CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ NỘI DUNG: I LÝ THUYẾT MẪU II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ IV ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂ V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ I LÝ THUYẾT MẪU Tổng thể mẫu   Tổng thể: ký hiệu X đặc tính cần nghiên cứu Tập hợp M gồm tất phần tử mang đặc tính X vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi tổng thể Ta gọi N số phần tử tổng thể Ví dụ - Số cử tri bầu cử - Thu nhập hộ gia đình địa phương - Điểm trung bình tất sinh viên trường đại học - Trọng lượng loại cá hồ - I LÝ THUYẾT MẪU Tổng thể mẫu  Thông thường, N lớn nên ta lấy hết phần tử M để thực thí nghiệm lý sau:  N lớn  Thời gian kinh phí khơng cho phép  Có thể làm hư hại hết phần tử M I LÝ THUYẾT MẪU Tổng thể mẫu Vì người ta thường lấy số phần tử M để nghiên cứu, phần tử gọi mẫu lấy từ M Số phần tử mẫu gọi cỡ mẫu, ký hiệu n  Ví dụ  Thăm dị 2000 cử tri  Khảo sát 300 gia đình  Cân trọng lượng 500 cá …  I LÝ THUYẾT MẪU Mẫu ngẫu nhiên mẫu cụ thể  Ký hiệu Xi giá trị quan sát X phần tử thứ i mẫu Khi ta có n biến ngẫu nhiên (X1, , Xn) gọi mẫu lý thuyết lấy từ M  Tính chất mẫu:    Các Xi có phân phối X Các Xi độc lập với Khi lấy mẫu cụ thể xong ta có số liệu (x1, , xn) gọi mẫu thực nghiệm lấy từ X I LÝ THUYẾT MẪU Phương pháp chọn mẫu Theo xác suất (Probability sampling)  Ngẫu nhiên đơn giản (simple random sampling)  Hệ thống (systematic sampling)  Phân tầng (theo tỷ lệ, không theo tỷ lệ) (stratified sampling)  Theo nhóm (một bước, hai bước…) (cluster sampling) Phi xác suất (Non-probability sampling)  Thuận tiện (convenience sampling)  Phán đoán (judgment sampling)  Phát triển mầm (snowball sampling)  Định mức/Hạn ngạch (quota sampling) I LÝ THUYẾT MẪU Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm  Bảng thống kê đơn giản Thứ tự (i) Giá trị X x1 x2 x3 hoặc: x1 x2 x3 xn-1 n-1 n xn-1 xn xn Ví dụ Đo chiều cao 10 sinh viên lớp (cm) Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155  Thứ tự Chiều cao(cm) 10 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 I LÝ THUYẾT MẪU Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm  Bảng tần số X x1 x2 x3 xk-1 xk ni n1 n2 n3 nk-1 nk Với n1 + n2 + + nk = n  Ví dụ Khảo sát điểm 50 thi mơn toán điểm thi 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Số 14 12 4 I LÝ THUYẾT MẪU Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm  Bảng tần số chia khoảng X (a1,b1] (a2,b2] ni n1 n2 (ak,bk] nk Với n1 + n2 + + nk = n Chú ý: tính tham số thống kê khoảng giá trị X lấy giá trị trung tâm khoảng: xi = (ai + bi)/2, thu bảng sau: X x1 x2 x3 xk-1 xk ni n1 n2 n3 nk-1 nk I LÝ THUYẾT MẪU Các tham số đặc trưng mẫu Trung bình  Phương sai – Độ lệch chuẩn  Trung vị  Mode  I LÝ THUYẾT MẪU Các tham số đặc trưng mẫu  Ví dụ Khảo sát chiều cao 15 sv lớp học: 160,165,155,162,167,145,158,170,165,155 158,160,170,175,169 Tính tham số mẫu  Ví dụ Thời gian tự học 100 sinh viên cho bảng sau Thời gian tự học Số sinh viên Tính tham số mẫu 10 20 40 20 10 II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG Ước lượng điểm  Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x,θ); θ tham số chưa biết hàm mật độ, ta cần tìm θ Xét mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (X1, X2, , Xn) lấy từ ˆ = h ( X , , X ) Θ n X Một thống kê gọi ước ˆ gọi lượng điểm θ Bài toán tìm Θ ˆ = θˆ ước tốn ước lượng điểm Và giá trị Θ lượng điểm cụ thể cho θ II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG Ước lượng điểm  Ví dụ: - Xét X bnn có phân phối chuẩn X ~ N(μ, σ2) Thì hai tham số cần tìm Θ = ( θ1 ,θ ) = ( µ , σ ) - Hai ước lượng cho a σ2 là: n µ = X = ∑ Xi n i =1 ^ n σˆ = s = ∑ ( X i − X ) n i =1 II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)  Giả sử θ tham số chưa biết biến ngẫu nhiên X Dựa vào mẫu (X1, X2, , Xn) cần tìm hai đại lượng θ1(X1, , Xn) θ2(X1, , Xn) cho P ( θ1 ≤ θ ≤ θ ) = γ  Với γ đủ lớn cho trước, thường (*) γ=95% 99% Xác suất γ gọi Độ tin cậy (ĐTC) ước lượng Khoảng [θ1, θ2] gọi khoảng tin cậy ước lượng II PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)  Ý nghĩa (*): Có γ100% số lần lấy cỡ mẫu n θ∈ [θ1, θ2] Có (1-γ)100% số lần lấy cỡ mẫu n θ∉ [θ1, θ2] III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH biết trước phương sai    Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Với σ cho trước, cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình µ với ĐTC (1 – α) Lấy mẫu (X1, X2, , Xn) Đặt X − µ) ( Z= σ  Khi Z ~ N(0,1) n III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH biết trước phương sai Khoảng ước lượng trung bình với ĐTC (1 – α) :  µ = x mε z α 1− với ε=z 1− α σ n : phân vị phân phối chuẩn, tra bảng phụ lục ε gọi sai số, độ xác, bán kính ước lượng III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH chưa biết phương sai, n ≥ 30 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình µ với ĐTC (1 – α)  Lấy mẫu (X1, X2, , Xn)   Đặt X − µ) ( Z= n S   Khi Z ~ N(0,1) Khoảng ước lượng trung bình với ĐTC (1 – α) : s ε=z α µ = x mε với 1− n III ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH chưa biết phương sai, n < 30    Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình µ với ĐTC (1 – α) Lấy mẫu (X1, X2, , Xn) Đặt X − µ) ( T= n S   Khi Z ~ tn −1;1− α2 (phân phối student, tra bảng phụ lục 4) Khoảng ước lượng trung bình với ĐTC (1 – α) : µ = x mε với ε = tn −1;1− α s n III ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG  Ví dụ Biết lương cơng nhân nhà máy bnn X ~ N((µ, σ2) (triệu đồng/năm) Khảo sát 96 công nhân Lương Số công nhân 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54 20 26 24 12 a Biết σ = 8, lập khoảng ước lượng cho µ với ĐTC 96% b σ khơng biết, tìm khoảng ước lượng cho µ với ĐTC 99% c Để có sai số ε ≤ 0,8 triệu đồng cỡ mẫu ta chọn bé IV ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ Giả sử p tỷ lệ phần tử tổng thể (có đặc điểm xem xét tỷ lệ) Cần tìm khoảng ước lượng cho p với ĐTC (1 - α)  Lấy mẫu (X1, X2, , Xn)  Đặt ( f − p) n Z= p (1 − p )  Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1)  Khoảng ước lượng tỷ lệ p với ĐTC (1 – α) :  p = f mε với ε = z 1− α f (1 − f ) n IV ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ  Ví dụ Biết lương cơng nhân nhà máy bnn X ~ N((µ, σ2) (triệu đồng/năm) Khảo sát 96 công nhân Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54 20 26 24 12 Công nhân gọi thu nhập thấp lương 24 triệu đồng/năm Số cơng nhân a Tìm KTC 95% cho tỷ lệ cơng nhân có thu nhập thấp b Để có sai số 0,04 ĐTC 95% cỡ mẫu cần lấy bao nhiêu? V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TH biết trung bình   Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Giả sử biết μ, cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai σ2 với ĐTC (1 – α) Lấy mẫu (X1, X2, , Xn) Đặt  n χ2 =   ∑( Xi − µ ) i =1 σ2 χ có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục Khi Khoảng ước lượng σ2 với ĐTC (1 – α) : σ ∈ σ 12 ; σ 22 ( n với σ 12 = ∑( x − µ) i =1 i χ n2;1− α n ; σ 22 = ∑( x − µ) i =1 i χ n2; α 2 ) V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TH chưa biết trung bình   Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai σ2 với ĐTC (1 – α) Lấy mẫu (X1, X2, , Xn) Đặt  n − S ( ) χ2 = σ2   χ có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục Khi Khoảng ước lượng σ2 với ĐTC (1 – α) : σ ∈ σ 12 ; σ 22 ( với 2 n − s n − s ( ) ( ) 2 σ1 = ; σ2 = χ n −1;1− α χ n2−1; α 2 ) V ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI  Ví dụ Biết lương loại sản phẩm bnn X ~ N((µ, σ2) (gram) Khảo sát 25 sản phẩm, có số liệu: Trọng lượng Số sản phẩm a b 195 200 205 18 Cho biết trọng lượng trung bình μ = 200g Hãy ước lượng phương sai trọng lượng sản phẩm với độ tin cậy 90% Trung bình μ chưa biết, ước lượng phương sai trọng lượng sản phẩm với độ tin cậy 95%