VẺ ĐẸP CỦA VECTƠ QUA LỜI GIẢI NHỮNG ĐỀ THI HAY VÀ KHÓ Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hàng năm, thường xuyên xuất tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để giải tốn như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, dùng lượng giác, dùng hàm số, dùng bất đẳng thức,…Bài viết giới thiệu phương pháp để giải toán thế, ‘‘Phương pháp Vectơ ” qua cho ta hướng suy luận cách xây dựng lớp toán A Kiến thức trọng tâm rr r r Cho hai vectơ a , b a ≠ Điều kiện cần đủ để hai vectơ phương r r ∃k ∈ ¡ , k ≠ : b = ka ( ) 2.Tích vô hướng rr r r rr r r Cho hai vectơ a b , ta có a.b = a b cos a , b ( ) Hệ r rr r r r • a.b ≤ a b ( 1) dấu đẳng thức xẩy a ↑↑ b r r a = x ; y , b • Nếu ( 1 ) = ( x2 ; y2 ) x1x2 + y1 y2 ≤ ( x12 + y12 ) ( x22 + y22 ) (Đây bất đẳng r r thức Bunhiacopsky dạng hình học) Dấu đẳng thức xẩy a || b r r r r r r • a + b ≤ a + b ( ) dấu đẳng thức xẩy a ↑↑ b r r r r r a − b ≥ a − b ( 3) dấu đẳng thức xẩy ar ↑↑ b • r r r r r a − b ≤ a + b ( ) dấu đẳng thức xẩy ar ↑↓ b • • Từ ( ) , ( 3) , ( ) ta có bất đẳng thức đại số tương ứng 1) ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) ≤ x12 + y12 + x22 + y22 (bất đẳng thức Mincopxki) 2) ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) ≥ x12 + y12 − x22 + y22 3) ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) ≤ x12 + y12 + x22 + y22 2 B ÁP DỤNG GIẢI TOÁN I Sử dụng phương pháp vectơ chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1.(Đại học khối A năm 2003) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh 1 a + + b + + c + ≥ 82 a b c r  1 r  1 r  1 r r r  1 1 Giải Xét vectơ u =  a; ÷; v =  b; ÷; w =  c; ÷⇒ u + v + w =  a + b + c; + + ÷ a b c  a  b  c  1 ( a + b + c ) +  + + ÷ a b c r r r r ⇒ ur = a + ; vr = b + ; w = c + ;u +v +w = a2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức vectơ u + v + w ≥ u + v + w bất đẳng thức AM − GM ta có: 1 a + + b2 + + c2 + ≥ a b c 2 1 ( a + b + c ) +  + + ÷ a b c 2   ≥ ( a + b + c) +  ÷ a+b+c ( a + b + c) = ≥ 2+ + ( a + b + c) + 80 ( a + b + c) 80 = 82 12 1 r r r  u ↑↑ v ↑↑ w a : b : c = : : ⇔ a b c ⇔a=b=c= Dấu đẳng thức xẩy ⇔  a + b + c = a + b + c = Ví dụ 2.( Đề dự bị đại học Khối A năm 2010) Cho số thực a chứng minh rằng: ( ) ( ) a + − a + + a + + a + + a − 2a + ≥ Giải Bổ đề: với x, y , z , t ∈ ¡ ta có x + y + z + t ≥ ( x + z ) + ( y + t ) Dấu ' ' =' ' xẩy ⇔ xt = yz (chứng minh biến đổi tương đương dùng véc tơ) Áp dụng bổ đề ta có: 2 ) ( ) 2  1−   1−  1+  1+  VT =  a + ÷ + ÷ +  ÷ + a + ÷ + a − 2a + 2         ≥ ( a +1− + a +1+ = a + a + + a − 2a + ≥ + a − 2a + ( a + ) + 22 + ( − a ) + 12 ≥ 32 + 32 = = VP  −  1+  1+ 1−  a + =  a +    2 2     2 ⇔ a =0 Dấu đẳng thức xẩy ⇔  2a + 4a + = ( a + 2) + ( a + ).1 = 2.(1 − a )    Ví dụ 3.(KS ĐH 2013-CVP) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x + y + z = 40 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + + y + 16 + z + 36 Giải Ta có: S = ( x ) + 22 + ( y ) + 122 + z + 62 r r r r r r Xét vectơ u = ( x;2 ) ; v = ( y;12 ) ; w = ( z;6 ) ⇒ u + v + w = ( 40;20 ) Từ ta có: r u = ( 2x) r + 22 ; v = ( 3y) r r r r + 122 ; w = z + 62 ; u + v + w = 402 + 20 = 20 Áp dụng bất đẳng thức vectơ u + v + w ≥ u + v + w ta có: S= ( x ) + 22 + ( y ) + 122 + z + 62 ≥ 20 Dấu dấu đẳng thức xẩy ⇔ r r r  2x y z u ↑↑ v ↑↑ w = >0  = ⇔  12 ⇔ x = ; y = 8; z = 12  x + y + z = 40  2 x + y + z = 40 Vậy, giá trị nhỏ biểu thức S 20 đạt x = ; y = ; z = 12 Ví dụ 4.(ĐH NT A 1998 ) Cho x, y, z số thực thỏa mãn hệ phương trình  x + xy + y = 16 Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤  2 y + yz + z =  2    x    + y ÷ +  x ÷ = 16     Giải Từ giả thiết ta có:  2    z  z÷ + + y÷ =    2  x r  z r x ;v =  z; + Xét : u =  + y ; ÷ ÷ 2 2    r x Và u =  + 2  rr x y ÷ ⇒ u v =  + 2  2   z r    y÷ + x÷ = , v =  z÷ + +      2  z  y÷ z + + y÷ x  2  2  y÷ =  rr r r Áp dụng bất đẳng thức u v ≤ u v ta có: x ⇔ + 2  z y÷ z + +  2  y ÷ x ≤ ⇔ xy + yz + zx ≤  r r x Dấu ' ' =' ' xẩy u ↑↑ v ⇔  + 2 z  3x y ÷: = z : +  2  y ÷  Lời bình Qua ví dụ cho thấy việc sử dụng phương pháp vectơ để chứng minh bất đẳng thức cho ta lời giải ngắn, gọn tránh việc biến đổi đại số phức tạp  Bài luyện tập Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c ≤ a2 + Chứng minh 1 17 + b2 + + c2 + ≥ a b c 2 Chứng minh ( ) ( ) x + + x + + x + − x + + x − x + ≥ với x ∈ ¡ (VMO 1998) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau, với x, y ∈ ¡ F ( x, y ) = ( x + 1) + ( y − 1) + ( x − 1) + ( y + 1) + ( x + ) + ( y + ) Cho a, b, c > thỏa mãn : ab + bc + ca = abc Chứng minh b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ ab bc ca Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( a , b, c ) = ( a + b ) + 2 a+b+c + c2 + + ab c 2ab + c 2 a + b = Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn hệ phương trình  c + 2c ( a + b ) = Tìm giá trị lớn biểu thức : P = c ( b − a ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau, với x, y ∈ ¡ F ( x, y ) = x + y − y + + x + y + 3x + y + + x + y − 3x + y + 2 Cho x, y ∈ ¡ : x + y = 169 Tìm giá trị lớn biểu thức F ( x, y ) = 24 y + 10 x + 338 + 24 y − 10 x + 338 9.( Đại học khối B năm 2006) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ F ( x, y ) = ( x − 1) + y + ( x + 1) + y + y − 10 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: b) a + ab + b + b + bc + c > c + ca + a 2 biểu thức: c) II a − ab + b + b − bc + c > c + ca + a d) a − ab + b + b − bc + c > c − ca + a Sử dụng phương pháp vectơ để giải phương trình, bất phương trình (1) Giải ( − x) ⇔ ( ) ( 1) x − x + 816 + x + 10 x + 267 = 2003 Ví dụ Giải phương trình: ( + 20 ) ( ( x + 5) + ) ( + 11 ( ) = 2003 ) r r r r Đặt u = − x;20 , v = x + 5;11 ⇒ u + v = 9;31 r u = ( − x) ( ) r + 20 , v = ( x + 5) ( ) ( r r + 11 , u + v = 92 + 31 ) = 2003 r r r r Áp dung bất đẳng thức u + v ≥ u + v ta có: ( − x) ( + 20 ) + ( x + 5) ( + 11 ) ( 2) ≥ 2003 Dấu đẳng thức ( ) xẩy u ↑↑ v ⇔ Vậy, phương trình có nghiệm là: x = − 4− x x+5 56 = >0⇔ x=− 31 20 11 56 31 Ví dụ Giải phương trình: 10 − 3x − x + 18 − x − x = 77 Giải ( 3) ⇔ ( + x )( − x ) + ( − x )( + x ) = 77 r r Điều kiện: −5 ≤ x ≤ ( *) Đặt u = + x ; − x ; v = ( ) ( ( 3) 2− x ; 9+ x ) rr ⇒ u v = ( + x ) ( − x ) + ( − x ) ( + x ) r r u v = ( + x ) + ( − x ) ( − x ) + ( + x ) = 77 rr r r Áp dụng bất đẳng thức u v ≤ u v ta có: r r Dấu ' ' =' ' ( ) xảy ⇔ u ↑↑ v ⇔ ( + x) ( − x) + ( − x) ( + x) 5+ x 2− x Vậy, phương trình có nghiệm nhất: x = − = ≤ 77 ( 4) 2− x 41 > ⇔ x = − (thỏa mãn ( *) ) 18 9+ x 41 18 x − 18 x + 36 x − x = + x r 2  u 9 x ( x − ) ≥  = x − 18 x ; 36 x − x ⇔ ≤ x ≤ Xét  r Giải Điều kiện:  9 x ( − x ) ≥ v = ( 1;1) r r  u = x − 18 x + 36 x − x = x, v =  ⇒ r r 2 u.v = x − 18 x + 36 x − x rr r r Áp dụng bất đẳng thức u v ≤ u v ta có: x − 18 x + 36 x − x ≤ x ≤ + x r r u ↑↑ v  x3 − 18 x = 36 x − x ⇔ ⇔ ⇔ x = Dấu ' ' =' ' xảy   2 x = + x 6 x = + x  Ví dụ Giải phương trình: ( ) Phương trình có nghiệm nhất: x = Ví dụ Giải phương trình: x + x + − x = + x Giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ r r r u = ( x;1)  u = + x , v = x + + − x = ⇒ r r Xét  r v = x + 1; − x  u.v = x + x + − x rr r r Áp dụng bất đẳng thức u v ≤ u v ta có: x + x + − x ≤ + x ( ) r r Dấu đẳng thức xẩy ⇔ u ↑↑ v ⇔ x = > ⇔ x = 1∨ x = 1+ 1+ x 3− x Phương trình có hai nghiệm là: x = ; x = + Ví dụ Giải bất phương trình: x − + x − ≥ x − 10 x + 16 ( 5) Giải ( 5) ⇔ x − + x − ≥ 2( x − 3) + 2( x − 1) ( 5') Điều kiện: x ≥ ( *) r rr 2 r ur = x − 1; x −  u = ( x − 3) + x − , v = ⇒ u v = ( x − 3) + ( x − 1) ⇒ Xét  r rr v = ( ;1) u v = x − + x − ( ) Bất phương trình ( 5') ⇔ u.v ≥ u v ( 6) Mặt khác ta có bất đẳng thức: u.v ≤ u v ( ) r r Từ ( 6) ( ) suy u.v = u v Đẳng thức xẩy ⇔ u ↑↑ v ⇔ x −1 x − = >0 1 ⇔ x = (thỏa mãn ( *) ) Vậy, bất phương trình có nghiệm x = Lời bình Qua ví dụ việc sử dụng phương pháp vectơ vào việc giải phương trình , bất phương trình cho ta lời giải ngắn, gọn giảm nhiều việc biến đổi cồng kềnh, phức tạp  Bài luyện tập Giải phương trình, bất phương trình sau 2x2 − 6x + + − x ≤ x x + 12 x + + x − 12 x + = 29 ) ( ) x + + − x ≥ 330 x2 + x + + x2 − x + = x − x + + x − 10 x + 26 ≤ x − 3x − x + 13 − x − x + = 10 x − x + − x − 10 x + 50 = − x − + ( − x ) − x = x − x + 10 ( 10 III ( x2 + + x + + x2 + − x + + x2 − x + ≤ ) x − x + + x + 12 x + 25 = x + 12 x + 29 11 x − x + 19 + x + x + 13 + 13 x + 17 x + = 3 ( x + ) 12 11x − 14 x + + 11x − x + + 17 x + x + = ( x + ) 13 − x2 + − 1  = 4−x + ÷ x x  14 − x2 + − 1 1 +  x + ÷= x2 − x + x 2 x Sử dụng phương pháp vectơ để giải hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình:  x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 (Đại học An Ninh A năm 2000)  2 x + x + y + − x + y + x + y + − y =  Giải Hệ phương trình cho tương đương với (8)  x + x + y + + y + x + y + = 10  x + + y + = 10 ⇔   x + y =  x + y = (9) r  ur = x + u = ( x;3)  r r ⇒  v = y2 + Xét v = ( y;3) r r r r 2 u + v = ( 8;6 )  u + v = + = 10 Áp dụng bất đẳng thức vectơ u + v ≥ u + v ta có: x + + y + ≥ 10 (10) x = r r x y Dấu đẳng thức (10) xẩy ⇔ u ↑↑ v ⇔ = > , kết hợp với ( 9) suy  3 y = x = thoả mãn hệ phương trình y = Thử lại thấy  Vậy, hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x, y ) = ( 4,4 ) Ví dụ 2.(Đề hsg 12 Bà Rịa Vũng Tàu - 2011) Giải hệ phương trình:  x + + y − =   x + + y + = Giải Điều kiện x ≥ −2; y ≥ ( *) Đặt x + = a , a + b = 2  a + + b + = (11) (12) Ta có hệ phương trình:  Xét ( ( ) ) r ur = a ; u = a +5  r r ⇒  v = b2 + v = b ; r r  u + v = 4;2  ur + vr = 42 +   ( ) y − = b , ( a ≥ 0, b ≥ ) ( ) =6 Áp dụng bất đẳng thức vectơ u + v ≥ u + v ta có: a + + b + ≥ (13) a a = b = > , kết hớp với (11) ta  Dấu ' ' =' ' (13) xẩy ⇔ u ↑↑ v ⇔ 5 b =  x + = x = ⇔ Từ đó, ta có:  (thỏa mãn ( *) )  y − = y = Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;6 ) Ví dụ 3.(Đề Đại học khối A - 2014) Giải hệ phương trình: ( )  x 12 − y + y 12 − x = 12   x − x − = y − (14) (15) Giải Điều kiện : −2 ≤ x ≤ ;2 ≤ y ≤ 12 (14) ⇔ x ( 12 − y + y 12 − x = 12 (14') ) ( r r Xét u = x; 12 − x , v = ) r r 12 − y ; y ⇒ u = 12, v = 12 Áp dụng bất đẳng thức u.v ≤ u v tao có: x 12 − y + y 12 − x ≤ 12 (16) x > x 12 − x = >0⇔ x2 12 − y y  y = 12 −(17) Dấu đẳng thức (16) xẩy ⇔ u ↑↑ v ⇔ Thay (17 ) vào (15) ta được: ) ( x − x − = 10 − x ⇔ x − x − + − 10 − x =   ( x + 3) ⇔ ( x − 3)  x + x + +  4 44 214+ 410 −43 x2  > ( x > )   ÷ ÷= ⇔ x − = ⇔ x = ÷ ÷  Thay x = vào ( 17 ) ta y = Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm hệ phương trình là: ( x; y ) = ( 3;3) Ví dụ 4.(Đề HSG 12 Trần Phú -2015 ) Giải hệ phương trình:  x + xy + y + x + xy + y = 3( x + y )  ( y − 22 ) x − = ( + y − ) y + x − + ( (18) (19) ) Giải Điều kiện : x ≥ ; y ≥  (18) ⇔  x + y  +  59  2  2     59  y  +  y + x +  x  = 3( x + y )      r  59  y; y÷ u =  x + 2 r 5     u = x + xy + y ⇒r Xét    59 r  v = x + xy + y v =  y + x; x ÷    ,  r r  11 59 u +v = ( x + y) ; ( x + y ) ÷ ur + vr =  121 + 59 ÷( x + y ) = 3( x + y )  20 20  2  Áp dụng bất đẳng thức vectơ u + v ≥ u + v ta có: x + xy + y + x + xy + y ≥ 3( x + y ) ( 20) r r Dấu đẳng thức ( 20) xÈy ⇔ u ↑↑ v ⇔ x = y ( )( ) Thay y = x vào (19) ta được: ( x − 22 ) x − = + x − x + x − + ( ) f ( t) = t( t ( + 2) = t ⇔ x − 12  x − 12 + 1 = + x −   Xét hàm số )(2 + ) x − + 1 ( 21)  + 2t ; ∀t ≥ ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > ( ∀t ≥ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến khoảng [ 2;+∞ ) Phương trình ( 21) ⇔ f ( ) ( ) x − 12 = f + x − ⇔ x − 12 = + x − ⇔ x = ⇒ y = x − 12 = x − ⇔ x − 88 x + 208 = ⇔  52 52 (thỏa mãn điều kiện) x = ⇒y= 9   52 52  Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 4;4 ) ( x; y ) =  ; ÷  9   x + y − 3z = Ví dụ Giải hệ phương trình:  2  − x + − y + 25 − 9z = 1 5 ≤ y≤ ,− ≤ y≤ 2 3 r + x ; + y ; − 3z , v = − x ; − y ; + 3z ( *) ( **) Giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2, − r Xét u = ( ) ( )  ur = + x + + y + − 3z = 12 =  r ⇒  v = − x + − y + + 3z = = , áp dụng bất đẳng thức u.v ≤ u v ta có: r r 2 u.v = − x + − y + 25 − z − x + − y + 25 − z ≤ (***) r r Từ ( **) , ( ***) suy dấu đẳng thức xẩy khi: u ↑↑ v  2+ x 1+ 2y − 3z = = >0  5  ⇔  2− x ⇔  x = ; y = ; z = −  ( thỏa mãn điều kiện) 1− 2y + 3z 6   x + y − 3z =   5 Vậy, nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) = 1; ; − ÷  6  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau 10 vào ( ) ta được: − y + y2 + − − y = ) ) 1− − 2y ( − − y − = ⇔ y ( y − 2) + ⇔ y2 − y + ( − − y − = ⇔ y ( y − 2) + (    y − 2)  y + − − 2y +1 1+ − 2y   4 4 44 4 4 4 43 > ( y >0)  )( ( ( 1− − 2y ⇔ y − 2y + 2 ) ) − − 2y +1 ( ) − − 2y +1 =0 =0     = ⇔ y = ⇒ x = ( thỏa mãn )    Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0,5 ; ) Nhận xét: Đây tốn khó, trước hết học sinh phải nhận xét phương trình thứ có dạng a + a = b3 + b ⇒ a = b Sau vào phương trình ( ) ta g ( x ) = , với g ( x ) hàm số liên tục đơn điệu tập xác định theo cách giải thứ hai chuyển phương trình ẩn y , dùng phương pháp liên hợp đẹp  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 1)   y x + + ( y + ) x + 10 = y + x ( )( ) ( 3 x + y + = ( y − x ) y + xy + x +  2)  ( x + y − 13) y − 14 − x + =   ( )  x + x2 + y + y + =  3)   x + − x = y − − y + ( x + 1) x + ( y − 1) − y = 4)  2 4 x + y + y + − x =  x − y + x − y − 28 y = 30 5)   2x + + x = y x −1  3 =0  x − x − y − y − y − + ln y +1 6)   y log ( x − 3) + log y  = x +  Ví dụ 3.(Khối B - 2010) Giải phương trình: x + − − x + x − 14 x − = ) ( *) Phân tích tìm lời giải Điều kiện : − ≤ x ≤ Gặp dạng phương trình này, ta thường nhẩm nghiệm ta thấy phương trình có nghiệm x = , ta nghĩ đến dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung ( x − ) 14 Thật vậy, phương trình ( *) ⇔ 3( x − 5) ⇔ + ( x − 5) 3x + + + − x ( ) ( ) 3x + − + − − x + x − 14 x − = + ( x − ) ( x + 1) =   ⇔ ( x − 5)  + + 3x + 1 = ⇔ x − = ⇔ x = +444412+ 464− 4x 4 43 (thỏa mãn điều kiện) 1 43x4+ ( > ∀x∈− ;6    ) Vậy, phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Đây toán tương đối khó, trước hết học sinh phải nhận xét phương trình có nghiệm x = sử dụng dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung ( x − ) , sau khẳng định phần cịn lại ln dương tập xác định phương trình  Bài luyện tập Giải phương trình sau 1) 5x − + x + = − x 2) 3) x + 35 = x + 24 + x − 4) x − x + + x + = x − + x ( ) 5) ( x − 1) x − + 3 x + = x + x − + − x + x − = x2 − 5x 6) x + + 22 − 3x = x + 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ( 1) Ví dụ 4.(Khối A - 2011) Giải hệ phương trình:  2 ( 2)  xy ( x + y ) + = ( x + y ) Phân tích tìm lời giải Quan sát phương trình ( ) ta chuyển vế biến đổi đưa 2 dạng phương trình tích: ( xy − 1) ( x + y − ) = ⇔ xy = x + y = • xy = kết hợp với ( 1) ⇒ y − y + = ⇒ y = ±1 ⇒ ( x; y ) ∈ { (1;1) , ( − 1;−1)} 2 2 2 • x + y = kết hợp ( 1) ⇒ y ( x + y ) − xy + x y − ( x + y ) = ⇔ y − xy + x y − ( x + y ) = ⇔ ( − xy ) ( y − x ) = ⇔ xy = y = x - Nếu xy = : xét  5   5   ; , − ; − - Nếu x = y , từ x + y = ⇒ ( x; y ) =  ÷ ÷ 10    10 10   10  2 5  5  ,  −  ; ; −   10  10 10 10     Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) ∈ (1;1) , ( − 1;−1) ,   Nhận xét: Đây tốn mức độ trung bình, trước hết học sinh phải nhận phương trình ( ) đưa phương trình tích 15  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau:  x3 − x y − y + xy = 1)   x − y + x + y =  x3 + y = y + 16 x 2)  2 1 + y = ( + x ) 2  x − x y + x y = 3)   x y − x + xy = −1 ( x − y ) ( x + y ) = 13  4)  2 ( x + y ) ( x − y ) = 25  x + y − y = ( x + 1) ( y − 1)  6)   3x − − y = x + y − 12   xy + y + = x ( x + ) 5)   x + y + = y − 2 Ví dụ 5.(Khối B - 2011) Giải phương trình: + x − − x + 4 − x = 10 − x ( *) Giải Điều kiện −2 ≤ x ≤ Cách giải thơng thường: Khi đó, ( *) ⇔ ( ) + x − 2 − x + 4 − x = 10 − x ( **) Đặt t = + x − 2 − x (**) ⇔ 3t = t ⇔ t = t = (thỏa mãn điều kiện) • t =0 ⇒ + x = 2 − x ⇔ + x = 4( − x) ⇔ x = • t =3 ⇒ + x = 2 − x + (vô nghiệm VT ≤ < ≤ VP, ∀x ∈ [ −2;2] ) Vậy, phương trình có nghiệm x = Cách giải sáng tạo Quan sát đề ta đưa phương trình tích với hai ẩn phụ a = x + , b = − x a = + x , ( a ≥ ) ab = − x ⇒ Đặt  b = − x , b ≥ ( ) a + 4b = 10 − 3x  2 Phương trình ( *) trở thành: 3a − 6b + 4ab = a + 4b ⇔ ( a − 2b ) ( a − 2b − 3) =  + x = 2 − x ⇒ x =  a − 2b =  a = 2b ⇔ ⇔ ⇔  a − b − = a = b +    + x = 2 − x + ( − VT ≤ < ≤ VP ) Vậy, phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Đây tốn mức độ trung bình, trước hết học sinh phải biết cách đặt ẩn phụ (1 ẩn hay ẩn phụ), sau biến đổi tương đương để giải 16  Bài luyện tập Giải phương trình sau 3) )( ( 2) x = 2016 + x − − x 1) + x − − x − − x = + x ) 3 x − + x − = x − + x − x + 4) ( x + ) = x + ) ( 2 5) x + − x + x = + x + 6) x + x − = x − x + Ví dụ 6.(khối D - 2011) Giải phương trình: log ( − x ) + log ( ) + x + − x − = ( *) Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ Cách giải thông thường: Khi đó, ( *) ⇔ log ( − x ) = log  ⇔ − x2 = ( ) ( + x + − x ⇔ ( − x ) = 16 + − x 2 ( ) 1+ x + 1− x   ) ( **) Đặt t = − x , ( ≤ t ≤ 1) , phương trình ( **) trở thành: (7+t ) 2 = 32 ( t + 1) ⇔ t + 14t − 32t + 17 = ⇔ ( t − 1) ( t + 2t + 17 ) = ⇔ t = ⇔ − x = ⇔ x = (thỏa mãn diều kiện) Vậy, phương trình có nghiệm x = Cách giải sáng tạo: Nhẩm nghiệm ta thấy phương trình có nghiệm x = , ta nghĩ đến dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung x ( *) ⇔ − x = ( ⇔8 ( ( ) 1+ x + 1− x ⇔ ) ( ) + x + − x − + x2 =  + x = ⇔ x 1 −  1+ x + 1− x +  − x2 − ) ( 1+ x + 1− x + )(  =0  − x2 +   )    + x + − x + − x2 + −    ⇔ x2  =0⇔ x=0 + x + − x + − x +    4 4 4 2≥0 4 4 4  ( (do ( )( ( 1+ x + 1− x + )( ) )( ) ) − x + − = ⇔ x = , theo bất đẳng thức AM − GM ) Vậy phương trình có nghiệm x = 17 Nhận xét: Đây tốn tương đối khó với học sinh khối D, trước hết học sinh phải nắm tính chất phép tốn lơgarit , sau biến đổi tương đương đưa phương trình đa thức để giải cách hay dùng liên hợp  Bài luyện tập Giải phương trình sau 1) 3) 3 log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) , 2) log ( x − 1) + log 4 x + 14 x + − x − x − 20 = x + 5) x + 2x x2 − =3 ( x − 1) = 4) 2 x + + − x = x + 16 6) + x + − x ≤ − x2  x3 − x − x + 22 = y + y − y ( 1)  Ví dụ 7.(Khối A-2012) Giải hệ phương trình:  2 ( 2) x + y − x + y =  Phân tích tìm lời giải • Nhận thấy ( 1) có x y lập sang vế, bậc đa thức với biến x y , ta biến đổi ( 1) theo phương pháp “ hàm đại diện ” x − 3x − x + 22 = y + y − y ⇔ ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 y ( ) 3 • Xét hàm số f ( t ) = t − 12t , t ∈ ¡ có f ' ( t ) = 3t − 12 Ta thấy f ( t ) hàm số đơn điệu ¡ , ta cần tìm điều kiện chặt chẽ biến t sau: • Từ ( ) ta biến đổi chút thấy  1  x − ÷ ≤ 2 2  1  1  2 x + y − x + y = ⇔  x − ÷ +  y + ÷ =1⇒  2  2  2 1  ≤1  y + ÷    − ≤ x − ≤  ⇒−3 ≤t≤ ⇔ 2 − ≤ y + ≤  2 3 • Như với điều kiện t : − ≤ t ≤ ⇒ f ′ ( t ) < ⇒ f ( t ) hàm số nghịch 2 biến 18 • Vậy từ ( 3) ⇒ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − , thay vào phương  x= ⇒ y=−  2 trình ( ) biến đổi ta được: x − x + = ⇔  x = ⇒ y = −  2     Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) ∈  ;− ,  ;−   2 2  Nhận xét: Đây tốn tương đối khó với học sinh, trước hết học sinh phải cô lập x y sang vế, bậc đa thức với biến x y , ta biến đổi ( 1) theo phương pháp “ hàm đại diện ”, kết hợp với điều kiện có nghiệm từ phương trình ( ) tạo nên tập xác định hàm đại diên chặt chẽ , để chứng tỏ hàm đại diện đơn điệu từ tìm mối liên hệ x y Chú ý ngồi cách giải bạn cịn giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ cách giải tương đối dài  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau  x − y + 17 x − 32 y = x − y − 24 1)  ( y + ) x + + ( x + ) y − x + = x + y +  x ( x + y ) = y ( y + 1)   x + + y + = 2) 2 x ( x + 1) + y ( y + 1) = y + 32 3 ( x − y ) + 20 x + xy + y + 39 x = 100  3)  4)  2  x + y + xy − x − y + = x + y − x + y =    x − y − 3x − y + = 5)  2 x − + y − = ( x − x + ) ( y − y + ) = 18 5)  2  x + y + xy − x − y + 14 = Ví dụ 8.(Khối B-2012) Giải bất phương trình: x + + x − x + ≥ x ( 1) Phân tích tìm lời giải Điều kiện: ≤ x ≤ − x ≥ + • Nhận xét x = nghiệm bất phương trình • Với x > chia hai vế ( 1) cho Đặt x + x ta được: 1 + x+ −4 ≥3 x x ( 2) = t ( ) trở thành: x 3 − t < t + t −6 ≥3⇔ t −6 ≥3−t ⇔  t − ≥ x+ 3 − t ≥ 2 t − ≥ ( − t ) 19 ⇔ t > x+ ⇒ 5 ≤t ≤3⇔t ≥ 2  x ≥2 x ≥ ≥ ⇔ ⇔  x≤1 0 < x ≤ x    1 Kết hợp với x = ta tập nghiệm bất phương trình : S = 0;  ∪ [ 4; +∞ )  4 Nhận xét: Đây tốn tương đối khó với học sinh khối B, giống đề thi khối A năm 2010  Bài luyện tập Giải phương trình, bất phương trình sau 1) x + x − x = x + 3) x − 3x + ( x + 2) 5) x − 3x + = − − 6x ≤ x + x2 + ( )( 2) x ≥ − x x − x + x−x 4) ( x + x + 1) − 6) x + x > 11 + ) 0, ∀t ≥ ⇒ f ( t ) hàm đồng Như với  t4 + y ≥ biến khoảng [ 0;+∞ ) ( 3) ⇔ f ( x − 1) ( ) x − = f ( y ) ⇔ x − = y ⇔ x = y + Thay vào ( ) ta được: + y ( x − 1) + y − y = ⇔ y + y + y − y = ⇔ ( y − y ) + ( y − y ) + ( y − y ) = ⇔ y ( y − 1) + y ( y − 1) + y ( y − 1) =    y =1⇒ x = 2  ⇔ y ( y − 1) y ( y + y + 1) + y ( y + y + 1) +  = ⇒  (thỏa mãn ( *) )  4 4 44 4 4 43  y = ⇒ x =    >0 Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) ∈ { (1;0) , ( 2;1)} 21 Nhận xét: Đây tốn tương đối khó với học sinh, trước hết học sinh phải cô lập x y sang vế, ta biến đổi ( 1) theo phương pháp “ hàm đại diện ”, kết hợp với điều kiện có nghiệm từ phương trình ( ) tạo nên tập xác định hàm đại diên chặt chẽ, để chứng tỏ hàm đại diện đơn điệu từ tìm mối liên hệ x y Sau vào phương trình ( ) thành phương trình đa thức bậc nhẩm nghiệm đưa phương trình tích  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau ( )( )  x + x2 + y + y2 + =  1)  3  12 y − 10 y + = x +  y − x − y + 3x + = 1* )  2  y + y − y + = 3x + x +  x − y + x − y = 3x + 2)   x + y + 19 = 3x + + y + 14  x + xy = y14 + y 3)   y + + x = − y − ( ) 2 − x y + xy − y + = − − x y  4) (Dự bị Khối B năm 2010)   x − y + x =  y + y = x + 3x + x + 5)   − x − y = − y −  x ( y + 1) + ( x + 1) x =  6)  2 x y + y + = x + x +  ( ) Ví dụ 11.(Khối B-2013) 2 x + y − xy + x − y + = Giải hệ phương trình:  2 4 x − y + x + = x + y + x + y ( 1) ( 2) Phân tích tìm lời giải Điều kiện x + y ≥ x + y ≥ 2 Ta có: ( 1) ⇔ y − ( x + ) y + x + 3x + = Ta xem phương trình bậc hai 2 theo y có biệt thức ∆ = ( 3x + ) − ( x + 3x + 1) = x 3x + + x  y = = 2x +  Do đó: ( 1) ⇔   y = 3x + − x = x +  • Với y = x + thay vào phương trình ( ) ta được: x − ( x + 1) + x + = x + + x + ⇔ x + + x + + x − = ( ) Ta nhẩm thấy phương trình ( 3) có nghiệm x = , ta nghĩ đến dùng 22 phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung x ( 3) ⇔ ( ) ( 4x +1 −1 +    ÷  ÷ 9 x + − + 3x = ⇔ x  + + ÷= + 14+ 44 94x + 44+42 43 ÷  44x 1   ÷ > 0 ∀x >− ÷ 4    ) ⇔ x = ⇒ y = Vậy ( x; y ) = ( 0;1) nghiệm hệ phương trình • Với y = x + thay vào phương trình ( ) ta được: x − ( x + 1) + x + = x + + x + ⇔ x − x + = 3x + + x + ( ) Ta nhẩm thấy phương trình ( ) có hai nghiệm x = 0, x = , ta nghĩ đến phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung x ( x − 1) = x − x ( Chẳng hạn x + = mx + n ( *) thay x = 0; x = vào đẳng thức ( *) ta n = ⇒ m = n = , tương tự với hệ phương trình:  m + n = Phương trình ( ) ⇔ 3( x − x ) + ( x + 1) − x + = m′x + n′ …) 3x +  + ( x + ) − x +  =       ( x2 − x ) 3 + ( x + 1) +1 3x + + ( x + ) +1 x +  = ⇔ x − x = ⇔  4 4 4 4 4 4 43    1  >0 ∀x >− ÷     x = ⇒ y =1 x =1⇒ y =  Vậy ( x; y ) = ( 0;1) , ( x; y ) = ( 1;2 ) nghiệm hệ phương trình Kết hợp hai trường hợp ta nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( 0;1) , ( x; y ) = ( 1;2 ) Nhận xét: Đây tốn tương đối khó với học sinh khối B, trước hết học sinh cần tìm mối liên hệ x y cách coi phương trình bậc hai biến coi biến lại tham số , bước sau sử dụng phương pháp liên hợp hai nghiệm phương trình x = 0, x = với suy nghĩ giản dị  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau  x − y + x − y = 3x + 1)   x + y + 19 = 3x + + y + 14  x + xy = y14 + y 2)   y + + x = − y − 23 2 y + y + x − x = − x 4)   y + + y = + x +  x − y + 3x − 12 y + = x − y 3)   x + + − y = x + y − x − y ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + 6)  4 x + + 16 − y = x + 4 x + xy + y + x + y − = 5)  8 − x + y = Ví dụ 12.(Khối D-2013) ( ) Giải phương trình: 2log x + log 1 − x = log 2 ( x−2 x +2 ) ( 1) Phân tích tìm lời giải Điều kiện < x < ( *) ( ) x2 x2 = log x − x + ⇔ = x−2 x +2 Phương trình ( 1) ⇔ log 1− x 1− x ⇔ ( x2 = x + 1− x 1− x ) ( ) Chia hai vế phương trình ( ) cho − x ta x x x  x  = + , (t = , t > 0) phương trình bậc hai ẩn : ⇔  ÷ 1− x 1− x 1− x  1− x t = −1 (loai) x ⇔ t2 − t − = ⇔  ⇒t =2⇔ = ⇔ x + x − = t = − x  ⇔ x = −1 + ⇔ x = − (thỏa mãn ( *) ) Vậy, phương trình có nghiệm là: x = − Nhận xét: Đây tốn mức độ tương đối khó với học sinh khối D, trước hết học sinh phải nắm tính chất phép tốn lơgarit, sau thực phép chia cho − x x tạo nên phương trình bậc hai ẩn là: 1− x  Bài luyện tập Giải phương trình sau 1) x ( x − ) = x + 3) 2) 4x2 + x + = 4x − + x + 1 x2  − x2 x +  + 5) + x − x  x − x2 4)  +2=0 ÷ ÷  4x + x+3 =4 x x+3 3x + = − x2 − x2 6) x − x + = x x − x + Ví dụ 13.(Đề đại học khối A - 2014) Giải hệ phương trình: 24  x 12 − y + y ( 12 − x ) = 12    x3 − x − = y − ( 1) ( 2) Phân tích tìm lời giải Điều kiện : −2 ≤ x ≤ ;2 ≤ y ≤ 12 Theo bất đẳng thức: ab ≤ a + b2 dấu đẳng thức xẩy a = b ta có x 12 − y ≤ x + 12 − y y ( 12 − x ) ≤ y + 12 − x 2 x ≥ Cho nên : x 12 − y + y ( 12 − x ) ≤ 12 Do ( 1) ⇔   y = 12 − x Thay vào phương trình ( ) ta : x − x − = 10 − x ( ⇔ x − x − + − 10 − x )   ( x + 3) = ⇔ ( x − 3)  x + x + +  4 44 214+ 410 −43 x2  > ( x > )   ÷ ÷= ÷ ÷  ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm hệ phương trình là: ( x; y ) = ( 3;3) Nhận xét: Đây tốn tương đối khó học sinh, trước hết học sinh phải tìm mối liên hệ hai ẩn x y , thông qua phép biến đổi tương đương phương trình ( 1) , qua cách dùng bất đẳng thức cho hợp lý Sau thay phương trình ( ) ta phương trình chứa thức sử dụng phương pháp liên hợp để giải phương trình  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau  x − y +1 + x − y +1 + 2− x + y +1 + 9− x + y +1 = 11x − y +1 + 11− x + y +1 1)  5log ( x + 3) = 3log ( y + )  2x − − y = 2x −  2)  3 2  x + y + ( x + y ) xy = xy ( x + y ) 4 x + x − = ( y − 1) x −  3)   x + y = xy ( x + y ) 4 − x + − y = x − y + 4)  2 8 ( x + y ) − 3xy = x + y 25 (    1 + =2  x + y  ÷ ÷ x + y x + y 6)      x + y + = x + + 19 − y ) (  x2 y + y + = 2x + x2 +  5)   + 3x + y + = x ) Ví dụ 14 (Đề Đại học khối B - 2014) ( − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Giải hệ phương trình :  2 y − 3x + y + = x − y − x − y − ( 1) ( 2) Phân tích tìm lời giải Điều kiện : x ≥ y ;4 x ≥ y + y ≥ Ta thử với phương trình ( 1) thấy quy luật sau : - Cho x = ⇒ (1 − y ) − y − + y y = y = y = - Cho x = ⇒ ( − y ) − y + ( y − 1) y = ⇒ y = Như ta có quy luật y = x − , điều chứng tỏ ( 1) có nhân tử chung x − y − Bây ta biến đổi ( 1) để ép nhân tử chung: x − y − ( 1) ⇔ ( − y ) ( ⇔ (1− y) ( ) x − y − + x − y − = ( x − y − 1) y ) ( ) x − y − + ( x − y − 1) − y =   1 ⇔ ( − y ) ( x − y − 1)  + y +1 1+ y  x4−44 4 43  >0   ÷ 1 − y = ÷= ⇔  x − y −1 = ÷ ÷  • Với y = thay vào ( ) ta − 3x = ⇔ x = ⇒ ( x; y ) = ( 3;1) nghiệm hệ • Với x = y + thay vào ( ) ta được: y + y − = − y    ÷ 2 ÷= ⇔ ( y + y − 1) + y − − y = ⇔ ( y + y − 1)  + y + 1− y ÷  43 ÷  44>02 ( ∀y ≥0 )    −1 + 1+ ⇒x= y = 2 ⇔ y2 + y − = ⇒   −1 − ( loai ) y =  26  + −1 +  ⇒ ( x; y ) =  ; ÷ nghiệm hệ phương trình 2    + − +   , ( 3;1)  ;     Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈  Nhận xét: Đây tốn khó, trước hết học sinh phải nhận xét phương trình ( 1) có nhân tử chung x − y − từ có hướng biến đổi phương trình ( 1) thành phương trình tích Sau vào phương trình ( ) sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải  Bài luyện tập Giải hệ phương trình sau 2 2   x + xy + y + x + xy + y = ( x + y ) 1)  2)   x + y + + 12 x + y + = xy + x +  x3 − x y = x − x + y +   x3 − y + x − = 3 x + 2 2  x − − y − = 27 − x3   x + xy + y + x + xy + y = ( x + y ) 3)  4)  12 x + y + = xy + x + x + y + +  ( x − ) + = y    ( 23 − x ) − x + ( y − 20 ) − y = *  x + 21 = y + y − ) 5)  2 x + y + − − x + y + + x − 14 x − =   y + 21 = x + x −  2 x + x + x + = y + y + y + 6)  2  x + y − x + y − = Ví dụ 15.(Khối D-2014) Giải bất phương trình: ( x + 1) x + + ( x + ) x + ≥ x + x + 12 ( 1) Phân tích tìm lời giải Điều kiện: x ≥ −2 Ta nhẩm thấy phương trình ( 1) có nghiệm x = , ta nghĩ đến dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung x − Thậy vậy, bất phương trình ( 1) ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) ( ) x + − − ( x2 + x − 8) ≥    x +1  x+6 ⇔ ( x − 2)  + − ( x + 4)  ≥ ( 2) + 24 44 x +47 4+ 34 4 43   x4+42  M  Do x ≥ −2 nên x + ≥ , x + > x + = x+2 x+6 + suy ra: 2 27 x + −1 + x+2+2 M= x+6  x+2 x+6 − + ÷  x+7 +3  x+2  x+6 x+6  x+2 M = − + − − < ÷ ÷   x+7 +3  x+2 +2  x+2 +2 Do đó: ( ) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Đối chiếu với điều kiện, ta nghiệm bất phương trình cho −2 ≤ x ≤ Nhận xét Đây tốn khó với học sinh khối D ( tốn tơi tâm đắc kỳ thi đại học năm 2014), trước tiên học sinh phải nhận xét phương trình ( 1) có nghiệm x = , nghĩ đến phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung x − Sau phải biết đánh giá dấu biểu thức M bước tương đối tinh tế giải ( dùng hàm số để biết dấu M , dùng biến đối tương đương dài, tơi thấy bước khó tốn  Bài luyện tập Giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình sau 1) ( x + 1) x + + ( x + ) x + 10 = x + x + 2) x + + 2 x + ≤ ( x − 1) ( x − ) 3) x + ≤ x + x + + x − x 4) x − x − = x − + − x 5) x + x + 13 = x + + x +  x − y + 17 x − 32 y = x − y − 24 6)  ( y + ) x + + ( x + ) y − x + = x + y + Ví dụ 16.(THPTQG - 2015) Giải phương trình: x2 + 2x − = ( x + 1) x2 − 2x + ( x+2 −2 ) ( 1) Phân tích tìm lời giải Điều kiện: x ≥ −2 Ta nhẩm thấy phương trình ( 1) có nghiệm x = , ta nghĩ đến phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất nhân tử chung x − Thậy phương trình ( 1) x = ⇔ x+4  = x+2+2  x − x + ( x − ) ( x + ) = ( x + 1) ( x − ) ⇔ x2 − 2x + ( ) ⇔ ( x + 4) ( ⇔ ( ) ( x +1 ( 2) x+2+2 ) x + + = ( x + 1) x − x + )( ) [ 2 x + +  x + + 2 = [ ( x − 1) + 2] ( x − 1) +   ] ( 3) Xét hàm số f ( t ) = ( t + 2) ( t + 2) , t ∈ ℜ Ta có: f ' ( t ) = 3t + 4t + = t + 2( t + 1) > 0, ∀t ∈ ℜ , nên f ( t ) đồng biến ℜ 28