TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ ĐỀ XUẤT Tác giả: TRẦN NGỌC THẮNG SĐT: 0986261141 ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2016 MÔN: TOÁN, LỚP 10 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x = ( − x ) − x2 + x + ( x ∈ ¡ x +1 x2 + ) ABC ( AB < AC ) Câu (4,0 điểm) Cho tam giác có điểm A thay đổi hai điểm B, C cố ( O) định nằm đường tròn cố định vàhai điểm A O nằm phía so với ( O ') ( O) T T điểm ( nằm P, Q ABC bên tam giác ) tiếp xúc với cạnh AB, AC Đường thẳng đường thẳng BC Đường tròn PQ cắt đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn điểm R ( O ') TB, TC Các đường thẳng cắt lại đường tròn lần E, F ( E ≠ T , F ≠ T ) lượt Chứng minh a) Đường thẳng b) Đường thẳng EF RT song song với đường thẳng BC qua điểm cố định điểm A thay đổi a, b, c Câu (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương sau: a2 +1 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện b2 + và là các số nguyên tố; ( a + 1) ( b + 1) = c + b) a) a , b, c Câu (4,0 điểm) Cho là các số thực dương Chứng minh rằng a b c + + ≤ a+b+c 2a + b 2b + c 2c + a n ( n ≥ 4) Câu (4,0 điểm) Trên bảng viết số nguyên dương liên tiếp Hai người A B lần n lượt chọn số từ số cho xóa số thực đến bảng lại a gcd ( a, b ) = b số Biết A thắng người thắng A trước a) b) gcd ( a, b ) > , B thắng Ai n = 2017 n số nguyên dương không nhỏ 2016 -Hết - ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 2016 Câu Nội dung trình bày Điểm (4,0 điểm) −1 < x ≤ Đkxđ: x x2 + = ( − x ) − x2 + x + x +1 Ta có x3 + x + x ⇔ = ( − x ) ( x + 1) ( − x ) x +1 ⇔ 1,0 x3 + x + x = ( − x) − x ( x + 1) x + 1,0 x3 x2 + x ⇔ + = ( − x) − x ( x + 1) x + ( x + 1) x + x  x  ⇔ = ÷+ x +1  x +1   x  ⇔ ÷−  x +1  ( 2− x ) ( 2− x + ) 1,0 + 2− x x − 2− x = x +1  x  x   x  ⇔ − − x ÷  ÷ + ÷  x +1    x +   x +  ( ) ( 2− x + 2− x )  + 1÷ = ÷  ⇔ x − 2− x = x +1 ⇔ − x2 + x + = x − x + x + = x + 17 ⇔ ⇔x= x ≥ So sánh với điều kiện xác định ta được tập nghiệm  1 + 17   S =      của phương trình đã cho là (4,0 điểm) 1,0 A Q O C O' F P B E T M R 4a (1,5 điểm) ( O) ( O ') T ⇒ O, O ', T Do tiếp xúc với điểm thẳng hàng Ta có OT OB BE OO ' = ⇒ OB || O ' E ⇒ = O 'T O ' E BT OT (1) Tương tự ta có CF OO ' = CT OT (2) Từ (1) (2) ta có BE CF = ⇒ EF || BC BT CT 1,0 0,5 4b (2,5 điểm) Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác ABC với cát tuyến KPQ ta có: RB QC PA RB PB =1⇒ = ( 3) RC QA PB RC QC Ta RT qua điểm cung BC Để chứng minh RT qua điểm · BTC cung BC ta cần chứng minh RT phân giác góc Do EB FC EB TB EF || BC ⇒ = ⇒ = BT CT FC TC Ta có 0,5 1,0 BP BE.BT  BT  BP BT = = = ÷ ⇒ CQ CF CT  CT  CQ CT Từ (3) (4) suy (4,0 điểm) RB TB = ⇒ RT RC TC 1,0 (4) phân giác góc · BTC c + ≤ ( a + 1) ⇒ c < a + a≥b c>a Từ (2) ta 2 2 2 a + c + ⇒ a + ( c + − a − 1) ⇒ a + ( c − a ) ( c + a ) Mặt khác ta lại có 2 < c + a < a + a + < ( a + 1) c − a < a2 + a2 + Do , số nguyên tố suy c − a = a = ⇔  c + a = a + c = b =1 Thay vào điều kiện thứ hai ta ( a, b, c ) = ( 1, 2,3) , ( 2,1,3) Vậy Giả sử 1,0 1,0 1,0 1,0 (4,0 điểm) Ta co a b c a b c + + = a + b + c 2a + b 2b + c 2c + a 2a + b 2b + c 2c + a ≤ a b c  + + ÷  2a + b 2b + c 2c + a  1,5 ( a + b + c )  Tiếp theo ta sẽ chứng minh a b c + + ≤1 2a + b 2b + c 2c + a (1) 1,0 ⇔ 1− ⇔ 2a 2b 2c +1− + 1− ≥1 2a + b 2b + c 2c + a b c a + + ≥1 2a + b 2b + c 2c + a (2) Ta chứng minh (2) ( a + b + c) b c a b2 c2 a2 + + = + + ≥ 2 2 2a + b 2b + c 2c + a 2ab + b 2bc + c 2ca + a a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b + c) = ( a + b + c) =1 Do đó (2) được chứng minh Kết hợp (1) và (2) ta được a b c + + ≤ a+b+c 2a + b 2b + c 2c + a Dấu đẳng thức xảy và chỉ a=b=c 1,5 (4,0 điểm) 4a (1,5 điểm) n = 2017 Với , ta chia số bảng thành nhóm sau: ( 1, ) , ( 3, ) , , ( 2013, 2014 ) , ( 2015, 2016 ) , 2017 (ở 1,2, …, 2015, 2016, 2017 số dư 2017 số nguyên liên mod 2017) Khi A trước chọn số 2017, B chọn số số lại A chọn số cặp với số mà B vừa chọn, vậy… đến bảng lại hai số hai số thuộc cặp nguyên tố nên A thắng 4b (2,5 điểm) Ta xét hai trường hợp: n TH1 Nếu lẻ làm tương tự phần a ta A người thắng n TH2 Nếu chẵn: Khi B có chiến thuật thắng Thật vậy, B chọn p, q số lẻ không chọn hai số lẻ hai số chia hết cho Khi x, y bước trước bước cuối ta số chẵn ta có hai số chẵn p, q hai số lẻ chia hết cho Nếu A chọn số chia hết cho B chọn số chia hết cho lại hai số chẵn lại có ước chung lớn không nhỏ Nếu A chọn số chẵn B chọn số chẵn lại hai số lại có ước chung lớn không nhỏ Vậy B thắng 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0