Các phơng pháp dạy học định lý Phần I Đặt vấn đề Hệ thống các định lý hình học ở trờng THCS là cầu nối gắn lý thuyết với thực tế, các định lý hình học đều qua phép đo đạc thực tế rút ra nhận xét, từ các nhận xét đó phát biểu thành các định lý tuy nhiên việc chứng minh định lý vận dụng định lý vào giải toán nhiều học sinh còn khó khăn có nhiều em học sinh thắc mắc không hiểu tại sao khi nghe thầy cô giáo giải bài tập và chứng minh định lý thì có vẻ dễ hiểu lắm nhng sao em không giải đợc bài tập cũng nh chứng minh lại đợc định lý nếu nh không học thuộc lòng cách chứng minh đó.Tại sao vậy ? Từ những đòi hỏi đó việc dạy học định lý, chứng minh định lý, vận dụng định lý vào việc giải toán là rất cần thiết. Việc dạy định lý toán học nhằm cung cấp cho học sinh một vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là cơ hội thuận lợi để phát triển khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ .Vấn đề đặt ra là học sinh chỉ chú ý học thuộc các định lý một cách máy móc mà coi nhẹ việc nắm vững bản chất của định lý . Mặt khác khi giảng dạy định lý giáo viên cha chú ý đến vai trò chủ động học tập của học sinh cha quan tâm đến việc hình thành các kiến thức về phơng pháp suy luận và chứng minh cho học sinh. Chủ yếu là giáo viên trình bày định lý chứng minh định lý nên học sinh tuy có tích cực làm việc nhng không nắm đựoc bản chất của định lý thờng lúng túng khi cần thiết phải chứng minh định lý,vận dụng định lý vào những vào những bài toán cụ thể Trong quá trình học tập và giảng dạy bộ môn hình học bản thân tôi nhận thấy một trong những phơng pháp nghiên cứu giúp chúng ta đi đúng hớng tìm lời giải là phơng pháp suy luận phân tích, đặt vấn đề,giải quyết vấn đề. Cùng một vấn đề có thể phân tích theo nhiều cách khác nhau từ đó có nhiều cách chứng minh khác nhau. Tôi cũng đã thờng xuyên sử dụng phơng pháp này khi giảng dạy môn hình học với một hy vọng là các em sẽ học tập tốt bộ môn hình học không ngại khi phải chứng minh một định lý hay khi giải bài tập hình học. Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -1- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Các phơng pháp dạy học định lý phần II Nội dung A- Dạy học định lý toán học I - Nhiệm vụ quan trọng trong dạy học định lý 1- Nắm đợc định lý và mối liên hệ giữa chúng. Từ đó có khả năng vận dụng chúng vào vào hoạt động giải toán cũng nh vào các ứng dụng khác. 2- Làm cho học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, phải suy luận chính xác 3- Phát triển năng lực chứng minh toán học II Con đ ờng tiếp cận định lý 1- Suy đoán : Tạo tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán , phát hiện ra định lý, từ đó tìm cách chứng minh, phát biểu và củng cố định lý . 2- Suy diễn : Giáo viên hớng dẫn học sinh suy luận phân tích để dẫn đến định lý . III Các giai đoạn dạy học định lý toán học Quy trình dạy học định lý thờng là : Nhận dạng , chứng minh củng cố và vận dụng định lý, hệ thống hoá . Việc dạy học định lý thực hiện theo sơ đồ sau : Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -2- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Tạo động cơ Suy luận lôgic dẫn tới định lý Phát hiện định lý Chứng minh Phát biểu định lý Củng cố định lý Các phơng pháp dạy học định lý a)Giai đoạn giới thiệu định lý + Giới thiệu đầy đủ nội dung định lý + Đa tình huống có vấn đề mà cách giải quyết nó chính là nội dung của định lý cần giới thiệu . b) Giai đoạn phân tích định lý Trong dạy học khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh năng lực chứng minh toán học. Nh vậy để tránh tình trạng học sinh chỉ thuộc định lý mà không vận dụng định lý vào hoạt động giải toán ta cần giải quyết các vấn đề sau đây : *Nêu giả thiết kết luận của định lý. Tập cho học sinh nắm nắm đợc nội dung và cấu trúc của định lý . * Tập cho học sinh ghi giả thiết kết luận bằng ký hiệu toán học, vẽ hình trong trờng hợp phổ biến nhất . c) Giai đoạn chứng minh định lý * Gợi động cơ chứng minh * Rèn luyện cho học những hoạt động thành phần trong chứng minh *Truyền thụ những tri thức phơng pháp về chứng minh *Phân bậc hoạt động chứng minh Gợi động cơ chứng minh Ban đầu học sinh cha thấy rõ ngay sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán học. Nhiều học sinh không băn khoăn tại sao phải tốn nhiều công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ. Do vậy, giáo viên cần tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh định lý . Rèn luyện những thành phần trong chứng minh Cần chú ý tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh nh Phân tích,tổng hợp, So sánh, khái quát. Điều quan trọng là những thao tác kết luận logic theo những quy tắc thờng không đợc dạy tờng minh ở trờng THCS và thờng đựoc chỉ đợc sử dụng dới dạng tắt . Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -3- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Các phơng pháp dạy học định lý Truyền thụ những phơng pháp về chứng minh Truyền thụ những tri thức , phơng pháp liên quan đến chứng minh .Đó là những tri thức về các quy tắc kết luận lôgíc mà ở trờng THCS chúng đợc truyền thụ theo con đờng tờng minh. Chú ý truyền thụ những phơng pháp suy luận, chứng minh nh : Suy ngợc, suy xuôi, phản chứng tiến hành các phép chứng minh, cần luyện tập dần để học sinh nắm đợc những kiến thức trong quá trình dạy học chứng minh định lý thông qua các câu hỏi + Giả thiết nói gì ? giả thiết còn có thể biến đổi nh thế nào ? +Hãy vẽ hình theo dự kiện của bài toán ? Những khả năng có thể xáy ra +Từ giả thiết của bài toán suy ra đợc điều gì ? Những định lý nào có giả thiết giống hoặc gằn giống với giả thiết này ? + Kết luận nói gi? Điều đó còn có thể phát biểu nh thế nào ? + Những định lý nào có kết luận giống với kết luận này ? Phân bậc hoạt động chứng minh Ta cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển quá trình học tập của học sinh Hiểu đợc chứng minh Trình bày lại chứng minh Độc lập tiến hành chứng minh Để chứng minh định lý cần gợi kiến thức liên quan, dùng phơng pháp phân tích giúp học sinh tìm cách chứng minh định lý . Dùng phơng pháp tổng hợp để trình bày cách chứng minh định lý cho học sinh sau khi chứng minh song cần thiết phải giới thiệu ứng dụng của định lý d) Giai đoạn vận dụng và củng cố định lý Cho học sinh tập luyện những hoạt động sau : * Nhận dạng và thể hiện : Đây là hoạt động quan trọng để củng cố định lý * Hoạt động ngôn ngữ : Khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lý nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập với ý nghĩ của mình . Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -4- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Các phơng pháp dạy học định lý * Các hoạt động củng cố khác: Ngoài ra cần củng cố cho học sinh biết cách đặc biết hoá , khái quát hoá , hệ thống hoá lật ngợc vấn đề +thành lập mệnh đề đảo + Tóm tắt ,kết luận e) Giai đoạn hệ thống hoá , xắp xếp định lý Trong quá trình học định lý toán học , học sinh phảilĩnh hội đợc các sự kiện những kết luận , định lý giúp ra từ những tình huống, xắp xếp logic các định lý và mối liên hệ giữa định lý mới với những định lý đã học trớc đó .Đồng thời học đợc rèn kỹ năng, kỹ xảo vận dụng định lý vào hoạt động chứng minh, giải toán . Kích thích tính tích cực học tập của học sinh * Giới thiệu định lý : giáo viên đặt tình huống gợi nhu cầu nhận thức ở học sinh ,tổ chức cho học sinh tác động vào vấn đề để phát hiện định lý. * Giải thích định lý : Giáo viên cho học sinh đa đợc giả thiết và kết luận của định lý . Sau đó gợi nhng kiến thức có liên quan, phân tích giúp học sinh tìm cách chứng minh thông qua trao đổi, so sánh, phấn đoán, đo đạc .Từ đó sử dụng phơng pháp suy luận phân tích, tổng hợp để chứng minh với những kiến thức toán học đẫ có từ trớc . B - Phơng pháp Dạy học định lý I Phát hiện vấn đề 1- Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức định lý + thuyết trình nêu vấn đề + cho học sinh làm bài tập Ví dụ 1: Khi dạy định lý về tổng các góc của một tứ giác - GV Nêu vấn đề: Tổng các góc của một tam giác bằng bao nhiêu ? - HS :Tổng các góc của một tam giác bằng 180 0 - GV: Tổng bốn góc của một tứ giác bằng bao nhiêu ? Làm thế nào để biết đợc ? - HS : có thể nêu phơng án là đo các góc -GV: - Muốn tính tổng của các góc mà không cần đo góc ? Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -5- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Các phơng pháp dạy học định lý - Nêu phơng hớng và cách làm : + Chia tứ giác thành hai tam giác có chung một cạnh là đờng chéo + Vận dụng tổng các góc của một tam giác - HS : Chứng tỏ đợc tổng các góc của tứ giác bằng 360 0 Dẫn đến phát hiện đợc định lý và việc chứng minh định lý này thực hiện nh cách lập luận trên . Ví dụ 2: Khi dạy bài hình bình hành giáo viên cho học sinh làm bài tập Cho hình bình MNPQ có A , B , C ,D lần lợt là trung điểm của MN , NP PQ , MQ Chứng minh AB // CD , AD //BC ( AB //CD ; AB = CD ) HS : Vận dụng kiến thức về đờng trung bình của tam giác chứng minh đợc AB // CD ; AD // BC ( AB // CD ; AB = CD ) GV : Thông báo tứ giác ABCD gọi là hình bình hành Từ đó học sinh đã hình thành đ- ợc khái niệm về hình bình hành và tính chất về cạnh của hình bình hành. 2- Phân tích phát hiện ra yêu cầu cấu trúc của định lý theo các biện pháp sau *Cho học sinh làm bài tập có chứa các tình huống dẫn đến kiến thức cần học Ví dụ 3 : Khi dạy học định lý về đờng phân giác giáo viên cho học sinh làm bài tập sau : cho hình vẽ A B D C E Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -6- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc 2 1 Các phơng pháp dạy học định lý Có A 1 = E hãy so sánh tỉ số AC EB DC DB ; HS : Có BE // AC ( Có một cặp góc so le trong bằng nhau ) AC EB DC BD = ( Hệ quả của định lý Ta lét) (1) GV : Nếu AD là phân giác của tam giác của góc BAC thì ta sẽ có đợc điều gì ? HS : 21 AA = = 21 AE ABE cân tại B EB = AB Thay vào EB = AB vào (1) ta có : AC AB DC BD = Từ đó dẫn đến định lý tính chất đờng phân giác trong tam giác *Qua kiểm tra bài cũ , tổ chức cho học sinh đánh giá , nhận xét bài giải của bạn để dẫn đến tình huống kiến thức Ví dụ 4: Khi dạy học đinh lý về đờng trung bình của hình thang GV : Kiểm tra bài cũ : + Phát biểu định nghĩa tính chất đờng trung bình của tam giác ? (vẽ hình minh hoạ ) + Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) nh hình vẽ . Hãy tính x và y A x B E 3cm 1cm F HS Phát biểu định nghĩa tính chất đờng trung bình của tam giác - Vẽ hình A D E Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -7- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc D C y C B Các phơng pháp dạy học định lý - Tính chất : ABC có AD = DB ; AE =EC DE // BC ; DE = BC 2 1 HS : Vận dụng tính chất đờng trung bình trong ADC , ABC EM = ABMFDC 2 1 ; 2 1 = DC= 2EM y= DC= 2*3 = 6 (cm) AB= 2MF x= AB= 2* 1= 3 (cm) HS nhận xét bài GV thông báo đoạn thẳng EF trên hình chính là đờng trung bình của hình thang ABCD . Vậy thế nào là đờng trung bình của hình thang ? Nh vậy qua kiểm tra bài cũ , nhận xét bài giáo viên đã dẫn dắt học sinh dến kiến thức mới đó là Đờng trung bình của hình thang. *Từ một tình huống kiến thức cũ để dự đoán chuyển sang kiến thức mới bằng cách sử dụng phép tơng tự Ví dụ5 : - Từ tính chất hình bình hành hãy nêu các tính chất của hình thoi ? - Từ tính chất đờng trung bình của tam giác,Hãy dự đoán tính chất về đờng trung bình của hình thang ? *Sử dụng phép quy nạp từ những hiện tợng kiến thức cụ thể Ví dụ 6 : - Hình thoi là hình bình hành đặc biệt nên hình thoi mang đầy đủ các tính chất của hình bình hành. * Cho học sinh thực hành các hoạt động tính toán , kể vẽ , đo đạc , từ đó rút ra nhận xét , dự đoán về kiến thức mới . Ví dụ7 : Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -8- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Các phơng pháp dạy học định lý Khi dạy bài tính chất đờng phân giác của tam giác học sinh thực hiện vẽ , đo đạc rút ra nhận xét , dự đoán đợc kiến thức ?1 : Vẽ tam giác ABC biết AB=3cm , AC =6cm : 0 100 = A , Dựng phân giác AD của góc A , đo độ dài DB , DC rồi so sánh tỷ số : DC DB AC AB ; * Khái quát hoá ,trìu tợng hóa Ví dụ 8 : Sau khi dạy định lý Tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0 giáo viên có thể giúp học sinh làm tơng tự đối với tứ giác (là chia tứ giác thành hai tam giác) từ đó ta có Tổng các góc của một tứ giác bằng 360 0 Từ đó khái quát hoá kết quả đối với tổng các góc trong một đa giác lồi *Đặc biệt hoá Ví dụ 9 : Khi dạy về hình thang cân giáo viên gợi ý nếu hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau ( trờng hợp đặc biệt của hình thang ) để dẫn đến hình thang cân . *Kể chuyện mở đầu về lịch sử quá trình nảy sinh kiến thức cùng với ý nghĩa của nó . Ví dụ 10 : - Khi dạy định lý Talét giáo viên có thể kể chuyện lịch sử về nhà Toán học Talét - Khi dạy về định lý PiTaGo thì kể chuyện lịch sử về nhà toán học PiTa Go * Xuất phát từ tình huống bài toán trong thực tế đời sống Ví dụ 11 : - Các thanh sắt ở của xếp tạo thành những hình gi? ( Bài Hình thoi ) -Làm thế nào để đo chiều cao của một cây mà không cần lên đến ngọn ? *Đa ra các phản ví dụ , phân tích những sai lầm , tạo ra mâu thuẫn trong nhận thức của học sinh , kích thích tính tò mò khó học , ham hiểu biết của học sinh. Ví dụ 12 : Sau khi học song kiến thức về hình bình hành giáo viên treo bảng phụ ?3 ( trang 92 SGK hình học 8) Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -9- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc Các phơng pháp dạy học định lý II-m Giải quyết vấn đề Giải quyết từng phần chứng minh việc chứng minh định lý 1- giáo viên trình bày kiến thức theo logic phát triển của nó Ví dụ 13 : Khi chứng minh định lý tổng ba góc của một tam giác ( SGK 7) Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 0 HS : vẽ hình Ghi giả thiết kết luận của định lý x A y 1 2 GT ABC KL 0 180 =++ CBA B C GV :- Nếu qua A ta kể đờng thẳng xy ta sẽ có điều gi? Có 0 21 180 =++ / AAA - Từ đó nghĩ đến chứng minh : CABA ; 21 = / = - Đó là các cặp góc so le trong nên muồn cho các góc so le trong đó bằng nhau thì xy phải song song BC . - Đó chính là lý do tại sao khi bắt đầu chứng minh ta phải kẻ xy//BC HS : chứng minh định lý Qua A kẻ đờng thẳng xy// BC từ đó : CABA ; 31 == ( cặp góc so le trong ) Vậy ACBA =++ + 0 21 018 =+ AA ( đpcm) 2-Sử dụng phơng pháp suy luận ngợc từ kết luận đến giả thiết tìm ra mối quan hệ Ví dụ 14 : Chứng minh dấu hiệu nhận biết hình bình hành Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mối đờng là hình bình hành Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phơng -10- Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc