Giải tích số phạm kỳ anh

203 727 3
Giải tích số  phạm kỳ anh

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TH VIN I IIC TIIUY SN 519.4 Ph 104 A GII T ( Sweep, method J / -I n p u^ t , n , A , ? / 1h m 1/n X ằ= l, 2, ,n-l K ~ i r ~ = +Êi^i mi = n, = (2 -M )/5 ; > - 2)/S; = 2/i/5 i c, * a i / ( a 0h - > 1, cond(A) = ( e n ) Qua nhng vớ d trờn, ta thy quỏ trỡnh gii s mt bi toỏn, cú th ny sinh nhiu m toỏn lý thuyt khụng quan tõm v khụng gii quyt c Nh vy, cn phi cú m t khoa hc riờng, chuyờn nghiờn cu vic gii s cỏc bi toỏn - ú chớnh l toỏn hc tớnh toỏn Đ3 Quan h gia toỏn tớnh v tin hc gii s mt bi toỏn thc t, ngi ta phi ln lt thc hin cỏc cụng on ca quỏ trỡnh mụ phng s sau: Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn thc t Phõn tớch mụ hỡnh: Tớnh tng thớch gia mụ hỡnh vi hin tng thc t v n tn ti (v cú th nht) ca li gii Phng hng tớnh toỏn Ri rc hoỏ mụ hỡnh: Ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp sai phõn phn t hu hn v.v quy bi toỏn liờn tc v bi toỏn vi s n hu hn Xõy dng thut toỏn cụng on ny, ngi ta cũn chỳ ý n cỏc : phc tap ca thuõt toỏn, tớnh hi t, n nh ca phng phỏp gii bi toỏn Ci t v khai thỏc tin hc Gia toỏn tớnh v tin hc cú mi liờn h m t thit v s tỏc ụng qua li Do vic tng tc tớnh toỏn ciia mỏy gp nhiu khú khn v k thut, hn na lai ũi hi chi phớ ln, nờn tớnh toỏn nhanh ngi ta thiờn v ci tin cỏc phng phỏp gii bi toỏn T ú xut hin phộp bin i nhanh Fourier, cỏc thut toỏn song song v.v Cựng vi s i cựa cỏc siờu mỏy tớnh: Mỏy tớnh song song, mỏy tớnh vector v.v , xut hin nhiu phng phỏp song song Hin ta c chng kin xu th song song hoỏ ang din t t c cỏc lnh vc ca Gii tớch tit kim b nh mỏy tớnh, ngi ta ó xut nhng phng phỏp hu hiu x lý h ln, tha: nh k thut nộn ma trn, k thut tin x lý m a trn V V Đ4 Mt S khỏi nim c bỏn ca Gii tớch hm 4.1 K hụn g gian m etric Hm s d a mi cp phn t {x,y} ca X vo ]R'} c goi l khong cỏch (hay metric) nu vi mi x , y , z X ta cú: V d Cho h phng trỡnh i s tuyn tớnh: Ax = b, ú A l ma trn vuụng cp n X n; b l vector n tc, cú th gii h (2.1) theo quy tc Cramer: _ ( 1) - chiu v detrỡ / Ve nguyờn / _ -X X l= A ( 2.2 ) = n ' ú A = detA, cũn Aj l nh thc ca ma trõn, nhn c t A bng cỏch thav ct th i bng ct b e tỡm nghim theo (2.2), ta phi tớnh (n + 1) nh thc Mi nh thc cú n! s hng Mi s hng cú n tha s, vy tớnh mi s hang phi thc hiờn (n ) phộp nhõn Nh vy, riờng s phộp nhõn phi thc hin (2.2) ó l n\(n + 1)(?1 ) Gi s n = 20 (trong thc t, ụi ta phi giihờ cho n = O(103)), v mỏy tớnh cựa ta thc hin c 105 phộp nhõn mt giõy Kh dú thc hiờn ht cỏc phộp nhõn theo (2.2) cng phi mt X 108 nm! V d u Xột h (2.1) vi ma trn A = diag(0.1,0.1, , 0.1) v n 100 Khi ú detrỡ = ~ 100 ~ , v theo quan im lý thuvt thỡ ma trõn A rt suy bin Thc hon ton khụng phi nh vv, A ~ ỡ = 10.E, ú E l ma trn n v Trong toỏn hc tớnh toỏn, ngi ta (lựng mt c trng khỏc, goi l s iu kin cond(A) ca A kim tra tớnh suy bin ca nú Nu cond(A) cng ln thỡ ma trn A cng gn suy bin Trong vớ d ny cond(A) = , v A c coi l ma trn iu kin - tt (well conditioned) V d u Hờ (2.1) vi ma trõn Hilbert thng gp oi toỏn xp xớ trung bỡnh phng bng a thc i s Ma trn A kh nghch v V' = (rtij), ú Tuy nhiờn, cho n vic gii h ny cũn l mt thỏch thc i vi nhng ngi lm ng dng e thy c khú khn vic gii s h (2.1) vi ma trn Hilbert, ta xột trng hp n gin n Ta cú h: ( //Z \l/3 1/2 1/ể 1/3 1/4 1/3 i/ 1/4 l/ i X 11/6 i'3 13/12 47/60 (2.3) Nghim ỳng ca ( ) l X * = ( 1, 1, 1) T Nu thay 1/3 ~ 0,333 v tỡm nghim theo nhng phng phỏp s t t nht, ta nhn c X ~ ( , 090 ; , 4880 ; , 491 ) T Kt qu hon ton khụng chớnh xỏc Nguyờn nhõn l m a trn Hilbert r t iu kin xu: Khi n > > cond(rỡ) = (en ) Qua nhng vớ d trờn, ta thy quỏ trỡnh gii s mt bi toỏn, cú the ny sinh nhiu m toỏn lý thuyt khụng quan tõm v khụng gii quyt c Nh vy, cn phi cú mt khoa hc riờng, chuyờn nghiờn cu vic gii s cỏc bi toỏn - ú chớnh l toỏn hoc tớnh toỏn Đ3 Quan h gia toỏn tớnh v tin hc gii s mt bi toỏn thc t, ngi ta phi ln lt thc hin cỏc cụng on ca quỏ trỡnh mụ phng s sau: Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn thc t Phõn tớch mụ hỡnh: Tớnh tng thớch gia mụ hỡnh vi hin tng thc t v n tn ti (v cú th nht) ca li gii Phng hng tớnh toỏn Ri rac hoỏ mụ hỡnh: Ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp sai phõn phn t hu hn v.v quy bi toỏn liờn tc v bi toỏn vi s n hu hn Xõy dng thut toỏn, cụng on ny, ngi ta cũn chỳ ý n cỏc : phc ca thut toỏn, tớnh hi t, n nh ca phng phỏp gii bi toỏn Ci t v khai thỏc tin hc Gia toỏn tớnh v tin hc cú mi liờn h m t thit v s tỏc ng qua li Do vic tng tc tớnh toỏn ca mỏy gp nhiu khú khn v k thut, hn na li ũi hi chi phớ ln, nờn tớnh toỏn nhanh ngi ta thiờn v ci tin cỏc phng phỏp gii bi toỏn T ú xut hin phộp bin i nhanh Fourier, cỏc thut toỏn song song v.v Cựng vi s i ca cỏc siờu mỏy tớnh: Mỏy tớnh song song, m ỏy tớnh vector v.v , xut hin nhiu phng phỏp song song Hin ta c chng kin xu th song song hoỏ ang din t t c cỏc lnh vc ca Gii tớch tit kim b nh mỏy tớnh, ngi ta ó xut nhng phng phỏp hu hiu x lý h ln, tha: nh k thut nộn ma trn, k thut tin x lý ma trn V V Đ4 Mt S khỏi niờm c bỏn ca Gii tớch hm 4.1 K h ụ n g gian m etric Hm so d a mi cp phn t {x,y} cta X vo IR'} c goi l khong cỏch (hay metric) nu vi mi x , y t z e X ta cú: bng ch s h phng trỡnh stt Ax = b cú ma trn A - ba ng chộo 2) Kho sỏt tớnh n nh ca lsp: Ui,j+1 ~ Uio = gi T (i = , n ) Uoj 1^nj\ '11\ j _ ô+!,j = 2h ( nh = l,j ij ( = ,n - ; j = , rn ) 1) 0,m); 'IIèT r 3) Chng minh rng lsp ~ 2U j + 'U j U - I j U j + U i + ] , j = j -m ,j+ ỡ Uio = g\o)\ = unj =0 ( = , n) = (j = 0, m); n/ớ = mr = T 1-l-e = khụng n nh 185 ^ \ = ,n - ; j = ,m - ) C hng X P H N G T R èN H T C H P H N Đ1 Phõn loai phng trỡnh tớch phõn tuyn tớnh Cho A l toỏn t tuyn tớnh, liờn tc a khụng gian tuyn tớnh nh chun X vo 11ể Ta gi phng trỡnh: Ax = f (1.1) ú / X cho trc., l phng trỡnh loi I Tip theo, phng trỡnh loi II cú dng: X A A / + ( / ', tham s A cú th xột trờn trng thc M hoc trng phc Fredholm nu (Ax)(t.) = c ) A l toỏn t tớch phõn K(t.,*)x(s)d*, Ja ú hm hai bin K ( t , s ) goi l nhõn ca, toỏn t tớch phõn A l toỏn t Volterra, nu (Ax)(t) = 1K (t, s).r(.s) = (Vj > 1) By gi ta tỡm nghim gn ỳng di dng n X = / + y ^ C i Do ch cú n tham s t C i, ,c nờn trng hp tng quỏt, ta ch cú th ũi hi lng khụng khp L x n f trc giao vi n vector (j = l , n ) , tc l: ( Lxn - f , j ) = Ta (j =T~n) (4.2) C.ể: n = (L x n = - A ( Af , >j) 4- c4(v>ú Vj) i= t /3 j:=(A(pi,j)\ j j:=(Af , (pj ) v Ơ>>)] ta cú th vit li h (4.2) di dng: Cớ'trỡ' - A/i,-j = 7j, =1 (j=I7n) (4.3) Nu nh thc, A(A) ca h (4.3) khỏc khụng, ta tỡm c C v ú tỡm c Ê Gi s nhõn K ( t , s ) thuc L 2([a, b] X [a, b)) Khi ú theo nh lý Fubini, K ( , s ) L2[a,.b] vi hu khp mi [a, )], v ú V.S [a, 6] K ( t , s ) = kn(s) K ( t , s ) L 2[a, b] vi hu khp mi s [a, 6], phng phỏp nhõn suy bin, v ú, phng phỏp Bubnov - Galerkin hi t Vớ d Tỡm vector riờlg v giỏ tr riờng ca toỏn t tớch phõn {Ax)(t ) = K ( t , s)x(s)ds, ú I3:=t(l t ) ( l 2t) Nghim x cú dng x A + Bt{ t) + Ct( t)( 2ớ) A L x = x AAa?3 = + JB[...]... {xn } c X hi t n phn t x Ê X (ký hiu: x n x) nu d(xn,x) 0(n oo) Anh x a khụng gian metric X vo khụng gian metric Y liờn tuc ti im X X khi v ch khi mi dóy x n * X suy ra A ( x n) * A(x) Dóy {Xn} l dóy Cauchy, hay dóy c bn, nu: Ve > 0 3N(e) Vn, m > N(e) d(xn, x m) < Ê Khụng gian metric X l thuc X * y , nu mi dóy c bn hi t n mt phn t no ú Anh x A a khụng gian metric (X, d) vo trong nú c goi l ỏnh x co... khụng th trỏnh khi trong mi quỏ trỡnh thc nghiờm Vỡ trong quỏ trỡnh thc nghim, cỏc yu t nh: Th trng, tõm lý ngi trc tip quan trc, chớnh xỏc hn ch ca cỏc thit b o, tỏc ng ngu nhiờn ca mụi trng xung quanh v.v cú th nh hng n kt qu quan trc Do ú xut hin sai s ngu nhiờn Trong tng trng hp c th, sai s ngu nhiờn cú th ỏnh giỏ c khi bit phõn phi xỏc sut ca nú Gi s i lng a c o n ln vi cỏc giỏ tr ai, ,an trong... chuyen tvr doan| t Tl ny qua doan khõc * 3) De V( e [0 ^ ; |f^ | = ^ S = 1 nờn 1 MOI gim dn| khi i thay dụi tvr 0 dờn n /2 sau do lai tang do tinh chat dụi xvrng cựa p 29 4) Ngoi oan [0,n] ip(t) tng r t nhanh T 4 tớnh cht ca >(t) ta rỳt ra hai kt lun sau: a) Phn d R(x) r t ln ngoi on [cr0,x n, do ú dựng cụng thc ni suy thc hin phộp ngoi suy s mc phi sai s ln b) Phộp ni suy cú chớnh xỏc cao i vi cỏc on

Ngày đăng: 17/09/2016, 19:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan