PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG (TIẾP THEO) Đặt vấn đề 1 “Cấu trục giới hoàn hảo nhất, sáng tạo người thông minh Không có xảy giới mà tham gia lí thuyết cực đại, cực tiểu” – Euler 2 Tia sáng qua gương: Heron, cực tiểu đường đi, kỉ trước công nguyên 3 Tia sáng qua nước, Fermat 1657, sin   const , cực tiểu thời gian cos  Công thức khai triển Taylor, Maclaurin Định lí f(x) có f(k)(x) (k = 1, 2, , n) liên tục x0 có f(n + 1)(x) U0 ( x0 ) n f x    k 0 f k   x0  k!  x  x0  k  f  n 1 c  n 1 x  x0    n  1 ! c x0 x0 + (x  x0),    Khi x0 = ta có công thức Maclaurin Ví dụ Viết công thức Taylor f(x) = x4 x0 = Ví dụ Viết công thức Maclaurin f(x) = xex đến x2 Công thức Maclaurin số hàm x2 xn ec  e  1 x    x n 1,  x   , c x; 2! n !  n  1 ! x   sin  c   2n    x x n x   x 2n  ,  x   ,  sin x  x       1   2n  1 !  2n   ! 3! 5! 2n 1 c x;   cos  c   2n  1  x x n x   x 2n 1,  x   ;  cos x        1      2! 4! 2n ! 2n  ! 2n c x;    1    1     1  x     x  x  x  2! 3!  Rn(x) =    1   n  1 n x  Rn  x  , x  , n!    1     n     n 1 n 1 1 c  x , c x;  n  1 ! 21 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  ln 1  x   x  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n x x3 x x n 1 n 1 x n       1   1 , x  1, n 1 n  n  1 1  c  c x Ví dụ Tính gần sin40 với sai số  < 0,0001  sin 40  sin 2  2    0,77      0,0000163 7! 7! 2  2   2   sin 40         0,6428 3!   5!   Ví dụ Tính gần e với sai số  < 0,00001 Ví dụ  x  ax  sin2 x ,x   a) Tìm a để f  x    x ln 1  x   x 0 0, khả vi x = (a   )  x  ax  ln(1  x ) ,   2x b) Tìm a để f  x     x e 1  0, khả vi x = x0 x 0 (a   ) Quy tắc L'Hospital, ứng dụng khai triển hữu hạn a) Quy tắc L'Hospital Định lí L'Hospital f(x), g(x) khả vi U U  x0  , 0  x0  , f(x0) = g(x0) = 0, g'(x)  f  x f x  A    lim A x  x0 g   x  x  x0 g  x  lim Định lí L'Hospital f(x), g(x) khả vi lim g  x    , g'(x)  U x  x0  Chú ý  x0  , U  x0  \{x0}, lim f  x    , x  x0 f  x f x  A    lim A x  x0 g   x  x  x0 g  x  lim  Quy tắc L'Hospital thay x0 =   Có thể áp dụng nhiều lần quy tắc L'Hospital  Quy tắc L'Hospital điều kiện đủ mà không điều kiện cần 22 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x  cos x x  3x tan x  x x 0 x  sin x Ví dụ lim Ví dụ lim ex Ví dụ lim x  + Ví dụ lim x ln x,  > x 2009 x 0   x Ví dụ lim    x 1 x  ln x  x 0 x x  Ví dụ lim  tan  x   2x   Ví dụ lim x x x 0 sin x Ví dụ lim  arctan x  x 0  ln x 2x Ví dụ lim x 1  (1)  cot x Ví dụ 10 a) lim 1  sin x  (1) tan x b) lim 1  cos x   x (1) x 0  cos x c) lim 1  x  (1) x 1 2  Ví dụ 11 lim  arctan x  x     x (e  ) Ví dụ 12 a) lim  sin x  cos x  tan2 x  x cot x b) lim  cos x  sin x  ( e) x 0 (e  2) Ví dụ 13  a) lim sin x  sin  x  x  b) lim  cos x   cos x  1 (0) x  Ví dụ 14 sin x  sin x a) lim cos2 x  x ( ) 12 cot2 x b) lim  cos x  x 0 (e  2) x2  ln(1  2t )dt c) lim x 0 x sin3 x (1) 1   e) lim   ( ) x 1  ln   x  x  1 2 g) 1) lim (cos )x x  x 1   d) lim   ( ) x 2  ln  x  1  x  cos x  cos x cos x x 0 cos x  cos x f) lim ( e 2 ) s2) lim ( x  23 x2  x2 ) x 1 ( ) ( e 2 ) (0) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 3) lim x sin x x 0 x 2 3) lim x ln(3  x ) ln(1  x )  sinx x x 0 4) lim ( )tan x x 0 x (1)  h) 1) lim tan thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( (1) x 2) lim (1  cos )tan x x 0 )  ( ) 4) lim e x -tanx-1 x x 0 ( 1) ( ) x 1  Ví dụ 15 a) 1) CMR: Bất phương trình x  ln    dt có nghiệm x >  t  x 2  2) CMR: Bất phương trình x  ln    dt có nghiệm x >  t  b) Cho f ( x ) liên tục lân cận x=1 CMR : lim f (1  h )  2f (1)  f (1  h ) h 0 h2  f (1) Hàm số đơn điệu Định nghĩa f(x) tăng (đồng biến) [a ; b]   x1, x2  [a ; b], x1 < x2  f(x1) < f(x2) f(x) giảm (nghịch biến) [a ; b]   x1, x2  [a ; b], x1 < x2  f(x1) > f(x2) Định nghĩa Hàm số f(x) đơn điệu [a ; b]  đoạn hàm số tăng (giảm, không tăng, không giảm) Định lí f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b) Nếu f(x) tăng (giảm) [a ; b]  f’(x)  (f’(x)  0) Nếu f’(x)  (f’(x)  0) (a ; b), có điểm x để f’(x) >0 (f’(x) < 0)  f(b) > f(a) (f(b) < f(a)) Hệ 1) f(a)  g(a), f’(x)  g’(x), x  (a ; b)  f(x)  g(x), x  [a ; b] 2) f(a) < g(a), f’(x) < g’(x), x  (a ; b)  f(x) < g(x), x  [a ; b] 4 Ví dụ a) x  y > CMR arccot x  arccot y  ln 4 b) x  y > CMR arctan x  arctan y  ln Ví dụ a) y2 x2 x2 y2 1) CMR: x > có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1) 2) CMR: x > có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1) b) 1) CMR (1  2x )ln  x  x ,  x   2) CMR (1  x )ln  x  x ,  x   24 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Bất đẳng thức hàm lồi Định nghĩa f(x) xác định [a ; b], f(x) lồi [a ; b]   t  [0 ; 1] ta có tf(a) + (1  t)f(b)  f(ta + (1  t)b) Nếu dấu “” ta có f(x) lõm [a ; b] Định lí Nếu f’’(x) > khoảng I  f(x) lồi [a ; b], a, b  I, a < b Nếu f’’(x) < khoảng I  f(x) lõm [a ; b], a, b  I, a < b Ví dụ a) CMR: x có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1) b) CMR: x có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1) Cực trị Định nghĩa f(x) xác định (a ; b), đạt cực đại x0  (a ; b)   U có f(x) < f(x0), x  U 0  x0  để  x0  \{x0} tương tự f(x) > f(x0), x  U  x0  \{x0} f(x) đạt cực tiểu x0 Định lí f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b) (có thể trừ hữu hạn điểm) Khi x biến thiên qua c, f’(x) đổi dấu từ + sang  f(x) đạt cực đại x = c Tương tự f’(x) đổi dấu ngược lại ta có f(x) đạt giá trị cực tiểu x = c Nếu f’(x) không đổi dấu x biến thiên qua c cực trị x = c Ví dụ y = x2, y = x3, y = |x| Định lí f(n)(x) liên tục U  c  có f’(c) = f’’(c) = = f(n  1)(c) = 0, f(n)(c)  0 Nếu n chẵn, đạt cực tiểu x = c f(n)(c) > đạt cực đại x = c f(n)(c) < Nếu n lẻ không đạt cực trị x = c  Cách tìm cực trị -) Tìm ci (a ; b): f   ci   , i  1, n không tồn f (ci ) -) Xét dấu f ( x ) x biến thiên qua ci , i  1, n f ( x )  c,  x  [a ; b] Định nghĩa max f  c   a ; b  x0  [a ; b] : f ( x0 )  c  Cách tìm max f, f -) Tìm ci (a ; b): f   ci   , i  1, n -) max f  max f  ci  , f  a  , f  b  ; f  minf  ci  , f  a  , f  b  a ; b  a ; b Ví dụ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 450m2 rào lại để thỏ không vào phá vườn Biết cạnh mảnh vườn tường Hỏi kích thước chiều dài cần rào ngắn bao nhiêu? 25 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Một kg khoai tây cửa hàng nhập vào có giá 70 cent, người bán hàng bán 500kg khoai tây với giá 1,5đôla/1kg Biết với cent mà người bán hàng hạ giá số lượng bán tăng gấp 25 lần Hỏi người bán hàng cần đưa giá khuyến để thu nhiều lợi nhuận Ví dụ Một tia sáng từ A đến mặt gương phẳng đến B theo luật phản xạ CMR: đường ngắn từ A đến B qua gương Có kết luận thay mặt gương mặt nước điểm B nằm nước? Ví dụ Tìm cực trị: a ) y  x  x  b ) y  x  x  (ymin(4) = ymin(0) = 0; ymax(3) = 9) (ymin(0) = ymin(8) = 0; ymax(6) = 36 ) c) y  x 1  x  3 20 (ymin(1) = ; ymax   = ) 25 5 d) y  1  x  x 3 20   (ymin(0) = ; ymax   = ) 25 5 e) y  x 1  x  2 ( y    0, y max    ) 3 f) y  2x  x  x2  ( y 1    85 85 , y max 1    ) 42 42 Ví dụ a) Tìm giá trị lớn nhất, bé y =   3x2  6arccot x2, 1  x  (max f = 3   ; f = 2 ) b) Tìm giá trị lớn nhất, bé y =  + 3x2  6arccot x2,   x  (max f =  2 , f =  ) 3 c) Chứng minh 2x arctan x  ln 1  x  , x   d) Chứng minh 2x arctan x  ln 1  x  , x   HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 26