PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 10 §3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG (TT) Các dấu hiệu hội tụ f x Hệ Nếu có lim  k  0 ;     x  g  x     f  x  dx ,  g  x  dx a hội tụ a phân kì f x Nếu có lim  x  g  x     g  x  dx hội tụ   f  x  dx hội tụ a f x Nếu có lim   x  g  x  a    g  x  dx phân kì   f  x  dx phân kì a a Ví dụ Xét hội tụ, phân kì  a)  x  dx  d)  0 h) x arctan x   g)  1 x3 1 x b) e) (  dx x ln  ln x  f) x.2 dx dx  x ln x 3/2 e (HT) i)  1 x.3 x 1 dx (HT)    x  x  x  13  x 1 x10 dx (HT với  < 1, PK với   1)   l) c) 10 ln   2x  dx 2 x    dx  ln 1  x  dx x k)   dx (HT) x  3x x   x )dx (HT)  m) 1)  ln(2  x ) dx x  (PK) 2)  sinx  b) f(x) có dấu tuỳ ý Nếu x  dx ,   (HT)   f  x  dx hội tụ  a  f  x  dx hội tụ Khi ta bảo a   f  x  dx hội tụ tuyệt đối a  Còn    f  x  dx hội tụ mà  f  x  dx phân kì ta bảo  f  x  dx bán hội tụ a a a 43 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x    Tiêu chuẩn Dirichlet Nếu F ( x )   (t )dt bị chặn x  + a a ( x ) dx x hội tụ   > (a > 0) Ví dụ Xét hội tụ, phân kì  a)   d)   g)  ln 1  x  dx x b)  e  x cos x x2  dx e)  dx 1 x  x  dx  x k ln x f)  x sin ax  b2  x dx, a, b  h) e sin x sin 2x x   c)   dx,   i)  x  1 dx x  x3  x  sin x k x dx x  sin x  cos x dx II Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 1) Định nghĩa f(x) bị chặn khả tích [a ; b  ],    (0 ; b  a), f(b  0) không giới nội (khi b gọi điểm bất thường), b  b  f  x  dx  lim  0  a f  x  dx a Ta bảo tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn (hữu hạn) phân kì trường hợp lại Tương tự f(x) khả tích [a +  ; b],   (0 ; b  a), f(a + 0) không bị b chặn (khi a điểm bất thường), b  f  x  dx  lim  0  a f  x  dx a  Tích phân suy rộng hội tụ  vế phải tồn (hữu hạn) b c b - Nếu f(x) không bị chặn x = c  (a ; b), ta có f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx   a a  c Tích phân suy rộng vế trái hội tụ  hai tích phân suy rộng vế phải hội tụ Ví dụ Tính xét phân kì a) dx  1  x   (HT với  < 1, PK với   1) b) 1/ e dx  x ln2 x c) d) f)  x 2dx  x    x   ex g)   x dx 1 3x  x 1 x2 e) 44  x ln xdx 1 dx dx h)  1 ln   x  dx x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo i) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dx  1 x2   k) 1 x2 n  ln x  dx, n    l) ln 1 1 x x3 dx 1 x 1 x 2 Các dấu hiệu hội tụ a) f(x)  Định lí f(x) có b điểm bất thường, có f(x)  g(x),  x  (a ; b  ) Khi b Nếu b  g  x  dx hội tụ   f  x  dx hội tụ a b Nếu a b  f  x  dx phân kì   g  x  dx phân kì a a f x Hệ lim = k  (0 ; +)  x b  g  x  b b  f  x  dx  g  x  dx hội tụ a a phân kì b Nếu k = 0, từ b  g  x  dx hội tụ   f  x  dx hội tụ a a b Nếu k = +, từ b  g  x  dx phân kì   f  x  dx phân kì a a b) f(x) có dấu thay đổi b Nếu b  f  x  dx hội tụ   f  x  dx hội tụ,  f  x  dx hội tụ tuyệt đối a b Nếu b a b a b  f  x  dx hội tụ  f  x  dx phân kì ta nói  f  x  dx bán hội tụ a a a Ví dụ Xét hội tụ, phân kì tích phân sau a)  1 x4 e) dx  /2   x dx  ln x 1 x m) 1) e b) sin2 x i) x f)  dx k) dx x c) 1 ln  sin x  dx g) x dx  x(1  x ) (HT)  e sin x  x e x  ex  2) 1 x dx h) dx  sink x m  ln( x    esin x    cos x 0 45  xdx ln 1  x  l) dx d) 1 x2   /2 x 3 x 2dx x  x) dx dx (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo n) 1)  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t anx dx (PK) 2) x (4  x )  dx (HT) (1  x )t anx b   Chú ý Khi f có điểm bất thường a f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx ; tích   a  a b phân suy rộng vế trái hội tụ  hai tích phân suy rộng vế phải hội tụ Ví dụ Xét hội tụ, phân kì tích phân sau:  a)  x5  1  c) (HT) 2sin x  sin2 x  x3 ln 1   f)  dx x  dx (HT)  h 1) sin  x  1    x  14 dx (HT) 2) i 1)   sin  x    x  3 ln  x  e x  x xx 2) k) Tìm a để tích phân sau hội tụ: e) x (HT) dx (HT) 3)    9x  x dx (HT)  (HT) (HT) dx  (HT) dx  x  sin x dx x  g)  x  4x  2x dx d) dx q x p  ln x   cos x  cos 2x  x ln 1  b) ln  x  e x  x xx cos x dx x xa  x  ln 1  x  dx dx (HT) (HT) (a > 3)  l) x dx (HT) x x Ví dụ Tính  a)  b d)  a dx x x 1  b)  arctan  x  1 dx  x  1  c) dx   x  cos  ,    2 x 1 dx  x  a  b  x  Nhận xét Liên hệ hai loại tích phân suy rộng ? §4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Sơ đồ tổng tích phân, vi phân 1) Sơ đồ tổng tích phân Giả sử cần tính A(x), x  [a ; b], A(x) thoả mãn tính chất cộng, ta tính A theo sơ đồ sau: 46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Chia [a ; b] thành n phần điểm chia x0  a < x1 < x2 < < xn  b n +) Phân tích A thành tổng A   Ai , A đại lượng A x i i i 1 +) Tìm hàm số f(x) cho Ai  f(i)(xi  xi1), i  [xi  ; xi] n +) Tính gần đại lượng A: A   f   i   xi i 1 b +) Sử dụng định nghĩa tích phân, có A  f  x  dx  a Ví dụ Tính diện tích hình thang cong 2) Sơ đồ vi phân Cần tính A(x), x  [a ; b], A(x) thoả mãn tính chất cộng, ta tính A theo sơ đồ vi phân: +) Lấy x  [a ; b], lấy x + dx +) Tính A(x), A(x + dx) +) Tìm phần bậc dA A +) Lấy tích phân dA từ a đến b Ví dụ Cho điện tích e1 đặt gốc O, tính công lực đẩy F sản điện tích e2 di chuyển từ điểm M1 có hoành độ r1 đến điểm M2 có hoành độ r2 trục hoành Ox +) Gọi A(x) công lực đẩy F sinh e2 di chuyển từ M1 đến M(x) ee +) Ví dx bé nên coi F không đổi [x ; x + dx] 22 x ee +) dA  22 dx x r2 +) A   r1 r2 dA   r1 e1e2 x 1 1 dx  e1e2     r1 r2  Ví dụ Tính áp lực lên mặt đĩa phẳng chìm nước hình b  F  whxdh , w trọng lượng riêng nước = a tấn/(ft)3 32 Ví dụ Công lực có độ lớn f(x) > tác động vào vật chuyển động thẳng từ x = a đến x = b HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 47