CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Có lẽ quan trọng tất ứng dụng giải tích phương trình vi phân Khi nhà khoa học vật lý nhà khoa học xã hội sử dụng giải tích, thường phân tích phương trình vi phân phát sinh trình mô hình hóa số tượng mà họ nghiên cứu Mặc dù tìm thấy công thức rõ ràng nghiệm phương trình vi phân, thấy tiếp cận phương pháp tiếp đồ họa phương pháp số cung cấp thông tin cần thiết Mối quan hệ quần thể động vật săn mồi mồi (cá mập cá thực phẩm, bọ rùa rệp, chó sói thỏ) khám phá cách sử dụng cặp phương trình vi phân phần cuối chương 5.1 Mô hình hóa với phương trình vi phân Mô hình toán học hệ thống thực thường dẫn tới dạng phương trình vi phân, tức là, phương trình chứa hàm chưa biết số đạo hàm Đây đáng ngạc nhiên toán thực tế, thường nhận thấy thay đổi xảy muốn dự đoán hành vi tương lai sở thay đổi giá trị Hãy bắt đầu cách kiểm tra số ví dụ cách phương trình vi phân phát sinh mô hình tượng vật lý 5.1.1 Mô hình tăng trưởng dân số Một mô hình cho phát triển dân số dựa giả định dân số phát triển với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng dân số Đó giả định hợp lý cho quần thể vi khuẩn động vật điều kiện lý tưởng (không giới hạn môi trường, dinh dưỡng đầy đủ, kẻ thù, khả miễn dịch bệnh) Chúng ta xác định đặt tên cho biến mô hình này: t = thời gian (biến độc lập) P = số lượng thể quần thể (biến phụ thuộc) Tốc độ tăng trưởng quần thể đạo hàm dP/dt Vì giả sử tốc độ tăng trưởng quần thể tỷ lệ tuận với số lượng cá thể, viết theo phương trình [1] dP/dt = kP k số tỷ lệ Phương trình mô hình tăng trưởng quần thể Đó phương trình vi phân chứa hàm phải tìm P đạo hàm dP/dt Đã xây dựng mô hình, xem hậu Nếu loại trừ dân số P(t) > với t Vì k > phương trình chứng tỏ P(t) > với t Nghĩa quần thể luôn tăng Sự thật, P(t) tăng, phương trình dP/dt trở lên lớn Nói khác đi, tốc độ tăng trưởng tăng quần thể tăng Chúng ta xem xét nghiệm phương trình Phương trình yêu cầu tìm hàm mà đạo hàm số nhân với Dễ kiểm tra hàm mũ có tính chất Sự thật, đặt P(t) = Cekt, P'(t) = C(kekt) = k(Cekt) = kP(t) Vì hàm mũ dạng P(t) = Cekt nghiệm phương trình Trong phần 5.4 ta thấy nghiệm khác Cho phép C nhận giá trị thực, nhận họ nghiệm P(t) = Cekt mà đồ thị Hình Nhưng quần thể có giá trị dương quan tâm nghiệm với C > Và có lẽ quan tâm với giá trị t lớn giá trị thời gian khởi tạo t = Hình biểu thị nghiệm có ý nghĩa vật lý Đặt t = 0, ta nhận P(0) = C, số C giá trị khởi tạo quần thể, P(0) Phương trình phù hợp với mô hình tăng trưởng dân số điều kiện lý tưởng, phải nhận mô hình thực tế phải phản ánh thực tế môi trường định có nguồn lực hạn chế Nhiều quần thể bắt đầu cách tăng cách theo số mũ, mức độ quần thể dừng tiếp cận ngưỡng (carrying capacity) M (hoặc giảm vượt M) Đối với mô hình có tính đến hai xu hướng, đặt hai giả định:  dP/dt ≈ kP P nhỏ (Ban đầu, tốc độ tăng trưởng tỷ lệ thuận với P)  dP/dt < P > M (P giảm P vượt M) Một biểu thức đơn giản mà kết hợp hai giả thiết cho phương trình [2] = 1− Chú ý P nhỏ so với M, P/M gần dP/dt ≈ kP Nếu P > M – P/M âm dP/dt < Phương trình gọi phương trình vi phân hậu cần, đề xuất nhà sinh vật học, toán học người Hà Lan Pierre-François Verhulst năm 1840 mô hình cho phát triển dân số giới Chúng ta phát triển kỹ thuật cho phép tìm nghiệm tường minh phương trình hậu cần mục 5.4, suy đặc trưng nghiệm trực tiếp từ phương trình Đầu tiên nhận thấy hàm số P(t) = P(t) = M nghiệm vì, hai trường hợp , hai nhân tử vế phải phương trình không (Điều chắn có ý nghĩa vật lý: Nếu dân số ngưỡng, vậy.) Hai nghiệm số gọi nghiệm cân (equilibrium) Nếu gí trị khởi tạo P(0) nằm M vế phải phương trình dương, dP/dt > dân số tăng Nhưng dân số vượt ngưỡng (P > M) – P/M âm, nên dP/dt < dân số giảm Chú ý trường hợp, dân số tiếp cận ngưỡng (P → M) dP/dt → 0, nghĩa mức dân số dừng Vì mong muốn nghiệm phương trình vi phân hậu cần có đồ thị trông giống Hình Chú ý đồ thị di chuyển khỏi nghiệm cân P = tiến tới nghiệm cân P = M 5.1.2 Mô hình chuyển động lò xo Bây quan sát ví dụ mô hình từ khoa học vật lý Chúng ta xem xét chuyển động đối tượng với khối lượng m đầu lò xo dọc (như Hình 4) Theo Định luật Hooke, lò xo kéo dài (hoặc nén) x đơn vị từ chiều dài tự nhiên nó, tạo nên lực tỷ lệ thuận với x: lực đàn hồi = -kx, k số dương, gọi số đàn hồi (spring constant) Nếu bỏ qua lực cản bên (do sức cản không khí ma sát) theo Định luật thứ Newton (lực khối luongj nhân với gia tốc), ta có [3] =− Đây ví dụ phương trình vi phân cấp hai liên quan đến đạo hàm cấp hai Hãy xem đoán dạng nghiệm trực tiếp từ phương trình Chúng ta viết lại phương trình dạng =− nói lên đạo hàm cấp x tỷ lệ với x trái dấu Chúng ta biết hai hàm có tính chất này, hàm sine hàm cosine Trong thực tế, tất nghiệm phương trình viết kết hợp hàm sine cosine Đây đáng ngạc nhiên, hy vọng lò xo dao động vị trí cân đó, tự nhiên nghĩ hàm lượng giác có liên quan 5.1.3 Phương trình vi phân tổng quát Nói chung, phương trình vi phân phương trình có chứa hàm phải tìm nhiều đạo hàm Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Do phương trình phương trình cấp phương trình phương trình cấp hai Trong ba phương trình, t biến độc lập biểu thị thời gian, nói chung biến độc lập không biểu thị thời gian Ví dụ, xem xét phương trình vi phân [4] y' = xy hiểu hàm cần tìm y phụ thuộc x Một hàm f gọi nghiệm phương trình vi phân phương trình thỏa mãn y = f(x) đạo hàm thay vào phương trình Vì f nghiệm phương trình f '(x) = xf(x), với giá trị x khoảng Khi yêu cầu giải phương trình vi phân, mong muốn tìm thấy tất nghiệm có phương trình Chúng ta giải số phương trình vi phân đặc biệt đơn giản, cụ thể dạng y' = f(x) Ví dụ, nghiệm tổng quát phương trình vi phân y' = x3 cho = + , với C số tùy ý Nhưng, nói chung, việc giải phương trình vi phân vấn đề dễ dàng Không có hệ thống kỹ thuật cho phép giải tất phương trình vi phân Tuy nhiên, mục 5.2, xem làm để vẽ đồ thị thô nghiệm công thức tường minh Chúng ta tìm hiểu làm để tìm nghiệm xấp xỉ dạng số Ví dụ Chứng tỏ hàm có dạng phương trình Lời giải = = , với C số đó, nghiệm Chúng ta sử dụng quy tắc lấy đạo hàm thương để tính đạo hàm: = ( ) =( ) Vế phải phương trình vi phân trở thành = −1 = ( ) = ( ) =( ) Do đó, với giá trị C, hàm cho nghiệm phương trình vi phân Hình cho thấy đồ thị bảy nghiệm riêng họ nghiệm Ví dụ Phương trình vi phân cho thấy y ≈ ± 1, y ' ≈ Đó độ phẳng đồ thị gần y = y = -1 Khi áp dụng phương trình vi phân, thường không quan tâm đến việc tìm kiếm họ nghiệm (nghiệm tổng quát), mà tìm kiếm nghiệm thỏa mãn số yêu cầu bổ sung Trong nhiều toán vật lý cần tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện dạng y(t0) = y0, gọi điều kiện đầu, việc tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu gọi toán với giá trị đầu Về mặt hình học, áp đặt điều kiện đầu, nhìn vào họ đường cong nghiệm chọn đường qua điểm (t0, y0) Về ý nghĩa vật lý, điều tương ứng với trạng thái hệ thống thời gian t0 sử dụng nghiệm toán với giá trị đầu để dự đoán hành vi tương lai hệ thống = Ví dụ Tìm nghiệm phương trình vi phân Lời giải Thay giá trị t = y = vào công thức = = thỏa mãn điều kiện y(0) = = Ví dụ 1, ta nhận Giải ta c = , nghiệm toán giá trị đầu = = 5.2 Trường hướng phương pháp Euler Thật không may, giải hầu hết phương trình vi phân theo nghĩa có công thức tường minh cho nghiệm Trong phần này, rằng, nghiệm tường minh, có tìm hiểu nhiều nghiệm thông qua cách tiếp cận đồ họa (trường hướng) cách tiếp cận số (phương pháp Euler) 5.2.1 Trường hướng Giả sử yêu cầu phác họa đồ thị nghiệm toán giá trị đầu y' = x + y y(0) = Chúng ta công thức nghiệm, làm có thể phác họa đồ thị nó? Hãy suy nghĩ ý nghĩa phương trình vi phân Phương trình y' = x + y cho biết độ dốc điểm (x, y) đồ thị (được gọi đường cong nghiệm) tổng tọa độ x y điểm (xem Hình 1) Đặc biệt, đường cong qua điểm (0, 1), độ dốc phải + = Vì vậy, phần nhỏ đường cong nghiệm gần điểm (0, 1) trông giống đoạn thẳng ngắn qua (0, 1) có độ dốc (Xem Hình 2) Như hướng dẫn để phác thảo phần lại đường cong, vẽ đoạn thẳng ngắn số điểm (x, y) có độ dốc x + y Kết gọi trường hướng thể Hình Ví dụ, đoạn thẳng điểm (1, 2) có độ dốc + = Trường hướng cho phép hình dung dáng điệu chung đường cong nghiệm cách hướng điểm mà đường cong qua Bây phác họa đường cong nghiệm qua điểm (0, 1) trường hướng Hình Chú ý vẽ đường cong mà song song với đoạn thẳng gần Nói chung, giả sử có phương trình vi phân cấp dạng y' = F(x, y), F(x, y) biểu thức x y Phương trình vi phân nói độ dốc đường cong nghiệm điểm (x, y) đường cong F(x, y) Nếu vẽ đoạn thẳng ngắn với độ dốc F(x, y) vài đr (x, y), kết gọi trường hướng (hoặc trường độ dốc) Các đoạn thẳng biểu thị hướng mà theo đường cong nghiệm hướng tới, trường hướng giúp hình dung dáng điệu chung đường cong Ví dụ (a) Phác họa trường hướng phương trình vi phân y' = x2 + y2 – (b) Sử dụng phần (a) để phác họa đường cong nghiệm qua gốc tọa độ Lời giải (a) Chúng ta bắt đầu tính độ dốc vài điểm bảng sau: Bây vẽ đoạn ngắn với độ dốc điểm Kết trường hướng Hình (b) Chúng ta bắt đầu gốc tọa độ di chuyển sang bên phải theo hướng đoạn thẳng có độ dốc -1 Chúng ta tiếp tục vẽ đường cong nghiệm để di chuyển song song với đoạn gần Đường cong nghiệm kết thể Hình Trở lại gốc tọa độ, vẽ đường cong nghiệm bên trái vừa Càng nhiều đoạn thẳng vẽ trường hướng tranh trở nên rõ ràng Tất nhiên, thật tẻ nhạt (tedious) để tính độ dốc vẽ đoạn thẳng với số lượng lớn cách thủ công, máy tính phụ hợp tốt cho nhiệm vụ Hình chi tiết hơn, máy tính vẽ trường hướng cho phương trình vi phân Ví dụ Nó cho phép vẽ với độ xác hợp lý, đường cong nghiệm Hình Bây xem trường hướng cung cấp cho nhìn sâu sắc vào tình vật lý Mạch điện đơn giản thể Hình gồm nguồn điện (thường pin máy phát điện) cung cấp điện áp E(t) volt (V) dòng điện I(t) ampe (A) thời điểm t Mạch có điện trở R ohms (Ω) cuộn cảm với điện cảm L henries (H) Định luật Ôm cho hiệu điện điện trở RI Hiệu điện cuộn cảm L(dI/dt) Một định luật Kirchhoff nói tổng hiệu điện điện áp cung cấp E(t) Do có + [1] = ( ) phương trình vi phân cấp mà mô hình dòng điện I thời điểm t Ví dụ Giả sử mạch điện đơn giản Hình 9, điện trở 12 Ω, điện cảm H, pin cho điện áp không đổi 60 V (a) Vẽ trường hướng cho phương trình với giá trị (b) Có thể nói giá trị giới hạn dòng điện? (c) Xác định nghiệm cân (d) Nếu chuyển mạch đóng t = dòng điện bắt đầu với I(0) = 0, sử dụng trường hướng phác họa đường cong nghiệm Lời giải Nếu đặt L = 4, R = 12 E(t) = 60 vào phương trình 1, ta nhận + 12 = 60 hay = 15 − Trường hướng phương trình vi phân Hình 10 (b) Trường hướng cho thấy nghiệm tiếp cận giá trị 5A, tức lim ( ) = → (c) Trường hướng cho thấy hàm không đổi I(t) = nghiệm cân Thật vậy, kiểm tra trực tiếp từ phương trình vi phân dI/dt = 15 – 3I Nếu I(t) = vế trái dI/dt = vế phải 15 – 3(5) = (d) Chúng ta sử dụng trường hướng để phác họa đường cong nghiệm qua (0, 0), Hình 11 Thông báo từ Hình 10 đoạn thẳng dọc theo đường ngang song song Đó t biến độc lập không xuất phía bên phải phương trình I' = 15 – 3I Tổng quát, phương trình vi phân dạng y' = f(y) biến độc lập không xuất vế phải phương trình, gọi tự trị (autonomous) Với phương trình vậy, độ dốc tương ứng hai điểm khác với tọa độ y Nghĩa biết nghiệm phương trình vi phân tự trị, nhận vô hạn nghiệm cách dịch nghiệm biết sang phải sacng trái Trên Hình 11 nghiệm mà kết việc đẩy chuyển động nghiệm Ví dụ hai đơn vị thời gian (cụ thể giây) sang bên phải Chúng tương ứng với đóng mạch t = t = 5.2.2 Phương pháp Euler Ý tưởng đằng sau trường hướng sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ dạng số phương trình vi phân Chúng ta minh họa phương pháp toán giá trị đầu mà sử dụng để giới thiệu trường hướng: y' = x + y y(0) = Phương trình vi phân cho biết y'(0) = + = 1, đường cong nghiệm có độ dốc điểm (0, 1) Như xấp xỉ nghiệm, sử dụng xấp xỉ tuyến tính L(x) = x + Nói khác đi, sử dụng đường tiếp tuyến (0,1) xấp xỉ thô (rough) đường cong nghiệm (xem Hình 12) Ý tưởng Euler cải thiện xấp xỉ cách thực đoạn ngắn dọc theo tiếp tuyến sau thay đổi hướng theo trường hướng Hình 13 cho thấy xảy bắt đầu dọc theo đường tiếp tuyến dừng lại x = 0.5 Khoảng cách ngang gọi độ dài bước (step size) Vì L(0.5) = 1.5, có y(0.5) ≈ 1.5 đặt (0.5, 1.5) điểm bắt đầu đoạn Phương trình vi phân cho thấy y'(0.5) = 0.5 + 1.5 = 2, sử dụng hàm tuyến tính y = 1.5 + 2(x – 0.5) = 2x + 0.5 xấp xỉ nghiệm với x > 0.5 (đoạn phía Hình 13) Nếu giảm độ dài bước từ 0.5 xuống 0.25, nhận xấp xỉ Euler tốt hơn, Hình 14 Nói chung, phương pháp Euler nói bắt đầu điểm cho trước giá trị đầu, dọc theo hướng định trường hướng Dừng lại sau thời gian ngắn, nhìn vào độ dốc vị trí mới, tiếp tục theo hướng Dừng lại thay đổi hướng dựa vào trường hướng Phương pháp Euler không đưa nghiệm xác mà đưa nghiệm xấp xỉ Nhưng cách giảm độ dài bước (và tăng số lần điều chỉnh), có xấp xỉ liên tiếp tốt nghiệm xác (So sánh Hình 12, 13, 14.) Đối với toán giá trị đầu tổng quát y' = f(x, y), y(x0) = y0, mục đích tìm giá trị xấp xỉ nghiệm điểm cách x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, , h độ dài bước Phương trình nói với độ dốc (x0, y0) y' = f(x0, y0), Hình 15 giá trị xấp xỉ nghiệm x = x1 y1 = y0 + hf(x0, y0) Tương tự y2 = y1 + hf(x1, y1) Tổng quát yn = yn-1 + hf(xn-1, yn-1) Phương pháp Euler Các giá trị xấp xỉ nghiệm toán giá trị đầu y' = f(x, y), y(x0) = y0 với độ dài bước h, xk = xk-1 + h, yk = yk-1 + hf(xk-1, yk-1) k = 1, 2, 3, Ví dụ Sử dụng phương pháp Euler với độ dài bước 0.1 để xây dựng bảng giá trị xấp xỉ nghiệm toán giá trị đầu y' = x + y y(0) = Lời giải Chúng ta có h = 0.1, x0 = 0, y0 = f(x, y) = x + y Vì y1 = y0 + hf(x0, y0) = + 0.1(0 + 1) = 1.1 y2 = y1 + hf(x1, y1) = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22 y3 = y2 + hf(x2, y2) = 1.22 + 0.1(0.2 + 1.22) = 1.362 Nghĩa y(x) nghiệm xác y(0.3) ≈ 1.362 Tiếp tục với tính toán tương tự, nhận giá trị bảng: k xk 0.1 0.2 0.3 0.4 yk 1.000000 1.100000 1.220000 1.362000 1.528200 k xk 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 yk 1.721020 1.943122 2.197434 2.487178 2.815895 Trong Ví dụ 3, để có bảng giá trị xác hơn, làm giảm dộ dài bước Nhưng số lượng lớn bước nhỏ số lượng tính toán đáng kể cần chương trình máy tính để thực tính toán Bảng sau cho thấy kết việc áp dụng phương pháp Euler với giảm độ dài Ví dụ Đồ dài bước 0.500 0.250 0.100 0.050 0.020 0.010 0.005 0.001 y(0.500) 1.500000 1.625000 1.721020 1.757789 1.781212 1.789264 1.793337 1.796619 y(1.000) 2.500000 2.882813 3.187485 3.306595 3.383176 3.409628 3.423034 3.433848 Chú ý ước lượng Euler bảng dường tiếp cận giới hạn, cụ thể, giá trị y(0.5) y(1) Hình 16 cho thấy đồ thị xấp xỉ Euler với độ dài bước 0.50, 0.25, 0.10, 0.05, 0.02, 0.01, 0.005 Chúng tiếp cận đường cong nghiệm độ dài bước h dần Trong ví dụ 2, thảo luận mạch điện đơn giản với điện trở Ví dụ 12Ω, điện cảm 4H, nguồn điện áp 60V Nếu chuyển mạch đóng t = 0, mô hình hóa dòng điện I thời điểm t theo toán giá trị đầu dI/dt = 15 – 3I, I(0) = Ước lượng dòng điện mạch nửa giây sau chuyển mạch đóng Lời giải Chúng ta sử dụng phương pháp Euler với f(t, I) = 15 – 3I, t0 = 0, I0 = 0, độ dài bước h = 0.1 giây: I1 = + 0.1(15 – 3(0)) = 1.5 I2 = 1.5 + 0.1(15 – 3(1.5)) = 2.55 I3 = 2.55 + 0.1(15 – 3(2.55)) = 3.285 I4 = 3.285 + 0.1(15 – 3(3.285)) = 3.7995 I5 = 3.7795 + 0.1(15 – 3(3.7795)) = 4.15965 Vì dòng điện sau 0.5 giây I(0.5) = 4.15965 ≈ 4.16A 5.3 Phương trình phân ly Chúng ta xem xét phương trình vi phân cấp theo phương diện hình học xem (trường hướng) phương pháp số (phương pháp Euler) Về phương diện biểu thức tượng trưng sao? Cần có công thức rõ ràng cho nghiệm phương trình vi phân Thật không may, điều luôn Nhưng phần xem xét loại phương trình vi phân mà giải tường minh Một phương trình phân ly phương trình vi phân caaps biểu thức dy/dx phân tích thành tích hàm x nhân với hàm y Nói cách khác, viết dạng dy/dx = g(x)f(y), tương đương f(y) ≠ 0, = [1] ( ) ( ) h(y) = 1/f(y) Để giải phương trình này, viết lại dạng h(y)dy = g(x)dx, tức tất liên quan đến y thuộc vế, tất liên quan đến x thuộc vế Khi tích phân hai vế phương trình ta được: ∫ ℎ( ) = ∫ ( ) Phương trình xác định hàm ẩn y phụ thuộc x Trong số trường hợp [2] giải y theo x Chúng ta sử dụng quy tắc dây chuyền để chứng minh thủ tục Giả sử h g thỏa mãn phương trình 2, (∫ ℎ( ) )= (∫ ( ) )⟺ (∫ ℎ( ) ) = ( ) ⟺ ℎ( ) = ( ) Hình mô tả trường hướng phương trình vi phân Ví dụ So sánh với / = Hình 4, đồ thị hàm với vài giá trị cụ thể A Nếu sử dụng trường hướng để phác họa đường cong nghiệm cắt trục y 5, 2, 1, -1 -2, chúng định giống Hình Ví dụ Trong mục 5.2 mô hình dòng điện I(t) mạch điện Hình + phương trình vi phân = ( ) Tìm biểu thức dòng điện mạch điện trở 12Ω, điện cảm 4H, nguồn điện 60V chuyển mạch mở t = Giới hạn dòng điện bao nhiêu? Lời giải Với L = 4, R = 12 E(t) = 60, phương trình trở thành + 12 = 60 hay = 15 − toán giá trị đầu = 15 − I(0) = Chúng ta nhận phương trình phân ly, giải sau: ∫ =∫ ⇒− |5 − I| = + 5−I = ± = Vì I(0) = 0, ta có − ( ⇒ |5 − I| = ) ⟹ =5− = nên A = nghiệm =5−5 Giới hạn dòng điện lim = lim (5 − → → ) = (A) Hình cho thấy nghiệm Ví dụ (dòng điện) dần tới giá trị giới hạn So sánh với Hình 11 mục 5.2 cho thấy vẽ đường cong nghiệm xác từ trường hướng 5.3.1 Quỹ đạo trực giao Một quỹ đạo trực giao họ đường cong đường cong mà cắt đường cong họ theo góc vuông (xem Hình 7) Ví dụ, thành viên họ đường thẳng qua gốc tọa độ y = mx quỹ đạo trực giao họ đường tròn đồng tâm với tâm gốc tọa độ x2 + y2 = r2 (xem Hình 8) Chúng ta nói hai họ quỹ đạo trực giao Ví dụ Tìm quỹ đạo trực giao họ đường cong x = ky2, k số tùy ý Lời giải Các đường cong x = ky2 có dạng parabola với trục đối xứng trục x Bước tìm phương trình vi phân cấp mà thỏa mãn tất thành viên họ Nếu đạo hàm hai vế ta 1=2 hay = Phương trình phụ thuộc vào k, cần phương trình mà đồng thời cho giá trị k Để loại bỏ k, ý từ phương trình parabola cho x = ky2, ta có k = x/y2 phương trình viết lại = = = hay = Nghĩa là, độ dốc đường tiếp tuyến điểm (x, y) parabola y' = y/(2x) Trên quỹ đạo trực giao, độ dốc đường tiếp tuyến cần phải trái dấu với nghịch đảo độ dốc parabola (Vì hai tiếp tuyến vuông góc với nhau) Do quỹ đạo trực giao cần phải thỏa mãn phương trình =− Đây phương trình vi phân phân ly, ta giải sau: ∫ydy = -∫2xdx ⟹ y2/2 = -x2 + C [4] + = với C số dương tùy ý Vì quỹ đạo trực giao họ ellipse cho phương trình phác họa Hình Quỹ đạo trực giao xuất nhiều nhánh ngành vật lý Ví dụ, trường tĩnh điện đường lực trực giao với đường đẳng Ngoài ra, luồng khí động học quỹ đạo trực giao đường vận tốc đẳng 5.3.2 Bài toán trộn Một toán trộn điển hình liên quan đến bồn chứa đầy với dung lượng cố định dung dịch hỗn hợp chất, muối chẳng hạn Một dung dịch với nồng độ cho chảy vào bể với tốc độ cố định trộn, khuấy đều, chảy theo tốc độ cố định, mà khác với tốc độ chảy vào Nếu y(t) biểu thị lượng chất bể thời điểm t, y'(t) tốc độ mà chất chảy vào trừ tốc độ mà chảy Mô tả toán học tình trạng thường dẫn đến phương trình vi phân phân ly cấp Chúng ta sử dụng lập luận để mô hình loạt tượng: phản ứng hóa học, chất ô nhiễm xả xuống hồ, tiêm loại thuốc vào máu Ví dụ Một bể chứa 20 kg muối hòa tan 5000 lít nước Nước biển có chứa 0.03 kg muối lít nước chảy vào bể với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch trộn hoàn toàn thoát khỏi bể với tốc độ tương tự Bao nhiêu muối có bể sau nửa giờ? Lời giải Giả sử y(t) lượng muối lại sau t phút Chúng ta có y(0) = 20 muốn tìm y(30) Chúng ta thực cách tìm phương trình vi phân thỏa mãn theo y(t) Chú ý dy/dt tốc độ thay đổi lượng muối, [5] = Rin – Rout Rin tốc độ muối chảy vào bể Rout tốc độ muối chảy khỏi bể Ta có Rin = 0.03 í 25 í ú = 0.75 ú Bể thường xuyên chứa 5000 lít chất lỏng, nồng độ (concentration) thời điểm t y(t)/5000 (kg/lít) Bởi luồng nước mặn chảy 25 lít/phút, có Rout = ( ) í 25 í = ú ( ) ú Vì thế, từ phương trình ta nhận = 0.75 − ( ) = ( ) Giải phương trình phân ly ta nhận ∫ =∫ ⟹ − |150 − | = + Vì y(0) = 20, ta có –ln130 = C, nên − |150 − | = − 130 Do |150 − | = 130 / Vì y(t) liên tục y(0) = 20, vế phải khác 0, suy 150 – y dương Vì ( ) = 150 − 130 Lượng muối lại sau 30 phút / (30) = 150 − 130 ≈ 38.1 kg Hình 10 thể đồ thị hàm y(t) Ví dụ Chú ý thời gian trôi qua, lượng muối tiệp cận đến 150 kg 5.4 Mô hình tăng trưởng quần thể Trong mục quan tâm phương trình vi phân mà sử dụng để mô hình tăng trưởng quần thể: quy luật tăng trưởng tự nhiên, phương trình hậu cần vài khác 5.4.1 Quy luật tăng trưởng tự nhiên Một mô hình tăng trưởng quần thể mà xem xét mục 5.1 dựa giả thiết tăng trưởng quần thể tỷ lệ thuận với số lượng quần thể: dP/dt = kP Đó giả định hợp lý? Giả sử có quần thể (vi khuẩn chẳng hạn) với số lượng P = 1000 thời điểm định phát triển với tốc độ P' = 300 vi khuẩn Bây lấy 1000 vi khuẩn khác loại thêmt chúng vào quần thể ban đầu Mỗi nửa quần thể kết hợp phát triển với tốc độ 300 vi khuẩn Chúng ta muốn tổng số lượng 2000 vi khuẩn tăng với tốc độ 600 vi khuẩn ban đầu (cung cấp có đủ chỗ dinh dưỡng) Vì vậy, tăng gấp đôi kích thước, tốc độ tăng trưởng tăng gấp đôi Nó hợp lý tốc độ tăng trưởng cần phải tỷ lệ thuận với số lượng Nhìn chung, P(t) giá trị đại lượng y thời điểm t tốc độ thay đổi P theo t tỷ lệ thuận với số lượng P(t) thời điểm [1] dP/dt = kP k số Phương trình gọi quy luật tăng trưởng tự nhiên Nếu k dương, quần thể tăng, k âm quần thể giảm Bởi phương trình phân ly nên ta giải theo phương pháp mục 5.3: ∫ =∫ ⇒ ln| | = + ⇒| |= = = A (= ±eC 0) số tùy ý Để tìm dấu A, ta thấy P(0) = Aek.0 = A Do A giá trị đầu phương trình [2] Nghiệm toán giá trị đầu = P(0) = P0 P(t) = P0ekt Cách viết khác phương trình = nói lên tốc độ tăng trưởng tương đối không đổi Khi [2] nói quần thể với tốc độ tăng trưởng tương đối không đổi tăng trưởng dạng mũ Chúng ta giải thích cho di cư quần thể cách thay đổi phương trình 1: Nếu tốc độ di cư số m tốc độ thay đổi quần thể mô hình phương trình vi phân [3] = − 5.4.2 Mô hình hậu cần Như thảo luận mục 5.1, quần thể thường tăng theo hàm mũ giai đoạn đầu mức độ giảm dần tiếp cận ngưỡng tài nguyên có hạn Nếu P(t) số lượng quần thể thời điểm t, ta giả thiết dP/dt ≈ kP P nhỏ Điều nói lên rằng, tốc độ tăng trưởng ban đầu gần tỷ lệ thuận với kích thước Nói cách khác, tốc độ tăng trưởng tương đối gần không đổi dân số nhỏ Nhưng muốn phản ánh thực tế tốc độ tăng trưởng tương đối giảm dân số P giảm trở thành âm P vượt ngưỡng M nó, số lượng tối đa mà môi trường có khả trì thời gian dài Biểu thức đơn giản cho tốc độ tăng trưởng tương đối mà kết hợp giả định = 1− Nhân hai vế với P, ta nhận mô hình tăng trưởng biết phương trình vi phân hậu cần: [4] = 1− Chú ý từ phương trình 4, P nhỏ so với M P/M gần với dP/dt ≈ kP Hơn P → M (tiếp cận ngưỡng) P/M → 1, dP/dt → Chúng ta suy thông tin việc nghiệm tăng giảm trực tiếp từ phương trình Nếu P nằm M vế phải phương trình dương, nên dP/dt > số lượng tăng Nhưng số lượng vượt ngưỡng (P > M) – P/M âm, nên dP/dt < số lượng giảm Hãy bắt đầu phân tích chi tiết phương trình vi phân hậu cần cách nhìn vào trường hướng Ví dụ Vẽ đường hướng phương trình hậu cần với k = 0.08 ngưỡng M = 1000 Có thể suy điều từ nghiệm thu được? Lời giải Trong trường hợp phương trình vi phân hậu cần = 0.08 1− Một trường hướng phương trình Hình Chúng ta hiển thị góc phần tư thứ số lượng không âm quan tâm điều xảy sau thời điểm t = Phương trình hậu cần tự trị (dP/dt phụ thuộc P, không phụ thuộc t), nên độ dốc dọc theo đường nằm ngang Như mong muốn, độ dốc dương với < P < 1000 âm với P > 1000 Các độ dốc nhỏ P gần 1000 (ngưỡng) Chú ý nghiệm di chuyển từ nghiệm cân P = phía nghiệm cân P = 1000 Trong Hình sử dụng trường hướng để phác họa đường cong nghiệm với giá trị đầu P(0) 100, 400 1300 Chú ý đường cong nghiệm mà bắt đầu phía P = 1000 tăng, bắt đầu phía P = 1000 giảm Các độ dốc lớn P ≈ 500 đường cong nghiệm mà bắt đầu phía P = 1000 có điểm uốn (inflection) P ≈ 500 Thực tế chứng minh tất đường cong nghiệm mà bắt đầu bên P = 500 có điểm uốn P = 500 Phương trình [4] phân ly giải cách tường minh phương pháp mục 5.3 Bởi = 1− ta có [5] ∫ ( / ) =∫ Để tính tích phân vế trái, ta viết ( / ) = ( ) = + Điều cho phép viết lại phương trình 5: + ∫ =∫ =− − ⟹ = [6] | |− ⇒ | = với − |= ⟹ + = = Giải P từ phương trình 6, ta nhận −1= ⟹ ⟹ = Với t = P = P0 nên [7] = ( )= = , nghiệm phương trình hậu cần = với Từ công thức 7, ta thấy lim ( ) = , điều mong muốn → Ví dụ = Viết nghiệm toán giá trị đầu = 0.08 1− P(0) = 100 sử dụng để tìm số lượng P(40) P(80) Khi P đạt 900? Lời giải Phương trình vi phân phương trình hậu cần với k = 0.08, ngưỡng M = 1000 điều kiện đầu P0 = 100 Vì phương trình cho số lượng thời điểm t ( )= ( )= Vì = =9 Các số lượng t = 40 t = 80 (40) = ≈ 731.6 Số lượng quần thể đạt 900 1+9 = (80) = ≈ 985.3 = 900 Giải phương trình theo t, ta ⇒ = ⇒ −0.08 = − 81 ⇒ = ≈ 54.9 Vì số lượng đạt 900 t xấp xỉ 55 Như để kiểm tra, vẽ đường cong nghiệm Hình nhận thấy cắt đường P = 900 t ≈ 55 5.4.3 Sự so sánh tăng trưởng tự nhiên mô hình hậu cần Trong năm 1930, nhà sinh vật học G.F Gause tiến hành thử nghiệm với sinh vật đơn bào Paramecium sử dụng phương trình hậu cần để mô hình liệu Bảng cho biết số đếm hàng ngày ông đơn bào Ông ước tính tốc độ tăng trưởng tương đối ban đầu 0.7944 ngưỡng 64 t (ngày) P(quan sát) 22 16 39 52 54 47 50 76 10 69 11 51 12 57 13 70 14 53 15 59 16 57 Ví dụ Tìm mô hình mũ mô hình hậu cần liệu Gause So sánh giá trị dự đoán với giá trị quan sát nhận xét phù hợp Lời giải Với tốc độ tăng trưởng tương đối k = 0.7944 giá trị ban đầu P0 = 2, mô hình mũ ( ) = =2 Gause sử dụng giá trị k mô hình hậu cần ông Điều hợp lý P0 = nhỏ so với ngưỡng M = 64 Phương trình = 1− ≈ chứng tỏ giá trị k mô hình hậu cần gần với giá trị cho mô hình mũ Khi nghiệm mô hình hậu cần phương trình cho ( )= Vì = ( )= , = = = 31 Chúng ta sử dụng phương trình để tính giá trị dự đoán (được làm tròn tới số nguyên gần nhất) so sánh chúng bảng sau t (ngày) 10 11 12 13 14 15 16 P(quan sát) 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57 P(hậu cần) 17 28 40 51 57 61 62 63 64 64 64 64 64 64 P(mũ) 10 22 48 106 Từ bảng từ đồ thị Hình 4, nhận thấy ba bốn ngày mô hình mũ cho kết tương đương với mô hình hậu cần Tuy nhiên, t ≥ mô hình hàm mũ vô vọng không xác, mô hình hậu cần phù hợp với quan sát Bảng cho thấy giá trị năm B(t), dân số Bỉ (đơn vị nghìn), thời điểm t, từ năm 1980 đến năm 2000 Hình cho thấy điểm liệu với hàm hậu cần vẽ máy tính Chúng ta thấy mô hình hậu cần cung cấp phù hợp tốt 5.4.4 Những mô hình khác tăng trưởng Luật tăng trưởng tự nhiên phương trình vi phân hậu cần phương trình đề xuất mô hình tăng trưởng dân số Trong tập 20 thấy hàm tăng trưởng Gompertz tập 21 22 xem xét mô hình tăng trưởng theo mùa Hai số mô hình khác sửa đổi mô hình hậu cần Phương trình vi phân = 1− − sử dụng để mô hình quần thể mà tuân theo thu hoạch loài hay hình thức khác (Hãy nghĩ số cá bị bắt theo tốc độ không đổi.) Phương trình khám phá tập 17 18 Đối với số loài có mức tối thiểu m mà chúng có xu hướng bị tuyệt chủng (Người lớn không tìm thấy bạn tình phù hợp.) Quần thể mô hình hóa phương trình vi phân = 1− 1− nhân tử mở rộng, – m/P, có tính đến hậu quần thể thưa thớt (xem Bài tập 19) 5.5 Phương trình tuyến tính 5.5.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân có dạng + ( ) = ( ) [1] P Q hàm liên tục đoạn xác định Phương trình dạng xuất thường xuyên nhiều ngành khoa học mà thấy Một ví dụ phương trình tuyến tính xy' + y = 2x, với x ≠ 0, viết lại dạng [2] + =2 Chú ý dạng phương trình phân ly phân tích biểu thức y' thành tích hàm x nhân với hàm y Nhưng giải phương trình theo nhận xét, xy' + y = (xy)', ta viết lại phương trình sau (xy)' = 2x Tích phân hai vế ta nhận xy = x2 + C = + Nếu phương trình đưa dạng phương trình 2, phải thực bước sơ nhân hai vế phương trình với x Nó phương trình vi phân tuyến tính cấp giải phương trình tương đương cách nhân hai vế phương trình hàm I(x) thích hợp gọi thừa số tích phân Chúng ta cố gắng tìm I cho vế trái phương trình 1, nhân với I(x), trở thành đạo hàm tích I(x)y: ( )( + ( ) ) = ( ( ) ) [3] Nếu tìm hàm I vậy, phương trình trở thành ( ( ) ) = ( ) ( ) Tích phân hai vế ta nhận ( ) = ∫ ( ) ( ) nghiệm + [4] ( )= ( ) [∫ ( ) ( ) + ] Để tìm I thế, khai triển phương trình 3: I(x)y' + I(x)P(x)y = I'(x)y + I(x)y' ⟹ I(x)P(x) = I'(x) Đây phương trình phân ly I, ta giải sau: ∫ =∫ ( ) ∫ ( ) = [5] ⟹ ln| | = ∫ ( ) Vì công thức nghiệm tổng quát phương trình đường cong cho phương trình 4, I đường cong cho phương trình Thay cho việc nhớ công thức này, nhớ dạng thừa số tích phân Để giải phương trình vi phân tuyến tính y' + P(x)y = Q(x), nhân hai vế với thừa số tích phân ( ) = ∫ ( ) Ví dụ Giải phương trình vi phân Lời giải Phương trình cho tuyến tính có dạng phương trình với P(x) = 3x2 tích phân hai vế Q(x) = 6x2 Thừa số tích phân +3 =6 ∫ ( )= = Nhân hai vế phương trình với +3 =6 , ta =6 hay Tích phân hai vế ta có = ∫6 + =2 + =2+ hay Hình đồ thị vài nghiệm riêng Ví dụ Chú ý tất dần x → ∞ Ví dụ Tìm nghiệm toán giá trị đầu x2y' + xy = x > y(1) = Lời giải Trước hết ta chia hai vế cho thừa số y' để đưa dạng chuẩn: + [6] = x>0 ( )= ∫ / = Thừa số tích phân = Nhân phương trình với thừa số tích phân, x, ta + = =∫ Vì y(1) = 2, ta có = hay ( = + hay = hay C = = Do nghiệm toán giá trị đầu Ví dụ Lời giải )′ = Giải phương trình y' + 2xy = Phương trình cho dạng chuẩn phương trình tuyến tính Dễ thấy thừa số tích phân ∫ = Nhân hai vế phương trình với thừa số tích phân ta +2 Do =∫ = + ′= Nhưng ∫ biểu diễn theo hàm sơ cấp Vì ta biểu diễn nghiệm phương trình dạng = ∫ = ∫ + , + Hình đồ thị vài nghiệm riêng Mặc dù nghiệm biểu diễn dạng tích phân, số máy tính vẽ đồ thị chúng 5.5.2 Ứng dụng vào mạch điện Trong mục 5.2 xem xét mạch điện đơn giản hình 4: Một nguồn điện với hiệu điện E(t) vôn (V) dòng điện I(t) (A) ampe thời điểm t Mạch gồm điện trở R ôm (Ω) điện cảm L henri (H) Định luật Ohm cho sụt áp điện trở RI Sụt áp cuộn cảm L(dI/dt) Định luật Kirchhoff nói tổng sụt áp hiệu điện E(t) Vì ta có + [7] = ( ) phương trình vi phân cấp Nghiệm phương trình dòng điện I(t) thời điểm t Ví dụ Giả sử mạch điện Hình 4, điện trở 12Ω điện cảm 4H Nếu nguồn điện cố định 60V chuyển mạch đóng t = nên dòng điện bắt đầu với I(0) = Tìm (a) I(t) (b) Dòng điện sau 1s, tức I(1) (c) Giá trị giới hạn dòng điện Lời giải (a) Nếu đặt L = 4, R = 12 E(t) = 60 vào phương trình 7, ta nhận toán giá trị đầu: + 12 = 60 I(0) = + = 15 hay I(0) = ∫ Nhân hai vế với thừa số tích phân +3 = 15 ( ⇒ =5 + ⇒ (1) = 5(1 − (b) Sau 1s dòng điện (c) Giới hạn dòng điện , ta nhận ) = 15 ( ) =5+ Vì I(0) = nên + C = 0, C = -5 ( ) = 5(1 − = ∫ 15 = ) ) ≈ 4.75 lim ( ) = lim 5(1 − → → )=5 Ví dụ Giae sử điện trở cuộn cảm Ví dụ 4, thay cho nguồn cố định, ta sử dụng máy phát điện với điện E(t) = 60sin30t vôn Tìm I(t) Lời giải Lần phương trình trở thành + 12 = 60 30 hay Vẫn thừa số tích phân e3t, ta có ( ) = 15 30 + = 15 30 = ∫ 15 Tích phân hai vế ta =∫ ∫ 30 30 = ∫ = ∫ 30 30 = [ ( ( )= [ )= [ 30 ] ] 30 + 10 ( = = ( Vì I(0) = 0, ta có − 30 − 10 30 − 10 + = nên ( = Dòng điện , 30 ) 30 − 10 Thay vào ta Cuối cùng, = 15 30 + 10 30 − 30 ( 30 30 30 + 30 ∫ = = = 15 ∫ 30 − 30 ∫ 30 + 30 ] = Ta nhận phương trình Giải ta 30 30 ) + 30 ) + = 30 − 10 , 30 ) + Hình biểu thị đồ thị dòng điện với nguồn máy phát điện 5.6 Hệ thống săn mồi Chúng xem xét loạt mô hình cho phát triển loài sống môi trường Trong mục xem xét mô hình thực tế xem xét tương tác hai loài môi trường sống Chúng ta thấy mô hình tạo cặp phương trình vi phân có mối liên kết Trước tiên xem xét tình loài, gọi mồi (prey), có nguồn cung cấp thực phẩm dồi loài thứ hai, gọi kẻ săn mồi (predators), ăn mồi Ví dụ mồi kẻ thù bao gồm thỏ sói khu rừng hẻo lánh, cá thực phẩm cá mập, rệp bọ rùa, vi khuẩn amip Mô hình có hai biến phụ thuộc hai hàm thời gian Chúng ta giả sử R(t) số mồi (Rabbits: thỏ) W(t) số lượng động vật ăn thịt (Wolves: sói) thời điểm t Trong vắng mặt kẻ săn mồi, nguồn cung lương thực dồi hỗ trợ tăng trưởng theo số mũ mồi, điểm/dt = kR, k số dương Trong vắng mặt mồi, giả thiết quần thể săn mồi giảm theo tỷ lệ thuận với số lượng chúng, tức dW/dt = -rW, r số dương Tuy nhiên, với sựu diện hai loài, giả thiết nguyên nhân gây tử vong mồi bị kẻ săn mồi ăn thịt, tốc độ sinh tồn kẻ săn mồi phụ thuộc vào nguồn thức ăn sẵn có mình, cụ thể mồi Chúng ta giả định khả hai loài chạm trán tỷ lệ thuận với hai quần thể tỷ lệ thuận với tích RW (Số lượng hai quần thể nhiều tăng khả chạm trán.) Một hệ hai phương trình vi phân kết hợp giả thiết có dạng sau: [1] = − =− + k, r, a b số dương Chú ý hạng thức – trưởng tự nhiên mồi hạng thức mồi làm giảm tăng làm tăng tăng trưởng tự nhiên kẻ săn Phương trình biết hệ săn mồi, hệ Lotka-Volterra Nghiệm hệ cặp hàm R(t) W(t) mô tả quần thể mồi kẻ săn mồi hàm thời gian Bởi hệ cặp hai phương trình xảy đồng thời nên giải đến mà phải giải chúng đồng thời Thật không may, thường tìm thấy công thức tường minh cho R W hàm t Tuy nhiên, sử dụng phương pháp đồ họa để phân tích phương trình Ví dụ Giả sử quần thể thỏ sói mô tả theo phương trình LotkaVolterra với k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02 b = 0.00002 Thời gian t đo theo tháng (a) Tìm nghiệm số (được gọi nghiệm cân bằng) giải thích kết (b) Sử dụng hệ thống phương trình vi phân để tìm biểu thức dW/dR (c) Vẽ trường hướng cho kết phương trình vi phân mặt phẳng RW Sau sử dụng trường hướng phác hoạ vài đường cong nghiệm (d) Giả sử rằng, thời điểm có 1000 thỏ 40 sói Vẽ đường cong nghiệm tương ứng sử dụng để mô tả thay đổi số lượng hai quần thể (e) Sử dụng phần (d) để phác thảo R W hàm t Lời giải (a) Với giá trị cho, phương trình Lotka-Volterra trở thành = 0.08 − 0.001 = −0.02 + 0.00002 Cả R W số hai đạo hàm 0, tức = (0.08 − 0.001 ) = (−0.02 + 0.00002 ) = = Một nghiệm R = W = (Nghĩa là, thỏ sói quần thể không tăng) Một nghiệm số khác = = 80 = = 1000 Vì quần thể cân gồm 80 sói 1000 thỏ Nghĩa 1000 thỏ đủ để trì cân với 80 sói Không nhiều sói (làm thỏ đi) không sói (làm thỏ nhiều lên) (b) Chúng ta sử dụng quy tắc dây chuyền để khử t: = = nên / / = ( ( ) ) (c) Nếu xem W hàm R, ta có phương trình vi phân = ( ( ) ) Chúng ta vẽ trường hướng phương trình vi phân Hình sử dụng để phác họa vài đường cong nghiệm Hình Nếu di chuyển dọc theo đường cong nghiệm, nhận thấy mối quan hệ R W thay đổi thời gian trôi qua Chú ý đường cong khép kín nói lên dọc theo đường cong, luôn quay trở lại điểm xuất phát Cũng thấy điểm (1000, 80) bên tất đường cong nghiệm Điểm gọi điểm cân tương ứng với nghiệm cân R = 1000, W = 80 Khi thể nghiệm hệ phương trình vi phân Hình 2, dựa vào mặt phẳng RW mặt phẳng pha, gọi quỹ đạo pha Vì vậy, quỹ đạo pha đường vạch nghiệm (R, W) theo thời gian Một biểu đồ pha bao gồm điểm cân quỹ đạo pha điển hình, Hình (d) Bắt đầu với 1000 thỏ 40 sói tương ứng với đường cong qua điểm P0(1000, 40) Hình thể quỹ đạo pha với trường hướng xóa bỏ Bắt đầu điểm P0 thời gian t = giả sử t tăng, di chuyển theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng vòng quanh quỹ đạo pha? Nếu đặt R = 1000 W = 40 vào phương trình đầu tiên, ta nhận = 0.08(1000) − 0.001(1000)(40) = 40 Bởi điểm/dt > 0, kết luận R tăng P0 di chuyển ngược chiều kim đồng hồ vòng quanh quỹ đạo pha Chúng ta thấy P0 đủ sói để trì cân quần thể, số lượng thỏ tăng lên Kết nhiều sói cuối có nhiều sói mà thỏ khó tránh chúng Vì vậy, số lượng thỏ bắt đầu giảm (tại P1, nơi mà ước tính R đạt giá trị tối đa khoảng 2800) Điều có nghĩa thời điểm sau số sói bắt đầu giảm (tại P2, R = 1000 W ≈ 140) Nhưng điều có lợi cho thỏ, số lượng chúng sau bắt đầu tăng (tại P3, W = 80 R ≈ 210) Kết là, số sói cuối lại tăng lên Điều xảy quần thể trở giá trị ban đầu chúng R = 1000 W = 40, chu kỳ lại bắt đầu (e) Từ mô tả phần (d) cách mà quần thể thỏ sói tăng giảm, phác họa đồ thị R(t) W(t) Giả sử điểm P1, P2 P3 Hình đạt mốc thời gian t1, t2 t3 Khi phác họa đồ thị R W Hình Để dễ so sánh đồ thị, vẽ chúng hệ trục với tỷ lệ khác Hình Chú ý số thỏ đạt giá trị lớn khoảng phần tư chu kỳ trước số sói Một phần quan trọng trình xây dựng mô hình để giải thích kết luận toán học dự đoán giới thực để kiểm tra dự đoán liệu thực Công ty Hudson's Bay, bắt đầu kinh doanh lông thú động vật Canada vào năm 1670, giữ hồ sơ từ năm 1840 Hình cho thấy đồ thị số lượng lông thỏ kẻ thù mèo rừng Canada, công ty kinh doanh khoảng thời gian 90 năm Có thể thấy dao động kết hợp quần thể thỏ mèo rừng dự đoán mô hình Lotka-Volterra thực xảy thời gian chu kỳ khoảng 10 năm Mặc dù mô hình Lotka-Volterra tương đối đơn giản có số thành công việc giải thích dự đoán quần thể chung sống, mô hình phức tạp đề xuất Một cách để sửa đổi phương trình Lotka-Volterra giả định rằng, trường hợp động vật săn mồi, mồi phát triển theo mô hình hậu cần với ngưỡng M Khi phương trình Lotka-Volterra [1] thay hệ phương trình vi phân = 1− − =− + Mô hình quan tâm tập 11 12 Mô hình đề xuất để mô tả dự đoán mức độ quần thể hai hay nhiều loài cạnh tranh nguồn tài nguyên hợp tác có lợi Mô khám phá tập 2-4