Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ GIỚI THIỆU MÔN HỌC I GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp tính lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu phương pháp giải toán (chủ yếu gần đúng) cách dựa liệu số cụ thể cho kết dạng số Ngày phần lớn công việc tính toán thực máy tính Tuy thực tế chứng tỏ việc áp dụng thuật toán phương pháp tính toán khác cho tốc độ tính toán độ xác khác Lấy ví dụ đơn giản tính định thức ma trận chẳng hạn, tính trực định nghĩa việc tính định thức ma trận vuông cấp 25 hàng triệu năm (ngay với máy tính đại nay); sử dụng phương pháp khử Gauss kết nhận gần tức thời Như vậy, phương pháp tính công cụ thiếu công việc cần thực nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh độ xác cao vật lý, điện tử viễn thông, công nghệ thông tin Phương pháp tính nghiên cứu từ lâu thành tựu đạt khối lượng kiến thức đồ sộ in nhiều tài liệu sách, báo Tuy nhiên, môn học "Phương pháp tính" nhằm cung cấp kiến thức phương pháp tính Với lượng kiến thức sinh viên áp dụng vào giải toán thông thường thực tế có khả tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho gặp vấn đề phức tạp Trong phương pháp tính thường quan tâm đến hai vấn đề: • Phương pháp để giải toán • Mối liên hệ lời giải số gần lời giải đúng, hay sai số lời giải II MỤC ĐÍCH Môn học phương pháp tính cung cấp cho sinh viên kiến thức số phương pháp giải gần liệu số với mục đích • Tạo sở để học tốt nghiên cứu nghành khoa học kỹ thuật • Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm xây dựng giới quan khoa học tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số phương pháp phương pháp tính, ứng dụng nhiều thực tế phương pháp tính đại số tuyến tính, toán nội suy, tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến, tính gần đạo hàm tích phân, giải gần số dạng phương trình vi phân Tìm hiểu lĩnh vực ứng dụng phương pháp thực tế IV PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP: Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý vấn đề sau: Kiến thức chuẩn bị:  Sinh viên phải có kiến thức toán học cao cấp  Thành thạo sử dụng máy tính cầm tay (sẽ giảng viên hướng dẫn lớp) Tài liệu dụng cụ học tập:  Giáo trình Phương pháp tính trường ĐHCN Tp HCM  Máy tinh cầm tay (Casio 570 MS, ES Vinacal 570 MS) Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm:  Giải tích số Phạm Kỳ Anh, nhà xuất đại học Quốc Gia Hà Nội, 1966  Phương pháp tính Tạ Văn Đỉnh, Nhà xuất Giáo dục - 1995  Phương Pháp tính Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2001 Tham gia đầy đủ buổi hướng dẫn học tập: Thông qua buổi hướng dẫn học tập, giảng viên giúp sinh viên nắm nội dung tổng thể môn học giải đáp thắc mắc, đồng thời sinh viên trao đổi, thảo luận với sinh viên khác nội dung học Chủ động liên hệ với bạn học giảng viên: Cách đơn giản tham dự diễn dàn học tập mạng Internet, qua trao đổi trực tiếp vấn đề vướng mắc với giảng viên bạn học khác online Địa email để trao đổi với giảng viên : dohoaivu.dhcn@yahoo.com.vn Tự ghi chép lại ý chính: Việc ghi chép lại ý hoạt động tái kiến thức, kinh nghiệm cho thấy giúp ích nhiều cho việc hình thành thói quen tự học tư nghiên cứu Học đôi với hành Học lý thuyết đến đâu thực hành làm tập đến để hiểu nắm lý thuyết Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ CHƯƠNG SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Sau nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên: Hiểu sai số tuyệt đối sai số tương đối Nắm cách viết số xấp xỉ Hiểu phân biệt sai số tính toán sai số phương pháp Tính sai số phương pháp 1.1 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong kỹ thuật giá trị thông số tiếp cận nói chung giá trị (vì kết phép đo thí nghiệm) Như sử dụng giá trị gần thay cho giá trị đúng, việc nẩy sinh nhiều vấn đề phức tạp giá trị có giá trị gần nhiều Để có sở khoa học việc sử dụng số gần người ta đưa khái niệm sai số để đo độ chênh lệch giá trị giá trị gần Chú ý sử dụng số gần thay cho số người ta phải dùng đồng thời hai đại lượng : giá trị gần sai số Hai đại lượng có vai trò 1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI 1.2.1 Sai số tuyệt đối Xét đại lượng A đại lượng gần a Ta nói a xấp xỉ A viết a ≈ A Trị tuyệt đối Δ = |a-A| gọi sai số tuyệt đối a (khi dùng a để xấp xỉ A) Trong thực tế ta số A, nói chung sai số tuyệt đối không tính Vì ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối a số Δa > cho |a - A| ≤ Δa Số dương Δa gọi sai số tuyệt đối giới hạn a Chú ý: Nếu Δa sai số tuyệt đối giới hạn a số thực lớn Δa sai số tuyệt đối giới hạn a, sai số tuyệt đối giới hạn lớn so với sai số tuyệt đối ý nghĩa phương diện sai số Trong điều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn Δa số dương bé Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2.2 Sai số tương đối Đại lượng    gọi sai số tương đối a A Tuy nhiên lần ta thấy A thường không biết, người ta định nghĩa đại lượng a  a a sai số tương đối giới hạn a Đôi người ta biểu diễn sai số tương đối dạng % Ví dụ với a =10, Δa = 0.05, ta có  a  0.05  0.5% 10 Vì thực tế thao tác với sai số giới hạn, người ta thường gọi cách đơn giản Δa sai số tuyệt đối,  a sai số tương đối 1.2.3 Chú thích: Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ "chất lượng" số xấp xỉ, “chất lượng” phản ánh qua sai số tương đối 1.3 CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ 1.3.1 Chữ số có nghĩa Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số, ta kể chữ số từ chữ số khác không tính từ trái đến chữ số cuối khác không phía bên phải chữ số có nghĩa Chẳng hạn số 2.740 có chữ số có nghĩa, số 0.02078 có chữ số có nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin Mọi số thập phân có dạng a  (  n10n   110   0100   1101  n    m10 m )     s ,  s  0,1, ,9 s  m Giả sử a xấp xỉ số A với sai số tuyệt đối Δa s Nếu Δa ≤ 0.5  10 ta nói chữ số αs đáng tin (như chữ số có nghĩa bên trái αs đáng tin) s Nếu Δa > 0.5  10 ta nói chữ số αs đáng nghi (như chữ số bên phải αs đáng nghi) Ví dụ Cho số xấp xỉ a = 4.67329 xác định chữ số đáng tin chữ số đáng ngờ Δa = 0.004726 Δa= 0.005726 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ Giải -2 Ta có Δa = 0.004726 ≤ 0.5  10 chữ số đáng tin là: 4,6,7; chữ số đáng ngờ 3,2, -1 Khi Δa= 0.005726 ta có Δa ≤ 0.5  10 chữ số đáng tin là: 4,6; chữ số đáng ngờ 7, 3, 2, 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ a Kèm theo sai số Nếu Δa sai số tuyệt đối giới hạn a xấp xỉ A ta quy ước viết: A = a ± Δa với ý nghĩa a – Δa ≤ A ≤ a + Δa Hoặc A = a(1 ±  a ) b Mọi chữ số có nghĩa đáng tin Cách thứ hai viết theo quy ước: chữ số có nghĩa đáng tin; có nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn không lớn nửa đơn vị hàng cuối -5 Ví dụ Khi viết a = 4.67329 ta hiểu lúc Δa= 0.5  10 1.4 CÁC LOẠI SAI SỐ KHI XỬ LÝ BÀI TOÁN KỸ THUẬT Khi giải toán phức tạp người ta thường thay toán toán đơn giản để giải tay máy Phương pháp thay toán phức tạp phương pháp đơn giản tính gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Mặc dầu toán dạng đơn giản, trình giải ta thường xuyên phải làm tròn kết xử dụng số xấp xỉ , sai số tạo trình gọi sai số tính toán Trong thực tế việc đánh giá loại sai số, sai số tính toán nhiều toán khó thực Tóm lại thực toán phương pháp gần ta thường gặp loại sai số sau đây: • Sai số việc mô hình hóa toán : xuất việc giả thiết toán đạt số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp toán • Sai số phương pháp : xuất việc giải toán phương pháp gần • Sai số số liệu : xuất việc đo đạc cung cấp giá trị đầu vào không xác • Sai số tính toán : xuất làm tròn số hoăc xử dụng số xấp xỉ trình tính Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ toán, trình tính nhiều sai số tích luỹ lớn Những sai số tổng hợp lại nhiều dẫn đến lời giải cách xa so với lời giải dùng Chính việc tìm thuật toán hữu hiệu để giải toán thực tế điều cần thiết 1.5 SAI SỐ TÍNH TOÁN THƯỜNG GẶP 1.5.1 Sai số quy tròn số xấp xỉ Khi tính toán với số ta thường làm tròn số theo quy ước: Nếu chữ số bỏ ≥ thêm vào chữ số giữ lại cuối đơn vị, chữ số bỏ < để nguyên chữ số giữ lại cuối Giả sử a xấp xỉ A với sai số tuyệt đối giới hạn Δ Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn θ, tức là: | a' - a| ≤ θ Khi |a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + Δ Vậy lấy θ + Δ làm sai số tuyệt đối giới hạn a' Như việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối giới hạn 1.5.2 Sai số tính toán số xấp xỉ Bài toán Cho u = f(x1, x2, , xn) Biết đối số x1, x2, , xn số xấp xỉ với sai số tuyệt đối tương ứng Δ1 , Δ2 , Δn f hàm khả vi liên tục theo đối số xi Hãy xác định Δu,  u Giải Theo công thức vi phân hàm nhiều biến ta có: du  Từ suy u  u x1  x1 Vì chọn : u   u u xn  1  xn x1 u 1  x1 Để tìm  u ta dùng công thức :  u   u dx1  x1   u dxn xn u n xn u n xn u u Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ Ví dụ Cho hàm u  f ( x, y, z )  x y  yz Hãy xác định giá trị hàm số u, sai số tuyệt đối sai số tương đối u biết x  0.983, y  1.032(1  0.05), z  2.114  0.02 .Phần ghi chép sinh viên Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Trong tập ngầm hiểu sai số tương đối sai số tuyệt đối sai số tương đối giới hạn sai số tuyệt đối giới hạn o o Bài Khi đo số góc ta giá trị : a= 21 37’3”; b=1 10’ Hãy xác định sai số tương đối số xấp xỉ biết sai số tuyệt đối phép đo 1” Bài Hãy xác định sai số tuyệt đối số xấp xỉ sau cho biết sai số tương đối chúng: a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2.32; δb=0.7% Bài Hãy xác định số chữ số đáng tin số a,b với sai số sau: a) a= 0,3941; Δa=0,25.10 -2 b) a=38,2543; Δa= 0,27.10 -2 Bài Hãy xác định số chữ số đáng tin số a với sai số tương đối sau: a) a=1,8921; δa=0,1.10 -2 b) a=22,351; δa=0,1 Bài Hãy qui tròn số đây( xem đúng) với chữ số có nghĩa đáng tin xác định sai số tuyệt đối Δ sai số tương đối δ chúng: a) 2,514 b) 0,16152 c) 0,01204 d) –0,0015281 Bài Hãy xác định: Giá trị hàm số, Sai số tuyệt đối giới hạn Sai số tương đối giới hạn Biết giá trị đối số cho với chữ số có nghĩa đáng tin a) u  f ( x, y, z )  tg ( x y  yz ), b) u  f ( x, y, z )  zesin( xy ) , x  0.983, y  1.032, z  2.114 x  0.133, y  4.732, z  3.015 Bài Hãy xác định: Giá trị hàm số, sai số tuyệt đối sai số tương đối Biết giá trị đối số cho với chữ số có nghĩa đáng tin a) u  x sin( yz ), x  1.113; y  0.102; z  2.131 b) u  z ln( xy ) , x  0.162; y  4.531; z  1.91 c) u  x  y , x  0.085; y  0.055; z  2.152 d ) u  (1  xyz ) x , x  2.918; y  1.032; z  2.114 Bài Tính thể tích V hình cầu sai số tuyệt đối, biết đường kính đo d = 1,112m sai số phép đo mm Bài Hãy xác định sai số tương đối , sai số tuyệt đối chữ số đáng tin cạnh hình vuông a Biết diện tích hình vuông S  16, 45cm2 , S  0,01 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ CHƯƠNG TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 2, yêu cầu sinh viên: Kiểm tra khoảng cách ly nghiệm Tìm nghiệm gần đánh giá sai số Biết vận dụng phương pháp giải gần vào toán thực tế 2.1 GIỚI THIỆU CHUNG 2.1.1 Đặt vấn đề Khi giải toán kỹ thuật thường gặp loại yêu cầu : Xác định thông số đầu vào, để đầu hệ thống đạt mức cho trước yêu cầu phát biểu ngôn ngữ toán học sau: Xác định giá trị x  ( a, b) cho f ( x )  , (2.1) Như biết việc giải phương trình (2.1) không đơn giản (vì phương pháp chung) f ( x) đa thức có bậc lớn Trong kỹ thuật người ta chấp nhận giá trị x (sao cho f ( x )  ) thay cho nghiệm α phương trình với điều kiện đánh giá sai số tuyệt đối x α (Điều hoàn toàn hợp lý thực tế xác định xác giá trị thông số đầu vào qua hệ thống kết đầu gần với yêu cầu) Giá trị x nói gọi nghiệm gần phương trình (2.1) Việc tìm giá trị x đánh giá sai số gọi giải gần phương trình Chú ý: Khi đánh giá sai số cần phải tính  x*  x *   f  x*  f  x *  f    f  x *   Sai số chung toán tính   max  x*;  f  x* Trong giảng tính  x*  x *  2.1.2 Các bước giải gần phương trình phi tuyến Khi giải gần nghiệm phương trình (2.1) ta cần tuân theo bước sau:  Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm (a,b) (hay (a,b) khoảng cách ly)  Bước 2: Dùng thuật toán để tìm giá trị x đánh giá sai số 2.1.3 Một số định lý cần thiết việc thực giải gần Bài giảng: Toán chuyên đề –HK1 Năm 2015-2016 Th.s Đỗ Hoài Vũ Để thực bước 1, ta dùng định lý Định lý1 Nếu hàm số f(x) liên tục, đơn điệu đoạn [a,b] f(a)f(b)10-3    y (2)  y0  h  f ( x0 , y0 )  f ( x1, y (1) )   y0  h  x02  y0  x12  y (1)   0.905225    2 2   y1(2)  y1(1)  2.75  104  103  Vậy y1  0.905225 Tính y2  y (0)  y1  hf ( x1, y1 )  y1  h( x12  y1 )  0.905225 +0.1(0.12  0.905225 )=0.815703   y (1)  y  h  f ( x , y )  f ( x , y (0) )   0.821679 1 2   2    y2(1)  y2(0)  5.98  103 >10-3    y (2)  y1  h  f ( x1, y1 )  f ( x2 , y (1) )   0.82138   2   y2(2)  y2(1)  2.99  104  10 3  Vậy y2  0.82138 Ví dụ2 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ   y /  ( y  e x )cos y ; x  [0.5,1]  y (0.5)    Tìm giá trị xấp xỉ y(0.55), y(0.58) thỏa yêu cầu sai số 10-3 .Phần ghi chép sinh viên 59 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 60 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 6.2.2 Phương pháp Runge-Kutta - Kiểm tra toán có nghiệm - Đặt x  a, y0  y(x ) Tính yi 1 theo công thức yi 1  yi  (i) (i) k1(i)  2k (i)  2k  k k (i)  hf (x i , yi )   (i)  k1(i)  h k  hf  x i  , yi     2    Với    k (i) h  (i)  k  hf x  , y     i i     (i) (i)  k  hf x i  h, yi  k  ; i  0, n   Ví dụ1 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ  y /  x y ; x  [1,2]   y (1)  Tìm giá trị xấp xỉ y(1.1), y(1.12) Giải Bước 0: Tóm tắt toán i xi yi x0=1 y0=1 x1=1.1 y1=? x2=1.12 y2=? ;   f ( x, y )  x y    x1  x0  0.1  x2  x1  0.02 Vì khoảng cách giá trị x không nên ta phải tính hai lần riêng biệt với hai giá trị h 0.1 0.12 Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm  f ( x, y )  x y  Ta có f liên tục R Vậy phương trình có nghiệm riêng  y ( x, y )  x  Bước 2: Tính giá trị y1 = y(1.1) y2 = y(1.12) 61 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ Tính y1 ( với h=0.1)  k (0)  hf ( x0 , y0 )  h( x0 y0 )  0.1    (0) k1(0)  k1(0)  h h     h  x0    y0    0.115763 k2  hf  x0  , y0      2 2         (0) (0)  k (0)  hf  x  h , y  k2   h  x  h   y  k2   0.116631     2         (0) (0) (0) k4  hf x0  h, y0  k3  h( x0  h) y0  k3  0.135112     k1(0)  2k2(0)  2k3(0)  k4(0) Vậy y1  y0   1.11665 Tính y1 (với h=0.12)  k (0)  hf ( x0 , y0 )  h( x0 y0 )  0.12    (0) k1(0)  k1(0)  h h     h  x0    y0    0.142923 k2  hf  x0  , y0      2 2         ( 0) (0)  k (0)  hf  x  h , y  k2   h  x  h   y  k2   0.144467     2         (0) (0) (0) k4  hf x0  h, y0  k3  h( x0  h) y0  k3  0.172274 k (0)  2k2(0)  2k3(0)  k4(0) Vậy y1  y0   1.144509     Ví dụ2 Cho hàm y=y(x) thỏa hệ   y /  ( y  e x )sin y ; x  [0.5,1]  y (0.5)    Tìm giá trị xấp xỉ y(0.55), y(0.6) Phần ghi chép sinh viên 62 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 63 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ BÀI TẬP Bài1: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Euler cải tiến Cho   10 4 a ) y /  x  y ; y (0)  đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 b) y /   xy ; y (0)  đoạn c) y /  x  [0;1], với bước h = 0,25 y ; y (0)  đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 d ) y /   3xy ; y (0)  1.5 đoạn [0;1], với bước h = 0,125 x2  y e) y  ; y (0)  đoạn [0;0,5], với bước h = 0,125 xy  / f ) y/   x  3x y ; y (0)  đoạn [0;1], với bước h = 0,125 Bài2 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Runge-kutta a ) y /  x  y ; y (0)  đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 b) y /   xy ; y (0)  đoạn [0;1], với bước h = 0,25 c) y /   y ; y (0)  đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25  x2 d ) y /   3xy ; y (0)  đoạn [0;1], với bước h = 0,25 e) y /  x2  y ; y (0)  đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25  xy 64 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ Đề số Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu) Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp  2x  y  z  10t  10 10x  y  z  t  10   2 x  20y  z  2t  20  x  y  20z  5t  20 Đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lẩn lần lặp thứ hai Câu Cho bảng số liệu x y 0 5.5 42.3 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng: y  a(e x  1)  b ln( x  1)  Cho tích phân I  ln(e x  2)dx Câu a) Tính gần I phương pháp Simpson 1/3 Biết chia đoạn [1, 2] thành 10 đoạn có chiều dài Không đánh giá sai số b) Nếu dùng phương pháp hình thang cần chia đoạn [1,2] thành đoạn có chiều dài để sai số tính gần I không 10 -3 Câu Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ  y '  x sin( x  y )   y (0)  a) b) ; x [0,1] Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3 Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không đánh giá sai số ……………………………………………………………………………… 65 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ Đề số Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu) Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp  10x  y  2z  t  10 2 x  20y  z  4t  20    x  y  2z  10t  10  x  y  20z  3t  20 Đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lẩn lần lặp thứ hai Câu Cho bảng số liệu x y -1 2.1 12.2 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng: y  a ( x  1)  b ln( x  1) Câu  Cho tích phân I  ln(1  e x )dx a) Tính gần I phương pháp Simpson 1/3 Biết chia đoạn [1, 2] thành 10 đoạn có chiều dài Không đánh giá sai số b) Nếu dùng phương pháp hình thang cần chia đoạn [1,2] thành đoạn có chiều dài để sai số tính gần I không 10 -3 Câu Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ  y '  x cos( x  y)   y (0)  ; x [0,1] a) Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3 b) Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không đánh giá sai số ……………………………………………………………………………… 66 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ .Phần ghi chép sinh viên 67 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 68 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 69 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 70 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 71 Bài giảng: Toán chuyên đề –HK3 Năm 2010-2011 Th.s Đỗ Hoài Vũ 72