PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§6, §7, §8) §6 Giới hạn hàm số  Đặt vấn đề a) lim 2x  ? x 1 ? x 0 x b) lim ? x  x c) lim I Định nghĩa  ĐN1 x0   điểm tụ X    (U  ( xo ) \  xo )  X   ,   >  ĐN2 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f  x   a   (xn)  X, xn  x0, xn  x0  f(xn)  a x  x0  ĐN3 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f  x   a    > bé tuỳ ý,  () > 0: < |x  x0| < ()  |f(x)  a| <  x  x0 Chú ý ĐN2  ĐN3 Ví dụ lim  x   Ví dụ lim cos x 2 x 0 x II Tính chất phép toán 1) Tính chất a) lim f  x   a, x  x0 lim f  x   b  a = b x  x0 b) lim f  x   a  lim  f  x   a   x  x0 x  x0 c) f(x) = c  lim f  x   c x  x0 d) f(x)  h(x)  g(x), x  U  x0  ; lim f  x   a  lim g  x   lim h  x   a x  x0 x  x0 x  x0 e) lim f  x   a , f(x)  c, x  U  x0  \ x0   a  c x  x0 f) lim f  x   a , a > p  f(x) > p, x  U0  x0  \ x0  x  x0 Phép toán a) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x   g  x    a  b x  x0 x  x0 x  x0 f x a  , (b  0) x  x0 g  x  b b) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x  g  x    a.b lim x x0 x x0 x  x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Khử dạng vô định a) Các dạng vô định  ; ; 0. ;    ; 1 ; 00 ; 0  b) Khử dạng vô định Sử dụng phép biến đổi đại số giới hạn đặc biệt x sin x 1  lim  ; lim     e x 0 x x   x Ví dụ lim x 0 x4 2 x  x 2 Ví dụ lim   x 1 x   x  b) lim   cos  x 0  3 Ví dụ lim   x  tan x 2 x 1 cot2 x Ví dụ a) lim  cos x  x 0 tan x ( 1) x x   sinx c) lim   x 0   sin x  (e  2) ( e9 ) III Giới hạn hàm hợp, phía, vô cực Giới hạn hàm hợp lim u  x   u0 , lim f u   a  lim f u  x    a x  x0 u u0 x  x0 Giới hạn phía Định nghĩa lim f  x   a    > bé tuỳ ý,  () > 0: < x  x0 < ()  |f(x)  a| <  x  x0 Định nghĩa lim f  x   b    > bé tuỳ ý,  () > 0: < x0  x < ()  |f(x)  b| <  x  x0 Mối liên hệ giới hạn phía giới hạn lim f  x   a  lim f  x   a  lim f  x  x  x0 x  x0 x  x0 Giới hạn vô cực giới hạn vô cực Định nghĩa lim f  x   a   (xn)   có lim f  xn   a n  x  Định nghĩa lim f  x   a    > bé tuỳ ý,  N() > 0: |x| > N()  |f(x)  a| <  x  Chú ý ĐN6  ĐN7 Ví dụ lim x  x2   x Ví dụ lim x  x  x  2x  x 1 x  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ lim thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1  x x  Ví dụ lim sin x  sin  x x  x 1 2  b) lim  cos  x   x lim f  x      (xn)   có lim f  xn    Ví dụ a) lim  cos x   cos x  1 (0), x  Định nghĩa  (0) x2 ( e 2 ) n  x  Định nghĩa lim f  x      N > lớn tuỳ ý,  (N) > 0: |x  x0| < (N)  |f(x)| > N x  x0 Khi ta bảo f ( x ) giới hạn x  x0 §7 Vô bé, vô lớn  Đặt vấn đề I Vô bé I Định nghĩa (x) VCB, x  x0  lim   x   x  x0 Tính chất a) (x) VCB, x  x0, c = const  c(x) VCB x  x0 n b) i(x), i  1, n VCB x  x0   i  x  VCB x  x i 1 c) (x) VCB x  x0, f(x) bị chặn U (x0)  (x)f(x) VCB, x  x0 Liên hệ VCB giới hạn Định lí lim f ( x )  L  f(x)  L VCB x  x0 (hay f(x) = L + (x), (x) VCB) x  x0 So sánh VCB Giả sử (x), (x) VCB x  x0   x Định nghĩa (x)  (x)  lim 1 x  x0   x   x  a   \{0} x  x0   x   x Định nghĩa (x) VCB cấp cao VCB (x) x  x0  lim 0 x  x0   x  Ví dụ a) sinx  x, ex   x, ln(1 + x)  x, (1 + x)   x x  ex b) Cho   x   ,   x   e  1  x  x Chứng minh   x     x  x  Định nghĩa (x) VCB cấp với VCB (x) x  x0  lim PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c) Cho   x   e  1  2x  x ,   x   ex Chứng minh   x     x  x  d) So sánh hai VCB sau   x   tan( x )  e( x 1)  1,   x    cos x  ln x trình x 1 (2 VCB bậc) Ứng dụng tìm giới hạn  x   x  lim x  x0   x  x  x0   x  a) (x)    x  , (x)    x  , x  x0  lim  e x  1 tan x 1 3x  4x  Ví dụ lim Ví dụ lim x 0 x 0 1 x  sin2 x b) (x) VCB cấp cao (x) x  x0  (x) +  (x)  (x) Ví dụ lim ( 4) x  sin x x3 x 0 c) (x),  (x) VCB x  x0; m  x   k  x  ,  (x) VCB có cấp thấp nhất; k 1 n  x    k  x  , 1(x) VCB có cấp thấp  x   x  lim x  x0   x  x  x0 1  x   lim k 1 x  sin3 x  tan4 x Ví dụ a) lim x 0 b) 1) lim x ln(1  x ) x 0 x 3) lim x 0 4x  x  x8  tan x x (e2 x  1) x  2x (2) 2) lim x 0 (2) 4) lim x 0 x ln(1  x ) x  2sin4 x x (e3 x  1) x  3x5 (3) (3) II Vô lớn Định nghĩa f(x) xác định U (x0) (có thể trừ x0), f(x) VCL x  x0  lim f  x    x  x0 Chú ý Hàm VCL  không bị chặn  Ví dụ f(x) = x sinx không bị chặn VCL Liên hệ VCB VCL a) f(x) VCB, x  x0 f(x)   VCL x  x0 f x : PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn VCB x  x0 f x So sánh VCL Giả sử A(x), B(x) VCL x  x0, Ax a) A(x) VCL cấp cao VCL B(x), x  x0  lim  x  x0 B  x  Ax  b) A(x), B(x) VCL cấp, x  x0  lim a 0 x  x0 B  x  b) f(x) VCL, x  x0  Ax  x  x0 B  x  c) A(x), B(x) VCL tương đương, x  x0  lim Ứng dụng tìm giới hạn a) Cho VCL tương đương A(x)  A  x  , B(x)  B  x  , Ax Ax x  x0  lim  lim x  x0 B  x  x  x0 B  x  b) Cho A(x), B(x) VCL x  x0; m Ax   Ak  x  , A (x) VCL có cấp cao nhất; k 1 n Bx   Bk  x  , B (x) VCL có cấp cao k 1 A x A x  lim x  x0 B  x  x  x0 B1  x   lim 9x  x3  x  Ví dụ lim x  2009 x  3x  x  Ví dụ Tính giới hạn cot( x 1) a) lim (2  x ) x 1 (e   2009 2) cot(1 x ) b) lim (2  x ) x 1 x (1  x )ln(1  x ) (1  )ln(1  x ) ( 2ln ) d) lim x 0 x  2x e) 1) Tìm a để VCB sau tương đương x   : 1  ( x )  ln(1  )sin  (x)  , (a=1) x x ax 2) Tìm a để VCB sau tương đương x  : c) lim x 0  ( x )  ln(1  ax2 )  (x)  (  x  1) , (a=-0,5) 3) lim  x 0  t anx   sinx ln(1  x ) , ( ) 10 3x  4x3 (e ) ( 2ln3 ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn § HÀM SỐ LIÊN TỤC  Đặt vấn đề I Hàm liên tục Định nghĩa f(x) liên tục x0  +) f(x) xác định U (x0) +) lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f  x   ) x  x0 f(x) liên tục trái x0   x 0 +) f(x) xác định U (x0)  {x < x0} +) lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Tương tự ta có ĐN liên tục phải Định nghĩa f(x) liên tục (a ; b)  f(x) liên tục  x  (a ; b) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) liên tục (a ; b), liên tục trái b liên tục phải a  x sin ,  Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x = 0: f  x    x a,  sin  x  1,  Ví dụ a) Tìm a để y    x 1  a,  liên tục x = (  a)  sin  x  1,  b) Tìm a để y    x 1  a,  liên tục x = 1 Ví dụ x 1 x 1 x  1 x  1 (  a) a sin  arccot x  , x  a) Tìm a để y   cosln x  cosln  x  x  , x  liên tục x = (a = 0) a cos  arctan x  , x  b) Tìm a để y   sinln  x  x   sinln x, x  liên tục x = (a = 0) 11 x0 x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ln(1  x )  sinx x 0  c) Tìm a để y   x sin x  a x 0 1  cos2x  d) Xét tính liên tục f ( x )   ln(1  x )   liên tục x = x0 (  ) (chỉ liên tục x  ) x 0 Tính liên tục hàm sơ cấp Mọi hàm số sơ cấp liên tục khoảng mà hàm số xác định Phép toán Cho f(x), g(x) liên tục x0  f(x)  g(x) liên tục x0, f(x)g(x) liên f x tục x0 liên tục x0 g(x0)  g x Ý nghĩa f(x) liên tục [a ; b]  đồ thị đường liền nét Tính chất Định lí (Weierstrass 1) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) bị chặn [a ; b] Định lí (Weierstrass 2) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) đạt giá trị lớn bé [a ; b] Định lí (Bolzano-Cauchy) f(x) liên tục [a ; b], M = max f , N = f ,   a ; b  a ; b  [m ; M]   c  [a ; b]: f(c) =  Hệ f(x) liên tục [a ; b], f(a)f(b) <   c  (a ; b): f(c) = Điểm gián đoạn Định nghĩa f(x) xác định U (x0), gián đoạn x0  f(x) không liên tục x0 f(x) xác định U (x0)\{x0} ta bảo f(x) gián đoạn x0 Định nghĩa Điểm gián đoạn x0 hàm f(x) điểm gián đoạn loại   lim f  x  ,  lim f  x  x  x0 x  x0 Các điểm gián đoạn lại gọi điểm gián đoạn loại sin x Ví dụ f  x   x Ví dụ f  x   ex Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn hàm số a) f ( x )  x 1 1 x (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) 12 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) f ( x )  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) x 1 1 x Ví dụ Các điểm sau điểm gián đoạn loại hàm số a) x = ; f ( x )  cot x 23 II Hàm số liên tục (loại 1) b) x   , f (x)   2tan x (loại 1) Định nghĩa f(x) liên tục X    > bé tuỳ ý  () > 0,  x1, x2  X, |x1  x2| < ()  |f(x1)  f(x2)| <  Ví dụ a) y = x + 1  , x  (0 ; 1] b) y   x 0, x 0 Định lí (Cantor) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) liên tục [a ; b] HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 13