Đang tải... (xem toàn văn)
Toán 11 Chương 1 PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Bài 1. PHÉP BIẾN HÌNH Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép quay. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau. Phép vị tự, tâm vị tự của hai đường tròn. Khái niệm về phép đồng dạng và hai hình bằng nhau. Bài 1. PHÉP BIẾN HÌNH 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d. Ta đã biết rằng với mỗi điểm M có một điểm M’ duy nhất là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d cho trước (hình 1.1). Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H ’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. 2. Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’ = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không? Hình 11 Chương I Bài 2. Phép tịnh tiến. Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B (h.1.2). Khi đó ta nói cánh cửa được tịnh tiến theo vectơ . I. Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Phép tịnh tiến theo vectơ thường được ký hiệ
Tốn 11 - Chương - PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG - Bài PHÉP BIẾN HÌNH Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm phép quay - Khái niệm phép dời hình hai hình - Phép vị tự, tâm vị tự hai đường tròn - Khái niệm phép đồng dạng hai hình Bài PHÉP BIẾN HÌNH Trong mặt phẳng cho đường thẳng d điểm M Dựng hình chiếu vng góc M’ điểm M lên đường thẳng d Ta biết với điểm M có điểm M’ hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng d cho trước (hình 1.1) Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Nếu kí hiệu phép biến hình F ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) gọi điểm M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H ’ = F(H) tập điểm M’ = F(M), với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ ảnh hình H qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Cho trước số a dương, với điểm M mặt phẳng, gọi M’ điểm cho MM’ = a Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu có phải phép biến hình khơng? Hình 11 - Chương I - Bài Phép tịnh tiến Khi đẩy cánh cửa trượt cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy điểm cánh cửa dịch chuyển đoạn AB theo hướng từ A đến B (h.1.2) Khi ta nói cánh cửa tịnh tiến theo vectơ I Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ tịnh tiến theo vectơ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho Phép tịnh tiến theo vectơ thường ký hiệu Như vậy: Phép tịnh tiến theo vectơ – khơng phép đồng Ví dụ: gọi vectơ tịnh tiến gọi phép ?1 Cho hai tam giác ABE BCD hình 1.5 Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D Bạn có biết? Vẽ hình giống lát kín mặt phẳng hứng thú nhiều họa sĩ Một người tiếng theo khuynh hướng Mơ-rit Cooc-ne-li Et-se (Maurits Cornelis Escher), họa sĩ người Hà Lan (1898 - 1972) Những tranh ông hàng triệu người giới ưa chuộng đẹp mà cịn chứa đựng nội dung tốn học sâu sắc Sau tranh ơng II Tính chất Tính chất Nói cách khác, phép tính tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm Từ tính chất ta chứng minh tính chất sau Tính chất Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính (h.1.7) ?2 Nêu cách xác định ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ III Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ (h.1.8) Với điểm M(x;y) ta có M’(x’; y’) ảnh M qua phép tịnh tiến theo vectơ ?3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ tiến Tìm tọa độ điểm M’ ảnh điểm M(3; -1) qua phép tịnh Bài tập Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Xác định ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ Xác định điểm D cho phép tịnh tiến theo vectơ biến D thành A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho: Vectơ , hai điểm A(3; 5), B(-1;1) đường thẳng d có phương trình x – 2y + = a Tìm tọa độ điểm A’, B’ theo thứ tự ảnh A, B qua phép tịnh tiến theo b Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua phép tịnh tiến theo c Tìm phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo Cho hai đường thẳng a b song song với Hãy phép tịnh tiến biến a thành b Có phép tịnh tiến thế? Hình 11 - Chương VECTƠ - Bài PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Bài PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Trong thực tế ta thường gặp nhiều hình có trục đối xứng hình bướm, ảnh mặt trước số ngơi nhà, mặt bàn cờ tướng… Việc nghiên cứu phép đối xứng trục mục cho ta cách hiểu xác khái niệm I ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành M’ cho d đường trung trực đoạn MM’ gọi phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d (h.1.10)) Đường thẳng d gọi trục phép đối xứng đơn giản trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường kí hiệu Đd Nếu hình H ’ ảnh hình H qua phép đối xứng trục d ta cịn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H H’ đối xứng qua d Ví dụ Trên hình 1.11 ta có điểm A’, B’, C’ tương ứng ảnh điểm A, B, C qua phép đối xứng trục d ngược lại Cho hình thoi ABCD (h.1.12) Tìm ảnh điểm A,B, C, D qua phép đối xứng trục AC Nhận xét 1) Cho đường thẳng d Với điểm M gọi M0 hình chiếu vng góc M đường d Khi đó: Chứng minh nhận xét II BIỂU THỨC TỌA ĐỘ 1) Chọn hệ tọa độ Oxy cho trục Ox trùng với đường thẳng d Với điểm M = (x, y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) (h.1.13) Biểu thức gọi biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Ox Tìm ảnh điểm A(1;2), B(0; - 5) qua phép đối xứng trục Ox 2) Cho hệ tọa độ Oxy cho Oxy cho trục Oy trùng với đường thẳng d Với điểm M= (x,y), gọi M’ = Đ d(M) = (x’,y’) (h.1.14) thì: Biểu thức gọi biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Oy Tìm ảnh điểm A(1; 2), B(5;0) qua phép đối xứng trục Oy III TÍNH CHẤT Người ta chứng minh tính chất sau: Tính chất Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm Chọn hệ tọa độ Oxy cho trục Ox trùng với trục đối xứng, dùng biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất Tính chất Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Hình chóp hình chóp cụt ĐỊNH NGHĨA Ta biết hình chóp bất kì, đường thẳng vng góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi đường cao hình chóp Các kết sau vẽ hình chóp có khơng? Vì sao? Một hình chóp hình chóp đáy đa giác đường cao hình chóp qua tâm đáy (tâm đa giác tâm đường trịn ngoại tiếp nội tiếp đa giác đó) Một hình chóp hình chóp đáy đa giác cạnh bên tạo với mặt đáy góc ĐỊNH NGHĨA Đoạn nối tâm hai đáy gọi đường cao hình chóp cụt Tại hình chóp cụt đều, mặt bên hình thang cân nhau? Em có biết Kim tự tháp Ai Cập Nhiều kim tự tháp (từ Hán - Việt nghĩa tháp hình chữ kim, tức hình chóp) xây dựng Ai Cập bắt đầu khoảng 2500 năm trước cơng ngun Các tháp ngơi mộ vua, hồng hậu, … Kim tự tháp Kê-ốp (Chéops) (ở hình trên) tháp lớn Nó coi bảy kì quan giới Đó hình chóp tứ giác đều, đáy hình vng có cạnh dài khoảng 230m, có chiều cao khoảng 147m, ngày cịn cao 138m bị xói mịn đỉnh Trong 400 năm, kiến trúc cao giới Mãi đến thời Trung cổ có số nhà thờ cao Tháp nặng khoảng triệu tạo thành 300 000 tảng đá Ở bên kim tự tháp Kê-ốp có “buồng vua” dạng hình hộp chữ nhật, dài 20 “cánh tay”, rộng 10 ”cánh tay”, cao 11,18 “cánh tay” (“cánh tay” đơn vị độ dài thời cổ, xấp xỉ 52,5cm) Số đo lẻ 11,18 hấp dẫn nhà khảo cứu: phải giải thích điều tính độ dài đường chéo hình hộp độ dài đường chéo mặt bên hình hộp đó? Câu hỏi tập 21 Các mệnh đề sau hay sai? a) Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba song song với nhau; b) Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với nhau; c) Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước; d) Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln qua đường thẳng cố định; f) Hình lăng trụ có hai mặt bên hình chữ nhật hình lăng trụ đứng; g) Hình chóp có đáy đa giác ba cạnh bên hình chóp 22 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c Nếu hình hộp có phải hình hộp chữ nhật khơng? Vì sao? 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Chứng minh AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD)và (B’CD’) b) Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác Tính diện tích thiết diện 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a (SBC) (SDC) tạo với góc 25 Cho hai mặt phẳng vng góc (P) (Q) có giao tuyến cho , SA = x Xác định x để hai mặt phẳng LấyA , B thuộc lấy AB = AC = BD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng điểm A vng góc với CD Tính diện tích thiết diện AC = AB = BD = a qua 26 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ hình hộp thỏa mãn điều kiện sau? a) Tứ diện AB’CD’ có cạnh đối nhau; b) Tứ diện AB’CD’ có cạnh đối vng góc; c) Tứ diện AB’CD’ tứ diện 27 Cho hai tam giác ACD, BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính AB, IJ theo a x b) Với giá trị xthì hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc? 28 Cho tam giác ABC mặt phẳng (P) Biết góc mp(P) mp(ABC) ABC mp(P) tam giác A’B’C’ Chứng minh ; hình chiếu tam giác Hướng dẫn Xét hai trường hợp: a) Tam giác ABC có cạnh song song nằm mp(P); b) Tam giác ABC cạnh song song hay nằm mp(P) Tốn 11- Nâng Cao - Chương III - Bài Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng Để đến khái niệm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đường thẳng, ta xét hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng đường thẳng Trên hình 125a), ta có H hình chiếu M mp(P) hình 125b), ta có H hình chiếu M đường thẳng ∆ Hình 125 Ta có định nghĩa sau: ĐỊNH NGHĨA Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) (hoặc đường thẳng ∆) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) kí hiệu d(M ; (P)) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆được kí hiệu d(M ; (P)) Trong khoảng cách từ M đến điểm thuộc mặt phẳng (P), khoảng cách nhỏ nhất? Cùng câu hỏi thay mặt phẳng (P) đường thẳng ∆ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Với hai điểm A, B a, hiển nhiên ta có d(A ; (P)) = d(B ; (P)) (h.126) Như vậy, d(A ; (P)) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A A thay đổi a Từ ta có định nghĩa Hình 126 ĐỊNH NGHĨA ]Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Kí hiệu khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với d(a ; (P)) Khi đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), khoảng cách từ điểm a đến điểm (P), khoảng cách nhỏ nhất? Cho hai mặt phẳng song song (P) (Q) Khi ấy, dễ thấy d(A ; (Q)) = d(B ; (Q)) với A, B hai điểm thuộc (P), tức d(A ; (Q)) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A a thay đổi (P)(h.127) Hình 127 Từ ta có định nghĩa ĐỊNH NGHĨA Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ki hiệu khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) d((P) ; (Q)) d((P) ; (Q)) = d((A ; (Q)) = d(C ; (P)), A điểm thuộc (P) C điểm thuộc (Q) Trong khoảng cách hai điểm thuộc hai mặt phẳng song song, khoảng cách nhỏ nhất? Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài toán Cho hai đường thẳng chéo a b Tìm đường thẳng c cắt a b đồng thời vng góc với a b Giải Do a b chéo nên có mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a Mặt phẳng (P) qua a vng góc với (Q) cắt đường thẳng b điểm J Gọi c đường thẳng qua J vng góc với (Q) c nằm mp(P), c cắt a điểm I Khi c đường thẳng phải tìm (h.128) Hình 128 Chứng minh tính đường thẳng c toán Thuật ngữ Đường thẳng c nói gọi đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo I J đoạn thẳng IJ gọi đoạn thẳng góc chung hai đường thẳng (h.129) Hình 129 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h129.cg3 Xem trực tiếp hình học động hình ( Nếu khơng xem hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin:Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) ĐỊNH NGHĨA Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Trong khoảng cách hai điểm nằm hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách nhỏ nhất? Nếu gọi (P) (Q) hai mặt phẳng song song với qua hai đường thẳng a b rõ ràng: IJ = d(a ; (Q)) = d(b ; (P)) = d((P) ; (Q))(h.130) Hình 130 Vậy ta có: Nhận xét 1) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng cịn lại 2) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Một số ví dụ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’ c) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (AB’C) (A’C’D) trường hợp a = b= c Giải(h.131) Hình 131 a) Kẻ BH vng góc với AC, BH⊥AA’nên BH⊥ (ACC’A’) Vậy d(B ; (ACC’A’)) = BH Ta có BH AC = BA BC b) BB’ AC’ chéo mà BB’ // (ACC’A’) nên c) Dễ thấy mp(AB’C) mp(A’C’D’) song song với Do a = b = c nên ABCD.A’B’C’D’là hình lập phương Khi đó, gọi K vàK’ tâm hai hình vng ABCD A’B’C’D’ mp(KK’D’D) vng góc với mp(DA’C’) Kẻ KI vng góc với giao tuyến DK’ hai mặt phẳng KI [IMG]file:///C:UsersHaPhamAppDataLocalTempmsohtml1�1clip_imag e011.wmz[/IMG]mp(A’C’D) Vậy khoảng cách hai mặt phẳng (AB’C) (A’C’D) KI Ta có tam giác KK’D vuông K nên tức Chú ý BD’ vng góc với hai mặt phẳng (ACB’), (DA’C’) qua tâm G, G’ hai tam giác AB’C, DA’C’ Từ suy khoảng cách cần tìm GG’ BD’ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng a) SB AD; b) BD SC Giải (h.132) Hình 132 a) Ta có AD⊥ (SBA), kẻ AH vng góc với SB AH đường vng góc chung SB AD Vậy d(AD ; SB) = AH Vì AHlà đường cao tam giác vng cân SAB nên Từ b) Ta có BD vng góc với mp(SAC) tâm O hình vng ABCD Trong mp(SAC), kẻ OK vng góc với SC OKlà đường vng góc chung BD SC Dễ thấy d(BD ; SC) = OK = có AI (AI đường cao tam giác vuông SAC) Ta Câu hỏi tập 29 Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD 30 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu Hcủa điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy b) Chứng minh hai đường thẳng AA’ B’C’ vng góc, tính khoảng cách chúng 31 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’) b) Tìm đường vng góc chung đường thẳng AC’ CD’ Tính khoảng cách hai đường thẳng 33 Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a hai mặt đáy (ABCD) (A’B’C’D’) Tính khoảng cách 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD) b) Gọi E F trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đường thẳng AD Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng EF SK khơng phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a Toán 11 - Chương III - Bài Ôn tập chương III I - Tóm tắt kiến thức cần nhớ Định nghĩa vectơ phép tốn vectơ khơng gian giống mặt phẳng Ngoài ra: a) Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng b) Điều kiện cần đủ để ba vectơ đồng phẳng có ba số m, n, p không đồng thời cho c) Nếu ba vectơ số m, n, p không đồng phẳng vectơ viết dạng , với Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 - Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng mặt phẳng - Đường thẳng a vng góc với mp(P) a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (P) - Định lí ba đường vng góc: Đường thẳng b nằm mp(P) vng góc với đường thẳng a (a khơng vng góc với (P)) vng góc với hình chiếu (vng góc) a (P) - Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu đường thẳng mặt phẳng (nếu hình chiếu điểm xem góc đường thẳng mặt phẳng 900) - Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng - Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 - Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (đường thẳng) khoảng cách từ điểm đến hình chiếu mặt phẳng (đường thẳng) - Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) - Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng - Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b độ dài đoạn vng góc chung IJ, I, J giao điểm đường vng góc chung a b với a b - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng lại - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng - Mặt phẳng qua trung điểm O đoạn thẳng AB vng góc với AB gọi mặt phẳng trung trực AB - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng - Tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác ABC đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng gọi trục tam giác ABC II - Câu hỏi tự kiểm tra Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tứ diện A’ trọng tâm tam giác BCD Các khẳng định sau hay sai? Trong không gian, nêu cách chứng minh: a) Đường thẳng vng góc với đường thẳng; b) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng; c) Hai mặt phẳng vng góc với Hãy nêu cách tính: a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; c) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó; d) Khoảng cách hai mặt phẳng song song; e) Khoảng cách hai đường thẳng chéo III - Bài tập Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a a) Chứng tỏ ABC tam giác vng OA BC b) Tìm đường vng góc chung IJ OA BC; tính khoảng cách hai đường thẳng OA BC c) Chứng minh hai mặt phẳng (ABC) (OBC) vng góc với Cho hình chóp S.ABC có a) Chứng tỏ ABC tam giác vng b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) Cho hình hộp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD) Hai điểm M N thay đổi hai cạnh CB CD, đặt CM = x, CN = y Tìm hệ thức liên hệ x y để: a) Hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 450 b) Hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với Tam giác ABC vng có cạnh huyền BC nằm mp(P), cạnh AB AC tạo với mp(P) góc Gọi góc tạo mp(P) mp(ABC) Chứng minh Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông đỉnh C, CA = a, CB = b ; mặt bên ABB’A’ hình vng Gọi (P) mặt phẳng qua C vuông góc với AB’ a) Xác định thiết diện hình lăng trụ cho cắt (P) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện nói Một tứ diện gọi gần cạnh đối đôi Với tứ diện ABCD, chứng tỏ tính chất sau tương đương: a) Tứ diện ABCD gần đều; b) Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đơi vng góc với nhau; c) Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện) nhau; d) Tổng góc đỉnh 1800 Cho tứ diện ABCD Cắt tứ diện theo cạnh AB, AC, AD trải mặt ABC, ACD, ADB lên mặt phẳng (BCD) (xem hình 133) Hình phẳng gồm tam giác BCD, A1BC, A2CD, A3BD gọi hình khai triển tứ diện ABCD mặt phẳng (BCD) IV - Các câu hỏi trắc nghiệm Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai? Mệnh đề sau đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với nhau; B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với nhau; C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng kia; D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng (P), a (P) Mệnh đề sau sai? A Nếu b // (P) b a ; B Nếu b (P) b // a ; C Nếu b // a b (P) ; D Nếu b a b // (P) Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song; B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song; C Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song; D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song Mệnh đề sau đúng? A Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng kia; B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với nhau; C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với nhau; D Ba mệnh đề sai Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước; B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước; C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước; D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu hình hộp có hai mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật; B Nếu hình hộp có ba mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật; C Nếu hình hộp có bốn mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật; D Nếu hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hình hộp có hai mặt hình vng hình lập phương; B Nếu hình hộp có ba mặt chung đỉnh hình vng hình lập phương; C Nếu hình hộp có sáu mặt hình lập phương; D Nếu hình hộp có bốn đường chéo hình lập phương Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A S.ABC hình chóp mặt bên tam giác cân; B S.ABC hình chóp mặt bên tam giác cân với đỉnh S C S.ABC hình chóp góc mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng chứa đáy nhau; D S.ABC hình chóp mặt bên có diện tích 10 Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng kia; B Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia; C Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng đó; D Các mệnh đề sai 11 Hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc AB = AC = AD = Diện tích tam giác BCD 12 Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = AD = a Khi đó, khoảng cách đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A’ABD bằng: Toán 11- Nâng Cao - Bài Tập Ôn Cuối Năm Bài Tập Ôn Cuối Năm Cho tam giác ABC điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP Tìm phép dời hình biến tam giác APN thành ba tam giác lại b) Phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP? c) Xét tam giác có đỉnh trực tâm ba tam giác APN, PBM NCM Chứng tỏ tam giác tam giác APN Chứng minh điều thay trực tâm trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD DA Kẻ MM’, NN’, PP’, QQ’ vuông góc với CD, DA, AB, BC a) Gọi I giao điểm MP NQ Phép đối xứng tâm Đ [IMG]file:///C:UsersHaPhamAppDataLocalTempmsohtml11clip_image00 1.wmz[/IMG]biến đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ thành đường thẳng nào? b) Chứng tỏ bốn đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy điểm Nhận xét vị trí điểm đồng quy hai điểm I, O? Cho tam giác ABC hai hình vng ABMN, ACPQ hình 134 Hình 134 a) Xác định phép quay biến tam giác ABQ thành tam giác ANC b) Chứng tỏ hai đoạn thẳng BQ, CN vng góc với c) Gọi O, O' tâm hình vng, I trung điểm BC Chứng minh tam giác OIO' tam giác vng cân Hình 134a Cho tứ diện ABCD Gọi M, Nlần lượt trung điểm BC BD ; P điểm thay đổi đoạn thẳng AD a) Xác định giao điểm Q mp(MNP) cạnh AC Tứ giác MNPQ hình gì? b) Tìm quỹ tích giao điểm I QM PN c) Tìm quỹ tích giao điểm J QN PM Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Điểm M nằm A D, điểm N nằm C C’ cho a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mp(ACB’) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song với mp(ACB’) Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Chứng minh tia phân giác góc xOy, yOz zOx đồng phẳng Cho hình chóp S.ABC Gọi K N trung điểm SA BC ; M điểm nằm S C a) Chứng minh mặt phẳng qua K, song song với AB SC qua điểm N b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(KMN) Chứng tỏ KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) b) Tính khoảng cách đường thẳng AB mp(SCD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC d) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt (P) Tính diện tích thiết diện e) Tính góc đường thẳng AB mp(P) Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a Hai tia Bx Cy vuông góc với mp(ABC) nằm phía mặt phẳng Trên Bx, Cy lấy điểm B’, C’ cho BB’ = a, CC’ = m a) Với giá trị m AB’C’ tam giác vuông? b) Khi tam giác AB’C’ vuông B’, kẻ AH ⊥ BC.Chứng minh B’C’H tam giác vng Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’C’)