Tổng quan số phức 1.0 Giới thiệu đời số phức Số phức ? Hệ thống số thực – Hệ số ảo ? Như biết công việc trước cần đến hệ thống số Chính hệ thống số lớn lên qua thực tiển Người nguyên thuỷ cần sử dụng đến phép đếm, ký hiệu ngày 1, 2, sử dụng ta gọi chúng số đếm, số tự nhiên hay số nguyên dương Các phép toán cộng, nhân xây dựng hệ thống số Nếu a b số nguyên dương a + b = p a.b = q (p q số nguyên dương) Bên hệ số nguyên này, phương trình đại số đơn giản giải Ví dụ : x + = x = Tuy nhiên giải toán a + = số đời khác Chính người tưởng tượng phát triển hệ thống số chứa số nguyên âm để giải tình Hơn nữa, để xác định tất giá trị a b, q cho a.b = q chẳng hạn b = q = số nguyên a không tồn Từ người ta mở rộng phát triển hệ thống số hữu tỉ Những số có dạng a , a , b số nguyên (b ≠ 0) b với phép toán định nghĩa tập số hữu tỉ • • a c ad + bc + = b d bd a c ac × = b d bd phép cộng phép nhân Ngày số hữu tỉ biểu diễn cặp thứ tự (a , b), ( b ≠ ) , với ký hiệu phép cộng phép nhân xác định : • ( a, b ) + ( c, d ) = ( ad + bc, bd ) phép cộng • ( a, b ) × ( c, d ) = ( ac, bd ) phép nhân Với hệ thống số hữu tỉ trên, ta giải phương trình ax + b = (a, b số hữu tỉ) Tập số nguyên tập tập hợp số hữu tỉ Số nguyên a số hữu tỉ có dạng a , với b = b Xa nữa, người ta xây dựng hệ thống số hữu tỉ khác có dạng 2, π , e số không biểu diễn dạng a b (đó số thập phân không tuần hoàn).Chính chúng gọi số vô tỉ Tập hợp số vô tỉ với tập hợp số hữu tỉ lập thành tập số thực Tất số biểu diễn trục số thực Với hệ thống số thực trên, ta giải phương trình có dạng ax + b = 0, giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = b2 – 4ac ≥ Để giải phương trình bậc hai trường hợp b2 − 4ac < , cần thiết phải tiến xa hệ thống số thực Một lần nữa, ngừơi tưởng tượng theo phát triển hệ thống số Đó hệ thống số phức ( tập số phức) mà người ta giới thiệu “số i” với tính chất riêng i2 = -1 Để nhập môn số phức ta xem qua ví dụ sau: Ví dụ : Chúng ta học phương trình bậc hai, xét Parabol đơn giản y = x2 + , không cắt trục hoành Điều có nghĩa phương trình bậc 2: x2 +1 = nghiệm thực Nó giải số ảo i với i2 = -1 x2 + = ⇔ x2 – i2 = ⇔ (x + i).(x - i) = ⇔ x = i hay x = - i Ví dụ : Xét phương trình bậc hai x2 – 4x + 13 = Theo công thức nghiệm ta có: x= −b ± b − 4ac ± 16 − 52 ± −1 + 6i = = = 2a 2 hay − 6i = + 3i hay – 3i Chúng ta quan sát đồ thị Parabol có phương trình là: y = x2 – 4x + 13 • b2- 4ac < • đồ thị không cắt trục hoành • Qua ví dụ ta có nhận xét: số có dạng a + ib với a, b số thực gọi số phức, ví dụ + 3i, - 3i Hệ thống số phát triển ta biết từ N qua Z , từ Z qua Q số vô tỷ sau đời(như số , số π , số e , ) Từ hình thành tập hợp số thực đến kỷ thứ XVIII người ta thêm vào số phức Sự hình thành số mô tả qua bao hàm thức sau : N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R⊂ C 1.1 Giới thiệu số phức Định lí (thừa nhận) Tồn tập hợp C chứa R cho : - C trang bị phép toán cộng phép toán nhân thoả tất tính chất R (có nghĩa phép toán thực R C) - Có phần tử i cho i = −1 - Mọi phần tử z C viết dạng : z = a + ib a phần thực z, ký hiệu Re(z) b phần ảo z, ký hiệu Im(z) Nếu b = Im(z) = 0, z gọi số thực Nếu a = Re(z) = 0, z gọi số ảo Chú ý : Sau này, cho số phức z = a + ib ( a, b ∈ r ) ta viết gọn a + ib Sự hai số phức Hai số phức gọi phần thực phần ảo tương ứng chúng Nghĩa là: Nếu a + ib = x + iy (a,b,x,y số thực) a = x b = y Đặc biệt: z = a + ib = a = b = 1.2 Biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ ( ) Xét mặt phẳng O, e1 , e2 gọi mặt phẳng phức (trong O giao điểm hai trục vuông góc (như hình vẽ), e1 , e2 vectơ đơn vị vuông góc z = x + iy (x , y ∈ R) biểu diễn điểm M(x,y) M gọi ảnh z z gọi toạ độ phức (affixe) điểm M hay vectơ u ( x, y ) = OM Ở hình , điểm A , B , C , D có toạ độ phức (affixe) , i , – + i , -1 – i Hệ - Hai vectơ chúng có toạ độ phức ( affixe) - Hai điểm trùng chúng có toạ độ phức (cùng affixe) 1.3 Các phép toán Tổng tích Xét hai số phức z = a + ib z’ = a’ + ib’ Định lí (ở phần 1.1) cho ta tính z + z’ = (a + a’) + i(b + b’) z.z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’) (vì i = −1 ) Ngoài ta có – z = – a – ib Nên z – z’ = (a – a’) + i(b – b’) Định lí Với số phức z = a + ib khác tồn số phức nghịch đảo z’ Điều có nghĩa z’ thỏa z.z’ =1 1 Kí hiệu z’ = hay z−1 = z z Ta chứng minh a b   z −1 = +i− 2  a +b  a +b  Chứng minh : Giả sử z = a + ib số nghịch đảo z-1 = x + iy Có nghĩa : ( a + ib )( x + iy ) = + 0i ⇔ ( ax − by ) + ( ay + bx ) i = + 0i ax − by = ⇒ bx + ay = a   x = a + b Giải hệ ta kết :   y = −b  a + b2 a ib a − ib Vậy z −1 = − = 2 a +b a +b a + b2 Ví dụ Với z = + 3i z-1 = 1 − 3i 3i = = = − z + 3i + 3i − 3i 25 25 Viết số phức sau dạng đại số 1− i − 4i 1+ i + 4i + 4i = = = + i − 4i ( − 4i )( + 4i ) + 25 25 − i (1 − i )(1 − i ) −2i = = = −i = + (-1)i + i (1 + i )(1 − i ) 1.4 Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + ib , số phức có dạng a – ib gọi số phức liên hợp cuả số phức z , ký hiệu z Vậy z = a + ib z = a − ib Ví dụ Các số phức liên hợp -3 , i , – 5i -3 , -i , + 5i Phân tích x − x + 13 thành nhân tử 2 Ta có : x − x + 13 = ( x − x + ) + = ( x − ) − ( 3i ) = ( x − − 3i )( x − + 3i ) (chú ý : + 3i – 3i số phức liên hợp) Hệ z số thực ⇔ z = z z số ảo ⇔ z = - z z= z Nếu z = a + ib z.z = a + b z−1 = a a +b +i −b a + b2 Minh hoạ đồ thị : Xét mặt phẳng phức, với M(z) ảnh cuả z ta thấy đối xứng lẫn điểm biểu diễn số phức liên hợp, số phức đối z z z hai số phức mà ảnh chúng đối xứng qua đâu ? z –z hai số phức mà ảnh chúng đối xứng qua đâu ? z –z hai số phức mà ảnh chúng đối xứng qua đâu ? z – z hai số phức mà ảnh chúng đối xứng qua đâu ? Định lí Với số phức z z’, ta có : z + z ' = z + z ' ; − z = − z ; zz ' = z.z ' ; 1 z z   = với z ' ≠  =  z' z'  z' z' () zn = z n , n∈N \ {0}