Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học dân lập đông đô Khoa công nghệ thông tin Luận văn tốt nghiệp số vấn đề ứng dụng đồ thị tin học Giáo viên hớng dẫn : PGS.TS Đỗ Đức Giáo Giáo viên phản biện : Sinh viên thực : Phan Thanh Long Lớp : CT96A - Khoá II Hà Nội - 2000 Lời nói đầu Bớc sang năm lề kỷ 21, nhìn lại kỷ 20 kỷ mà ngời đạt đợc nhiều thành tựu khoa học rực rỡ nhất, thành tựu bùng nổ ngành khoa học máy tính Sự phát triển kỳ diệu máy tính kỷ gắn liền với phát triển toán học đại, toán rời rạc Toán học rời rạc nghiên cứu cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục Toán rời rạc bao gồm lĩnh vực nh quan hệ, lý thuyết đồ thị, lôgíc toán, ngôn ngữ hình thức lý thuyết đồ thị phận trọng tâm với nhiều khối lợng kiến thức lý thú đợc nghiên cứu nhiều Toán rời rạc nói chung lý thuyết đồ thị nói riêng công cụ thiết yếu cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật, thành phần quan trọng học vấn sinh viên ngành kỹ thuật đặc biệt sinh viên ngành Tin học Lý thuyết đồ thị, với cách tiếp cận đối tợng nghiên cứu phơng pháp t độc đáo thực ngày hữu ích có nhiều ứng dụng phong phú gây không bất ngờ Máy tính mà thân với trình làm việc mang tính rời rạc, nên điều tơng hợp gắn chặt lý thuyết đồ thị với công nghệ máy tính việc nghiên cứu đối tợng có tính chất rời rạc Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng thực tiễn đặc biệt lĩnh vực Tin học, muốn hiểu biết sâu sắc vấn đề Tin học cần nắm vững kiến thức Toán học rời rạc mà đặc biệt lý thuyết đồ thị Từ nhận thức trên, với đề tài "Một số vấn đề ứng dụng đồ thị Tin học" không nhiệm vụ em phải thực kỳ bảo vệ luận văn tốt nghiệp mà thực đề tài mà em quan tâm say mê nghiên cứu Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Pgs Ts Đỗ Đức Giáo ngời trực tiếp, tận tình, chu đáo giảng dạy hớng dẫn em hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin cảm ơn giúp đỡ, dạy bảo tận tình thầy cô giáo, cán Khoa Công Nghệ Thông Tin trờng Đại học Dân lập Đông Đô bạn học đóng góp ý kiến bổ ích cho luận văn Do trình độ hiểu biết hạn chế, thời gian chuẩn bị không nhiều, luận văn nhiều sai sót cha đầy đủ, em mong nhận đợc góp ý thầy cô bạn quan tâm Hà Nội 6/2000 Sinh viên: Phan Thanh Long Giới thiệu đề tài "Một số vấn đề ứng dụng đồ thị Tin học" đề tài mang tính nghiên cứu lý thuyết, có tầm quan trọng có ý nghĩa thiết thực cao Khái niệm đồ thị khác với đồ thị thông thờng biết, lĩnh vực lý thuyết đồ thị nghiên cứu cấu trúc mang tính rời rạc phận quan trọng Toán học rời rạc Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng ngành kỹ thuật đợc nghiên cứu nhiều với khối lợng kiến thức đồ sộ Đề tài đợc thực trớc tiên đề cập tới vấn đề chủ yếu Lý thuyết đồ thị, sau tuỳ nội dung xoay quanh tới ứng dụng đồ thị Tin học, giải toán Tin học nh xác định xem hai máy tính mạng truyền tin đợc hay không nhờ mô hình đồ thị mạng máy tính, toán nối mạng máy tính cho tổng chi phí nhỏ việc khắc phục gói tin bị truyền sai nhờ giải thuật nghiên cứu đồ thị Có ứng dụng đồ thị không trực tiếp vào lĩnh vực Tin học, ví dụ nh toán lập lịch công tác hành chính, xác định đờng ngắn điểm nút giao thông, ta xem ứng dụng cách gián tiếp Tin học đợc mô hình tốt toán đồ thị giải chúng dễ dàng máy tính, chơi cờ Ca rô môn chơi trí tuệ nhng đồ thị hỗ trợ tốt cho nhng muốn lập trình chơi cờ Ca rô máy tính mô hình đợc cờ đồ thị Đề tài đợc thực xong bao gồm nội dung sau đây: Chơng Một số vấn đề đồ thị Nhằm trình bày khái niệm lý thuyết đồ thị, sở tìm hiểu sâu sắc vấn đề Ngoài định nghĩa, tính chất đồ thị, chơng có trình bày đến vấn đề quan trọng, cách lu trữ, biểu diễn xử lý đồ thị máy tính xét mô hình biểu diễn hình học Cấu trúc liệu liên quan chặt chẽ đến giải thuật, việc biểu diễn đồ thị máy tính nh ảnh hởng đến cách giải toán ứng dụng máy tính Trong chơng có trình bày số phơng pháp biểu diễn đồ thị máy tính, phơng pháp có u khuyết điểm riêng, cần lựa chọn phơng pháp cho phù hợp với đặc điểm toán đạt đợc hiệu thuật toán Khi đa ví dụ minh họa, phần đồ thị đặc biệt ta thấy đợc ứng dụng đồ thị mô hình mạng máy tính Chơng Số ổn định tô màu đồ thị Số ổn định đồ thị bao gồm số ổn định trong, số ổn định nhân đồ thị, nghiên cứu vấn đề ta thấy đợc mối quan hệ tập đỉnh đồ thị Một ứng dụng lý thú đề cập tới vấn đề xây dựng mô hình đồ thị cho toán lập trình chơi cờ carô, có sử dụng đến tập ổn định đồ thị chơng ta gặp đến ứng dụng thiết thực bàn đến vấn đề tô màu đồ thị, hay gọi sắc số đồ thị, ứng dụng toán lập lịch Lập lịch công tác hành phổ biến, hay gặp quan, xí nghiệp, trờng học có nhiều sản phẩm phần mềm phục vụ cho việc lập lịch Chơng Chu trình, đờng Euler Hamilton đồ thị Trình bày khái niệm chu trình Euler, đờng Euler, chu trình Hamilton, đờng Hamilton tính chất chúng đồng thời đa số thuật toán ứng dụng để tìm đờng, chu trình Euler, Hamilton Chơng Đờng ngắn đồ thị Bài toán đờng ngắn hay đợc đề cập tới lý thuyết đồ thị, loại toán tối u có nhiều ứng dụng rộng rãi Trong đồ thị thờng đặt loại tìm đờng ngắn nh sau: - Đờng ngắn nhất cặp đỉnh đợc xác định trớc - Đờng ngắn đỉnh với tất đỉnh lại - Đờng ngắn tất cặp đỉnh Để giải loại toán này, chơng trình bày số thuật toán hay đợc sử dụng nh: Dijkstra, Ford-Bellman Floyd Về mặt ứng dụng, chơng nêu giải thuật Viterbi cho ứng dụng quan trọng lĩnh vực Tin học sửa gói tin sai truyền tin mạng máy tính Khi nói đến đờng ngắn nhất, ngời ta hay nói đến mở rộng toán đờng ngắn thành đờng dài Trong vấn đề ta lại có ứng dụng công tác lập lịch, sơ đồ mạng PERT cho việc lập dự án thi công công trình ứng dụng thực tiễn đem lại nhiều hiệu cao cho việc thi công công trình Chơng Một số vấn đề Đây chơng cuối chơng đề cập tới nhiều ứng dụng Cây trờng hợp riêng đồ thị, để nghiên cứu hết tính chất, khái niệm cần khối lợng kiến thức đồ sộ có đề tài cấp luận văn nghiên cứu Trong chơng đề cập tới điểm nhất, tập trung khai thác ứng dụng Những ứng dụng nhiều, chơng đề cập tới ứng dụng sở nhng thiết thực nhất, số ứng dụng nhị phân nh mã tiền tố, biểu diễn biểu thức, định, xếp tìm kiếm Trong lý thuyết đồ thị, nói bao trùm vấn đề thiếu, đặc điểm hay đồ thị Trong bao trùm lại có bao trùm bé nhất, lớn lại dạng toán tối u Trong chơng giới thiệu ứng dụng thực tiễn bao trùm nhỏ việc kết nối mạng cho chi phí nhỏ nhất, đồng thời đa số thuật toán tìm bao trùm, đặc biệt có thuật toán sở đợc nêu ra, đợc dùng nhiều việc giải toán đồ thị máy tính nh kỹ thuật quay lui, tìm kiếm u tiên theo chiều rộng chiều sâu Mục lục Nội dung Trang Lời nói đầu Giới thiệu đề tài Mục lục Chơng Một số vấn đề đồ thị I Các định nghĩa đồ thị Định nghĩa đồ thị Đồ thị đơn Đa đồ thị Giả đồ thị 9 10 10 10 II Các loại đồ thị 11 Đồ thị vô hớng Đồ thị có hớng Đồ thị hỗn hợp 11 11 11 III Một số khái niệm tính chất đồ thị 11 Bậc đồ thị 1.1 Bậc đồ thị vô hớng 1.2 Bậc đồ thị có hớng Đờng chu trình 2.1 Đờng 2.2 Chu trình Đồ thị liên thông Đồ thị đồ thị phận 11 11 12 13 13 13 14 15 IV Các dạng biểu diễn đồ thị 15 Biểu diễn hình học đồ thị Sự đẳng cấu Một số đồ thị đặc biệt 3.1 Đồ thị 15 16 17 17 3.2 Đồ thị đầy đủ 3.3 Đồ thị bánh xe 3.4 Một vài ứng dụng đồ thị đặc biệt Biểu diễn đồ thị máy tính 4.1 Biểu diễn ma trận kề 4.2 Danh sách cạnh (cung) 4.3 Danh sách kề 17 17 18 19 19 22 22 Chơng Số ổn định tô màu đồ thị 24 I Số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị 24 Số ổn định Số ổn định Nhân đồ thị Các thuật toán tìm tập ổn định cực đại, ổn định cực tiểu 4.1 Thuật toán tìm số ổn định 4.2 Thuật toán tìm số ổn định 24 24 24 25 II tô màu đồ thị 29 Sắc số đồ thị Tô màu đồ thị phẳng 2.1 Đồ thị phẳng 2.2 Định lý màu (Kempe - Heawood) 2.3 Bài toán màu (Appel - Haken) Ví dụ ứng dụng 29 31 31 31 32 32 Chu trình, đờng Euler hamilton đồ thị 35 25 25 ứng dụng đồ thị lập trình chơi cờ Ca rô 26 Chơng I Chu trình đờng Euler 35 Chu trình Euler 35 1.1 Định nghĩa 35 1.2 Thuật toán tìm chu trình Euler 37 Đờng Euler 2.1 Định nghĩa 2.2 Thuật toán tìm đờng Euler 38 38 II Chu trình đờng Hamilton 39 38 Chu trình Hamilton 39 Đờng Hamilton 40 Thuật toán liệt kê tất chu trình Hamilton 41 Chơng Đờng ngắn đồ thị 42 I Đờng ngắn đồ thị trọng số 42 Định nghĩa Thuật toán Ii Đờng ngắn đồ thị có trọng số 42 42 43 Các khái niệm Thuật toán tìm đờng ngắn cho đồ thị có trọng số 43 44 2.1 Cơ sở thuật toán tìm đờng ngắn 44 2.2 Thuật toán Dijkstra 45 2.3 Thuật toán Ford - Bellman 45 2.4 Thuật toán Floyd 47 III ứng dụng 47 ứng dụng truyền tin 47 ứng dụng việc lập lịch thi công công trình 50 IV Chơng trình mô tả thuật toán Dijkstra tìm đờng ngắn Chơng Một số vấn đề 53 56 I Các khái niệm tính chất 56 Định nghĩa Một số khái niệm Cây m phân Các ứng dụng 56 57 58 58 4.1 Mã tiền tố 4.2 Cây biểu diễn biểu thức 4.3 Cây định 4.4 Cây xếp tìm kiếm 4.4.1 Sắp xếp chèn với tìm kiếm nhị phân 4.4.2 Thuật toán xếp hoà nhập 4.4.3 Thuật toán xếp nhanh 58 61 62 63 63 65 68 II Cây bao trùm 70 Định nghĩa tính chất Các thuật toán tìm bao trùm 2.1 Thuật toán theo lý thuyết 2.2 Thuật toán tìm kiếm u tiên chiều sâu chiều rộng 2.2.1 Kỹ thuật quay lui 2.2.2 Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu 2.2.3 Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng 2.3 Chơng trình thể cho thuật toán 2.3.1 Chơng trình Pascal thuật toán quay lui 2.3.2 Chơng trình cho thuật toán tìm kiếm chiều sâu chiều rộng Cây bao trùm bé 3.1 Định nghĩa 3.2 Thuật toán tìm bao trùm bé 3.2.1 Thuật toán Kruskal 3.2.2 Thuật toán Prim 3.2.3 Chơng trình thể thuật toán 3.3 ứng dụng cho toán kết nối hệ thống mạng Cây bao trùm lớn 4.1 Định nghĩa 4.2 Thuật toán tìm bao trùm lớn 70 71 71 71 72 72 73 73 73 74 76 76 76 76 77 78 81 81 81 81 Kết luận Tài liệu tham khảo 83 84 Chơng số vấn đề đồ thị I Các định nghĩa đồ thị Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh này, loại đồ thị khác đợc phân biệt kiểu số lợng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Giả sử X tập hữu hạn, không rỗng phần tử U XìX Bộ G = đợc gọi đồ thị hữu hạn Mỗi phần tử xX gọi đỉnh phần tử u = (x,y) U gọi cạnh đồ thị G = Xét cạnh u U tồn đỉnh x, y X cho u = (x, y), ta nói x nối với y x y thuộc u x u y - Nếu cạnh u = (x, y) mà x y hai đỉnh phân biệt ta nói x, y hai đỉnh kề - Nếu u = (x, x) u cạnh có hai đỉnh trùng ta gọi khuyên - Nếu u = (x, y) mà x,y cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hớng từ x đến y u cung, x gốc y x đỉnh ra, y đỉnh vào - Khi cặp đỉnh (x, y) có nhiều cạnh ta nói cạnh cặp đỉnh cạnh song song cạnh bội y x y x y a) b) c) a Tại đỉnh y có khuyên b Một cung có hớng từ x sang y c Cặp đỉnh (x, y) có cạnh song song Hình 1.1 Trong thực tế ta gặp nhiều vấn đề mà dùng mô hình đồ thị để biểu diễn, nh sơ đồ mạng máy tính, sơ đồ mạng lới giao thông, sơ đồ thi công công trình z[k]:=x[i];inc(i); End Else Begin z[k]:=x[j];inc(j);End; Inc(k); End; If i>m Then for K:=j to n Do z[k]:=x[k] Else for k:=i to m Do z[n+k-m]:=x[k]; End; Procedure Merge(l,r:integer); Var i,m:integer; Begin If l G' gọi bao trùm G Theo tính chất G' bao trùm phải có n - cạnh đồ thị liên thông chu trình Trong đồ thị có nhiều bao trùm d d e a e b c a b c a) b) hình 2.1 Ví dụ nh hình 2.1.b bao trùm đồ thị hình 2.1.a Định lý: Cho đồ thị G = , G có bao trùm G đồ thị liên thông Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử G có bao trùm G' Ta G liên thông Thật vậy, G không liên thông tồn cặp đỉnh x, y mà chúng không đợc nối đờng nào, mà x, y đỉnh G' Chứng tỏ G' không liên thông, trái với giả thiết G' Điều kiện đủ: Giả sử G liên thông ta chứng minh G có bao trùm, vì: - Nếu G chu trình theo định nghĩa G cây, bao trùm - Nếu G có chu trình bỏ cạnh chu trình ta đợc G' liên thông chu trình, G' bao trùm Các thuật toán tìm bao trùm Xét đồ thị G = liên thông có n đỉnh, ta có thuật toán tìm bao trùm nh sau: 2.1 Thuật toán theo lý thuyết Giả sử G chu trình bao trùm Nếu G có chu trình chu trình đơn bỏ cạnh đồ thị liên thông Nếu G chu trình đơn bỏ tiếp cạnh không chu trình ta đợc đồ thị G' nhận đợc từ G G' bao trùm G Thuật toán có ý nghĩa lý thuyết số đỉnh lớn, chu trình lớn việc kiểm tra chu trình máy tính đòi hỏi nhiều tính toán 2.2 Thuật toán tìm kiếm u tiên chiều sâu chiều rộng Rất nhiều thuật toán đồ thị đợc xây dựng dựa sở duyệt tất đỉnh đồ thị cho đỉnh đợc thăm lần, mục ta đề cập tới thuật toán đồ thị thăm đỉnh theo nguyên tắc Đó thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu chiều rộng, chúng đợc sử dụng để tìm bao trùm đồ thị, chúng đợc sử dụng thuật toán tìm đờng đi, tìm thành phần liên thông, kiểm tra tính liên thông Trớc vào thuật toán, ta đề cập tới yếu tố cấu thành nên ý tởng nhiều thuật toán đồ thị kỹ thuật quay lui Đây kỹ thuật kỹ thuật lập trình có nhiều áp dụng, đặc biệt áp dụng giải thuật tìm kiếm theo chiều sâu 2.2.1 Kỹ thuật quay lui Nội dung kỹ thuật quay lui tóm tắt nh sau: Dùng định, biểu thị lời giải Để tìm nghiệm kỹ thuật quay lui, trớc tiên tạo dãy định (càng dài tốt) để tiến tới lời giải Dãy định biểu thị đờng định Mỗi biết đợc có lời giải từ dãy định ta quay lui lại đỉnh cha đỉnh để hớng tới lời giải dãy định khác (nếu có thể) Thủ tục tiếp tục tìm đợc lời giải kết luận lời giải Ví dụ cho tập A = {1, 2, 3, 4} tìm tập A gồm phần tử cho tổng phần tử tập Trớc hết ta xây dựng định cho toán nh sau: 2 3 4 Hình 2.2 Mỗi nhánh phần tử tập phần tử A, dãy liên tiếp đờng gồm nhánh từ gốc tới tập A, tổng tập Dãy định cho lời giải nh sau: Đầu tiên theo nhánh - - tổng dãy Không phải, quay lui nhánh nhánh vào nhánh đợc: - - Không quay lại nhánh tiếp nhánh đợc: - - 8, nghiệm cần tìm, tập cần tìm {1, 3, 4} Đây toán tổ hợp có tính đệ quy, rõ ràng ta thấy đợc áp dụng kỹ thuật 2.2.2 Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu Bớc 1: Lấy đỉnh làm gốc bao trùm Bớc 2: Xây dựng đờng từ đỉnh cách lần lợt ghép thêm cạnh vào, cho cạnh ghép nối đỉnh cuối đờng với đỉnh cha thuộc đờng Bớc thực ghép thêm cạnh đợc Bớc 3: Nếu đờng chứa tất đỉnh đồ thị G bao trùm cần tìm Ngợc lại thực tiếp bớc sau đây: Bớc 4: Quay lui lại đỉnh trớc đỉnh cuối đờng xây dựng đờng xuất phát từ đỉnh Nếu không xây dựng đợc đờng từ đỉnh lùi tiếp lại đỉnh đờng lặp lại trình xây dựng đờng dài tốt Bớc 5: Vì đồ thị hữu hạn nên trình sau số hữu hạn bớc dừng lại cho ta bao trùm G = 2.2.3 Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng: Bớc 1: Chọn đỉnh làm gốc Bớc 2: Ghép cạnh liên thuộc với đỉnh Các đỉnh kề với gốc bớc nằm mức (với thứ tự tuỳ ý) Bớc 3: Tiếp tục với đỉnh mức 1, ta ghép cạnh liên thuộc cho chúng không tạo nên chu trình Các đỉnh kề đợc tạo bớc nằm mức Bớc 4: Quá trình dừng lại sau số bớc làm việc (do tập cạnh hữu hạn) tất đỉnh đồ thị đợc ghép vào 2.3 Các chơng trình thể thiện cho thuật toán: 2.3.1 Chơng trình Pascal thuật toán quay lui thể hình 2.2 { m tổng tập con, n số phần tử tập A, k số phần tử tập A} Var s: Array[1 10] Of Integer; t,n,k,m,tg: Integer; Procedure Try(h,a:Integer); Var i: Integer; Begin h:=h+1; For i:=a to n-(k-h) Begin s[h]:=i; If h[...]... nhng đồ thị vô hớng tơng ứng là liên thông 4 Đồ thị con và đồ thị bộ phận Cho đồ thị G = - Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh đó thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc là nếu D = là đồ thị con của G = thì X' X và U' U - Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhng giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của. .. loại đồ thị tổng quát nhất A B D A B C a) Hình 1.3 a Đa đồ thị D C b) b Giả đồ thị II Các loại đồ thị 1 Đồ thị vô hớng Đồ thị G= đợc gọi là đồ thị vô hớng nếu tất cả các cạnh e U mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y) X không phân biệt thứ tự Đồ thị vô hớng là đồ thị không có bất kỳ một cung nào Ví dụ: nh hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hớng 2 Đồ thị có hớng Đồ thị G = đợc gọi là đồ thị. .. và trọng số của cạnh có thể là khoá phục vụ cho việc xử lý và tìm kiếm, tra cứu thông tin khi cần thiết II tô màu đồ thị 1 Sắc số đồ thị Sắc số đồ thị G là số màu tối thiểu cần dùng để tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau Ta ký hiệu sắc số của đồ thị G là (G) Định lý 1: Cho đồ thị n đỉnh G = Nếu đồ thị là đầy đủ thì sắc số của nó bằng số đỉnh của đồ thị, tức... phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G IV Các dạng biểu diễn của đồ thị 1 Biểu diễn hình học của đồ thị Để có cái nhìn trực quan ta thờng biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian Phơng pháp biểu diễn nh sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đờng (cong,... nh nhau 3 Một số đồ thị đặc biệt Do tính chất, dạng biểu diễn có những nét đặc thù riêng biệt nên ta phân loại một số đồ thị thành các dạng đặc biệt sau: 3.1 Đồ thị đều Là một đồ thị mà mọi đỉnh có cùng bậc, nếu bậc này bằng k thì đó là đồ thị k - đều a) b) c) d) Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều Trờng hợp riêng nh đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng ký... máy đều kết nối trực tiếp với nhau, với kiểu này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ Kn (hình 4.7.d) 4 Biểu diễn đồ thị trên máy tính Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng đó Nên việc biểu diễn và lu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng tâm, phơng thức biểu diễn từng loại đồ thị. .. tự Đồ thị có hớng là đồ thị mà mọi e = (x, y) X đều là cung A B C Hình 2.1 Đồ thị có hớng 3 Đồ thị hỗn hợp Đồ thị G= vừa có cạnh vô hớng, vừa có cạnh có hớng thì nó đợc gọi là đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi đợc dùng tới Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính tơng đối, hiện nay vẫn còn cha mang tính thống nhất chuẩn trên nhiều tài liệu III Một số. .. một đồ thị 2 Đồ thị đơn Đồ thị G = đợc gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ đợc nối với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội, không có khuyên Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn 3 Đa đồ thị Đồ thị G = đợc gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh đợc nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên 4 Giả đồ thị Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có... Haken) Phát biểu: Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4 Bài toán 4 màu đợc phát biểu nh trên đợc chứng minh bằng phép thử trên máy tính trong nỗ lực nhằm thay thế cho định lý 5 màu 3 Ví dụ ứng dụng Vấn đề tô màu đồ thị cũng có nhiều ứng dụng thực tế nh tô màu bản đồ, công tác lập lịch Với đồ thị phẳng ta có thể mô hình cho một bản đồ, trong đó mỗi miền bản đồ thì tơng ứng là một đỉnh, hai miền... trình trong đồ thị G Hãy "đánh dấu xoá" các cạnh trong P 1 Nếu sau khi "đánh dấu xoá" các cạnh trên đờng P1 tạo ra một số đỉnh cô lập mới thì hãy "đánh dấu loại bỏ" các đỉnh cô lập mới đó Kết quả thu đợc sẽ là một đồ thị mới G1 = là đồ thị con của đồ thị G = đã cho Ta chỉ ra đồ thị G 1 thoả mãn một số tính chất sau: - Chu trình P1 trong đồ thị G và G1 có đỉnh chung, bởi vì G là đồ thị