Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương CHUYÊN ĐỀ 2: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Kiến thức 1.1 Đại số tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử n! k − Số chỉnh hợp: An = (n − k )! 1.1.5 Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử n! k − Số tổ hợp: Cn = k !(n − k )! k n −k k −1 k k − Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn 1.1.6 Nhị thức Newton n (a + b) = ∑ Cnk a n− k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + + Cnnb n n k =0 k n −k k − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b n 2 n n − Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + + x Cn 1.2 Xác suất 1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: P ( A ) = + ≤ P(A) ≤ ΩA Ω + P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 1.2.2 Tính xác suất theo quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Các dạng toán 2.1 Bài toán đếm: Ví dụ Cho tập A = { 1; 2;3;4;5;6;7} a) Có số tự nhienegoomf chữ số đôi khác lấy từ tập A b) Từ tập A lập số chẵn có chữ số đôi khác Lời giải a) Gọi số cần tìm : n = abcde Các số tự nhiên có chữ số khác lấy từ tập A chỉnh hợp chập phần tử A75 = 2520 b) Gọi số cần tìm : n = abcdef + n số chẵn f ∈ {2;4;6} ⇒ có cách chọn f + số lại A65 Theo quy tắc nhân: A65 =2160 (số) Ví dụ Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5;6} , Từ tập A lập được: a) số có chữ số khác b) số có chữ số khác cho chữ số số lẻ c) số có chữ số khác cho chữ số chẵn Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = abcde Cách : + a có cách chọn + số lại A64 =360 Theo quy tắc nhân: A64 =2160 Cách 2: chọn số tập A: A75 = 2520 + Chọn số có chữ số mà chữ số đầu có chữ số 0: A64 = 360 Vậy có: A75 − A64 = 2520 − 360 = 2160 b) Gọi số cần tìm : n = abcde + n số lẻ e ∈ {1;3;5} ⇒ có cách chọn e + a có cách chọn + số lại A53 = 60 Theo quy tắc nhân: 3.5.60=900 c) Gọi số cần tìm : n = abcde Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương + n số chẵn e ∈ {0;2;4;6} TH1 : e=0 ⇒ e có cách chọn + số lại: A64 = 360 Theo quy tắc nhân: 1.360=360 TH2: e ≠ ⇒ e có cách chọn + a có cách chọn + số lại A53 = 60 Theo quy tắc nhân: 3.5.60=90 Kl: có tất cả: 360+900=1260 Ví dụ Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số Lời giải Gọi số cần tìm abcde ( a ≠ ) Tìm số số có chữ số khác mà có mặt không xét đến vị trí a Xếp vào vị trí có: A52 cách vị trí lại có A43 cách Suy có A52 A43 số Tìm số số có chữ số khác mà có mặt với a = Xếp có cách vị trí lại có A43 cách Suy có 4.A43 số Vậy số số cần tìm tmycbt là: A52 A43 − A43 = 384 Ví dụ Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6} Hỏi có tập chứa phần tử tập A Lời giải Tập chứa phần tử tập A : C62 =15 Ví dụ Một có 52 quân màu a) Có cách rút quân có quân píc, quân chuồn quân b) Có cách rút quân có đỏ đen? Lời giải a) + Lấy pic 13 : C13 + Lấy chuồn 13 C13 + Lấy 13 C13 Theo quy tắc nhân : C13 C13 C13 =290004 b) Số cách rút đỏ đen : C26 C26 = 845000 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Tập chứa phần tử tập A : C62 =15 Ví dụ Một hộp đựng viên bi màu xanh, viên bi màu vàng a) Có cách lấy viên bi b) Có cách lấy viên bi có màu xanh vàng c) Có cách lấy viên bi cho có viên bi màu xanh Lời giải a) C12 = 924 b) Số cách lấy viên bi xanh, vàng : C52 C74 = 350 c) + chọn viên bi : C12 = 924 + viên bi lấy viên màu xanh : C76 = Vậy có tất : 924-7=917 (cách) Ví dụ Có số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ Lời giải Từ giả thiết toán ta thấy có C52 = 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu) C53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C52 C53 5! = 12000 số Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C41 C53 4! = 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn toán Ví dụ Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh Lời giải Tổng số cách chọn học sinh 12 học sinh C126 Số học sinh chọn phải thuộc khối Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 11 là: C76 Số cách chọn có học sinh khối 11 khối 10 là: C96 Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 10 là: C86 Số cách chọn thoả mãn đề là: C126 − C76 − C96 − C86 = 805 (cách) Ví dụ 10 Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 Lời giải Nếu n ≤ n + ≤ Do số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm không vượt qua C83 = 56 < 439 (loại) Vậy n ≥ Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: Trường THPT Sóc Sơn Cn3+6 − C33 − Cn3 = GV: Nguyễn Thị Hương ( n + ) ( n + ) ( n + ) − − ( n − ) ( n − 1) n = 439 6 ⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 ⇔ n2 + 4n – 140 = Từ tìm n = 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tập A = {1;2;3;4;5 ;9} a) Từ tập A lập số lẻ có chữ số đôi khác nhau? (ĐS: 33600) b) Từ tập A lập số có chữ số đôi khác cho có chữ số lẻ chữ số chẵn? (ĐS:1440) c) Từ tập A lập số có chữ số đôi khác cho chữ số đầu lẻ, chữ số cuối chẵn? (ĐS:16800) d) Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho chữ số đầu cuối chẵn? (ĐS: 2520) Bài 2: Từ số {1;2;3;4;5} lập số tự nhiên mà số có chữ số khác nhau? (ĐS: 325) Bài 3: Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;7;8;9} Từ tập A lập được: a) Bao nhiêu số có chữ số khác >50.000 (ĐS:3360) b) Có chữ số khác số chẵn? (ĐS:3000) Bài 4: a) Có số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác nhau? (ĐS:952) b) Từ số {0;1;2;3;4;5;6;7;8} lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? (ĐS:90720) Bài 5: Trong lô hàng có 10 quạt bàn quạt trần a) Có cách lấy quạt có quạt có quạt bàn (ĐS:1200) b) Có cách lấy quạt có quạt bàn (ĐS:1260) Bài 6: Lớp học có nam 12 nữ a) Chọn học sinh cho có đủ nam nữ Có cách chọn (ĐS:37808) b) Chọn từ 10 học sinh cho có học sinh nam (ĐS: 182930) Bài 7: Trong lớp 11A5 có nam nữ Cô giáo muốn chọn học sinh để làm trực nhật lớp học phải có học sinh nam Hỏi có cách chọn (ĐS: 216) Bài 8: Một lớp học có 30 người có cán lớp Hỏi có cách chọn em lớp để trực tuần cho em có cán lớp (ĐS:1135) Bài 9: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Có cách lấy viên bi? (ĐS: 28 cách) b) Có cách lấy viên bi trắng? (ĐS: 10 cách) c) Có cách lấy bi trắng, bi xanh? (ĐS: 15 cách) Bài 10: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh Lấy viên bi d) Có cách lấy viên bi? (ĐS: 56 cách) e) Có cách lấy viên bi trắng? (ĐS: 20 cách) f) Có cách lấy bi trắng, bi xanh? (ĐS: 30 cách) Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Bài 11: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Có cách lấy viên bi? (ĐS: 3060 cách) b) Có cách lấy viên bi có đủ màu? (ĐS: 1575 cách) Bài 12: Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh (ĐS: 805) 2.2 Nhị thức Newton: 2.2.1 Phương trình – Hệ phương trình - Bất phương trình chứa Pn , Ank , Cnk a) Kiến thức củng cố: Pn = n ! = n(n − 1)(n − 2) (n ≥ 1) Ank = n! (n − k )! Cnk = Cnn−k (0 ≤ n ≤ 1) Cnk = n! k !(n − k )! (0 ≤ n ≤ 1) Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 b) Bài tập Ví dụ 1: giải phương trình sau: a) Cn3 = 5Cn1 n n+2 n+1 C14 + C14 = 2C14 Lời giải a) ĐK: n ≥ (n ∈ ¥ ) n! n! n! n! Cn3 = 5Cn1 ⇔ = ⇔ = 3!(n − 3)! ( n − 1)! 6(n − 3)! ( n − 1)(n − 2)(n − 3)! ⇔ = ⇔ (n − 1)(n − 2) = 30 ⇔ n − 3n − 28 = (n − 1)(n − 2)  n = (n) ⇔  n = −4 (l) Vậy nghiệm phương trình là: n =7 b) ĐK: ≤ n ≤ 12 (n ∈ ¥ ) 14! 14! 2.14! n n+ n +1 C14 + C14 = 2C14 ⇔ + = n !(14 − n)! ( n + 2)!(12 − n)! ( n + 1)!(13 − n)! 14! 14! 2.14! ⇔ + = n !(14 − n)(13 − n)(12 − n)! ( n + 2)( n + 1) n!(12 − n)! ( n + 1) n!(13 − n)(12 − n)! 1 ⇔ + = c) (14 − n)(13 − n) ( n + 2)( n + 1) ( n + 1)(13 − n) ⇔ (n + 2)(n + 1) + (14 − n)(13 − n) = 2(n + 2)(14 − n) ⇔ 4n − 48n + 128 =  n = ( n) ⇔  n = (n) Vậy nghiệm phương trình là: n =4 n=8 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương  Axy + 5C xy = 90 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  y y 5 Ax − 2C x = 80 (*) Lời giải ĐK: x ≥ y ( x, y ∈ ¥ )  X = Axy Đặt  y Hệ phương trình (*) trở thành  Y = Cx  Axy = 20  X + 5Y = 90  X = 20 ⇔ ⇔    y 5 X − 2Y = 80 Y = 10  C x = 10  x!  x! = 20  x ! = 20( x − y )!   ( x − y )! = 20  A = 20  ( x − y )!   ⇔ ⇔ ⇔ x!  x ! x !  C = 10    y !( x − y )! = 10 = 10 = 10   y !( x − y )!  y !( x − y )! (1) y x y x Thế (1) vào (2) ta : (2) 20( x − y )! = 10 ⇔ y ! = ⇔ y = thay vào (2) y !( x − y )! x = x ! = 20( x − 2)!⇔ x( x − 1) = 20 ⇔ x − x − 20 = ⇔   x = −4 Vậy nghiệm hệ là: (x;y)=(5;2) (n) (l) Cn2+1 ≥ n Ví dụ Giải bất phương trình Cn2 10 Lời giải: ĐK: n ≥ (n ∈ ¥ ) Cn2+1 (n + 1)! n! (n + 1) n! n! ≥ n⇔ ≥ n ⇔ ≥ n 10 2!(n − 1)! 10 2!( n − 2)! 2!( n − 1)(n − 2)! 10 2!( n − 2)! Cn  n ≤ − n +1 3n − 13n − 10 ⇔ ≥ n⇔ ≤0⇔  n − 10 10(n − 1) 1 ≤ n ≤ Kết hợp với điều kiện ta ≤ n ≤ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài1 Giải phương trình (n ∈ ¥ ) 14 − x = x x C5 C6 C7 1) C x + 6.C x + 6.C x = x − 14 x ; x−2 x −1 x 2) C5 + C5 + C5 = 25 ( Đs: x=7) 3) 4) C xo + C xx −1 + C xx − = 79 5) Ax3 + C xx − = 14 x (TNTHPT - 98 - 99) 6) C xx++83 = Ax3+6 8) C 1x + C x2 + C x3 7) C 1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 x (ĐHNN - 99- 00) 7x = 2 11) Px Ax + 72 = ( Ax + Px ) 9) Axy++11.Px − y Px −1 = 72 10) C 1x − C x2+1 = Bài 2.Giải hệ phương trình y−2 y −1 5C x = 3C x  Axy + 5C xy = 90 1)  y (Đs:x=5,y=2) ; 2)  y 5 Ax − 2Cx = 80 C xy = C xy −1  Axy + 5Cxy = 90 3)  y y 5 Ax − 2Cx = 80 6C 1x + Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Bài Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mãn phương trình: Cn −1 − Cn −1 − An −2 = (Đs: n=11) Bài Giải bất phương trình n −1 1) An +1 + Cn +1 < 14 ( n + 1) (Đs: − < n < 2) An4 24 ≤ n −4 3) An +1 − Cn 23 (Đs: ≤ n ≤ ) 5) An4+ 143 < ( n + ) ! Pn 4) C x −1 − C x −1 − A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 (Đs: x ≤ ) x ( Đs: −9,5 < n < 2,5 Ax −2 ≤ (Đs: ≤ x ≤ 11 ); 6) Ax3 + Ax2 ≤ 21x (ĐHQGHN - 98- 99) 2 7) A2 x − Ax ≤ C x + 10 x An4+1 C1810 > C1811 > > C1818 Vậy số tập phần tử là: C189 lớn BÀI TẬP TỰ LUYỆN 10 1  Bài 1: Trong khai triển  x + ÷ ( x ≠ 0) Hãy tìm x  a) Hệ số x (ĐS : C103 ) b) Hệ số không chứa x (ĐS : C105 ) Bài Tìm hệ số số hạng: 21 10   1  a) chứa x khai triển  x + ÷ b) chứa x43 khai triển  x + ÷ x  x   n n +1 n   a) chứa x8 khai triển  + x ÷ biết Cn + − Cn +3 = ( n + 3) x  10  x d) chứa x y khai triển  xy + ÷ y  40   e) chứa x khai triển  x + ÷ x   31 10 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Bài 3.Tìm số hạng không chứa x Khai triển   a)  x + ÷ x  n −28   n n −1 n −2 b)  x x + x 15 ÷ biết : Cn + Cn + Cn = 79   n   c) Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển  x x + ÷ 79 15 28 x   n   Bài Cho khai triển  x + ÷ Biết tổng ba số hạng khai triển 631 x   Tìm hệ số số hạng có chứa x5 Cn + 3Cn + 9Cn = 631 n 1  Bài 5.Biết khai triển  x − ÷ Có hệ số số hạng thứ Hãy tính số hạng đứng 3  khai triển Bài Biết tổng hệ số : a) khai triển ( + x ) 1024 Tìm hệ số x12 n b) khai triển ( + x ) 6561.Tìm hệ số x4 n Bài 7.Trong k.triển ( xy + xy ) 12 Tìm số hạng chứa x y cho số mũ x y số nguyên dương Bài 8.Tìm hạng tử số nguyên khai triển a ) ( 3+ Bài 9.Có hạng tử số nguyên khai triển a) ( ) 19 b) 3+ 45 ) ( 124 3+ b) ( ) 125 7−33 ) 64 n −x  x2−1  Bài 10 Cho khai triển :  + ÷ /Biết Cn = 5Cn số hạng thứ 20n Tìm x n    + Bài 11 Tìm số hạng không chứa x khai triển   x 10  x ÷ với x >  Bài 12: Tìm hệ số lớn hệ số số hạng khai triển 40 101 30 30 1  a) ( + x ) b) ( + 2x ) b)  + x ÷ c) ( + 2x ) 3  HD: 101! k k ! ( 101 − k ) ! T C k = a)Hệ số số hạng tổng quát Tk +1 = Cn ≤ k ≤ 101 ,Xét k +1 = 101 ; k −1 101! Tk C101 ( k − 1) !( 102 − k ) ! Tk +1 102 − k 51 = ≥ ⇔ ≤ k ≤ 51 ; k=51 C101 ) Tk k Bài 13: Cho khai triển ( + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n n Và hệ số a0 , a1 , a2 , an thỏa mãn a0 + a) Tìm n (ĐS: n = 12) b) Tìm hệ số lớn khai triển (n ∈ ¥ *) a a1 a2 + + + nn = 4096 2 (ĐS: a8=1267) 11 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương c) 2.3 Xác suất: Ví dụ Gieo đồng tiền liên tiếp lần a) Xây dựng không gian mẫu phép thử b) Tính xác suất biến cố sau: A: '' Lần xuất mặt sấp '' B: '' Kết lần gieo '' C: '' Có lần xuất mặt sấp '' D: '' Ít lần xuất hiên mặt sấp '' Lời giải a) Ω = {SSS , SSN , SNN , SNS , NNN , NNS , NSN , NSS } b) Ω A = {SSS , SSN , SNN , SNS } P( A) = ΩA Ω = = Ω B = {SSS , NNN } P( B) = ΩB Ω = = ΩC = {SSN , SNS ; NSS } P(C ) = ΩC Ω = Ω D = Ω \ {NNN } P( D) = ΩD Ω = Ví dụ Gieo súc sắc cân đối đòng chất lần Tính xác suất cho a) Tổng số chấm hai lần gieo b) Ít lần xuất mặt chấm Lời giải Ω = {(a, b), ≤ b, c ≤ 6} ⇒ Ω = 36 a) Gọi A biến cố ' Tổng số chấm lần gieo '' Ω A = {(1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1)} ⇒ Ω A = ⇒ P ( A) = ΩA Ω = 36 b) Gọi B biến cố ' lần xuất mặt chấm '' Ω B = {(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} ⇒ Ω B = 11 ⇒ P (B) = ΩB Ω = 11 36 12 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Ví dụ Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người a) Cả hai nữ b) Không có nữ c) có nữ d) có người nữ Lời giải Các kết đồng khả C102 = 45 a) Gọi A biến cố “ Chọn hai nữ” Ω A = C32 = ⇒ P ( A) = = 45 15 b) Gọi B biến cố “ nữ nào” 21 Ω B = C72 = 21 ⇒ P ( B ) = = 45 15 c) Gọi C biến cố “ Có nữ” 24 ΩC = C31C71 + C32 = 24 ⇒ P(C) = = 45 15 d) Gọi D biến cố “ Có nữ” 21 ΩC = C31C71 = 21 ⇒ P( D) = = 45 15 Ví dụ Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu vàng Lời giải Số phần tử không gian mẫu Ω = C16 = 1820 Gọi B biến cố “ lấy có cầu màu đỏ không hai màu vàng” Ta xét ba khả sau: - Số cách lấy đỏ, xanh là: C41C53 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C41C52C71 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C41C51C72 1 2 Khi Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 Xác suất biến cố B P ( B ) = ΩB 740 37 = = Ω 1820 91 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên tú lơ khơ Tính xác suất cho quân có quân thuộc (ví dụ K) Lời giải Số cách chọn quân tú lơ khơ là: C525 = 2598960 Số cách chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân thuộc là: 13 C43 = 52 13 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Xác suất để chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân 52 13 = 2598960 649740 Ví dụ Cho E tập số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên số E Tính xác suất để lấy số chia hết cho Lời giải thuộc là: Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ ⇒có cách chon a; & Chọn bcde có A ⇒ n( E ) = A = 5880 e = ⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E abcdeM5 ⇔  ⇒ Trong E có : A + 6A 36 = 1560 e = Số chia hết cho Gọi A biến cố chọn dc số chia hết cho n(A)=1560 1560 13 P( A) = = 5880 49 Ví dụ Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Lời giải Số số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là: 5.4.3 = 60 Trong số số mặt chữ số 4.3.2=24, số số có mặt chữ số 60 − 24 = 36 Gọi A biến cố “hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5”, B biến cố “hai số viết lên bảng mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: 1 C C36 C24 C24 13 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 36 + = 1 1 C60C60 C60C60 25 Suy xác suất để hai số có số có chữ số 13 12 = 25 25 Ví dụ Một cao xạ A,B,C,D bắn đọc lập vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng P = 1− P ( A ∪ B) = 1− pháo tương ứng P(A) = , P ( B ) = , P (C ) = , P( D ) = Tính xác suất để mục tiêu trúng đạn Lời giải Gọi H xác suất: “Mục tiêu trúng đạn” H : “Mục tiêu không trúng đạn” 1 P( H ) = P( A.B.C D) = P( A).P( B).P(C ).P ( D) = = 105 104 ⇒ P ( H ) = − P( H ) = − = 105 105 14 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Ví dụ T Một hộp chứa cầu Hộp chứa cầu đỏ, cầu xanh Hộp chứa cầu đỏ cầu xanh Lấy ngẫu nhiên hộp Tính xác suất : a) Cả hai đỏ b) Cả hai màu c) Cả hai khác màu Lời giải Không gian mẫu hộp 1: Ω = C51 = = 10 Không gian mẫu hộp 2: Ω = C10 Gọi A:“Lấy đỏ từ hộp 1” A : “Lấy xanh từ hộp 1” B:“Lấy đỏ từ hộp 2” B : “Lấy xanh từ hộp 2” C:“Lấy đỏ” a) P(C ) = P( A.B ) = P( A).P ( B ) = = 10 25 b) Gọi D:“Cả hai màu” 6 12 P(D) = P( A.B) ∪ P( A.B) = P( A).P( B ) = + = 25 10 25 c) Gọi D : “ khác màu” 12 13 P( D) = − P ( D) = − = 25 25 Ví dụ Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi 0,9 Nếu trượt lần đầu xác suất vượt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trượt hai lần xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Lời giải Gọi Ai biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Ta có: B = A1 ∪ (A1A ) ∪ (A1 A A ) Suy ra: P(B) = P(A1 ) + P(A1A ) + P(A1 A A ) P(A1 ) = 0,  Trong đó: P(A1A ) = P(A1 ).P(A / A1 ) = 0,1.0,  P(A1 A A ) = P(A1 ).P(A / A1 ).P(A / A1 A ) = 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0, + 0,1.0,3.0,3 = 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Kết {a,b} việc gieo súc sắc cân đối đồng chất lần b số chấm xuất lần gieo đầu c số chấm xuất lần gieo thứ thay vào phương trình bậc hai x + bx + c = (1) Tính xác suất để : 15 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương 17 ) 36 b) Phương trình (1) có nghiệm kép (ĐS : P(B) = ) 18 19 c) Phương trình (1) có nghiệm (ĐS : P(C) = ) 36 Bài : Cho hộp đựng 12 viên bi có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên đồng thời viên bi Tính xác suất để lấy a) viên bi màu đỏ (ĐS: P ( A) = ) 44 21 b) viên bi có viên bi màu đỏ viên bi màu xanh (ĐS: P (B) = ) 44 c) viên bi màu đỏ (ĐS: P (C) = ) 11 Bài : Có 100 vé số 10 vé trúng thưởng, người mua vé Tính xác suất : (ĐS : P( A) = a) Phương trình (1) vô nghiệm a) Có é trúng thưởng b) Có vé trúng thưởng (ĐS : P( A) = (ĐS : P(B) = C10 C90 C100 C10 C100 ) ) (ĐS : P(C) = − c) Có vé trúng thưởng C90 C100 ) Bài : Một học sinh thi môn xác suất học thuộc 20 25 câu hỏi Khi thi học sinh phải trả lời câu hỏi Tính xác suất để học sinh a) Trả lời câu hỏi (ĐS : P( A) = b) Trả lời câu hỏi câu c) Không trả lời câu d) Trả lời câu C20 20 C25 ) (ĐS : P( B) = (ĐS : P(C ) = C20 C52 20 C25 C54 20 C25 ) ) (ĐS : − P (C ) = − C54 20 C25 ) Bài : Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Tính xác suất : a) Lấy viên đỏ (ĐS : P(A) = ) 560 143 b) Lấy viên không đỏ (ĐS : P(B) = ) 280 16 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương c) Lấy viên trắng, viên đen, viên đỏ (ĐS : P(C) = ) 40 Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất : 21 ) 65 27 b) Lấy viên bi trắng (ĐS : P(B) = ) 65 121 c) Lấy viên bi trắng (ĐS : P(C) = ) 130 Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất để lấy viên trắng, viên đen, vên đỏ 45 (ĐS : P(D) = ) 286 Bài : Trên giá sách có sách toán, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất a) lấy thuộc môn khác (ĐS : P(A) = ) b) Cả toán (ĐS : P(B) = ) 21 37 c) Lấy toán (ĐS : P(C) = ) 42 Bài : Từ hộp đựng thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên thẻ nhân số ghi thẻ với Tính xác suất để : a) Tích nhân số lẻ (ĐS : P(A) = ) 18 13 b) Tích nhân số chẵn (ĐS : P(B) = ) 18 Bài : Cho tập hợp {1 ;2 ;3… ;11} Chọn ngẫu nhiên số từ tập cho Tính xác suất để : a) Tổng số chọn 12 (ĐS : P(A) = ) 165 16 b) Tổng số chọn số lẻ (ĐS : P(B) = ) 33 Chọn ngẫu nhiên số từ tập cho Tính xác suất để tổng số lẻ (ĐS : a) Lấy viên bi trắng P(A) = (ĐS : P(A) = 118 ) 231 Bài Từ chữ số tập T = { 0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi hai thẻ có số chia hết cho 17 [...]... viên trắng, 3 viên đen, 2 vên đỏ 45 (ĐS : P(D) = ) 286 Bài 6 : Trên giá sách có 4 quyển sách to n, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách Tính xác suất 2 a) 3 quyển lấy ra thuộc 3 môn khác nhau (ĐS : P(A) = ) 7 1 b) Cả 3 quyển đều to n (ĐS : P(B) = ) 21 37 c) Lấy ít nhất được một quyển to n (ĐS : P(C) = ) 42 Bài 7 : Từ một hộp đựng 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên 2 thẻ... ).P(A 3 / A1 A 2 ) = 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0, 7 + 0,1.0,3.0,3 = 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Kết quả {a,b} của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ 2 được thay vào phương trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 (1) Tính xác suất để : 15 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương 17 ) 36 1 b) Phương... 1 3 1 1 2 1 2 1 Khi đó Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 Xác suất của biến cố B là P ( B ) = ΩB 740 37 = = Ω 1820 91 Ví dụ 2 Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K) Lời giải Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C525 = 2598960 Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài... } b) Ω A = {SSS , SSN , SNN , SNS } P( A) = ΩA Ω = 4 1 = 8 2 Ω B = {SSS , NNN } P( B) = ΩB Ω = 2 1 = 8 4 ΩC = {SSN , SNS ; NSS } P(C ) = ΩC Ω = 3 8 Ω D = Ω \ {NNN } P( D) = ΩD Ω = 7 8 Ví dụ 2 Gieo một con súc sắc cân đối và đòng chất 2 lần Tính xác suất sao cho a) Tổng số chấm của hai lần gieo là 6 b) Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 1 chấm Lời giải Ω = {(a, b), 1 ≤ b, c ≤ 6} ⇒ Ω = 36 a) Gọi A là biến cố