CHƯƠNG III: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép toán  Định nghĩa, tính chất, phép toán véc tơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Ghi nhớ: uuur uuu r uuur  Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC  Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: uuur uuur uuur AB + AD = AC  Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có: uuur uuur uuuu r uuur AB + AD + AA′ = AC′  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng uur uu r r uuur uuur uur AB điểm O tùy ý, ta có: IA + IB = 0; OA + OB = 2OI  Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur điểm O tùy ý, ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG  Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD điểm O tùy ý, ta có: uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r  Điều kiện hai véc tơ phương: a b phương ( a ≠ ) r r ∃ !k ∈ ¡ : b = ka  Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k, O tùy ý, ta có: uuur uuur uuuu r uuur uuuu r OA − kOB MA = kMB; OM = , k ≠1 1− k Sự đồng phẳng ba véc tơ  Ba véc tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r  Điều kiện đồng phẳng ba véc tơ: Cho ba véc tơ a, b, c a b r r r không phương Khi đó, a, b, c đồng phẳng tồn r r r hai số thực m n cho c = ma + nb r r r r  Cho ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý Khi đó, tồn ba r r r r số thực m, n, p cho x = ma + nb + pc Tích vô hướng hai véc tơ  Góc hai véc tơ không gian: uuur r uuur r r r · · AB = u, AC = v ⇒ u, v = BAC 0° ≤ BAC ≤ 180° ( ) ( )  Tích vô hướng hai véc tơ không gian: rr r r r r r r r u.v = u v cos u, v  Cho u, v ≠ Khi đó, r r r r rr  Với u = v = Quy ước u.v = r r rr  Với u ⊥ v ⇔ u.v = ( ) VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VÉC TƠ Dựa vào quy tắc phép toán véc tơ hệ thức véc tơ Bài Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm EF uur uu r uur uur r a) Chứng minh IA + IB + IC + ID = uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r b) Chứng minh MA + MB + MC + MD = 4MI uuuu r uuur uuur uuuu r MA + MB + MC + MD c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) cho nhỏ Bài Chứng minh tứ diện bất kì, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối đồng quy trung điểm chúng (điểm đồng quy gọi trọng tâm tứ diện) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k ( k ≠ 1) Chứng minh hai tứ diện ABCD, A′B′C′D′ có trọng tâm VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA VÉC TƠ ĐỒNG PHẲNG PHÂN TÍCH MỘT VÉC TƠ THEO BA VÉC TƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Để chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh giá chúng song song với mặt phẳng  Dưa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: “Nếu r r r có m, n số thực cho c = ma + nb ba r r r véc tơ a, b, c đồng phẳng” r Để phân tích véc tơ x theo ba véc tơ không r r r đồng phẳng a, b, c , ta tìm ba số m, n, p r r r r cho x = ma + nb + pc Bài Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên uuur uuuu r đoạn SA lấy điểm M cho MS = −2MA đoạn BC lấy điểm N uuur uuuu r uur uuur uuur cho 2NB = NC Chứng minh ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng Bài Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, GH, FG; P Q trung điểm NG JH uuuu r uuu r uuu r a) Chứng minh ba véc tơ MN, FH, PQ đồng phẳng uu r uur uuur b) Chứng minh ba véc tơ IL, JK, AH đồng phẳng Bài Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE uur uur uuur a) Chứng minh ba véc tơ AJ, GI, HK đồng phẳng FM CN = = Các b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho FA CE đường thẳng vẽ từ M N song song với CF cắt DF EF P uuuu r uuu r uur Q Chứng minh ba véc tơ MN, PQ, CF đồng phẳng Bài Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Gọi M N trung điểm CD DD′ , G G′ trọng tâm tứ diện A′D′MN BCC′D′ Chứng minh đường thẳng GG′ P( ABB′A′ ) r r r r Bài Cho ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng véc tơ d r r r a) Cho d = ma + nb với m, n khác Chứng minh ba véc tơ sau đồng phẳng r r r r r r i b, c, d ii a, c, d r r r r b) Cho d = ma + nb + pc với m, n, p ≠ Chứng minh ba véc tơ sau không đồng phẳng r r r a, b, d r r r a, c, d uuuu r r uuur r uuur r Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA′ = a, AB = b, AC = c uuur uuur r r r Hãy phân tích véc tơ B′C, BC′ theo ba véc tơ a, b, c Bài Cho tứ diện OABC Gọi G trọng uuur utâm uur ucủa uur tam giác ABC uuur a) Phân tích véc tơ OG theo ba véc tơ OA, OB, OC uuur b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích véc tơ OD theo ba véc tơ uuur uuur uuur OA, OB, OC Bài Cho hình hộp OABC.DEFG uGọi Iu ur uu rlàutâm u r hình hộp uur a) Phân tích véc tơ BI theo ba véc tơ FE, FG, FI uuur uuur uuur uur uuur b) Phân tích véc tơ OI AG theo OA, OC, OD uuur uuur Bài Cho hình lập phương ABCD.EFGH Phân tích véc tơ AE, AG theo ba uuur uuu r uuur véc tơ AC, AF, AH i ii r r r b, c, d iii VẤN ĐỀ 3: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN ′B′C′D′ Bài Cho hình lập phương ABCD.A uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur a) Xác định góc cặp véc tơ: AB A′C′ , AB A′D′ , AC′ BD b) Tính tích vô hướng cặp véc tơ phần a) Bài Cho hình tứ diện ABCD, AB ⊥ BD Gọi P Q điểm thuộc đường thẳng AB CD cho uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r PA = kPB, QC = kQD, k ≠ Chứng minh AB ⊥ PQ II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Véc rtơ r phương đường thẳng Véc tơ a ≠ gọi véc tơ phương đường thẳng d giá song song trùng d Góc hai đường thẳng ¶ b = a· ′, b′  a′ Pa, b′ Pb ⇒ a, r r  Giả sử u véc tơ phương a, v véc tơ phương b, ( ) ( ( ) r r ¶ b = α u, b = α Khi đó: a,  180° − α ) ( ) nÕu 0° ≤ α ≤ 90° nÕu 90 < α ≤ 180°  ( ) ¶ b = 0° Nếu a Pb a ≡ b a, Hai đường thẳng vuông góc ¶ b = 90°  a ⊥ b ⇔ a, r r  Giả sử u, v véc tơ phương đường thẳng a,b Khi đó: rr a ⊥ b ⇔ u.v =  Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc cắt chéo ( ) VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta sử dụng cách sau:  Chứng minh góc hai đường thẳng 90°  Chứng minh hai véc tơ phương chúng vuông góc với  Sử dụng tính chất hình phẳng (như định lí Pi – ta – go) Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC · · · Chứng minh SA ⊥ BC, SB ⊥ CA, SC ⊥ AB ASB = BSC = CSA Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) Chứng minh đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối diện vuông góc với hai cạnh b) Tính góc hợp cạnh đối tứ diện Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a , SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD ( M ≠ A, D ) Mặt phẳng (P) qua M song song với (SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a, x Bài Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cạnh Chứng minh AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′ III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa d ⊥ ( P ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ ( P ) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  a, b ⊂ ( P ) , a ∩ b ≠ ∅ ⇒ d ⊥ ( P)  d ⊥ a, d ⊥ b  Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm  a Pb ⇒ ( P) ⊥ b   P ⊥ a ( )   ( P ) P( Q ) ⇒ a ⊥ ( Q)   a ⊥ P ( )   a P( P ) ⇒b⊥a   b ⊥ P ( )  a ≠ b ⇒ a Pb    a, b ⊥ ( P )  ( P ) ≠ ( Q ) ⇒ ( P ) P( Q )   P , Q ⊥ a ( ) ( )   a ⊄ ( P ) ⇒ a P( P )   a, P ⊥ b ( )  Định lí ba đường vuông góc Cho a ⊥ ( P ) , b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi đó, b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng  Nếu d ⊥ ( P ) góc d với (P) 90°  Nếu d ⊥ P góc d với (P) góc d với d′ với d′ hình chiếu d (P) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt qua 90° VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC       Để chứng minh d ⊥ ( P ) , ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P) Chứng minh d ⊥ ( Q ) ( P ) P( Q ) Chứng minh d Pa a ⊥ ( P ) Để chứng minh d ⊥ a , ta chứng minh cách sau: Chứng minh d ⊥ ( P ) (P) chứa a Sử dụng định lí ba đường vuông góc Sử dụng phương pháp biết phần trước Bài Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vuông tâm O SA ⊥ ( ABCD ) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) , CD ⊥ ( SAD ) , BD ⊥ ( SAC ) b) Chứng minh AH ⊥ SC, AK ⊥ SC Từ suy ba đường thẳng AH, AI, AK thuộc mặt phẳng c) Chứng minh HK vuông góc với mặt phẳng (SAC) Từ suy HK vuông góc với AI Bài Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B, SA ⊥ ( ABC ) a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) b) Gọi AH đường cao tam giác |SAB Chứng minh AH ⊥ SC Bài Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a) Chứng minh SO ⊥ ( ABCD ) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC Chứng minh IJ ⊥ ( SBD ) Bài Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ ( AID ) b) Vẽ đường cao AH tam giác AID Chứng minh AH ⊥ ( BCD ) Bài Cho tứ điện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc O mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ ( OAH ) b) H trực tâm tam giác ABC 1 1 = + + c) 2 OH OA OB OC2 d) Tam giác ABC nhọn Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh ∆SIJ chứng minh SI ⊥ ( SCD ) , SJ ⊥ ( SAB ) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ Chứng minh SH ⊥ AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM ⊥ SA Tính AM theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) Chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) b) Chứng minh AC ⊥ SK, CK ⊥ SD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D SD = a a) Chứng minh SA ⊥ ( ABCD ) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với (HIJ) Chứng minh AK ⊥ ( SBC ) , AL ⊥ ( SCD ) c) Tính diện tích tứ giác AKHL Bài Cho ∆MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy hai điểm C, D hai bên điểm A Gọi C′ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC′ a) Chứng minh CC′ ⊥ ( MBD ) b) Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh K trực tâm ∆BCD Bài 10 Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh AB ⊥ CD ⇔ AC − AD = BC − BD VẤN ĐỀ 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Tìm hai đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với hai đường thẳng Bài Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang vuông A B với AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB, mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB Đặt AM = x ( ≤ x ≤ a ) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện hình gi? b) Tính diện tích thiết diện theo a, x Bài Cho tứ diện SABC có đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết diện Bài Cho tứ diện SABC với ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a M điểm tùy ý cạnh AB, đặt AM = x ( < x < a ) Gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn Bài Cho tứ diện SABC với ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (P) qua S vuông góc với BC b) (P) qua A vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC vuông góc với AB Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB SH = a) Chứng minh SB b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện? VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Để xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (P), ta cần:  Tìm giao điểm O d với (P)  Chọn điểm A ∈ d dựng điểm H hình chiếu vuông góc A (P) Khi đó, góc cần tìm · AOH Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, tâm O, SO ⊥ ( ABCD ) Gọi M, N trung điêm cạnh SA BC Biết góc đường thẳng MN với (ABCD) 60° a) Tính MN SO b) Tính góc MN với mặt phẳng (SBD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) d) AC (SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) Cạnh SC = a hợp với đáy góc α hợp với mặt bên góc β a) Tính SA b) Chứng minh AB = a cos ( α + β ) cos ( α − β ) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân, · AB = AC = a, BAC = α Biết SA, SB, SC hợp với đáy góc α Bài a) Chứng minh hình chiếu S (ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ΑΒC b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) Bài Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy tam giác cạnh a, AA′ ⊥ ( ABC ) đường chéo BC′ hợp với mặt bên ABB′A′ góc 30° a) Tính AA′ b) Tính khoảng cách trung điểm M AC đến ( BA′C′ ) IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng  a ⊥ ( P ) ¶b ⇒ (·P ) , ( Q ) = a,    b ⊥ ( Q ) ( ) ( )  Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c Từ I ∈ c dựng  a ⊂ ( P ) , a ⊥ c ¶b ⇒ (·P ) , ( Q ) = a,   b ⊂ ( Q ) , b ⊥ c ·  Chú ý: ≤ ( P ) , ( Q ) ≤ 90° ) ( ) ( ( ) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P) S′ diện tích hình chiếu ( H′ ) (H) (Q) góc (P) (Q) ϕ Khi đó, S′ = S cos ϕ Hai mặt phẳng vuông góc  Hai mặt phẳng vuông góc với góc chúng 90°  Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng có chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Tính chất   ( P ) ⊥ ( Q ) , ( P ) ∩ ( Q ) = c ⇒ a ⊥ ( Q)  a ⊂ P , a ⊥ c ( )   ( P ) ⊥ ( Q )  ⇒ a ⊂ ( P)  A ∈( P )   a ∋ A, a ⊥ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = a ⇒a ⊥( R)  P ⊥ R , Q ⊥ R ( ) ( ) ( ) ( )  VẤN ĐỀ 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau:  Tìm hai đường thẳng a, b cho a ⊥ ( P ) , b ⊥ ( Q ) Khi đó, góc cần tìm góc hai đường thẳng a b  Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c Từ I ∈ c , dựng  a ⊂ ( P ) , a ⊥ c Khi đó, góc cần tìm góc   b ⊂ ( Q ) , b ⊥ c hai đường thẳng a b Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân với AB = BC = a , SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc hai mặt phẳng (SEF) (SBC) Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O SA ⊥ ( ABCD ) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) 60° Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a a) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) Bài b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tâm O Biết a a SO = 3 a) Chứng minh tam giác SAC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: SA ⊥ ( ABCD ) , OB = a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG     Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta chứng minh cách sau: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh góc chúng 90° Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta chứng minh cách sau: Chứng minh d ⊂ ( Q ) với ( P ) ⊥ ( Q ) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) Chứng minh d = ( Q ) ∩ ( R ) với ( Q) ⊥ ( P) ,( R ) ⊥ ( P)  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Bài Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vuông góc với mặt BCD Vẽ đường cao BE, DF tam giác BCD, đường cao DK tam giác ACD a) Chứng minh AB ⊥ ( BCD ) b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với (ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC Chứng minh OH ⊥ ( ACD ) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) a) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SBD ) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c) Gọi BE DF hai đường cao tam giác SBD Chứng minh ( ACF ) ⊥ ( SBC ) , ( AEF ) ⊥ ( SAC ) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M, N hai điểm hai cạnh BC DC cho BM = góc a 3a , DN = Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh SI ⊥ ( ABCD ) , AD ⊥ ( SAB ) b) Tính góc BD với (SAD) c) Tính góc SD với (SCI) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm I cạnh a có góc a · SC ⊥ ( ABCD ) BAD = 60° , SC = a) Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC ) b) Trong tam giác SAC kẻ IK vuông góc với SA K Tính độ dài IK · c) Chứng minh BKD = 90° Từ suy ( SAB ) ⊥ ( SAD ) V KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng  d ( M, a ) = MH, d ( M, ( P ) ) = MH , H hình chiếu vuông góc M a (P) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song  d ( a, ( P ) ) = d ( M, ( P ) ) , M điểm nằm a  d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M, ( Q ) ) , M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b  Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách hai đường thẳng a, b  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Để dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b, ta thực cách sau: Giả sử a ⊥ b  Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A  Dựng AB ⊥ b B  AB đoạn vuông góc chung a b Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a  Chọn M ∈ a , dựng MH ⊥ ( P ) H  Từ H kẻ đường thẳng a′ Pa cắt b B  Từ B dựng đường thẳng song song với MH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a O  Dựng hình chiếu b′ b (P)  Dựng OH vuông góc với b′ H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Bài Cho tứ diện OABC, OA, OB, OC đôi vuông góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng OA BC, AI OC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: SC BD, AC SD Bài Cho tứ diện SABC có SA ⊥ ( ABC ) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy b) Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) , HK ⊥ ( SBC ) c) Xác định đường vuông góc chung BC SA Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng : NP AC, MN AP vuông góc với (ABCD) IS = VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng Bài Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) Cho hình chóp S.ABCD có SA = a 6, SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn có đường kính AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) song a Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ ( ABC ) AA′ = a , đáy song với (SAD) cách (SAD) khoảng Bài ABC tam giác vuông A BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA′ đến ( BCC′B′ ) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′BC ) c) Chứng minh AB ⊥ ( ACC′A′ ) tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng ( ABC′ ) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ C đến (SBD) b) Gọi M, N trung điểm AB, AD Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F cho biết AD cách (P) khoảng a Tính khoảng cách từ S đến (P) diện tích tứ giác BCEF Bài Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60° , nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD) b) Tính khoảng cách AC BD · Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a BAD = 60° Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO vuông góc với đáy 3a Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh ( SOF ) ⊥ ( SBC ) b) Tính khoảng cách từ O A đến mặt phẳng (SBC) SO = [...]...  AB là đoạn vuông góc chung của a và b Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O  Dựng hình chiếu b′ của b trên (P)  Dựng OH vuông góc với b′ tại H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A  AB là đoạn vuông góc chung của a và b Bài 1 Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB...    Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Chứng minh trong mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia Chứng minh góc giữa chúng bằng 90° Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Chứng minh d ⊂ ( Q ) với ( P ) ⊥ ( Q ) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)... đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P) S′ là diện tích hình chiếu ( H′ ) của (H) trên (Q) và góc giữa (P) và (Q) là ϕ Khi đó, S′ = S cos ϕ 3 Hai mặt phẳng vuông góc  Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°  Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trên mặt phẳng này có chứa một đường thẳng nào đó vuông góc với mặt phẳng kia 4 Tính chất   (... phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2 và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: SA ⊥ ( ABCD ) , OB = a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG  ... vuông 2 4 Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm của AB a) Chứng minh rằng SI ⊥ ( ABCD ) , AD ⊥ ( SAB ) b) Tính góc giữa BD với (SAD) c) Tính góc giữa SD với (SCI) Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm I cạnh a và có góc a 6 · và SC ⊥ ( ABCD ) BAD = 60° , SC = 2 a) Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC ) b) Trong. .. ) , trong đó M là một điểm bất kì nằm trên (P) 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b  Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b  Độ dài đoạn IJ gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong. .. với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau Bài 2 Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với mặt BCD Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD a) Chứng minh AB ⊥ ( BCD ) b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c) Gọi O và H... lần lượt chứa hai đường thẳng đó VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể thực hiện một trong các cách sau: Giả sử a ⊥ b  Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A  Dựng AB ⊥ b tại B  AB là đoạn vuông góc chung của a và b Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a  Chọn... R , Q ⊥ R ( ) ( ) ( ) ( )  VẤN ĐỀ 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:  Tìm hai đường thẳng a, b sao cho a ⊥ ( P ) , b ⊥ ( Q ) Khi đó, góc cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng a và b  Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c Từ I ∈ c , dựng  a ⊂ ( P ) , a ⊥ c Khi đó, góc cần tìm chính là góc   b ⊂ ( Q ) , b ⊥ c giữa hai đường... SK, BC đồng quy b) Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) , HK ⊥ ( SBC ) c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA Bài 4 Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm của AB Dựng IS a 3 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các 2 cạnh BC, SD, SB Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng : NP và AC, MN và AP vuông góc với (ABCD) và IS = VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng,