Quan hệ song song I Hai đường thẳng song song A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vị trí tương đối đường thẳng phân biệt Cho đường thẳng phân biệt a,b không gian: a)Không có mặt phẳng chứa đồng thời a b , ta nói đường thẳng a b chéo b)Có mặt phẳng chứa a b , ta nói đường thẳng a b đồng phẳng +) Nếu a b điểm chung , ta nói chúng song song với kí hiệu a // b +) Nếu a b có điểm chung , ta nói chúng cắt Nếu điểm chung chúng I , ta nói chúng cắt I I giao điểm chúng viết a ∩ b={I} Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung 2.Hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong không gian ,qua điểm nằm đường thẳng , có đường thẳng song song với đường thẳng Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với Định lý: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng qui song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có ) song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a b song song : Sử dụng cách sau : • Chứng minh a b đồng phẳng điểm chung • Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet … ) • Sử dụng định lý • Chứng minh phản chứng Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải S D' A' C' B' D A C N M B a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành : AB Trong tam giác SCD, ta có : C’D’//CD C’D’= CD Mặt khác AB // CD AB= CD ⇒ A’B’ // C’D’ A’B’ = C’D’ Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB >CD) Trong tam giác SAB, ta có : A’B’// AB A’B’= Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC ∩ (ADN) c Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI hình ? Giải S I N M B A P C D E a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC ∩ (ADN): • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến (SBC ) (ADN) Ta có : N điểm chung (SBC ) (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC ⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE • Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE Vậy : P = SC ∩ ( ADN ) c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI hình ? SI = (SAB) ∩ ( SCD ) AB ⊂ ( SAB)  ⇒ SI // AB // CD ( theo định lí 2) Ta có :  CD ⊂ ( SCD ) AB / / CD Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN ( song song AB) M trung điểm AB // ⇒ SI 2MN Mà AB // 2.MN Do : SI // AB Vậy : tứ giác SABI hình bình hành Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng (α) (β) • Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung (α) (β) thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng Bài tập : Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S ∉ (α ) a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải S C A J k B O D I a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α), gọi O = AC ∩ BD • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) • O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD) ⇒ O điểm chung (SAC) (SBD) Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α) , AB không song song với CD Gọi I = AB ∩ CD • I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) • I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) ⇒ I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP) Giải A M P D B N C E • P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD) • P ∈ ( MNP) ⇒ P điểm chung ( BCD) ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC • E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD) • E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP) ⇒ E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : •Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt •Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD) ,M N trung điểm đoạn AB SC a Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD) b Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải S N I D C J O A M E B a Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD ) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN • Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD) ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SO • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO I ∈ AN I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) Vậy: I = AN ∩ ( SBD) b Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN • Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD) S điểm chung (SMC ) (SBD) Trong (ABCD) Gọi E = MC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE J∈ MN J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD) Vậy J = MN ∩ ( SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD) • I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) • I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB) ⇒ I điểm chung (ANB) ( SBD) • J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD) • J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB) ⇒ J điểm chung (ANB) ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S ∉ (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) b Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải S J K L M B A I E C F D O a Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ • Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC) S điểm chung (SIB ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI ⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE • Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE K∈ IJ K∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC) Vậy: K = IJ ∩ ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ • Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) S điểm chung (SBD ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SF • Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SF L∈ DJ L∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC) Vậy : L = DJ ∩ ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO) • K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO) • K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC ) ⇒ K điểm chung (SAC) ( AJO) • L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO) • L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC ) ⇒ L điểm chung (SAC) ( AJO) • M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO) • M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC ) ⇒ M điểm chung (SAC) ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) J = SC ∩ ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải S L C N A I M B J K a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB ∩ LM K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN ) K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC) b Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN) ⇒ (ABC) ∩ ( LMN) = NK • Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC I∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) ⇒ I ∈ (LMN) Vậy : I = BC ∩ ( LMN) Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN) • Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN ∩ SC J∈ SC J∈ LN mà LN ⊂ (LMN ) ⇒ J ∈ (LMN) Vậy : J = SC ∩ ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J điểm chung (LMN) ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S ∉ (ABCD) Gọi M , N hai điểm BC SD a Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải S N I J D A O B K C M a Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ BN • Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SO • Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO I∈ BN I∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC) Vậy : I = BN ∩ ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) : • Chọn mp phụ (SMD) ⊃ MN • Tìm giao tuyến (SMD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM ⇒ (SMD) ∩ ( SAC) = SK • Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK J ∈ MN J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) ⇒ J ∈ (SAC) Vậy : J = MN ∩ ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng : Ta có : C , I , J điểm chung (BCN ) (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài : Cho hai đường thẳng chéo a b.Lấy a hai điểm A , B Lấy b hai điểm C,D Hai đường thẳng AB CD song song không? Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi E F trọng tâm tam giác BCD ACD Chứng minh EF//CD Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC.P điểm di động đoạn CD MP(MNP) cắt AD Q a)Tứ giác MNPQ hình ? b)Tìm tập hợp giao điểm I MQ NP M di động CD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành.Gọi E F trung điểm SA SB a)Lấy điểm M cạnh SC.Mặt phẳng (EFM) cắt hình chóp theo hình gì? b)Lấy điểm I BC Mặt phẳng (EFI) cắt hình chóp theo hình gì? Bài :Cho hình chóp S.ABCD cho ABCD hình thang.Trên cạnh SC lấy điểm M a)Tìm giao điểm N đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB) b)Chứng minh ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui Bài 6: Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC I thuộc SA: SA = IA, J thuộc SC; M trung điểm SB a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm E AB (I JM) c) Tìm giao điểm F BC (I JM) d) Tìm giao điểm N SD (I JM) e) Gọi H = MN ∩ BD CMR: H, E, F thẳng hàng QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Trong hình học phẳng, học hai đường thẳng song song, tính chất quan hệ đường thẳng song song “Qua điểm nằm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó” “Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau” Và tính chất giữ hình học không gian.Hơn nữa, mở rộng cho trường hợp mặt phẳng, nhiều tính chất đường thẳng mặt phẳng * CƠ SỞ LÝ THUYẾT II ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian, đường thẳng mặt phẳng có ba vị trí tương đối sau đây: • a//(P) ⇔ a ∩ (P) = Ø Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng.Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với mặt phẳng (ADF) (BCE) Bài Cho tứ diện A.BCD; G trọng tâm tam giác ABD; M BC cho MB = 2MC Chứng minh MG // mp(ACD) Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thang có đáy lớn AD.Gọi M điểm cạnh AB (P) mặt phẳng qua M song song với AD SD Mp(P) cắt S.ABCD theo thiết diện gì? Chứng minh SA // (P) Bài 5.Cho tứ diện A.BCD.Gọi O, O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh: Điều kiện cần đủ để OO’ // mp(BCD) BC/BD = (AB + AC)/(AB + BD) Bài 6.Cho tứ diện ABCD.G trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy điểm M cho MB = 2MC Chứng minh MG // (ACD) Bài Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N trọng tâm tam giác ACD BAD Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABC) (BDC) Bài Hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng A Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD ABEF Chứng minh đường thẳng OO’ song song với mặt (ADF) (BCE) b Gọi M N trọng tâm cuả tam giác ABDvà ABE Chứng minh MN//(CEF) Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD, CC’ a Chứng minh MN//(ACB’) b Xét trường hợp tổng quát M, N hai điểm lấy cạnh AD CC’ thỏa mãn điều kiện AM CN = MD NC ' Chứng minh MN//(ACB’) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD a Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBC) (SAD) b GỌI P trung điểm SA Chứng minh SB, SC song song với (MNP) c Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) III HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A HÌNH ẢNH TRONG THỰC TẾ VỀ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG B LÝ THUYẾT C CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP D BÀI TẬP CỦNG CÔ  Bài tập có lời giải  Bài tập tự làm A MỘT SỐ HÌNH ẢNH TRONG THỰC TẾ VỀ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  Các bậc thang cầu thang song song với  Trần nhà mặt đất song song với  Mặt mặt hộp diêm song song với  Hai tường đặt song song với B LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có hai vị trí tương đối sau đây: • (P)//(Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø • (P) cắt (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = a Định nghĩa Hai mặt phẳng goi song song chúng điểm chung (P)//(Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø Điều kiện để hai mặt phẳng song song ⇒ (P)//( Q) II CÁC TÍNH CHẤT Tính chất 1: A ∉ (P) ⇒ ∃ (Q): (P) // (Q), A ∈ (Q) Tính chất 2: a // (P) ⇒ ∃ (Q): (Q) ⊃ a (Q) // (P) Tính chất 3: ⇒ Tính chất 4: (P) // (R) ( R) ∩ (Q ) = b ⇒ a / / b III ĐỊNH LÍ TALET TRONG KHÔNG GIAN Định lí (thuận) ( P) / /(Q) / /(R)    a ∩ (P) = A   a ∩ (Q) = B   AB AC BC a ∩ (R) = C  ⇒ = = A ' B ' A 'C ' B 'C '  a '∩ ( P ) = A '    a '∩ (Q) = B '   a '∩ ( R ) = C '  Định lí (Talet đảo) Cho a a’ A,B, C ∈ a; A’, R’, C’ ∈ a’ cho AB CA BC = = A ' B ' C 'A' B ' C ' ⇒ ∃ (P), (Q), (R) cho: AA’ ⊂ (P); BB’ ⊂ (Q); CC’ ⊂ (R) (P) // (Q) // (R) B CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP  Vấn đề 1: Chứng minh mặt phẳng song song Phương pháp Để chứng minh (P)// (Q) ta cần chứng minh C1: (P) ∩ (Q) = ∅ C2: C3: a, b cắt Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không thuộc mặt phẳng có chung cạnh AB a) Chứng minh (ADF) // (BCE) AM BN = = b) Trên AC BF lấy hai điểm M N cho AC BF Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt AF (P) Chứng minh (MNP) // (CDFE) AM CN = MD NC ' Hướng dẫn Ta có ABCD hình bình hành ⇒ AD // CB ⇒ AD // (BCE) ABEF hình bình hành ⇒ BE // AF ⇒ AF // (BCE) Mà AD, AF cắt A ⇒ (ADF) //(BCE) b) Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD Q ta có: PN // AB AB // EF ⇒ PN // EF ⇒ PN // (CDFE) (1) Mặt khác,trong ∆ ACD có QM // AB, AB // CD ⇒ QM // CD AQ AM (2) ⇒ = = AD AC Trong tam giác ABF có PN // AB FP FN AP BN (3) ⇒ = ⇒ = = FA FB AF BF AP AQ ⇒ PQ//AD ⇒ PQ//(CDFE) (4) = Từ (2) (3) ⇒ AF AD Từ (1) (2) kết hợp với PQ cắt PN P ⇒ (PQN) // (CDFE) Do QM // AB, PN // AB ⇒ P, Q, M, N đồng phẳng ⇒ (MNP) // (CDFE) Ví dụ 2: Cho hình chop S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Chứng minh (OMN) // (SBC) b) Gọi P, Q, R trung điểm AB, ON SB Chứng minh: PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Hướng dẫn a) Ta có: Từ (1) (2) ⇒ (OMN) // (SBC) b) Ta có QP ⊂ (OPMN) ≡ (OMN) Mà (OMN) // (SBC) ⇒ (OMN) (SBC) điểm chung ⇒ PQ (SBC) điểm chung ⇒ PQ // (SBC) Chứng minh (MOR) // (SCD) Ta có: ⇒ MR // CD Từ (1) (2) ⇒ (MOR) // (SCD) Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Từ A, B, C, D vẽ tia Ax, By, Cz, Dt song song với vẽ phía mp (ABCD) a) Chứng minh mp(Ax, By) // mp(Cz, Dt); mp(Ax, Dt) // mp(By, Cz) b) Mặt phẳng ( α ) ( không trùng với (ABCD)), cắt Ax, By, Cz, Dt A’, B’, C’, D’ Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành Hướng dẫn a) Xét mp(Ax, By) (Cz, Dt) ta có: Ax // Dt (gt) ⇒ Ax // (Cz, Dt) (1) Mà ABCD hình bình hành ⇒ AB // CD ⊂ (Cz, Dt) ⇒ AB // (Cz, Dt) Mặt khác AB ⊂ (Ax, By) Ax ⊂ (Ax, By) Ax cắt AB A ⇒ (Ax, By) // (Cz, Dt) Chứng minh tương tự (Ax, Dt) // (By, Cz) b) Xét tứ giác A’B’C’D’ ta có: Xét (Ax, By) (Cz, Dt) ta có: (Ax, By) // (Cz, Dt)    (α ) ∩ (Ax, By) = A'B' ⇒ A ' B '/ / C ' D ' (1)  (α ) ∩ (Cz , Dt) =C'D'   Xét mp( Ax, Dt) (By, Cz) ta có: ( Ax, Dt ) / /( By, Cz )    ( Ax, Dt ) ∩ (α ) = A ' D ' ⇒ A ' D '/ / B ' C ' (2)  ( By, Cz ) ∩ (α ) = B ' C '  Từ (1) (2) suy A’B’C’D’ hình bình hành Chú ý: Ta sử dụng tính chất mặt phẳng song song để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Trên AC SB lấy hai điểm M, N AM BN = cho AC BS Chứng minh MN // (SCD) Hướng dẫn Từ M kẻ đường thẳng song song với CD cắt BC P ⇒ MP // CD ⇒ MP // (SCD) (1) Mà CD // AB ⇒ MP // AB AM BP = = Trong ∆ ABC ta có MP // AB ⇒ AC BC AM BN BN BP = = ⇒ = = ⇒ NP / / BC Mà AC BS BC BC ⇒ NP//(SCD) (2) Từ (1) (2) ⇒ (MNP)// SCD Mà MN ⊂ (MNP) ⇒ MN//(SCD)  Vấn đề 2: Tìm giao điểm mặt phẳng đường thẳng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) ta cần tìm điểm chung (P) (Q) đồng thời tìm đường thẳng song song với giao tuyến Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD, M điểm SB (M không trùng với S B) Mặt phẳng ( α ) qua M song song với (SCD) a) Tìm giao tuyến ( α ) với mặt phẳng hình chóp b) Gọi O giao điểm AC BD Tìm giao điểm SO ( α ) Hướng dẫn a) Do ( α )//(SCD) ⇒ ( α ) không cắt (SCD) Ta tìm giao tuyến ( α ) mặt lại Từ M kẻ đường thẳng song song với SD cắt BC P (áp dụng tính chất 4) Từ P kẻ đường thẳng song song với DC cắt AD Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với SD cắt SA R ⇒ Các giao tuyến ( α ) với mặt hình chóp (SAB), (SBC), (SDA) (ABCD) MR, MP, RQ PQ b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD N giao điểm PQ AC Đường thẳng RN cắt SO K Khi K giao điểm SO ( α )  Vấn đề 3: Tìm thiết diện Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm AA’ Mặt phẳng ( α ) qua M song song với (ABC’) a) Tìm thiết diện ( α ) hình lăng trụ b) Thiết diện hình gì? Hướng dẫn a) Áp dụng tính chất ta có: Kẻ đường thẳng qua M, song song với AC’ cắt A’C’ J Từ J kẻ đường thẳng song song với A’B’ cắt B’C’ I Từ I kẻ đường thẳng song song với BC’ cắt BB’ H ⇒ MHIJ thiết diện b) Theo cách dựng ta có IJ//A’B’ Mặt khác (α ) / /( ABC ')    (α ) ∩ ( ABB ' A ') = MH  ⇒ MH//AB AB//A’B’  ( ABC ') ∩ ( ABB ' A ') = AB   ⇒ IJ//MH ⇒ MJIH hình thang Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD M điểm SA Mặt phẳng ( α ) qua M song song với ABCD a) Tìm thiết diện hình chóp b) Gọi giao điểm ( α ) với SA, SB, SC, SD M, N, P Q Chứng minh M thay đổi SA giao điểm I MP NQ thay đổi đường thẳng cố định Hướng dẫn a) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB N Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P ⇒ Tứ giác MNPQ thiết diện cần tìm b) Gọi O giao điểm AC BD ⇒ SO giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có: I=MP ∩ NQ  I ∈ MP  I ∈ ( SAC ) ⇒ ⇒  I ∈ NQ  I ∈ ( SBD) ⇒ I điểm chung (SAC) (SBD) ⇒ I thuộc giao tuyến SO (SAC) (SBD) hay I thuộc SD không đổi Ví dụ 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M trung điểm AA’ Mặt phẳng ( α ) qua M song song với mp(ACD’) Tìm thiết diện tạo ( α ) hình hộp Hướng dẫn Từ M kẻ đường thẳng song song với AD’ cắt A’D’ N Từ N kẻ đường thẳng song song với AC cắt D’C’ P Từ P kẻ đường thẳng song song với D’C cắt CC’ Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với AD’ cắt BC R Từ R kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB S Từ S nối với M ta thiết diện lục giác MNPQRS BÀI TẬP KHÔNG CÓ LỜI GIẢI Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có tứ giác lồi, M trung điểm SA, N trung điểm SC a) Xác định thiết diện mặt phẳng cắt mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SBD) b) Xác định thiết diện mặt phẳng cắt mặt phẳng qua N song song với mặt phẳng (SBD) c) Gọi I, J giao điểm mặt phẳng nói với AC Chứng minh IJ = AC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC Các điểm I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA a) Chứng minh (IJK) // (ABC) b) Tìm tập hợp điểm M nằm hình chóp S.ABC cho KM song song với mặt phẳng (ABC) Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O’ tâm hình bình hàng A’B’C’D’, K trung điểm CD, E trung điểm BO’ a) Chứng minh E nằm mặt phẳng (ACB’) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua K song song với (EAC) Bài 4: Cho hình vuông ABCD ABEF mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM=BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh: a) (ADF) // (BCE) b) M’N’ // DF c) (DEF) // (NM’N’N) Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, N, P trung điểm AA’, BB’ CC’ a) Chứng minh (MNP)//(ABC) b) Chứng minh (ABP)//(C’MN) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC SD a) Chứng minh (MNPQ)/(ABCD) b) (ACQ)//(BMQ) với điều kiện tứ giác ABCD IV : PHÉP CHIẾU SONG SONG A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1/Phép chiếu song song: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) đường thẳng d cắt (P) Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song trùng với d cắt (P) điểm M’ Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M’ mặt phẳng (P) gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d + Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi phương chiếu, điểm M’ gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) điểm M’ qua phép chiếu song song + Cho hình (H) Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song tất điểm thuộc (H) gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) hình (H) qua phép chiếu nói 2/Tính chất: Chú ý: Trong tính chất phép chiếu song song theo phuơng d, ta xét hình chiếu song song đoạn thẳng đường thẳng không song song không trùng với d a Phép chiếu song song biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm b Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c Phép chiếu song song biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song trùng d Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài đoạn thẳng nằm đường thẳng song song nằm đường thẳng 3/Hình biểu diễn hình không gian: a Định nghĩa: Hình biểu diến hình (H) không gian hình chiếu song song hình (H) mặt phẳng hình đồng dạng với hình chiếu b Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu hình (H) có đoạn thẳng nằm đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) chúng biểu diễn đoạn thẳng nằm đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) mà tỉ số đoạn thẳng phải tỉ số đoạn thẳng tương ứng hình (H) c Hình biểu diễn số hình không gian: * Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tuỳ ý cho trước ( tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…) * Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tuỳ ý cho trước( hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông…) * Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tuỳ ý cho trước, miễn tỉ số độ dài đáy hình biểu diễn tỉ số độ dài đáy hình cho * Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn B : BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm ΔABC a Chứng minh hình chiếu song song K điểm G mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD trọng tâm ΔBCD b Gọi M,N,P trung điểm cạnh AB,AC,AD Tìm hình chiếu song song điểm M,N,P phép chiếu song song câu a Bài làm A N M G P B M’ K E D P’ C a Từ giả thiết ta : GK//AD AG∩DK=E trung điểm BC EK EG = = ⇒K trọng tâm ΔBCDΔBCD suy : KD GA b Ta thực : - Trong (ABD) dựng Mx song song với AD cắt BD M′, M′chính hình chiếu song song điểm M phép chiếu song song câu a.a - Vì N thuộc AD nên D hình chiếu song song điểm N phép chiếu song song câu a - Trong (ACD) dựng Ny song song với AD cắt CD N′ N′ hình chiếu song song điểm N phép chiếu song song câu a Bài 2: Tam giác ABC có hình chiếu song song tam giác A’B’C’ Chứng minh trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song trọng tâm tam giác A’B’C’ Bài làm: Gọi G trọng tâm tam giác ABC G′ hình chiếu Gọi M trung điểm BC, A,G,M thẳng hàng Gọi M′ hình chiếu M Khi tính chất phép chiếu song song ta có M′ trung điểm B′C′ A' G ' AG = = Ngoài A′,G′,M′ thẳng hàng A' M ' AM Từ suy G′ trọng tâm tam giác A′B′C′ Bài 3: Cho ba điểm A,B,C nằm mặt phẳng α Giả sử BC song song với α, AB,AC cắt α D,E Hãy chọn phương chiếu l cho hình chiếu tam giác ABC α theo phương l tam giác Thực cách dựng : - Trong mặt phẳng α, dựng điểm A′ cho ΔA′ED - Dựng hình chiếu B′,C′ B,C mặt phẳng α theo phương chiếu AA′ Ta chứng minh ΔA′B′C′ tam giác Thật vậy, ta có : E,A′,C′ thẳng hàng D,A′,B′ thẳng hàng ED//B′C′ suy ΔA′DE,ΔA′B′C′ đồng dạng tức ΔA′B′C′ tam giác C: BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: CMR hình chiếu song song hình bình hành mp(P) theo phương d cho trước thường hình bình hành: Bài 2:Cho đường thẳng a cắt mp (P) A Gọi a’ hình chiếu song song a mp(P) theo phương d cho trước Bài 3: Cho tam giác ABC nằm mp (P) Giả sử BC // với (P) , AB AC cắt (P) D E Hãy chọn phương chiếu d cho hình chiếu tam giác ABC (P) theo phương d tam giác Bài Cho hình bình hành ABCD BCEF nằm mặt phẳng phân biệt a Tìm điểm M đoạn DF điểm N đoạn AC cho MN // BE b Tính tỉ số Bài 5: Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song lên mặt phẳng (P) điểm A’, B’, C’, D’ CM A’ , B’ , C’ , D’ thẳng hàng [...]... Mx song song với AD và cắt BD tại M′, khi đó M′chính là hình chiếu song song của điểm M trong phép chiếu song song ở câu a.a - Vì N thuộc AD nên D chính là hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu song song ở câu a - Trong (ACD) dựng Ny song song với AD và cắt CD tại N′ khi đó N′ chính là hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu song song ở câu a Bài 2: Tam giác ABC có hình chiếu song. .. chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M’ qua phép chiếu song song + Cho hình (H) Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song của tất cả các điểm thuộc (H) gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của hình (H) qua phép chiếu nói trên 2/Tính chất: Chú ý: Trong các tính chất dưới đây của phép chiếu song song theo phuơng d, ta chỉ xét hình chiếu song song của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng không song song và không. .. nào của tứ giác ABCD IV : PHÉP CHIẾU SONG SONG A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1/Phép chiếu song song: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P) Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với d sẽ cắt (P) tại điểm M’ Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng (P) như trên gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương... song và không trùng với d a Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó b Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau d Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của... phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung a//(P) ⇔ a ∩ (P) = Ø 3 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng • Định lý 1 Nếu đường thẳng a song song với một đường thẳng b nào đó nằm trên mặt phẳng (P) không chứa a thì a song song với (P) a ⊄ (P) và a//b, b ⊂ (P) ⇒ a//(P) 4 Tính chất • Định lý 2 Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường... Bài tập tự làm A MỘT SỐ HÌNH ẢNH TRONG THỰC TẾ VỀ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  Các bậc thang của cầu thang song song với nhau  Trần nhà và mặt đất song song với nhau  Mặt trên và mặt dưới của hộp diêm song song với nhau  Hai bức tường đặt song song với nhau B LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA 1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có hai vị trí tương đối sau đây:... của 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng 3/Hình biểu diễn của 1 hình không gian: a Định nghĩa: Hình biểu diến của 1 hình (H) trong không gian là hình chiếu song song của hình (H) trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó b Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu trên hình (H) có 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng... và (SBD) hay I thuộc SD không đổi Ví dụ 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M là trung điểm của AA’ Mặt phẳng ( α ) qua M và song song với mp(ACD’) Tìm thiết diện tạo bởi ( α ) và hình hộp Hướng dẫn Từ M kẻ đường thẳng song song với AD’ cắt A’D’ tại N Từ N kẻ đường thẳng song song với AC cắt D’C’ tại P Từ P kẻ đường thẳng song song với D’C cắt CC’ tại Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với AD’ cắt BC tại... a và song song với b Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chúng ta cần trang bị cho bản thân kiến thức sau đây: Định lý: • Nếu đường thẳng a song song với một đường thẳng b nào đó nằm trên mặt phẳng (P) không chứa a thì a song song với (P) a ⊄ (P) và a//b, b ⊂ (P) ⇒ a//(P) Sử dụng định lý ở trên Cụ thể theo các bước như sau: 1 Tìm một đường thẳng tích hợp chứa trong. .. Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD) b GỌI P là trung điểm của SA Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP) c Gọi G1 và G2 là trọng tâm tam giác ABC và SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) III HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A HÌNH ẢNH TRONG THỰC TẾ VỀ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG B LÝ THUYẾT C CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP D BÀI TẬP CỦNG CÔ  Bài tập có lời giải  Bài tập tự làm A MỘT SỐ HÌNH ẢNH TRONG THỰC TẾ