Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất Lý thuyết và bài tập chương ứng suất trong nền đất
Chương ỨNG SUẤT TRONG NỀN ĐẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2.1 Khái niệm ứng suất Xét vật thể chòu lực tác dụng hình 2.1, ứng suất mặt phẳng qua điểm P gồm thành phần: dFn dA dFs lim dA dA - Ứng suất pháp n vuông góc với mặt phẳng : n lim - Ứng suất tiếp nằm mặt phẳng : dA dFn dFs độ lớn thành phần nội lực pháp tuyến tiếp tuyến với mặt phẳng diện tích vô bé dA F1 z z F1 F4 F4 n P P F2 F2 O F3 O x F3 x y y Hình 2.1 Các thành phần ứng suất điểm P mặt phẳng Có vô số mặt phẳng qua điểm P, nhiên trạng thái ứng suất điểm P hoàn toàn xác đònh biết ứng suất mặt phẳng vuông góc lẫn qua điểm P, mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ Ox, Oy Oz hình 2.2 Như ứng suất điểm P không gian tọa độ Decard gồm có thành phần: - thành phần ứng suất pháp x, y z - thành phần ứng suất tiếp xy = yx, zy = yz, xz = zx Các ứng suất tiếp đôi (xy = yx, zy = yz, xz = zx) tính chất đối ngẫu nằm mặt phẳng vuông góc qua điểm Trạng thái ứng suất điểm P thể ma trận ứng suất sau: ij x xy xz yx y yz zx zy z z z zx zy yx yz xy y x xz y x Hình 2.2 Các thành phần ứng suất điểm P hệ trục tọa độ Decard Trong trường hợp toán biến dạng phẳng, kích thước vật thể theo phương y lớn so với hai phương lại (nền đường, đê, đập hay móng băng, …) hình 2.3, trạng thái ứng suất điểm M hoàn toàn xác đònh biết ứng suất hai mặt phẳng vuông góc qua M Như vậy, toán phẳng, trạng thái ứng suất điểm M xác đònh thành phần - ứng suất pháp : x , z - ứng suất tiếp : xz = zx Ngoài ra, ứng suất pháp y điểm M tồn tính theo công thức từ lý thuyết đàn hồi y x z x z z zx zx x x M M x y xz xz z z Hình 2.3 Các thành phần ứng suất điểm M toán phẳng Trong học đất, ứng suất pháp mang dấu nén mang dấu kéo Ứng suất tiếp mang dấu xoay chiều kim đồng hồ dấu xoay ngược chiều kim đồng hồ hình 2.4 M M Hình 2.4 Quy ước dấu ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng qua M 2.2 Ứng suất trọng lượng thân (TLBT) 2.2.1 Nền đất mực nước ngầm (MNN) Ứng suất pháp theo phương đứng z hay v - Trường hợp có lớp đất hình 2.5(a), ứng suất điểm M cách mặt đất độ sâu z xác đònh theo công thức z v z - Trường hợp có nhiều lớp đất hình 2.5(b), ứng suất điểm M z v đó: n i 1 i zi i – trọng lượng riêng lớp đất thứ i (kN/m3) zi – chiều dày lớp đất thứ i (m) MĐTN MĐTN Lớp 1 z1 K01 z z Lớp h Lớp n h (a) M z… … M v hay z2 K02 x (= y) y 2 (b) zn n K0n M Hình 2.5 Ứng suất điểm M TLBT: (a) lớp (b) nhiều lớp đất - Trường hợp trọng lượng riêng đất hàm số biến thiên theo độ sâu z z h với ( z) dz h – chiều dày lớp đất Ứng suất pháp theo phương ngang x hay h x K0 z đó: K0 – hệ số áp lực ngang đất trạng thái tónh vò trí tính x Bảng 2.1 Biểu thức tính hệ số áp lực ngang đất trạng thái tónh K0 Đất cố kết thường (K0 1) K sin Jaky, 1944 K 0.91 sin Fraser, 1957 K 0.19 0.233 log I p Kenney, 1959 (đất dính) sin K sin sin Kezdi, 1962 K 0.95 sin Brooker and Ireland, 1965 Đất cố kết trước (K0 1) K (1 sin ) OCR Eurocode 7, 1997 K (1 sin ) (OCR)sin Mayne and Kulhawy, 1982 – góc ma sát có hiệu (xem Chương 4) OCR – tỷ số cố kết trước (xem Chương 3) Theo lý thuyết đàn hồi K0 – hệ số poisson Bảng 2.2 Giá trò K0 số loại đất K0 Loại đất Cát rời (khô) 0.64 Cát rời (bão hòa) 0.46 Cát chặt (khô) 0.49 Cát chặt (bão hòa) 0.36 Cát chặt (đầm chặt lớp) 0.80 Sét yếu (Ip = 30) 0.60 Sét cứng (Ip = 9) 0.42 Sét lẫn bụi (Ip = 45) 0.57 Ứng suất tiếp xz hay zx: Khi mặt đất nằm ngang rộng khắp xz = zx = 2.2.2 Nền đất có mực nước ngầm Mặt đất tự nhiên t z1 MNN sat z2 z x (= y) u y Hình 2.6 Ứng suất điểm M TLBT trường hợp có mực nước ngầm Ứng suất pháp theo phương đứng - Ứng suất pháp tổng theo phương đứng v t z1 sat z2 hay v n i 1 i zi đó: i – trọng lượng riêng lớp đất thứ i, lấy trọng lượng riêng bão hòa sat đất nằm ngập MNN (kN/m3) zi – chiều dày lớp đất thứ i (m) - Trong trường hợp áp lực nước lỗ rỗng u áp lực nước thủy tónh đẳng hướng theo phương tăng tuyến tính theo độ sâu u w z đó: w – trọng lượng riêng nước (kN/m3) z – độ sâu tính từ MNN đến điểm tính áp lực nước lỗ rỗng (m) - Ứng suất pháp có hiệu theo phương đứng v (hay z ) v v u hay v t z1 z2 đó: – trọng lượng riêng đẩy đất (kN/m3) Ứng suất pháp theo phương ngang - Ứng suất pháp có hiệu theo phương ngang h (hay x ) h K v - Ứng suất pháp tổng theo phương ngang h (hay x) h h u K v u đó: K – hệ số áp lực ngang đất trạng thái tónh vò trí tính h Ứng suất tiếp Do nước không chòu cắt nên ứng suất tiếp xz = zx = mặt đất nằm ngang rộng khắp Khái niệm ứng suất có hiệu áp lực nước lỗ rỗng Ứng suất tổng tác dụng lên đất bão hòa gánh đỡ nước lỗ rỗng khung hạt đất Phần ứng suất gánh đỡ hạt đất gọi ứng suất có hiệu ký hiệu Phần ứng suất gánh đỡ nước lỗ rỗng gọi áp lực nước lỗ rỗng ký hiệu u Xét mặt phẳng A A cắt ngang qua mẫu đất bão hòa vò trí tiếp xúc hạt phần nước lỗ rỗng hình 2.7 A A' A' A' u F A' Aw A-Aw Hạt rắn Nước Hình 2.7 Ứng suất có hiệu áp lực nước lỗ rỗng Cân lực tác dụng mặt phẳng A A A F u Aw đó: F A u w A A A – diện tích phần mặt phẳng A A Aw – diện tích phần mặt phẳng cắt ngang qua nước F – lực truyền vò trí tiếp xúc hạt u – áp lực nước lỗ rỗng Đặt F ứng suất có hiệu, hạt tiếp xúc điểm nên có diện tích tiếp xúc A vô bé (Aw A) nên phương trình viết thành u Trong thực tế ứng suất tổng đo pressuremeter áp lực nước lỗ rỗng u đo piezometer Trong đó, xuất phát từ công thức đònh nghóa F ứng suất A có hiệu đại lượng không đo xác đònh thông qua u 2.2.3 Nền đất có nước mao dẫn Các thành phần suất điểm M nằm đới mao dẫn có chiều dày hc hình 2.8(a) Ứng suất theo phương đứng - Ứng suất tổng theo phương đứng v t z1 sat z2 - Áp lực nước lỗ rỗng u w zc zc – khoảng cách từ MNN lên đến vò trí điểm M - Ứng suất có hiệu theo phương đứng v v u hay v t z1 sat z2 w zc Ứng suất theo phương ngang h K v h h u K v u Ứng suất tiếp Do nước không chòu cắt nên ứng suất tiếp xz = zx = ống đo áp Mặt đất tự nhiên MNN h MĐTN t z1 Cát z1 t MNN sat Đới mao dẫn sat1 z2 z2 z hc Sét x (= y) sat2 z3 u y zc MNN Cát sat3 z4 z Đất bão hòa NMM sat (a) (b) y u x (= y) Hình 2.8 Ứng suất TLBT: (a) đất có nước mao dẫn (b) đất có nước có áp 2.2.4 Nền đất có nước có áp Các thành phần suất điểm M nằm lớp đất cát có nước có áp hình 2.8(b) Ứng suất theo phương đứng - Ứng suất tổng theo phương đứng v t z1 sat1 z2 sat z3 sat z4 - Áp lực nước lỗ rỗng u w h z1 z2 z3 z4 - Ứng suất có hiệu theo phương đứng v v u Ứng suất theo phương ngang h K v h h u K v u Ứng suất tiếp Do nước không chòu cắt nên ứng suất tiếp xz = zx = 2.3 Ứng suất đất tải trọng TẢI TRỌNG THẲNG ĐỨNG TÁC DỤNG TRÊN MẶT ĐẤT 2.3.1 Tải tập trung thẳng đứng mặt đất – Bài toán Boussinesq Lực tập trung thẳng đứng P tác dụng lên mặt đất hình 2.9, xem bán không gian đàn hồi đẳng hướng vô hạn có mô-đun đàn hồi E hệ số poisson Theo lời giải Boussinesq (1883) thành phần ứng suất điểm hệ tọa độ vuông góc (x,y,z) sau P x r y x y z R z zy yx M z zx xz yz xy x y Hình 2.9 Các thành phần ứng suất điểm M toán Boussinesq Các thành phần ứng suất pháp z P z3 2 R5 x 3P 2 zx2 2 2 R zx2 z RR z R z2 R3 R3 R y 3P 2 zy2 2 2 R zy2 z RR z R z2 R3 R3 R Các thành phần ứng suất tiếp xz zx 3P xz2 2 R5 yz zy 3P yz2 2 R5 xy yx 3P xyz 2 2 R zxy 2 R5 R z2 R3 R x y2 z2 r z2 r x y2 Xét thành phần ứng suất pháp theo phương z z P z3 2 R 2 r z2 z K 52 P z2 P z2 5 hệ số phân bố ứng suất không thứ nguyên; phụ thuộc r z 2 vào tỷ số r/z tra bảng 2.3 đó: K r – khoảng cách từ điểm đặt lực đến trục qua điểm tính ứng suất 2.3.2 Tải trọng thẳng đứng phân bố đường thẳng – Bài toán Flamant Tải thẳng đứng phân bố đường thẳng dài vô hạn mặt đất đồng đàn hồi đẳng hướng thể hình 2.10 Theo lời giải Flamant, thành phần ứng suất điểm hệ trục tọa độ (x,y) sau - p dy x O y x + z R y zx xz z M x z Hình 2.10 Các thành phần ứng suất điểm M toán Flamant Áp dụng kết toán Boussinesq, ta có Ứng suất pháp theo phương z z z 3( pdy) 2 x 2p z3 x z2 z3 y2 z2 10 z z pz3 b b d x z2 p z b x x b x x x arctan arctan 2 b x z b z b z Ứng suất pháp theo phương x x d x pz b b 0 x p z x b z x b z2 x b x x x ln arctan arctan 2 x b z2 b x z z b z b x z2 Ứng suất tiếp mặt phẳng song song xOy xz zx xz zx pz2 b b x d x z2 p z2 z b x z x arctan arctan 2 x b z b z b z Để thuận tiện trình tính toán, công thức tính ứng suất viết gọn lại sau: z K Tz p x b K Tz , K Tx , K T z b với x K Tx p xz zx K T p 2.3.5 tra bảng 2.5 Tải trọng thẳng đứng phân bố diện truyền tải hình chữ nhật Ứng suất pháp theo phương z trục qua TÂM diện truyền tải, điểm M l pdxdy b x O y dy p x dx y M(0,0,z) z 13 Hình 2.13 Ứng suất pháp theo phương z điểm M trục qua tâm diện truyền tải hình chữ nhật tải trọng thẳng đứng phân bố Áp dụng kết toán Boussinesq, ta có: z0 b2 pz3 2 l2 dxdy x y2 z2 b l z0 2p 2lbz l2 b2 z2 lb arctan 2 2 2 2 2 l 4z b 4z l b 4z 2z l b z z0 2p 2mn m2 8n2 m arctan 2 2 2 m 4n 4n m 4n 2n m n m l b tra bảng 2.6 K z0 n z b với z0 K z0 p Ứng suất pháp theo phương z trục qua GÓC diện truyền tải, điểm M l b y pdxdy dy p y x O x dx M(0,0,z) z Hình 2.14 Ứng suất pháp theo phương z điểm M trục qua góc diện truyền tải hình chữ nhật tải trọng thẳng đứng phân bố Áp dụng kết toán Boussinesq, ta có: z z pz3 2 b l x 0 dxdy y2 z2 p lbz l2 b2 z2 lb arctan 2 2 2 2 z l b2 z2 2 l z b z l b z 14 z0 p mn m2 2n2 m arctan n m n2 2 m2 n2 n2 m2 n2 z K zg p với m l b K zg n z b tra bảng 2.7 Phương pháp điểm góc A B N A C D Kz(M) = Kg(ABMN) + Kg(NMCD) A G D B M G M D E F H C Kz(M) = Kg(AEMG) + Kg(EMHB) + Kg(GMFD) + Kg(MFCH) B H C E A B E M F D C F Kz(M) = Kg(AEMG) + Kg(GMDF) - Kg(BEMH) - Kg(HMFC) G H Kz(M) = Kg(AEMG) - Kg(BEMH) - Kg(DFMG) + Kg(CFMH) Hình 2.15 Phương pháp điểm góc tính ứng suất điểm M 2.3.6 Tải thẳng đứng phân bố tam giác diện truyền tải hình chữ nhật Ứng suất pháp theo phương z trục qua góc có áp lực không diện truyền tải 15 M l y b p (px/l)dxdy dy y O x x dx M(0,0,z) z Hình 2.16 Ứng suất pháp theo phương z điểm M trục qua góc có áp lực cực tiểu diện truyền tải hình chữ nhật tải trọng thẳng đứng tam giác Áp dụng kết toán Boussinesq, ta có: z pz3 2l b l x 0 x dxdy y2 z2 bz bz3 l b2 z2 l l2 z2 l2 b2 z2 z p 2 z p n n3 2 2 2 m n m m n m n z K z p với m l b K z n z b tra bảng 2.8 Ứng suất pháp theo phương z trục qua góc có áp lực lớn diện truyền tải 16 l p b y x O M(0,0,z) z Hình 2.17 Ứng suất pháp theo phương z điểm M trục qua góc có áp lực cực đại diện truyền tải hình chữ nhật tải trọng thẳng đứng tam giác Áp dụng kết toán Boussinesq, ta có: z pz3 2l b l 0 y2 z2 z p 2 bz l2 b2 z2 b2 z2 bl arctan 2 z l2 b2 z2 l b z z p 2 n m n2 n2 m arctan n m n2 m1n z K z max p 2.3.7 l x dxdy x với m l b K z max n z b tra bảng 2.9 Tải thẳng đứng phân bố diện truyền tải hình tròn 17 p p dd d d O r b a R z C z M Hình 2.18 Ứng suất pháp theo phương z điểm M trục diện truyền tải hình tròn tải trọng thẳng đứng phân bố Áp dụng kết toán Boussinesq, ta có: Ứng suất pháp theo phương z trục cách tâm diện truyền tải đoạn b z pz3 2 r 2 dd b 0 z2 2b cos Ứng suất pháp theo phương z trục qua tâm diện truyền tải (đoạn b = 0), biểu thức tích phân rút gọn lại sau: z pz3 2 r 2 d d 0 z2 2 r z p 1 1 = K tr p z với K tr r 1 z 3 tra bảng 2.10 TẢI TRỌNG NẰM NGANG TÁC DỤNG TRÊN MẶT ĐẤT 2.3.8 Tải trọng tập trung nằm ngang mặt đất Lực tập trung nằm ngang P tác dụng lên mặt đất hình 2.19, xem bán không gian đàn hồi đẳng hướng vô hạn có mô-đun đàn hồi E hệ số poisson Theo lời giải Cerutti, thành phần ứng suất điểm hệ tọa độ vuông góc (x,y,z) sau 18 x P r y x y z R z zx zy yz xy yx M x xz y z Hình 2.19 Ứng suất điểm M tải trọng tập trung nằm ngang mặt đất Các thành phần ứng suất pháp z 3P xz2 2 R5 x 1 2 R2 P x 3x2 2 R3 R2 R z2 x2 3R z R2 R z y 1 2 R2 P x y2 1 2 2 R R R z2 y2 3 R z 3 R R z Các thành phần ứng suất tiếp 2.3.9 xy P y x2 1 2 R2 2 R3 R2 R z2 xz 3P x2 z 2 R5 xz 3P xyz 2 R5 x2 3 R z 1 R R z Tải trọng nằm ngang phân bố đường thẳng 19 - p x dy O y x + z R y zx z M x xz z Hình 2.20 Ứng suất điểm M tải trọng nằm ngang phân bố đường thẳng Ứng suất pháp theo phương z z z 3( pdy) 2 x 2p xz2 x z2 xz2 y2 z2 Ứng suất pháp theo phương x x x 3( pdy) 2 x 2p x3 x z2 x3 y2 z2 Ứng suất tiếp mặt phẳng song song xOy xz 3( pdy) 2 xz zx x x2 z y2 z2 2p x2 z x z2 2.3.10 Tải trọng nằm ngang phân bố diện truyền tải băng 20 b d p x O r z z zx x x- x z Hình 2.21 Ứng suất điểm M tải trọng nằm ngang phân bố diện truyền tải băng Ứng suất pháp theo phương z z z pz2 b2 x d x b 2 z2 p 32bxz2 x2 z2 b2 16 b2 z2 Ứng suất pháp theo phương x b2 x 3 d x 2 z2 2 x 2p b x p b x z2 32bxz2 ln 2 b x z x2 z2 b2 16 b2 z2 Ứng suất tiếp mặt phẳng song song xOy b2 xz pz b xz zx p x 2 d x 2 z2 2 4bz b2 x2 z2 b 2x b 2x arctan arctan 2 2 2 2z 2z x z b 16b z Để thuận tiện trình tính toán, công thức tính ứng suất viết gọn lại sau: z K zh p 21 với x K xh p x b K zh , K xh , Kh z b tra bảng 2.12 xz zx Kh p 2.3.11 Tải trọng nằm ngang phân bố diện truyền tải hình chữ nhật Ứng suất pháp theo phương z trục qua góc diện truyền tải y b D C l p O x B z M z Hình 2.22 Ứng suất pháp theo phương z điểm M trục qua góc diện truyền tải hình chữ nhật tải trọng nằm ngang phân bố z pz2 2 b2 l2 x b l y dxdy y2 z2 z p 2 l lz2 2 2 2 l z b l z b z z p 2 m mn2 n2 m n2 m2 n2 h z K zg p với m l b h K zg n z b tra bảng 2.11 Lưu ý: Khi tra bảng, chiều dương trục x hướng theo chiều tải trọng ngang Giá trò h K zg có độ lớn lấy bảng tra mang dấu trục z qua điểm O D; mang dấu trục z qua điểm B C 2.4 Vòng tròn ứng suất Mohr Vòng tròn Mohr biểu diễn trạng thái ứng suất điểm tất mặt phẳng cắt qua điểm đó, hoành độ n tung độ n điểm vòng tròn thành phần ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng tương ứng 22 Trong toán phẳng, vòng tròn ứng suất Mohr xác đònh biết thành phần ứng suất mặt phẳng vuông góc qua điểm (ví dụ x, z xz = zx tọa độ Oxz) Khi vòng tròn ứng suất Mohr điểm vẽ hệ tọa độ , dùng xác đònh ứng suất mặt phẳng qua điểm Có phương pháp xác đònh ứng suất mặt phẳng qua điểm P biết vòng tròn ứng suất Mohr thành phần ứng suất (x, z xz = zx) hai mặt phẳng vuông góc điểm P, là: i) phương pháp hình học; ii) phương trình cân tónh học phân tố ứng suất; iii) dùng đònh lý ứng suất Cauchy Phương pháp 1: Phương pháp hình học Cho thành phần ứng suất hai mặt phẳng qua điểm M vuông góc với trục tọa độ x y hình 2.23, bước vẽ vòng tròn ứng suất Mohr biểu diễn trạng thái ứng suất điểm M xác đònh ứng suất mặt phẳng khác qua M sau: Bước 1: Biểu diễn thành phần ứng mặt phẳng vuông góc điểm M (mặt phẳng Ⓐ Ⓑ) thành tọa độ điểm A B hệ trục tọa độ , (giá trò ứng suất tuân theo quy ước dấu hình 2.4) z Ⓓ zx Ⓐ x n n m xz xz x M x m zx mn n x nm M xz z m m y zx Ⓑ m Ⓒ m M xz zx n z z x O C(n,nm) P A(z,zx) 2 1 3 I O B(x,xz) D(m,mn) 23 Hình 2.23 Vòng tròn ứng suất Mohr: phương pháp mặt phẳng góc Bước 2: Nối đường thẳng AB cắt trục hoành điểm I tâm vòng tròn ứng suất Mohr đoạn AB đường kính vòng tròn Mohr Dễ dàng nhận thấy hoành độ tâm I vòng tròn z x bán kính vòng tròn 2 z x 4 xz2 R Bước 3: Trên vòng tròn Mohr, từ A B vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng Ⓐ Ⓑ, đường thẳng cắt vòng tròn ứng suất Mohr điểm P, điểm P gọi gốc mặt phẳng hay điểm cực Bước 4: Điểm cực P dùng để xác đònh ứng suất mặt phẳng qua M, cách từ P vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cần tìm ứng suất, đường thẳng cắt vòng tròn Mohr điểm có tọa độ thành phần suất mặt phẳng cần tìm Ví dụ hình 2.23, ứng suất mặt phẳng m-m n-n xác đònh cách từ P vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng m-m n-n cắt vòng tròn Mohr C D; tọa độ điểm C(n,nm) D(m,mn) thành phần ứng suất mặt phẳng m-m n-n Phương pháp 2: Phương trình cân tónh học phân tố ứng suất Xét mặt phẳng m-m tạo góc ngược chiều kim đồng hồ so với mặt phẳng nằm ngang (có pháp tuyến theo chiều trục y), thành phần ứng suất mặt phẳng m-m xác đònh cách xét cần lực cho nêm ứng suất (hình 2.24b) theo phương trục x y sau: z z zx ds n m m xz x xz m x nm x dz xz m zx zx z (a) z (b) dx x O Hình 2.24 Phương pháp cân tónh học phân tố ứng suất Xét cân lực theo hai phương trục x z phân tố nêm ứng suất hình 2.24(b) F n ds sin nm ds cos x dz zx dx F n ds cos nm ds sin z dx xz dz x z Giải hệ phương trình với dz/ds = sin dx/ds = cos, ta được: 24 z x z x cos 2 zx sin 2 2 n nm z x sin 2 zx cos 2 Lưu ý: Biểu thức tính n nm lấy > mặt phẳng m-m xoay ngược chiều kim đồng hồ so với mặt phẳng nằm ngang; ngược lại lấy < Nếu ta thay 900 tìm giá trò ứng suất pháp mặt phẳng n-n vuông góc với mặt phẳng m-m m z x z x cos 2 xz sin 2 2 Từ biểu thức tính n nm, suy x x cos 2 xz sin 2 n z z 2 nm x z sin 2 xz cos 2 2 Cộng biểu thức ta 2 x x 2 n z nm z xz 2 (2.100) Biểu thức (2.100) phương trình đường tròn (trong hệ trục tọa độ (, )) có tâm 1 z x 2 4 xz2 I z x ,0 bán kính R 2 Phương pháp 3: Đònh lý ứng suất Cauchy Xét cân lực theo hai phương trục Ox Oz, suy áp lực mặt phẳng m-m theo phương trục z x F px ds x dz zx dx F pz ds z dx xz dz x z dz px x ds zx p dx z xz z ds dx ds dz ds Theo quy ước dấu hình 2.4 zx xz có giá trò âm, nên biểu thức viết lại sau: px x sin zx cos pz z cos xz sin px p z pz x xz sin px zx z cos cos sin Chiếu giá trò px pz lên phương n m n pz cos px sin nm pz sin px cos n mn px nm n pz 25 pz sin px cos cos sin z n ds pz m pz m n x px m dz nm px xz m zx z x O dx Hình 2.25 Đònh luật ứng suất Cauchy: toán phẳng Ma trận ứng suất điểm M n nm a11 mn m a21 a12 x xy a11 a22 yx y a12 a21 a22 nm A xy A T hay a11 cosn, x , a12 cosn, y , a21 cosm, x , a22 cosm, y phương đó: pháp tuyến đơn vò n n x z 21 n max 21 n = z n = xz (TB ,max) p1 p1 3 x A(z ,zx) Pole 2p1 n 1 1 O 1 p1 3 3 1 (n ,n) z n = - xz x B(x ,-xz) zx n = x 3 n p1 p2 xz zx z 21 x P p1 P xz (TB ,min) n TB x z x n xz n P 26 zx z z Hình 2.26 Ứng suất mặt phẳng khác qua điểm toán phẳng Ứng suất mặt Trong mặt phẳng qua điểm toán phẳng tồn mặt phẳng vuông góc có ứng suất tiếp không gọi mặt Ứng suất pháp hai mặt gọi ứng suất cực đại 1 cực tiểu 3 xác đònh theo công thức 1,3 x z 2 z x 2 4 xz2 Gọi p góc hợp mặt ứng suất cực đại mặt phẳng nằm ngang, dựa vào hình 2.26, biểu thức xác đònh p tan 2 p 2 xz z x Phương mặt so với mặt phẳng nằm ngang p p + 900 BẢNG TRA HỆ SỐ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT Bảng 2.3 Bảng tra hệ số ứng suất pháp theo phương z tải tập trung thẳng đứng mặt đất r/z K r/z K r/z K r/z K 0.0 0.477 0.8 0.139 1.6 0.020 2.4 0.004 0.1 0.466 0.9 0.108 1.7 0.016 2.5 0.003 0.2 0.433 1.0 0.084 1.8 0.013 2.6 0.003 0.3 0.385 1.1 0.066 1.9 0.010 2.8 0.002 0.4 0.329 1.2 0.051 2.0 0.009 3.0 0.002 0.5 0.273 1.3 0.040 2.1 0.007 3.2 0.001 0.6 0.221 1.4 0.032 2.2 0.006 3.5 0.001 0.7 0.176 1.5 0.025 2.3 0.005 4.0 0.000 27 [...]... trong bảng tra và mang dấu khi trục z đi qua điểm O và D; và mang dấu khi trục z đi qua điểm B và C 2.4 Vòng tròn ứng suất Mohr Vòng tròn Mohr biểu diễn trạng thái ứng suất tại một điểm trên tất cả mặt phẳng cắt qua điểm đó, hoành độ n và tung độ n của mỗi điểm trên vòng tròn là thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên một mặt phẳng tương ứng 22 Trong bài toán phẳng, vòng tròn ứng suất. .. tónh học phân tố ứng suất; iii) dùng đònh lý ứng suất Cauchy Phương pháp 1: Phương pháp hình học Cho các thành phần ứng suất trên hai mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với trục tọa độ x và y như trên hình 2.23, các bước vẽ vòng tròn ứng suất Mohr biểu diễn trạng thái ứng suất tại điểm M và xác đònh ứng suất trên các mặt phẳng bất kỳ khác qua M như sau: Bước 1: Biểu diễn các thành phần ứng trên 2 mặt... x n xz n P 1 2 26 zx z z Hình 2.26 Ứng suất trên các mặt phẳng khác nhau đi qua 1 điểm trong bài toán phẳng Ứng suất chính và mặt chính Trong các mặt phẳng đi qua 1 điểm trong bài toán phẳng sẽ tồn tại 2 mặt phẳng vuông góc nhau có ứng suất tiếp bằng không gọi là các mặt chính Ứng suất pháp trên hai mặt chính gọi là các ứng suất chính cực đại 1 và cực tiểu 3 được xác đònh theo công thức... thành phần ứng suất trên 2 mặt phẳng vuông góc nhau qua điểm đó (ví dụ x, z và xz = zx trong tọa độ Oxz) Khi vòng tròn ứng suất Mohr tại một điểm đã được vẽ trong hệ tọa độ , thì có thể dùng xác đònh ứng suất trên các mặt phẳng bất kì qua điểm đó Có 3 phương pháp xác đònh ứng suất trên mặt phẳng bất kì qua điểm P khi biết vòng tròn ứng suất Mohr hoặc các thành phần ứng suất (x, z và xz = zx)... x 2 4 xz2 Gọi p là góc hợp bởi mặt chính ứng suất cực đại và mặt phẳng nằm ngang, dựa vào hình 2.26, biểu thức xác đònh p là tan 2 p 2 xz z x Phương của các mặt chính so với mặt phẳng nằm ngang là p và p + 900 BẢNG TRA HỆ SỐ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT Bảng 2.3 Bảng tra hệ số ứng suất pháp theo phương z do tải tập trung thẳng ứng trên mặt đất r/z K r/z K r/z K r/z K 0.0 0.477 0.8 0.139 1.6... ngang trên mặt đất Lực tập trung nằm ngang P tác dụng lên mặt đất như hình 2.19, nền được xem là bán không gian đàn hồi đẳng hướng vô hạn có mô-đun đàn hồi E và hệ số poisson Theo lời giải của Cerutti, các thành phần ứng suất tại một điểm bất kỳ trong hệ tọa độ vuông góc (x,y,z) như sau 18 x P r y x y z R z zx zy yz xy yx M x xz y z Hình 2.19 Ứng suất tại điểm M do tải trọng tập trung nằm... C(n,nm) và D(m,mn) chính là các thành phần ứng suất trên mặt phẳng m-m và n-n Phương pháp 2: Phương trình cân bằng tónh học phân tố ứng suất Xét mặt phẳng m-m tạo một góc ngược chiều kim đồng hồ so với mặt phẳng nằm ngang (có pháp tuyến theo chiều trục y), các thành phần ứng suất trên mặt phẳng m-m được xác đònh bằng cách xét cần bằng lực cho nêm ứng suất (hình 2.24b) theo phương trục x và y như... đònh ứng suất trên các mặt phẳng bất kỳ qua M, bằng cách từ P vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cần tìm ứng suất, đường thẳng này cắt vòng tròn Mohr tại một điểm có tọa độ là các thành phần suất trên mặt phẳng cần tìm Ví dụ trên hình 2.23, ứng suất trên mặt phẳng m-m và n-n được xác đònh bằng cách từ P vẽ các đường thẳng lần lượt song song với mặt phẳng m-m và n-n cắt vòng tròn Mohr tại C và D;... x x- M xz x z Hình 2.12 Các thành phần ứng suất tại điểm M do tải trọng thẳng ứng tam giác phân bố trên diện truyền tải băng Áp dụng kết quả bài toán Flamant, ta có: Ứng suất pháp theo phương z 12 z z 2 pz3 b b d x 2 0 z2 2 p z b x x b x x x arctan arctan 2 2 b x z b z b z Ứng suất pháp theo phương x x d 2 x... 19 - p x dy O y x + z R y zx z M x xz z Hình 2.20 Ứng suất tại điểm M do tải trọng nằm ngang đều phân bố trên đường thẳng Ứng suất pháp theo phương z z z 3( pdy) 2 x 2p xz2 x 2 z2 xz2 2 y2 z2 5 2 Ứng suất pháp theo phương x x x 3( pdy) 2 x 2p x3 x 2 z2 x3 2 y2 z2 5 2 Ứng suất tiếp trên mặt phẳng song song xOy xz 3(