PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 11 §4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT) II Ứng dụng hình học Tính diện tích hình phẳng a) Đường cong cho toạ độ Descarter +) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b b S  f1  x   f2  x  dx a +) x = g1(y), x = g2(y), y = c, y = d d S  g1  y   g2  y  dy c Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường: x3 b) y = x y  a) y = x(x  1)(x  2) trục Ox c) x = y (y  1) trục Oy x2 d) y = x , y  , y = 2x x2 e) x + y  8, y  x2 f) y  , y 1 x2 2 2 g) y  x  x  1    ) 2) x  y , x  y  2y (  ) 4 b) Đường cong cho dạng tham số h) 1) x  y , x  y  2y ( x  x t  +)  ,   t  , không kín Khi S  y  y t    y t  x t  dt  x  x t  +)  ,  t  T, kín, giới hạn miền nằm bên trái Khi y  y t  T T T     x  t  y  t   x t  y t dt S   y  t  x   t  dt  x  t  y   t  dt  0 Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường cong: a) x = a cost, y = b sint,  t  2 b) Cycloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost),  t  2, y  c) Astroide: x = a cos3t, y = b sin3t 48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d) Cardioide: x = a(2cost  cos2t), y = a(2sint  sin2t) e) x = 3t2, y = 3t  t3 f) x = t2  1, y = t3  t 3at 3at , y 1 t3 1 t3 c) Đường cong toạ độ cực: r = r(),  = ,  =  g) Lá Descarter: x   Khi có S  r   d   Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường cong: a) r = R b) r = a cos2 (hoa hồng cánh) c) r = a sin3 (hoa hồng cánh) d) r = a(1 + cos) (cardioide) e) r2 = a2 sin4 a  f) r = a cos, r = a(cos + sin), miền chứa điểm  ;  2  g) r = 2a cos3, r  a Tính thể tích a) Thể tích vật thể có tiết diện thẳng góc với Ox với diện tích S(x) hàm liên b tục, a  x  b V  S  x  dx  a Tương tự vật thể có tiết diện thẳng góc với Oy với diện tích S(y), c  y  d d ta có V  S  y  dy  c b) Vật thể tròn xoay tạo quay hình y = f(x), y = 0, x = a, x = b b quanh trục Ox tích V   y  x  dx  a Tương tự quay hình x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy tích d V   x  y  dy  c  Khi quay y = f(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tạo nên vật thể tròn xoay b tích V  2 xy  x  dx  a c) Khi quay r = r(),         quanh trục cực tạo nên vật thể tròn xoay 2 tích V   r   sin d  Ví dụ Tính thể tích vật thể 49 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2 a) x + y + z  R thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b) x2 a2  y2 b2  z2 c2 1 c) Quay y = sinx, y = 0,  x   quanh trục Ox ; trục Oy d) z  x2 y  ,z=1 x2 y e)   z  1, z = 1, z = g) z = x + 2y2, x2 + 2y2 + z2 = f) x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2 h) Quay nhịp đường xicloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost) quanh trục Oy; Ox y = 2a i) Khi quay hình y  x arccot x , y = 0, x = 0, x = quanh trục Ox    ln2 (   ) 16 k) Khi quay hình y  x arctan x , y = 0, x = 0, x = quanh trục Ox    ln2 (   ) 16 l 1) Khi quay hình y  2) Khi quay hình y  x arctan x 1 x2 xarc cot x 1 x2  ) , y = 0, x = 1, quanh trục Ox, ( , y = 0, x = 1, quanh trục Ox, 2  ( ) m 1) Khi quay hình phẳng y  e x  1, y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy, ( )  2) Khi quay hình y  ln( x  1) , y = 0, x=0, x = 1, quanh trục Oy, ( ) 128 n 1) Giới hạn x  z  , y  z  ( ) 128 2) Giới hạn x  y  , x  z  ( ) 3 Tính độ dài cung  : y = y(x), a  x  b, y’(x) liên tục [a ; b], có s  a) AB b   y 2  x dx a  : x = x(t), y = y(t),   t  , có s  b) AB   x 2  t   y 2  t dt   : r = r(),     , có s  c) AB    50 r    r 2   d PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tính độ dài đường cong a) x2 + y2 = R2 b) y2 = x3 từ (0 ; 0) đến điểm có hoành độ x = c) r = a(1 + cos) x a d) y   e x / a  e  x / a  e) y   cos tdt  /2 f) Tìm chu vi tam giác cong giới hạn Ox, y = ln cosx y = ln sinx (8  ) g 1) x = t + cost, y = sint,  t   2) x = sin2t, y = 2t  cos2t,  t   (8) 3) y = arcsin ex,  x  ln2 ( ln    )  x  t  h)  , 0t  48 y   t   x  2t  cos 2t i 1)  ,0 t   y  sin 2t  x   t k 1)  , 0t   y   3t  x   t 3)  , 0t   y   3t ( 26 ) (8)  x  sin2t 2)  ,  t   (8)  y  2t  cos 2t (19)  x   3t 2)  , 0t   y   2t  x   3t 4)  , 0t  3  y   2t (19) t    t   x  cos t  ln tan , l 1)  (ln 2)  y  sin t ,  x  sin t  2)  t   y  cos t  lncot ,  t   x m 1) y   (  ln ) 3 [t ln(t  1)]2  1dt ,  x  ( 4ln  ln3  ) x 2) y   [(t  1)ln t ]2  1dt ,  x  (12ln  15 11 ln3  ) 4 Tính diện tích mặt tròn xoay a) y = f(x), a  x  b quay quanh trục Ox, f’(x) liên tục: b   2 y  y 2 dx (y  0)  a +) Tương tự, x = x(y), c  y  d quay quanh trục Oy, x’(y) liên tục: 51 (14) (14) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d   2 x  x2 dy (x  0)  c x  x t  b)  ,   t   quay quanh trục Ox y  y t     2 y  t  x2  t   y 2  t  dt (y  0)   Tương tự, quay quanh trục Oy    2 x  t  x2  t   y 2  t  dt (x  0)   c) r = r(),      quay quanh trục cực    2 r   sin r    r 2  d   Ví dụ Tính diện tích tròn xoay a) y = tanx,  x  /4 quay quanh trục Ox b) x2 + y2 + z2 = R2 c) r = 2R sin quay quanh trục cực d) r = a(1 + cos) quay quanh trục cực e) x = a(t  sint), y = a(1  cost),  t  2 quay quanh trục Ox ; Oy  x x   a a  a2 a f) Quay đường y  e  e ,  x  a quanh trục Ox ( (e  e2  4) ) g) x2 a2  y2 b2  z2 b2 1 h) x 2/3  y 2/3  a 2/3 quay quanh Oy; quay quanh y = x i) Tính diện tích mặt tròn xoay tạo đường tròn (x + 3)2 + y2 = quay quanhtrục Oy (122)  g) 1) y  cos x ,  x   , quay quanh ox (  [  ln(1  2)] )  2) y  sin x ,   x  , quay quanh ox (  [  ln(1  2)] ) 288 3) r  3(1  cos ) , quay quanh trục cực ( ) Have a good understanding! 52