hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Mở View Menu, Chọn Zoom to ! Chọn tỷ lệ có sẵn hộp kích th thưước muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cấp TI Mt s nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn MC LC PHN M U Lý chn ti 2 Lch s nghiờn cu Mc tiờu nghiờn cu Ni dung nghiờn cu i tng, phm vi, phng phỏp nghiờn cu í ngha ca ti Cu truc ca ti PHN NI DUNG CHNG I: NGUYấN Lí CC I TNG QUT 1.1 Nguyờn lý cc i mt chiu 1.2 Nguyờn lý cc i tng quỏt 11 CHNG II: XP X TRONG BI TONGI TR BAN U V GI TR BIấN 15 2.1 Bi toỏn v giỏ tr ban u 15 2.2 Bi toỏn v giỏ tr biờn 16 2.3 Xp x bi toỏn giỏ tr biờn 18 2.4 Xp x bi toỏn giỏ tr ban u 30 CHNG III: BI TON V GI TR RIấNGV MT S NH Lí DAO NG - SO SNH 36 3.1 Bi toỏn v giỏ tr riờng 36 3.2 nh lý dao ng v so sỏnh 42 3.3 Toỏn t phi tuyn 46 PHN KT LUN 50 TI LIU THAM KHO 51 PHN M U Lý chn ti Phng trỡnh vi phõn l mt ti c rt nhiu nh toỏn hc quan tõm v nghiờn cu Tuy nhiờn, s phỏt trin khụng ngng ca khoa hc - k thut, phng trỡnh vi phõn tr thnh mt ch c tỡm hiu v phỏt trin rt mnh Trong ú, cỏc liờn quan n nguyờn lý cc i cng l mt ti hay v cú rt nhiu ng dng cỏc bi toỏn v xp x giỏ tr biờn, giỏ tr ban u Trong nhng nm gn õy, cỏc thi hc sinh gii cp quc gia v cỏc kỡ thi Toỏn Olympic sinh viờn ton quc thng xut hin nhng bi toỏn cú liờn quan n cc i phng trỡnh vi phõn Xut phỏt t lớ trờn tụi chn ti: Mt s nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn nghiờn cu, vi mc tiờu gii thiu ti bn c am mờ Toỏn, sinh viờn ngnh s phm Toỏn mt s nh lý c bn liờn quan n nguyờn lý cc i ti xõy dng li lớ thuyt mt cỏch cú h thng, rừ rng v nguyờn lý cc i nhm giup cho bn c cú cỏi nhỡn tng quỏt v sõu rng hn v phng trỡnh vi phõn Lch s nghiờn cu - Nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn l ti c rt nhiu nh toỏn hc quan tõm v nghiờn cu, nhiờn ti liu v ti ny cũn rt hn ch Mt s nh toỏn hc ó dnh rt nhiu tõm huyt cho ti ny nh Murray Harold Protter (13/2/191 - 01/5/2008) l mt nh toỏn hc ngi M v nh giỏo dc, c bit n vi nhng úng gúp vo lý thuyt ca phng trỡnh vi phõn; Hans F Weinberger (27/09/1928 ti Vienna) l mt nh toỏn hc ngi M gc o, ni ting vi nhng úng gúp ca ụng vi cỏc phng phỏp bin phõn cho cỏc giỏ tr c trng, phng trỡnh vi phõn, v ng lc hc cht lng nhng nh toỏn hc ny ó cú nhng nm gn bú, nghiờn cu v vit nhng ti liu hay v ti ny nh cun sỏch Maximum Principles Differential Equations, tỏc gi Murray Harold Protter v Hans F Weinberger õy l cun sỏch hay v l ti liu quý giỏ cho nhng mun nghiờn cu v ti ny Mc tiờu nghiờn cu Thụng qua ti ny, tụi mun gii thiu ti bn c am mờ Toỏn, sinh viờn ngnh s phm Toỏn mt s nh lý c bn liờn quan n nguyờn lý cc i ti xõy dng li lớ thuyt mt cỏch cú h thng, rừ rng v k thut gii mt bi toỏn v nguyờn lý cc i nhm giup cho bn c cú cỏi nhỡn tng quỏt v sõu rng hn v phng trỡnh vi phõn Ni dung nghiờn cu ti nghiờn cu nhng ni dung c th sau: - Tỡm hiu, phõn tớch v nghiờn cu lý thuyt ca nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn mt cỏch cú khoa hc v cht ch - a mt s vớ d c bn hiu rừ bn cht ca nguyờn lý cc i i tng, phm vi, phng phỏp nghiờn cu - i tng: Cỏc liờn quan n Mt s nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn - Phm vi: Mt s nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn c tỡm hiu cỏc sỏch bi v phng trỡnh vi phõn nõng cao, ti liu bi dng hc sinh gii quc gia v mt s kin thc c bn v nhng phng trỡnh vi phõn bc i hc - Phng phỏp nghiờn cu: + Phng phỏp kho sỏt: Bn thõn ó c hc nờn nm bt c cỏc liờn quan n ti + Phng phỏp phõn tớch lý lun: phõn tớch giup ngi hc nm rừ bn cht , la chn phng phỏp gii cho phự hp vi tng dng liờn quan n ti í ngha ca ti Nguyờn lý cc i núi v v trớ ca im m hm s t cc i l im biờn ca xỏc nh C th hn, mt hm cú o hm cp 2, khụng õm u trờn mt on [a, b] no ú thỡ hoc l hm hng, hoc nu khụng hng thỡ cc i phi l mt im u mut Mt vớ d tng quỏt hn l phng trỡnh Laplace, hay l phng trỡnh iu hũa ta cng tỡm c nghim ca nú cú tớnh cht l hm hng hoc l nu khụng phi l hm hng thỡ im cc i (v cc tiu) phi l im biờn Trong nghiờn cu ny, nh ngha mt hm cú tớnh cht ca nguyờn lý cc i l mt hm tha mt s bt ng thc (ng thc) vi phõn no ú v im cc i ca nú l im biờn, tr nú l hm hng S dng cỏc nguyờn lý cc i, ta cng suy c cỏc nguyờn lý v cc tiu tng ng v khng nh rng mt hm khụng phi hm hng tha mt s bt ng thc vi phõn khụng th t c cc tiu ti mt im bờn Ngoi ra, nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn cú rt nhiu ng dng quan trng vic kho sỏt, tớnh toỏn nghim gn ung cỏc bi toỏn giỏ tr ban u, giỏ tr biờn, giỏ tr riờng , khụng nhng th, ngi ta cũn s dng cỏc nguyờn lý cc i chng minh, tỡm hiu cỏc nh lý, b mi phc v cho cụng tỏc nghiờn cu Nguyờn lý cc i cú vai trũ rt ln cỏc nghiờn cu v phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng, phng trỡnh hm vv Cu truc ca ti B cc gm phn: Phn 1: M u Phn 2: Ni dung Chng I: Nguyờn lý cc i tng quỏt Chng II: Xp x bi toỏn giỏ tr ban u v giỏ tr biờn Chng III: Bi toỏn v giỏ tr riờng v mt s nh lý dao ng so sỏnh Phn 3: Kt lun Ti liu tham kho PHN NI DUNG CHNG I: NGUYấN Lí CC I TNG QUT 1.1 Nguyờn lý cc i mt chiu Cho mt hm u( x) liờn tc trờn on a, b , cú cc i ti mt im trờn khong a, b Nu u( x) cú o hm cp hai v u t cc i ti im c a, b , ú: u(c) v u(c) Ta gi s rng khong a, b , u tha bt ng thc vi phõn dng: L[u]: u g ( x)u vi g ( x) l hm b chn bt k Rừ rng , theo thỡ h thc khụng th tha ti im c a,b Do ú, theo cc i ca u khong a, b khụng th t c tr im mỳt a hoc b Ta cú trng hp n gin ca mt Nguyờn lý cc i iu quan trng trng hp trờn l bt ng thc phi ngt, iu ú cú ngha l, ta gi s rng u g ( x)u Trong nghiờn cu ny v phng trỡnh vi phõn, iu kin ngt l quỏ hn ch nờn ta s kh i nu cú th Chỳ ý: Bt ng thc khụng ngt, tc l u g ( x)u cú nghim u const thỡ vi mt nghim khụng i nh vy, ta luụn cú cc i t c mi im thuc c a, b nh lý c nờu di õy c gi l nguyờn lý cc i mt chiu nh lý 1.1 Gi s u :[a,b] liờn tc trờn [a, b], cú o hm trờn (a,b) v g l mt hm b chn bt k trờn (a,b) tha bt ng thc vi phõn L[u]: u g ( x)u , a x b Nu u( x) M a, b v nu u t cc i M ti mt im c a, b thỡ u M trờn (a,b) Chng minh Ta s dng phng phỏp chng minh bng phn chng Ta gi s rng u(c) M vi c a,b v tn ti mt im d a, b cho u(d ) M Ta cú u(c) M , u(d ) M nờn ta xột trng hp: + Trng hp 1: Nu d c Ta t hm z( x) : e ( xc) vi c xỏc nh T biu thc va xỏc nh, nu a x c thỡ z( x) , nu c x b thỡ z( x) v z(c) nu x c Ta cú L[ z]: z g ( x) z g ( x) e ( xc) Chn sup | g(x) | Khi ú, g (x) v L[ z ] vi mi x (a, d ) x(a,b) t w( x) : u( x) z( x) ú, l mt hng s dng tha bt phng trỡnh M u (d ) z (d ) Cỏch chn trờn l hp lý vỡ u(d) < M v z(d) > d (c,b) Mt khỏc, vi a x c thỡ z( x) nờn ta cú w( x) M vi mi x (a, c) Theo cỏch xỏc nh ca trờn ta cú w(d ) u(d ) z(d ) u(d ) M u(d ) M Suy w(d ) M Cng ti im c a ,b , ta cú w(c) u(c) z(c) M Vỡ vy, w cú cc i ln hn hoc bng M v t c ti mt im thuc a, d Mt khỏc ta cú L[w] w g ( x)w u z g ( x) u z u g ( x)u z g ( x) z L[u ] L[ z ] nờn theo bt ng thc , w khụng th t cc i a, d iu ny mu thun vi gi thit + Trng hp 2: Nu d c thỡ bng cỏch t z( x) : e ( xc) thỡ theo cỏch lp lun tng t nh trờn ta cng i n mõu thun nh lý c chng minh xong Nhn xột 1.1 (a) Ta xõy dng hm z( x) nh sau: (i) L[ z ] , (ii) z( x) nu x c , (iii) z( x) nu x c (iv) z(c) nu x c (Nu d c , thỡ bt ng thc (ii) v (iii) l o ngc) Nh vy nh lý trờn c chng minh (b) Hm z xỏc nh trờn khụng phi l nht Vớ d, ta chn hm z( x) ( x a) (c a) (c) Vi ln v tha tớnh cht ca hm z( x) Ta ỏp dng nh lý 1.1 v thay u bi (u) ta cú nguyờn lý cc tiu v khng nh rng mt hm khụng phi hm hng tha bt ng thc vi phõn L[u ] , x a, b khụng th t c cc tiu ti mt im bờn nú (d) Phng phỏp s dng chng minh nh lý 1.1 giỳp ta cú thờm nhng cỏch xỏc nh v hm m tha bt ng thc Ta cú th thy rng hm u t cc i ti a v u(a) T nhn xột ny ta cú nh lý tip theo nh sau nh lý 1.2 Gi s u khụng phi l hm hng m tha bt ng thc u g ( x)u (a, b) v cú o hm cp ti a v b, g l b chn trờn tt c cỏc khong úng ca a, b Nu cc i ca u xy ti x a v g l b chn di ti x a thỡ u(a) Nu cc i xy ti x b v g b chn trờn ti x b thỡ u(b) Chng minh: Gi s u(a) M , u( x) M vi a x b v vi d a,b ta cú u(d ) M Ta xõy dng hm z( x) nh sau: z( x) e ( xa) vi Ta chn g ( x) , a x d cho L[ z ] Tip tc, ta chn hm w( x) u( x) z( x) vi tha M u (d ) z (d ) Do L[ w] , nờn cc i ca w a, d phi xy ti mt im mỳt Ta cú w(a) M w(d ), vi cc i xy ti a , ú, o hm cp ca w ti a khụng dng Tc l w(a) u(a) z(a) Tuy nhiờn, z(a) nờn ta cú: u(a) (pcm) Nu cc i xy ti x b ta chng minh tng t Nhn xột 1.2 i) Nu hm u tha cú cc i ti im c a1, b1 m u( x) u(c) thỡ Nu w cng tha bt phng trỡnh w g ( x)w [h( x) k ( x)] thỡ theo nh lý 2.6 chng II, vi z1 z2 m khụng phi l mt giỏ tr riờng Do ú, ta i n kt qu sau: nh lý 3.1: Nu w( x) l dng trờn a, b v tha bt ng thc thỡ tt c cỏc giỏ tr riờng ca , ln hn s w g ( x) w h( x) w inf a x b k ( x) w Lu ý rng nu 0, thỡ tt hn , hm w tha tt c cỏc gi thit; trng hp ny tt hn Ta thy rng, nguyờn lý cc i cú th c dựng xõy dng s tn ti ca mt giỏ tr riờng nh nht hoc u tiờn Cú ngha l, ta thy rng s l mt giỏ tr riờng v c xỏc nh cho khụng cú s no nh hn l giỏ tr riờng khng nh iu ny, ta i n b sau: B 3.1: i vi mi cho r ( x; ) l nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u ( L h k )[r ]: r g ( x)r [h( x) k ( x)]r r (a) cos , r(a) sin vi Gi s rng g ( x) , h( x) v k ( x) l b chn, k ( x) dng v b chn xa s trờn a, b Thỡ ú cú s cho tt c vi (nghim ca r ( x; )) thay i du a x b Chng minh: Gi s cho giỏ tr ln tựy ý ca l r tha v cho r ( x; ) a, b thỡ hm w( x) r ( x; ) cú th c s dng xõy dng cho bi toỏn 38 ( L h k )[u] vi c x c u(c ) u(c ) vi c a v c b õy l bi toỏn cú nghim l u( x) Ta d thy rng t c mt mõu thun bng cỏch xõy dng mt hm z2 m cú th dựng nh l mt cn di nu nh lý 2.6 Chng II tha Nhng m rừ rng l ln hn u , cho z2 ( x) e ( x c) e 2 õy l hng s dng c xỏc nh Ta thy rng z2 (c ) z2 (c ) V cũn tớnh c ( L h k )[ z2 ]: 2[2 ( x c)2 ( x c) g ( x)]e ( x c) (h k )[e ( x c) e ] 2 Ta chn ln cho trờn on c , c , ta cú ( x c) g ( x) ú, nu l ln h k , ta thy rng ( L h k )[ z2 ] vi x c t c kt lun ta cho x c , ta phi cú ln cho: 2 (h k ) ( x c) g ( x) / e3 Cho giỏ tr ca ln, thỡ ( L h k )[ z2 ] ; vy, nu nh lý 2.6 tha món, z2 Nhng theo cỏch xỏc nh, z2 c , c , vỡ vy theo nh lý 2.6 l mõu thun Do ú, cho ln, h k v tha thỡ r ( x; ) phi thay i du trờn c , c Vy b c chng minh vi: 39 h( x) ( x c) g ( x) sup k ( x) e3 k ( x) c x c ú a c v c b Nhn xột 3.1: B ny l gi thit rng g ( x) l b chn, h( x) l cn di, k ( x) l dng v l cn di trờn khong c , c Ta tip tc thit lp b theo chiu ngc li B 3.2: Cho r ( x; ) l nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u , thỡ tn ti mt s cho , ta cú r ( x; ) a x b v r(b; )cos r (b; )sin Chng minh: Cho w( x) l mt hm kh vi liờn tc cp 2, dng trờn a, b v tha món: w(a)cos w(a)sin w(b)cos w(b)sin ( L h)[w] Cho inf thỡ vi hm w s tha nh lý 2.6 i kw vi bi toỏn sau ( L h k )[u] a, c u(a)cos u(a)sin u(c) vi bt kỡ c a, b õy l bi toỏn cú nghim u Do ú nu r (c; ) vi c a, c , t nh lý 2.6, ta thy c rng: r ( x; ) vi x a, c 40 Nhng iu ny mõu thun vi iu kin ban u ca r , vỡ r (a, ) cos , hoc r (a, ) , r(a, ) Do ú , hm r ( x; ) khụng th trit tiờu a, b Hn na, nh lý 2.6 ỏp dng cho bi toỏn ( L h k )[u] u(a)cos u(a)sin u(b)cos u(b)sin s cho ta thy rng nu r(b; )cos r( b; )sin thỡ r ( x; ) Do ú, vi , ta cú r( x; ) a, b v r(b; )cos r (b; )sin Vi s tr giỳp ca b trờn, ta cú th xõy dng c kt qu liờn quan n bi toỏn giỏ tr riờng , nh lý 3.2: Tn ti mt giỏ tr riờng v mt hm riờng tng ng r ( x; 1) cho: (i) khụng cú s l mt giỏ tr riờng v (ii) r ( x; 1) khụng thay i du a, b Chng minh: Cho * l cn trờn nht ca giỏ tr * m r ( x; ) a, b Ta thy, t b trờn, vi * ta cú: * i vi mi s v khỏc nhau, q( x) : r ( x; ) r ( x, ) tha bi toỏn giỏ tr ban u: ( L h k )[q]: ( )kr( x; ) , q(a) , q(a) Nh vy, theo kt qu ca mc 2.4 chng II, vi nh, q( x) v q( x) u nh, ta cú: r ( x; ) v r( x; ) l liờn tc Khi ú r ( x; ) cho * , ta kt lun rng r ( x; * ) Hn na, nu r ( x; * ) l dng, ngt a, b , thỡ cng ung bi tớnh liờn tc ca 41 * Do ú, r ( x; * ) phi trit tiờu mt im no ú a, b Nu nú trit tiờu ti im c a, b , ta phi cú: r (c; * ) r(c; * ) , nhng theo nh lý 2.1 ta cú: r ( x; * ) , s mõu thun vi iu kin ban u Ta kt lun rng r ( x; * ) a, b v r (b; * ) Khi ú r(b; * ) V ú r(b; * )cos r (b; * )sin 0, Li theo b 3.2 ta cú: r(b; )cos r (b; )sin vi T r (b; ) v r(b; ) l cỏc hm liờn tc ca , ta thy rng phi cú mt giỏ tr 1, * , cho r(b; )cos r (b; )sin vi v r(b; 1)cos r (b; 1)sin thỡ r (b; 1) tha bi toỏn giỏ tr riờng ( L h 1k )[r ] r(a; 1)cos r (a; 1)sin r(b; 1)cos r (b; 1)sin Do ú, l giỏ tr riờng ca bi toỏn , , vi r ( x; 1) l hm riờng tng ng Ta thy rng, t * , hm riờng r ( x; 1) dng a, b v nú trit tiờu ti a nu v ch nu v ti b nu v ch nu Nhn xột 3.2: (i) Vi v cho , hm w r ( x; ) tha iu kin ca nh lý 3.2 Vỡ ( L h k )[w] , cn di ung ca l Vi v , ta chn w(x) r (x; ) s( x; ) , õy s( x; ) l nghim a, b ca bi toỏn giỏ tr ban u ti b , cn di l Do ú, mi trng hp, cn di cú th chn tựy ý gn n bng mt cỏch chn thớch hp ca hm w c bit, l giỏ tr riờng nh nht ca bi toỏn 42 (ii) Theo nhn xột trờn, nu dng, hm w r ( x; 0) [ hoc w r ( x; 0) s( x; 0) , nu ] tha iu kin ca nh lý 2.6 Chng II (iii) Nu v w dng trờn a, b thỡ ( L h 1k )[w] ( L h)[w] Vỡ vy, nu w tha cỏc gi thit ca nh lý 2.6, cho toỏn t L h ta cng suy c L h 1k Chn z1 z2 nh lý 2.6, ta thy rng u Do ú, nu l mt giỏ tr riờng thỡ ta cú mõu thun Ta kt lun rng nu , thỡ khụng tn ti mt hm w tha iu kin nh lý 2.6 Nhn xột (ii) v (iii) to thnh kt qu sau õy: nh lý 3.3: Cn trờn v cn di ca bi toỏn giỏ tr biờn nh ó nờu nh lý 2.6 c tha nu v ch nu giỏ tr riờng nh nht ca bi toỏn , l dng Ta nhn thy rng khụng cú hm riờng tng ng vi mt giỏ tr riờng ln hn v cú th t c du a, b Vỡ nu r ( x; k ) dng vi k , ta s cú mt mõu thun bng cỏch ỏp dng nh lý 1.3 v 1.4 cho r ( x; 1) r ( x; k ) 3.2 nh lý dao ng v so sỏnh Nguyờn lý cc i cú th c dựng biu th quan h gia nghim ca phng trỡnh tng ng hoc phng trỡnh liờn quan Cho u v w ln lt l nghim khụng tm thng (tc l u , w ) ca phng trỡnh sau: ( L h)[u] ; ( L h)[w] Ta xõy dng c kt qu sau: nh lý 3.4: Gia nghim khụng liờn tip ca hm w , hm u cú th cú nhiu nht mt nghim Chng minh: Cho a, b l nghim khụng liờn tip ca hm w , tc l ta cú: w(a) w(b) , w vi a x b Bng cỏch thay w bi (w) , nu cn thit, ta gi s rng w( x) khong a, b , thỡ hm 43 v( x) u ( x) w( x) Tha phng trỡnh vi phõn w v g v w Theo nh lý 1.1, v cú th khụng cú cc i hoc cc tiu a, b tr v l mt hng s, trng hp, u l hng s bi ca w , u cú th thay i du khong m a, b Theo tớnh nht ca bi toỏn giỏ tr ban u c cho nh lý 2.1, bt kỡ nghim khụng ca hm u l n gin Cng theo nh lý, ta thy rng: Nu u(a) , hoc u(b) , u phi l hng s bi ca w Kt qu trờn c gi l nh lý dao ng v so sỏnh Bõy gi ta xột mt nh lý so sỏnh cho nghim ca phng trỡnh Cho u tha phng trỡnh ( L h1)[u] v w tha phng trỡnh: ( L h2 )[w] , vi h2 ( x) h1( x) ; a x b Ta gi s rng: w vi a x b Hm v xỏc nh bi: v u w tha phng trỡnh w v g v (h1 h2 )v w Do ú, v tha mt nguyờn lý cc i Nu u cú nghim khong a, b thỡ v cng cú Hay theo tớnh nht ca nh lý 2.2 m v , vỡ th u 44 a, b Vỡ vy, nu u l nghim khụng tm thng thỡ nú ch cú th cú mt nghim khụng a, b Trong thc t, iu ny cng ung khong úng a, b tr w ti a hoc b Gi s rng w(a) u(a) , theo nh lý 2.1, ta cú: w(a) , u(a) T phng trỡnh vi phõn cho bi u v w , ta thy rng: u(a) w(a) g ( a) u(a) w(a) Ta ỏp dng quy tc LHopitals, ta c v( a ) u(a) w(a) V khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s rng: v(a) , tỡm v(a) , ta cú: v( x) wu uw w2 v ỏp dng quy tc LHopitals vo phng trỡnh , ta thy rng v(a) Gi s cú mt im x0 a, b vi v( x0 ) v(a) Khi ú, theo nh lý 1.4, ta ỏp dng cho khong a, x0 m v(a) , ta c mõu thun Do ú ta cú: v(a) v( x) vi a x b Do ú u( x) vi a x b Nu u(b) w(b) , ta cú: u a, b Cui cựng nu w(a) w(b) u(a) u(b) , ta suy rng v(a) v( x) v v( x) v(b) vi a x b Do ú v(a) v(b) v v phi l hng s Tuy nhiờn, kt qu l cú th nu h1 h2 Vy ta ó chng minh c nh lý so sỏnh nh lý 3.5: Cho u v w l nghim ca phng trỡnh: ( L h1)[u] , ( L h2 )[w] 45 vi h2 h1 Nu w( x) khong m a, b , thỡ u cú th cú mt nghim khong úng a, b tr w(a) w(b) , h1 h2 v u l hng s bi ca w nh lý 3.5 l m rng ca nh lý so sỏnh cho toỏn t vi phõn khỏc Cho u l nghim ca phng trỡnh vi phõn ( L1 h1)[u]: u g1u h1u v cho w l nghim ca: ( L2 h2 )[w] w g2w h2w Ta gi s rng g1 v g2 kh vi liờn tc Hm u ( x) c cho bi 1/2 g ( ) g2 ( )d u ( x) u( x)e a x Ta tỡm c u tha phng trỡnh ( L2 H )[u ]: u g2u H ( x)u vi H ( x) 1 2 g2 ( x) g1 ( x) g2 ( x) g1( x) h1( x) Nu h2 ( x) H ( x) thỡ kt lun ca nh lý 3.5 liờn quan n s ca w v u l cú th ỏp dng T thy rng u v u cú s ging nhau, ta cú c nh lý so sỏnh s l nghim ca ( L1 h1)[u ] vi nghim ca ( L2 h2 )[w] C th, ta thy: nh lý 3.6: Cho u( x) v w( x) tng ng l nghim ca: u g1( x)u h1( x)u v w g2 ( x)w h2 ( x)w V cho 1 1 2 h2 ( x) g2 ( x) g2 ( x) h1( x) g1 ( x) g1( x) 4 46 Nu w( x) khong m a, b thỡ u( x) cú th cú mt nghim on a, b tr w(a) w(b) , 1 1 2 h2 ( x) g2 ( x) g2 ( x) h1( x) g1 ( x) g1( x) 4 (1/2) a g1 ( ) g2 ( )d x v u( x) l hng s bi ca w( x)e Ta xột trng hp c bit sau õy ca nh lý 3.6 Ta xột g2 ( x) v h2 ( x) M õy M l hng s dng thỡ w sin M ( x a) l nghim ca phng trỡnh: w Mw Hm w ti a v a / M Ta cú c h qu sau: H qu tt yu: Nu u l nghim ca ( L h)[u]: u g ( x)u h( x)u 1 vi h( x) g( x) g ( x) M , thỡ khong cỏch gia hai nghim ca u( x) ớt nht l / M 1 Nu h( x) g( x) g ( x) M thỡ khong cỏch liờn tip hai nghim ca u( x) nhiu nht l / M 3.3 Toỏn t phi tuyn Mt s kt qu c xõy dng ca toỏn t phõn tuyn tớnh cú th c m rng n toỏn t phi tuyn Cho u( x) l nghim ca phng trỡnh phi tuyn: u H ( x, u, u) 47 trờn khong a x b Hm H ( x, y, z) , H ( x, y, z ) H ( x, y, z ) , z y c gi s l hm liờn tc ca x , y v z xỏc nh Ngoi ra, ta gi s rng, i vi mi x , z , H ( x, y1, z ) H ( x, y2 , z ) vi y1 y2 hoc H y Ta nhn thy rng, nu H ( x, u, u ) g( x)u h( x)u f ( x) thỡ l phng trỡnh tuyn tớnh iu kin tr thnh h( x) Gi s w( x) tha bt ng thc vi phõn: w H ( x, w, w) a, b Ta xem hm v wu v ly , ta nhn c: v H ( x, w, w) H ( x, u, u) p dng nh lý giỏ tr trung bỡnh cho H trờn, ta thy: v H H v v z y Khi ú, H y v H z c ỏnh giỏ ti x, u ( x u ), u ( w u ) vi 0, Hm v tha phng trỡnh tuyn tớnh v nguyờn lý cc i c cho bi nh lý 1.3 Khi ú, ta kt lun: nh lý 3.7: Gi s rng: w H ( x, w, w) u H ( x, u, u) 48 vi a x b , õy H , H y , H z l liờn tc v H y Nu w( x) u( x) t c mt cc i M khụng õm a, b thỡ w( x) u( x) M Lu ý: Nu H ph thuc vo x v z nhng khụng phi trờn y , ta cú th thờm hng s bt kỡ w khụng thay i Ta phỏt biu tng quỏt nh lý 2.5 Chng II nh lý 3.8: Cho u( x) l nghim ca bi toỏn giỏ tr biờn u H ( x, u, u) vi a x b u(a)cos u (a )sin u(b)cos u (b )sin õy , , v c hai khụng bng Gi s rng, H , H y, H z l liờn tc v H y Nu z1( x) tha món: z1 H ( x, z1, z1 ) z1 (a)cos z1(a)sin z1 (b)cos z1(b)sin V nu z2 ( x) tha z2 H ( x, z2 , z2 ) z2 (a)cos z2 (a)sin z2 (b)cos z2 (b)sin thỡ cn trờn v cn di: z2 ( x) u ( x) z1( x) l tha nh lý ny ngha l nghim ca m tha iu kin biờn phi l nht Nu u v u l nghim, ta cú th cho z1 z2 u Khi ú, ta tỡm c u u Ta cho mt vớ d v s hp lý ca nh lý 3.8 c mt s biờn ca nghim Vớ d: Tỡm biờn ca nghim u( x) : u u3 , x tha iu kin biờn: u(0) , u(1) 49 Ta chn z1 x , z2 x(1 5)/2 thỡ : z1 z13 x3 , z2 z23 x(3 x(1 Do ú: 5)/2 5)/2 x3(1 5)/2 u ( x) x Ta cú th cú mt nh lý xp x ca bi toỏn giỏ tr ban u nh c trỡnh by mc 1.4 Kt qu sau õy l tng quỏt ca nh lý 2.8 nh lý 3.9: Gi s rng u( x) tha món: u H ( x, u, u) v iu kin ban u u (a) , u(a) m H , H y, H z liờn tc v H y Nu z1 ( x) tha món: z1 H ( x, z1, z1 ) z1(a) , z1 (a) v z2 ( x) tha z2 H ( x, z2 , z2 ) z2 (a) 1, z2 (a) thỡ ta cú cn trờn v cõn di: z2 ( x) z2 (a) u( x) z1( x) z1(a) , z2 ( x) u( x) z1 ( x) Tớnh nht ca u , l bng cỏch chn z1 z2 u , õy, u l nghim ca , thỡ u u 50 PHN KT LUN Trong ti ny, tụi ó trỡnh by c nhng c bn sau: - Trỡnh by nhng nguyờn lý, b c bn liờn quan n cc i ca phng trỡnh vi phõn - Chn lc, tỡm tũi nhng nguyờn lý, vớ d tng ng - Trỡnh by mt s nguyờn lý cc i hay gp cỏc kỡ thi Olympic Toỏn - p dng nhiu kin thc chng minh bi toỏn khú Tuy ó ht sc c gng nhng thi gian cú hn nờn lun vn khụng th trỏnh nhng sai sút v hn ch nht nh Rt mong c s úng gúp ý kin ca quý thy cụ v cỏc bn ti nghiờn cu c hon thin hn 51 TI LIU THAM KHO [1] Agmon, S - Maximum properties for solutions of higher order elliptic equations (Tớnh cc i cho cỏc nghim ca phng trỡnh bc cao eliptic) - (1960) [2] Agmon , S , L Nirenberg v M H Protter - A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic - hyperbolic type (Mt nguyờn lý cc i cho mt lp ca phng trỡnh hyperbolic v cỏc ng dng ca phng trỡnh hn hp loi elliptic hyperbolic) - (1953) [3] Murray H Protter v Hans F Weinberger - Maximum Principles in Differential Equations (Nguyờn lý cc i phng trỡnh vi phõn) (1967) [4] Mt s ti liu tham kho trờn internet, bỏo 52 [...]... 3 Khi đó, nếu u là hàm thỏa mãn 1 trong (a, b) thì hàm u w thỏa mãn nguyên lý cực đại như trong định lý 1.3 và định lý 1.4 Nếu nghiệm u được suy ra từ phương trình: u  g ( x)u  h( x)u  0 Ta có thể áp dụng cho u và u để thấy rằng u có thể có nhiều nhất một số 0 trong khoảng (a, b) , ở đây định lý 1.5 được thỏa mãn  Cho r ( x) là nghiệm phương trình vi phân: 7 r  g ( x)r  h( x)r  0,... Do v1 (a)  0 nên hàm v1 có cực đại không âm trên bất kì khoảng con  a, x0   a, b Theo nguyên lý cực đại được đưa ra trong định lý 1.3, cực đại này phải xảy ra tại a hoặc tại x0 Theo các giả thiết trên nên theo định lý 1.4, ta cũng có v1 (a)  0 , ta có thể kết luận thêm là cực đại không thể xảy ra tại a trừ khi v1 là không đổi trong  a, x0  Do đó, theo định lý 1.3 ta thấy rằng với x0 ... trên a, a*  thì hàm r w triệt tiêu tại a , a* và dương trong a, a*     Do đó, nó có cực đại trong a, a* Vì vậy, theo định lý 1.5, w không thể thỏa mãn  3 Mặt khác, nếu b   là điểm bất kì trong a, a* , một hàm w có thể tìm được mà r w thỏa mãn nguyên lý cực đại của định lý 1.5 Hơn nữa, ta thấy rằng r ( x) là bị   chặn dưới bởi một số dương trên khoảng con c, b  a, a* Do đó, với  ... tại một số điểm, ta sẽ có một mâu thuẫn, bởi theo định lý 1.3, u đạt được cực đại dương tại a hoặc b Ta giả sử cực đại xảy ra tại a , ta có thể áp dụng định lý 1.4, với khẳng định u(a)  0 Vì 0     2 và u(a)  0 nên điều kiện đầu tiên trong 5 là mâu thuẫn Tương tự, nếu cực đại xảy ra tại b , thì điều kiện thứ hai trong 5 là mâu thuẫn Ta kết luận rằng bất kì nghiệm nào không phải là hằng số. .. x , dễ thấy nó đạt cực đại tại x  0 , giá trị cực đại bằng (2) Nhận xét 1.3: Ta thấy rằng với một hàm không phải là hằng số, ta giải  4  với h  0 có thể không đạt được một cực đại không âm tại một điểm nào đó Ta cũng thấy được rằng, nếu bất đẳng thức (4) ngặt tức là: ( L  h)[u]  0 , với h  0 được cố định trong khoảng  a, b  thì u không thể có giá trị cực đại không âm trong khoảng  a, b... thỏa mãn bởi vì g không bị chặn dưới trong  0, 1 Bây giờ ta biến đổi bất đẳng thức khác: (L  h)[u]: u  g( x)u  h( x)u  0  4 Các ví dụ đơn giản cho ta thấy rằng, ta có thể thực hiện biến đổi các dạng của nguyên lý cực đại Ví dụ: 1) Cho phương trình u  u  0 Giải được nghiệm u  sin x và u đạt cực đại tại x   2 , giá trị cực đại bằng 1 2) Cho phương trình u  u  0 10 Giải được nghiệm...  2  2 Hàm f , g và h được cho trong  a, b  , với g và h bị chặn;  1 ,  2 là hằng số Khi ta giải phương trình 1 trong khoảng  a, b  mà thỏa mãn điều kiện  2  , ta nói rằng bài toán về giá trị ban đầu được giải quyết Sau đây ta đi đến định lý được rút ra từ nguyên lý cực đại tổng quát Cụ thể là: Định lý 2.1: Giả sử rằng u1 ( x) và u2 ( x) là nghiệm của 1 trong khoảng  a, b  và u1, u2... u1  u2 trong  a, b  Chứng minh: Đặt u ( x)  u1( x)  u2 ( x) thì u thỏa mãn phương trình: u  g ( x)u  h( x)u  0 với điều kiện ban đầu: u(a)  u(a)  0 Giả sử u không đồng nhất bằng không trong  a, b  Theo định lý 1.5, tồn tại   0 phụ thuộc vào g , h và có một hàm w sao cho cực đại của u w trong  a, a    phải xảy ra tại điểm mút Ta cũng thấy rằng  u  thỏa mãn phương trình (1)... không có  a, b mà thỏa mãn định lý 1.5 Ví dụ hàm: 1 u  x sin    x thỏa mãn u  x4u  0 ta thấy rằng u triệt tiêu tại x  1 n , n 1, 2, , và do đó không có hàm w  0 với tính chất rằng u w thỏa mãn nguyên lý cực đại trong 0,1 n , n  1,2, 15 CHƯƠNG II: XẤP XỈ TRONG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ BIÊN 2.1 Bài toán về giá trị ban đầu Xét phương trình vi phân: u  g ( x)u  h( x)u... trong định lý 1.5 Định lý 2.4: Giả sử rằng u1 ( x) và u2 ( x) là nghiệm của 1 mà thỏa mãn điều kiện biên như  2  Nếu b  a* , ( a* là liên hợp của a ) thì u1  u2 Chứng minh định lý 2.4 là sự lặp lại của vi c chứng minh định lý 2.2 Tuy nhiên, nguyên lý cực đại được sử dụng ở định lý 1.5 Lưu ý rằng theo cách xác định của điểm liên hợp, tính duy nhất là không đúng khi b  a* 2.3 Xấp xỉ trong bài