 4: Cho ba vectơ có độ dài không vượt Chứng minh tìm vectơ chúng cho tổng hiệu vectơ có độ dài không vượt GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com