Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 ĐỊNH LÍ VI-ÉT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN b  S = x1 + x2 = −   a Khi phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ta có hệ thức Vi-ét:  P = x x = c  a Một số kết cần lưu ý: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − P x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3SP ( x14 + x24 = x12 + x22 ) ( − x12 x22 = S − P ) − 2P2 ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S − P Chú ý:  b − 4ac >  ∆ > −b  Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  ⇔  S = x1 + x2 = >0 a  x1 ; x2 >  c   P = x1 x2 = a >  b − 4ac >  ∆ > −b  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  ⇔  S = x1 + x2 = Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < Phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn α  b − 4ac > b − 4ac > ∆ >   ∆ >  −b −b   ⇔  x1 + x2 > 2α ⇔  S = x1 + x2 = > 2α ⇔  S = x1 + x2 = > 2α  a a  x1 ,x2 > α  x −α x −α >0   )( ) ( b  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α > c   a + α a + α > Phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ α  b − 4ac > b − 4ac > ∆ >   ∆ >  −b −b   ⇔ x + x < 2α ⇔ S = x + x = < 2α ⇔ < 2α     S = x1 + x2 = x ,x < α a a   x −α x −α >0   )( ) ( b  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α > c   a + α a + α > ∆ > ∆ > ∆ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác α  ⇔ ⇔  x1 ; x2 ≠ α  g ( α ) ≠ aα + bα + c ≠ Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Phương trình có nghiệm nghiệm lớn α  ∆ =  ∆ =  ∆ =  ∆ =      −b   x1 = x2 = >α   x = x = −b > α   x = x = −b > α    x1 = x2 = −b > α  2  a     2a 2a  2a ⇔  ⇔ ⇔     ∆ >  ∆ >   ∆ >  ∆ >  c b  x x − α ( x + x ) + α2 <  ( x1 − α )( x2 − α ) <   x1 < α < x2   + α + α <     a a   Phương trình có nghiệm nghiệm nhỏ α  ∆ =  ∆ =  ∆ =  ∆ =          x1 = x2 = −b < α b  − b  − − b   x =x =  x =x =   x1 = x2 = < α < α < α  2  2a  2a 2a   2a ⇔  ⇔  ⇔      ∆ >   ∆ >   ∆ >  ∆ >  c b  x x − α ( x + x ) + α2 <  ( x1 − α )( x2 − α ) <   x1 < α < x2   + α + α <     a  a Ví dụ 1: [ĐVH] Cho phương trình ( m + 1) x + 4mx + 2m + = 0, (1) a) Giải biện luận phương trình cho b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm nhỏ −1 Lời giải: a) Giải biện luận phương trình Nếu m + = ⇔ m = −1 (1) ⇔ −4 x − = ⇔ x = − Nếu m + ≠ ⇔ m ≠ −1 (1) phương trình bậc hai có ∆′ = 4m − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m − 5m − +) Nếu ∆′ < ⇔ 2m − 5m − < ⇔ − < m < (1) vô nghiệm m  =3 b′ −2m +) Nếu ∆′ = ⇔ 2m − 5m − = ⇔  (1) có nghiệm kép x = − = m = − a m +1  m > −2m ± 2m − 5m + +) Nếu ∆′ > ⇔ 2m − 5m − > ⇔  (1) có nghiệm phân biệt x1;2 = m < − m +1  m > ′ b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ 2m − 5m − > ⇔  ( *) m < −  Gọi hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với x2 > x1 b 4m   x1 + x2 = − a = m + Theo định lí Vi-ét ta có   x x = c = 2m + a m +1  −1 < m <  4m − >0    x1 + x2 >  m +1   m > −1 Hai nghiệm dương  ⇔ ⇔   → vno  x1 x2 >  2m + > m < −  m +   ( x + 1)( x2 + 1) > c) Hai nghiệm nhỏ −1   x1 + x2 < −2 Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  m + 4m  −m +  −1 < m < − +1 >  >0  x1 x2 + ( x1 + x2 ) + >  m + m +  m +1  ⇔ ⇔ ⇔ m > ⇔ < m <   x1 + x2 < −2  − 4m < −2  4m − >   m < −1   m +  m + Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn hai nghiệm phân biệt ta < m < giá trị cần tìm Ví dụ 2: [ĐVH] Cho phương trình ( x + ) ( x + mx − 2m + 1) = 0, (1) a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm âm c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < Lời giải: x = −  a) Ta có (1) ⇔   g ( x) = x + mx − 2m + = 0, ( ) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác −2   m > −4 +   ∆ g > m2 + 8m − >   m < −4 − m − (1 − 2m ) > Điều xảy  ⇔ ⇔ ⇔  (*)  g (−2) ≠ 4 − 2m − 2m + ≠ 4m ≠  m ≠    m > −4 +   Vậy với   m < −4 − phương trình cho có nghiệm phân biệt  m ≠  b) Do nghiệm x = −2 < nên để (1) có nghiệm nghiệm âm (2) phải có hai nghiệm trái dấu Từ ta có P < ⇔ − 2m < ⇔ m > Giá trị thỏa mãn điều kiện (*) nên giá trị cần tìm c) Không tính tổng quát, giả sử x1 = −2 Khi x2 ; x3 hai nghiệm phân biệt (2)  x2 + x3 = −m Theo định lí Vi-ét ta   x2 x3 = − 2m Khi x12 + x22 + x32 < ⇔ + ( x2 + x3 ) − x2 x3 < ⇔ m − (1 − 2m ) − < ⇔ m + 4m − < ⇔ −5 < m < Kết hợp với điều kiện (*) ta −4 + < m < giá trị cần tìm Ví dụ 3: [ĐVH] Cho phương trình x − x − 15 = có nghiệm x1 , x2 Không giải phương trình, tính: A = x12 + x22 , B = x13 + x23 , C = x14 + x24 Lời giải: Vì a, c trái dấu nên phương trình có nghiệm x1 , x2 Ta có: b c S = x1 + x2 = − = 2; P = x1 x2 = = −15 nên : a a 2 A = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = + 30 = 34 B = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) = + 90 = 98 ( C = x14 + x24 = x12 + x22 ) − ( x1 x2 ) = 342 − ( −15 ) = 706 2 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho phương trình x − 3x − = có nghiệm x1 , x2 Không giải phương trình, tính: D = x1 − x2 , E= 1 + , x1 − x2 − F = ( x1 + x2 )( x2 + x1 ) Lời giải: Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ta có : S = x1 + x2 = 3; P = x1 x2 = −7 nên D = x12 + x12 − x1 x2 = S − P ⇒ D = S − P = 37 E= ( x1 + x2 ) − = S − = x2 − + x1 − = ( x1 − 1)( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + P − S + ( ) F = x1 x2 + x12 + x22 + x1 x2 = 3S + P = Ví dụ 5: [ĐVH] Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ≠ có nghiệm x1 , x2 Chứng minh ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Áp dụng phân tích thừa số: f ( x ) = −2 x − x + 4, g ( x ) = ( ) + x2 − ( ) + x + Lời giải: b c Ta có x1 + x2 = − x1 x2 = a a b c  Do ax + bx + c = a  x + x +  = a  x − ( x1 + x2 ) x + x1 x2  = a ( x1 − x2 )( x − x2 ) a a  1  Vì f ( x ) có hai nghiệm −4 nên phân tích thành f ( x ) = −2 ( x + )  x −  = ( x + )(1 − x ) 2  nên phân tích thành +1   +1 x −  x =  = x −  + x −   +   Vì g ( x ) có hai nghiệm g ( x) = ( )( ) ( )( ) Ví dụ 6: [ĐVH] x − x − 12 x − x + 20 a) Đơn giản A = , B= x + x − 12 x − 10 x + 24 b) Phân tích thành nhân tử P ( x, y ) = x − x y + x y − x + xy − x − a) A = x − x − 12 = x + x − 12 ( ( ( x + )( x − 3) ( x − 3)( x + ) )( )( ) ) = ( x + 2) x+4 Lời giải: ,x≠3 x2 − x2 − x − x + 20 x2 − B= = = , x ≠ ±2 x − 10 x + 24 x2 − x2 − x2 − b) Ta viết thành tam thức bậc hai theo y ( ( ) P ( x, y ) = − x y + x + x y + x − x − x − Biệt số ∆ ' = x + x y1 = ) − x − x − x3 − x − x + x3 y = Vậy P ( x, y ) = − xy − x − − x 2 − x2 − x2 ( ( ) + x x − x − x − = x nên )( xy − x − + x ) Ví dụ 7: [ĐVH] Tìm giá trị m để phương trình : a) x − x + m − = có nghiệm x1, x2 mà x13 + x23 = 40 b) x + ( 4m + 1) x + ( , −4 ) = có nghiệm hiệu số nghiệm lớn nghiệm bé 17 Lời giải: a) Điều kiện có nghiệm ∆ = − ( m − 1) = − m ≥ hay m ≤ Khi x1 + x2 = x1 x2 = m − Ta có : x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) = 43 − 12 ( m − 1) = 76 − 12m nên x13 + x23 = 40 ⇔ 76 − 12m = 40 ⇔ 12m = 36 ⇔ m = (thỏa mãn) b) ∆ = ( 4m + 1) − ( m − ) = 16m + 33 > 0, ∀m, Ta có x1 + x2 = − ( 4m + 1) , x1 x2 = ( m − ) Giả sử x1 > x2 x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 289 ⇔ 16m + 33 = 289 ⇔ m = 16 ⇔ m = ±4 2 Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 8: [ĐVH] Cho phương trình bậc hai ( m + ) x − ( m − 1) + − m = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = x1 + x2 b) Tìm hệt thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m x −1 x −1 c) Lập phương trình bậc hai có nghiệm: X = , X = x1 + x2 + a) x12 + x22 = x1 + x2 ⇔ ( x1 + x2 ) Lời giải: − x1 x2 = x1 + x2 hay S − P = S Điều kiện phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = x1 + x2 :  2m2 − 3m − ≥ m < −1 hay m >   ∆ ' ≥ m < − hay m >    ⇔   m − 2 2⇔  − m ( m − 1) ⇔  ± 13 − = 4     S − P = S  m= m − 3m − = m+2 m+2  m+2  2 ( m − 1) ( m + − 3) 3−m 5− 2− m = =2− = = −1 + b) S = ;P= m+2 m+2 m+2 m+2 m+2 m+2 Khử m ta có 5S + P = ⇔ 5S + P − = hay ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = Đây hệ thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m c) Để lập phương trình bậc hai có nghiệm X , X ta tính X + X X X Ta có : X1 + X = X1 X = ( x1 x2 − ) x1 − x2 − ( x1 − 1)( x2 + 1) + ( x2 − 1)( x1 + 1) 2P − 2 − 4m + = = = = x1 + x2 + x1 x2 + ( x1 + x2 ) + P + S + + 2m ( x1 + 1)( x2 + 1) x2 − x1 − x1 x2 − ( x1 + x2 ) + P − S + − 2m = = = x1 + x2 + x1 x2 + ( x1 + x2 ) + P + S + + 2m Vậy phương trình cần tìm là: X − SX + P = hay ( + 2m ) X − ( − 4m ) X + − 2m = Ví dụ 9: [ĐVH] Cho a, b, c ba số khác nhau, c ≠ Chứng minh hai phương trình x + ax + bc = x + bx + ca = có nghiệm chung nghiệm lại chúng thỏ mãn phương trình x + cx + ab = Lời giải: Giả sử α nghiệm chung hai phương trình x + ax + bc = (1) x + bx + ca = (2) α + aα + bc = Ta có:  ⇒ α ( a − b ) + c ( b − a ) = ⇒ ( α − c )( a − b ) = ⇒ α = c ≠ α + bα + ca = Thay α = c vào (1) ta có c + ac + bc = ⇒ c ( a + b + c ) = ⇒ a + b + c = Mặt khác, theo định lý Vi-et phương trình (1) có nghiệm b, phương tình (2) có nghiệm a Theo định lý Vi-et đảo, a b hai nghiệm phương trình x − ( a + b ) x + ab = ⇔ x + cx + ab = (đpcm) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho phương trình x − 2(2m + 1) x + + 4m = 0, (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x23 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 ; x22 2 Bài 2: [ĐVH] Cho phương trình x − 2(m − 1) x + m − 3m = 0, (*) a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm lại b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = Bài 3: [ĐVH] Cho phương trình x − 2(m − 2) x + m(m − 3) = Tìm m để a) phương trình có hai nghiệm trái dấu? b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt? c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? d) phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x13 + x23 = Bài 4: [ĐVH] Cho phương trình x + 2(m − 1) x + m = Tìm m để a) phương trình có hai nghiệm trái dấu? b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt? c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? d) phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = Bài 5: [ĐVH] Cho phương trình ( m − 1) x − 2mx + m + = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m ≠ b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x1 x2 + + = x2 x1 Bài 6: [ĐVH] Phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1, x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!