ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm câu trang MÃ KÍ HIỆU *********** Bài 1(3điểm)  3  x  + + + 1÷ ÷ 1, Cho biểu thức Q =  ÷ ÷  x + x + x − 27  x  a/ Rút gọn biểu thức Q b/ Tính giá trị biểu thức Q x = + − − 29 − 12 2, Tính giá trị biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 + 2 + 3 − 2 Bài 2: (2 điểm) a) Biết a, b số thoả mãn a > b > a.b = a + b2 ≥2 Chứng minh : a −b b) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho :  abc = n − với n số nguyên lớn  cba = ( n − ) Bài : (2 điểm) a , Giải phương trình : ( x-3)(x+1) + (x-3) = -3 b, Tìm nghiệm phương trình x − 25 = y ( y + 6) Bài (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Bài 5:( điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Chứng minh : 1 + = 2 R r a Hết -( Cán coi thi không giải thích thêm) MÃ KÍ HIỆU *********** ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CÂU NỘI DUNG CẦN ĐẠT ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠   x 3   + + + 1 A =    x  x + x + x − 27     x + x +  3   + =  2   3x  x + x + ( x − )( x + x + 3)     x + x +  ( x − 3) +   =    3x  ( x − )( x + x + 3)   = x− Ý a) (1điểm) Bài (3đ) b)1điểm Lớp - Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán (Hướng dẫn chấm gồm trang) Ta có : x= + = + = + = + = +1 Thay x = + vào A ta có: A= 2.(1đ) = x− =1 Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a= 3 + 2 , b= 3 − 2 Ta có ⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b) => x3 = + 3x ⇒ x3- 3x = Suy B = 2006 ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a)(1đ) * Vì a.b = nên a + b ( a − b ) + 2ab ( a − b ) + 2 = = = ( a − b) + a −b a −b a −b a −b 0,25 * Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương Bài (2đ) Ta có : ( a − b ) + Vậy b)1đ ≥2 a −b a−b ( a − b) × 0,5 a + b2 ≥2 a −b 0,25 (1)  abc = 100a + 10b + c = n −  Viết  cba = 100c + 10b + a = n − 4n + (2) 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – + 99 (3) Mặt khác : 100 ≤ n − ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − ≤ 119 Từ (3) (4) => 4n – = 99 Vậy số cần tìm abc = 675 0,25 (4) => n = 26 ĐK: ≥ ⇔ (*) a)(1đ) Bài (2đ) b)(1đ) 0,25 0,25 Đặt t = (x-3) , suy (x-3)(x+1) = t2 Khi phương trình có dạng : t2+4t+3 =0⇔ * Với t= -3, ta : (x-3) = -3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 1- , thoả mãn điều kiện (*) * Với t=-1, ta được: (x-3) = -1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x= 1- , thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có hai nghiệm x=1- x= 1- 0,25 0,25 Từ x − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Khi ta thấy: 0,25 ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn, số ( y+3+x ) (y+3x) số chẵn Ta có cách phân tích -16 tích số chẵn sau đây: 0,25 - 16 = (-2) = (-4) = (-8) Ta có bảng giá trị sau : y+3+x -2 -8 -4 0,25 y+3-x -2 -8 -4 x -5 -5 y 0 -6 -6 -3 Vì phương trình cho có nghiệm: ( x,y) = ( ±5, ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) -4 -3 0,25 C J Bài (2đ) A I M 0,25 O O ’ B D a)(1đ) a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB ⊥ CD : gt) ⇒ ACMD hình thoi ⇒ AC // DM, mà AC ⊥ CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) ⇒ DM ⊥ CB; MJ ⊥ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) ⇒ D, M, J thẳng hàng ˆ + IMD ˆ = 900 (vì DIM ˆ = 900 ) Ta có : IDM ˆ = IDM ˆ (do IC = IJ = ID : ∆ CJD vuông J có JI Mà IJM trung tuyến) ˆ ' = JMO ˆ ' = IMD ˆ (do O’J = O’M : bán kính đường tròn MJO ˆ ' IMD ˆ đối đỉnh) (O’); JMO · ˆ + MJO ˆ ' = 900 ⇒ IJO ⇒ IJM = 90 0⇒ IJ tiếp tuyến (O’), J tiếp điểm b) Ta có 0,25 0,25 0,25 IA = IM ⇒ IO’ = b)(1đ) AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) ∆ JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 ≥ 2IJ.O’J = 4SJIO’ Do SJIO’ 0,25 ≤ R2 0,25 0,25 SJIO’ = R2 IJ = O’J ∆ JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : R 2O’J2 = O’I2 = R2 ⇒ O’J = 0,25 Khi MB = 2O’M = 2O’J = R Bài (1đ) B E M A O C I K D Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đường trung trực đoạn thẳng BD, BD đường trung trực AC Do gọi M,I,K giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB với AB,AC,BD ta có I, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB, ABC Từ ta có KB = r IB = R Lấy điểm E đối xứng với điểm I qua M Ta có BEAI hình thoi ( có hai đường chéo EI AB vuông góc với cắt trung điểm đường) · · · · Ta có : BAI = EBA mà BAI =900 + BAO · ⇒ EBA + ·ABO =900 · Xét ∆ EBK cã EBK =900 đường cao BM.Theo hệ thức 1 + = 2 BE BK BM a 1 Mà BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn ⇒ + = 2 R r a tam giác vuông ta có: 0,25 0,25 0,25 (§pcm) 0,25 ( Học sinh làm theo cách khác cho điểm )