BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ LỆ HOA MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ LỆ HOA MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài, tận tâm hướng dẫn động viên suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy (cô) phòng Sau đại học, thầy cô dạy lớp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích K18-đợt trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt cho suốt khóa học Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Trần Thị Lệ Hoa LỜI CAM ĐOAN Luận văn “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra” kết nghiên cứu thân hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Ngoài ra, tác giả tham khảo thêm số tài liệu trình bày phần tài liệu tham khảo Vì xin khẳng định luận văn trùng lặp với đề tài tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Trần Thị Lệ Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa không gian định chuẩn 1.2.2 Ví dụ 1.3 Chuỗi lũy thừa 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Điều kiện để hàm khai triển thành chuỗi lũy thừa 1.4 Phép biến đổi Laplace 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Tính chất 1.4.3 Bảng biến đổi Laplace số hàm thường gặp 1.4.4 Phép biến đổi Laplace đạo hàm 11 1.4.5 Biến đổi Laplace ngược 11 1.4.6 Tích chập biến đổi Laplace 11 1.5 Phương trình tích phân 12 1.5.1 Các định nghĩa 12 1.5.2 Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra 13 1.5.3 Sự tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Volterra 15 1.6 Lập trình Maple 16 1.6.1 Tính tích phân hàm f (x) đoạn [a, b] 16 i 1.6.2 Vòng lặp f or 17 1.6.3 Lệnh điều kiện if 17 1.6.4 Một số lệnh khác 18 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA 19 2.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II 19 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 19 2.1.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa 23 2.1.3 Phương pháp khai triển Adomian 27 2.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I 32 2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 32 2.2.2 Phương pháp biến đổi phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II Chương 35 PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 39 3.1 Phương pháp cầu phương 39 3.1.1 Phương pháp cầu phương 39 3.1.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra 40 3.2 Ví dụ 47 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Toán học đại, Giải tích số môn học quan trọng Cùng với phát triển máy tính điện tử, giải tích số ngày thâm nhập sâu vào hầu hết lĩnh vực khoa học công nghệ, kỹ thuật kinh tế Giải số lĩnh vực toán học rộng Nó nghiên cứu toán xấp xỉ, toán giải xấp xỉ phương trình toán tối ưu Lý thuyết phương trình tích phân Volterra lĩnh vực quan trọng Nó có nhiều ứng dụng khoa học công nghệ Nhà toán học Volterra bắt đầu tìm hiểu phương trình tích phân từ năm 1884 Tới năm 1908, phương trình thức mang tên ông Việc giải xác phương trình thường gặp nhiều khó khăn giải Do đó, nhà khoa học nghiên cứu số phương pháp giải gần phương trình phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian, Dưới hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh chọn đề tài: " Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra" để làm luận văn tốt nghiệp bậc sau đại học Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến Volterra, số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến Volterra, lập trình Maple tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến Volterra số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến Volterra,lập trình Maple tính toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại một, loại hai Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải gần số phương trình tích phân phi tuyến Volterra cụ thể, lập trình Maple tính toán Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan Vận dụng số phương pháp giải tích hàm, giải tích số, lí thuyết phương trình tích phân Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương trình tích phân phi tuyến Volterra Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Một tập X gọi không gian metric Với cặp phần tử x, y X xác định, theo quy tắc đó, số thực ρ(x, y), gọi "khoảng cách x y " Quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau a) ρ(x, y) > x = y ; ρ(x, y) = x = y b) ρ(x, y) = ρ(y, x) với ∀x, y (tính đối xứng) c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với ∀x, y, z (bất đẳng thức tam giác) Hàm số ρ(x, y) gọi metric không gian Ví dụ 1.1 Tập M đường thẳng R, độ dài đoạn nối x y : ρ(x, y) = |x − y| metric (M, ρ) không gian metric Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric X Một ánh xạ P từ X vào gọi ánh xạ co, có số ≤ θ < cho, P x phần tử ứng với x ánh xạ P , ta có ∀x1 , x2 ∈ X, ρ(P x1 , P x2 ) ≤ θρ(x1 , x2 ) Điểm bất động ánh xạ điểm mà ảnh trùng với Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ không gian metric đủ X vào có điểm bất động 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa không gian định chuẩn Định nghĩa 1.3 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P(P trường số thực R hay trường số phức C) với án h xạ từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu (đọc chuẩn), thỏa mãn tiên đề sau 1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P) 3) (∀x, y ∈ X) αx = |α| x x+y ≤ x + y Số x gọi chuẩn véctơ x Các tiên đề 1), 2), 3) gọi tiên đề chuẩn Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai véctơ x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = x − y , d metric X Vì vậy, không gian định chuẩn không gian metric Định lý 1.2.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu: lim xn − x = kí hiệu lim xn = x hay xn → x(n → ∞) n→∞ n→∞ Định lý 1.2.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy lim n,m→∞ xn − xm = Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Chương PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 3.1 Phương pháp cầu phương 3.1.1 Phương pháp cầu phương Chia đoạn [a, b] điểm a = x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = b Khi b n ϕ(x)dx = a Ak ϕ(xk ) + εn [ϕ] (3.1) k=1 n Với Ak hệ số công thức cầu phương, Ak ≥ 0, Ak = b − a k=1 xk (k = 1, 2, ) nút công thức cầu phương εn [ϕ] phần dư công thức cầu phương Việc chọn quy tắc tính khác có công thức cầu phương khác tương ứng với Ak , xk , εn 39 Quy tắc hình thang h= b−a n−1 A1 = An = h A2 = A3 = = An−1 = h xi = a + h(i − 1), i = 1, 2, n M = sup|ϕ”(x)| x ∈ [a, b] M (b − a) |εn [ϕ]| ≤ h 12 Quy tắc Simpson A1 = A2m+1 = h A2 = = A2m = h A3 = = A2m−1 = h b−a h= n−1 xi = a + h(i − 1), với i = 1, 2, n = 2m + 1, m > M = max|ϕ(iv) (x)| x ∈ [a, b] M (b − a) |εn [ϕ]| ≤ h 180 3.1.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra Xét phương trình tích phân Volterra x K[x, t, u(t)]dt, a ≤ x ≤ b u(x) = f (x) + a 40 Hay x u(x) − K[x, t, u(t)]dt = f (x) (3.2) a Trong K[x, t, u(t)] f (x) hàm liên tục Phương trình gọi phương trình tích phân Volterra loại II dạng Urysohn Thay x = a vào (3.2) ta u(a) = f (a) hay u1 = f1 Chọn h làm khoảng chia, xét xi = a + h(i − 1), i = 1, n Kí hiệu u(xi ) nghiệm xác phương trình tai xi ui nghiệm gần xi tìm theo phương pháp cầu phương Khi x = xi , (3.1) trở thành xi u(xi ) − K[xi , t, u(t)]dt = f (xi ) (3.3) a Sử dụng công thức cầu phương cho tích phân (3.3) với xj ; j = 1, i điểm nút t, ta có hệ phương trình đại số phi tuyến (bỏ qua phần dư) u1 = f1 i ui − Aij Kij (uj ) = fi , i = 2, n (3.4) j=1 Với Aij hệ số công thức cầu phương đoạn [a, xi ], ui giá trị xấp xỉ nghiệm u(x) xi , fi = f (xi ), Kij (uj ) = K(xi , tj , uj ), tj = xj Viết lại hệ phương trình (3.4) sau   u1 = f1 i−1  ui − Aii Kii (ui ) = fi + Aij Kij (ui ), i = 2, n j=1 Lưu ý: Đối với phương trình dạng x u(x) − P (x, t)Φ(t, u(t))dt = f (x) a 41 (3.5) (Còn gọi phương trình tích phân Volterra loại II dạng Hammerstein) Với x1 = a, ta áp dụng phương pháp cầu phương hệ   u1 = f1 i  ui − Aij Pij Φj (uj ) = fi , i = 2, n j=1 với Pij = P (xi , tj ) Φj (ui ) = Φ(tj , uj ) Giá trị xấp xỉ hàm nghiệm cần tìm nghiệm hệ phương trình phi tuyến   u1 = f1 i−1  ui − Aii Pii Φi (ui ) = fi + Aij Pij Φj (uj ), i = 2, n j=1 Ví dụ 3.1 Giải phương trình sau phương pháp cầu phương, sử dụng công thức hình thang với n = 25 x xt u2 (t) dt − u(x) = x + 1, 12 a := 0; b := 1; n := 25; 25 h := (b-a)/(n-1); -24 42 0≤x≤1 Bien1 := 0; Bien2 := 0; Bien1:=0 Bien2:=0 for i from to n x[i] := a+(i-1)*h od: for i from to n if i:=1 then A[i] := (1/2)*h else if i:=n then A[i] := (1/2)*h else A[i] :=h fi: fi: od: for i from to n f[i] := 1-5*x[i]*(1/12) od: for i from to n Bien1[i] := A[i]*x[i]*u[i]*u[i]; Bien2 := Bien2+Bien1[i] od: for i from to n eqn[i] := -Bien2*x[i]+u[i] = f[i] od: vd1 := evalf(solve({eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18],eqn[19], eqn[20], eqn[21], eqn[22], eqn[23], eqn[24],eqn[25]})); for i from to n lprint(u[i] = subs(vd1, u[i])) od: u[1] = u[2] = 1.013949620 u[3] = 1.027899240 u[4] = 1.041848860 u[5] = 1.055798479 u[6] = 1.069748099 u[7] = 1.083697719 u[8] = 1.097647339 u[9] = 1.111596959 u[10] = 1.125546578 43 u[11] = 1.139496198 u[12] = 1.153445818 u[13] = 1.167395438 u[14] = 1.181345058 u[15] = 1.195294678 u[16] = 1.209244297 u[17] = 1.223193917 u[18] = 1.237143537 u[19] = 1.251093157 u[20] = 1.265042776 u[21] = 1.278992397 u[22] = 1.292942017 u[23] = 1.306891636 u[24] = 1.320841256 u[25] = 1.334790876 Ví dụ 3.2 Giải phương trình sau phương pháp cầu phương, sử dụng công thức Simpson với n = 40 x xt u2 (t) dt − u(x) = x + 1, 12 a := 0; b := 1; n := 40; 40 h := (b-a)/(n-1); -39 44 0≤x≤1 Bien1 := 0; Bien2 := 0; Bien1:=0 Bien2:=0 for i from to n x[i] := a+(i-1)*h od: for i from to n if i:=1 then A[i] := (1/3)*h else if i:=n then A[i] := (1/3)*h else if modp(i, 2) = then A[i] := 2*h*(1/3) else A[i] := 4*h*(1/3) fi: fi: fi: fi: od: for i from to n f[i] := 1-5*x[i]*(1/12) od: for i from to n Bien1[i] := A[i]*x[i]*u[i]*u[i]; Bien2 := Bien2+Bien1[i] od: for i from to n eqn[i] := -Bien2*x[i]+u[i] = f[i] od: vd1 := evalf(solve({eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11], eqn[12], eqn[13], eqn[14], eqn[15], eqn[16], eqn[17], eqn[18], eqn[19], eqn[20], eqn[21], eqn[22], eqn[23], eqn[24], eqn[25], eqn[26], eqn[27], eqn[28], eqn[29], eqn[30], eqn[31], eqn[32], eqn[33], eqn[34], eqn[35], eqn[36], eqn[37], eqn[38], eqn[39], eqn[40]})); for i from to n 45 lprint(u[i] = subs(vd1, u[i])) od: u[1] = u[2] = 1.008530168 u[3] = 1.017060335 u[4] = 1.025590503 u[5] = 1.034120671 u[6] = 1.042650839 u[7] = 1.051181006 u[8] = 1.059711174 u[9] = 1.068241342 u[10] = 1.076771510 u[11] = 1.085301677 u[12] = 1.093831845 u[13] = 1.102362013 u[14] = 1.110892181 u[15] = 1.119422348 u[16] = 1.127952516 u[17] = 1.136482684 u[18] = 1.145012852 u[19] = 1.153543020 u[20] = 1.162073187 u[21] = 1.170603355 u[22] = 1.179133522 u[23] = 1.187663690 u[24] = 1.196193858 u[25] = 1.204724026 u[26] = 1.213254194 u[27] = 1.221784361 u[28] = 1.230314529 u[29] = 1.238844697 46 u[30] = 1.247374865 u[31] = 1.255905032 u[32] = 1.264435200 u[33] = 1.272965368 u[34] = 1.281495536 u[35] = 1.290025703 u[36] = 1.298555871 u[37] = 1.307086039 u[38] = 1.315616206 u[39] = 1.324146375 u[40] = 1.332676542 3.2 Ví dụ Dưới giới thiệu ví dụ giải hai phương pháp khác Đầu tiên việc sử dụng phương pháp giới thiệu chương Để đơn giản, chọn phương pháp xấp xỉ liên tiếp Phương pháp lại phương pháp số mà vừa giới thiệu chương kết hợp với lập trình Maple Ví dụ 3.3 Giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra sau x tu2 (t)dt − x4 + x, u(x) = 0≤x≤1 a) Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình (3.6) Ta xây dựng dãy lặp 1 tu2n (t)dt − x4 + x un+1 (x) = 47 (3.6) Chọn u0 (x) = x u1 (x) = tdt − x4 + x x 1 tdt − x4 + x 4 = t2 x = − x +x 42 1 = x2 − x4 + x x t t − t +t u2 (x) = − x4 + x + dt x = − x4 + x + t 1 1 t + t8 + t2 − t6 + t3 − t5 dt 64 16 16 x = − x4 + x + 1 1 t + t9 + t3 − t7 + t4 − t6 dt 64 16 16 x t6 t10 t4 t8 t5 t7 + + − + − =− x +x+ 6.64 16.10 16.8 4.5 2.7 1 10 1 = − x4 + x + x + x + x − x + x5 − x7 384 160 128 20 14 1 10 x − x7 − x + x = x + x5 + 20 384 14 128 160 Do lim un (x) = x ( xn → n → ∞, |x| ≤ 1) n→∞ Phương trình tích phân phi tuyến có nghiệm u(x) = x Lập bảng sai số nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp u2 (x) ≈ x + 1 10 x + x − x7 − x + x 20 384 14 128 160 với nghiệm ta bảng sau 48 x Nghiệm PP xấp xỉ Sai số liên tiếp 0 0,1 0,1 0,1000004954 0,0000004954 0,2 0,2 0,2000152330 0,0000152330 0,3 0,3 0,3001073013 0,0001073013 0,4 0,4 0,4004011735 0,0004011735 0,5 0,5 0,5010207403 0,0010207403 0,6 0,6 0,6019165285 0,0019165285 0,7 0,7 0,7025535996 0,0025535996 0,8 0,8 0,8014473782 0,0014473782 0,9 0,9 0,8955606118 0,0044393882 1 0,9796130952 0,0203869048 b) Sử dụng phương pháp cầu phương giải phương trình (3.6) u(x) = int(t*u(t)*u(t), t = x)-((1/4)*x*x)*x*x+x; x tu2 (t)dt − x4 + x u(x) = n := 11; a := 0; b := 1; h := (b-a)/(n-1); n:=11 a:=0 b:=1 h:= -10 for i from to n x[i] := a+h*(i-1) od: for i from to n f[i] := -((1/4)*x[i]*x[i])*x[i]*x[i]+x[i] od: for i from to n A[i, 1] := (1/2)*h od: for i from to n A[i, i] := (1/2)*h od: for i from to n for j from to i-1 A[i, j] := h 49 od: od: for i from to n for j from to i K[i, j] := x[j] od: od: i := ’i’; i:=i j := ’j’; j:=j for i to n eqn[i] := u[i] = sum(A[i, j]*K[i, j]*u[j]*u[j], j = i)+f[i] od: vd2 := evalf(solve({eqn[1], eqn[2], eqn[3], eqn[4], eqn[5], eqn[6], eqn[7], eqn[8], eqn[9], eqn[10], eqn[11]})); for i from to n lprint(u[i] = subs(vd2, u[i]))od: u[1] = u[2] = 0.1000250250 u[3] = 0.2001004519 u[4] = 0.3002279057 u[5] = 0.4004115457 u[6] = 0.5006596355 u[7] = 0.6009866869 u[8] = 0.7014167263 u[9] = 0.8019886476 u[10] = 0.9027654237 u[11] = 1.003850566 Dễ thấy u∗ (x) = x nghiệm (3.6) Ta có bảng sai số nghiệm thu từ phương pháp cầu phương với nghiệm 50 x Nghiệm Phương pháp Sai số cầu phương 0 0,1 0,1 0,1000250250 0,0000250250 0,2 0,2 0,2001004519 0,0001004519 0,3 0,3 0,3002279057 0,0002279057 0,4 0,4 0,4004115457 0,0004115457 0,5 0,5 0,5006596355 0,0006596355 0,6 0,6 0,6009866869 0,0009866869 0,7 0,7 0,7014167263 0,0014167263 0,8 0,8 0,8019886476 0,0019886476 0,9 0,9 0,9027654237 0,0027654237 1 1,0038505660 0,0038505660 Chú ý: với n lớn trình giải phương pháp cầu phương nhiều thời gian 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I loại II Trong chương tác giả trình bày kiến thức chuẩn bị Trong chương tác giả trình bày số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II bao gồm phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I Trong chương tác giả trình bày phương pháp số giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II Trong chương trình bày phương pháp cầu phương Đóng góp chủ yếu tác giả hệ thống vấn đề, giới thiệu ví dụ giải hai phương pháp khác có áp dụng lập trình Maple giải số phương trình tích phân phi tuyến Volterra Do hạn chế thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Ia.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học kỹ thuật [4] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [7] L.G.Chambers(1976), Integral Equation, A Short Course, Intextbook Company, London [8] A.M.Wazwaz (2010), Linear and Nonlinear Integral Equation, Springer 53 [...]... tích phân phi tuyến Volterra loại II, hàm u(x) chưa biết xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II có dạng sau x u(x) = f (x) + K(x, t)F (u(t))dt 0 b Phương trình tích phi tuyến Volterra loại I Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I, hàm phi tuyến F (u(x)) nằm trong dấu tích phân Phương trình tích phân phi tuyến 13 Volterra của... số thực hoặc phức Khi A là toán tử tích phân thì phương trình (1.1) và (1.2) gọi là phương trình toán tử tích phân hay phương trình tích phân Dựa vào cận của tích phân, người ta chia ra hai loại sau 1) Nếu các cận của tích phân là không thay đổi thì phương trình tích phân được gọi là phương trình tích phân Fredholm 12 2) Nếu ít nhất một cận tích phân là biến thì phương trình tích phân được gọi là phương. .. phương trình tích phân Volterra Khi A không tuyến tính thì phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là các phương trình phi tuyến Định nghĩa 1.9 Có hai loại phương trình tích phân phi tuyến b Các phương trình dạng f (x) = K[x, t, u(t)]dt được gọi là phương trình a tích phân phi tuyến loại I b Các phương trình dạng u(x) = f (x) + λ K[x, t, u(t)]dt được gọi là a phương trình tích phân phi tuyến loại II Trong. .. quả của phép toán dưới dạng lệnh vào của Maple và kết quả đó nằm ngay bên trái màn hình Hàm subs(x=a, expr) là hàm thay thế x trong biểu thức expr bởi biểu thức a 18 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA Ở chương này chúng tôi giới thiệu một số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra với giả sử rằng các phương trình này tồn... tại nghiệm 2.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II thường được giải bằng ba phương pháp sau: phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian (ADM) 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II x u(x) = f (x) + K(x, t)F (u(t))dt, 0 19 (2.1) trong đó K(x,... của tích phân) là các hàm số ba biến liên tục trên miền D = [a, b] × [a, b] × R, u(t), f (t) là các hàm số liên tục trên đoạn [a, b], tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C 1.5.2 Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra Tùy theo sự xuất hiện của hàm ẩn u(x) mà phương trình tích phân phi tuyến Volterra được chia thành các loại sau a Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II Trong các phương trình tích phân. .. Lipschitz 1.6 Lập trình trong Maple Các thuật toán giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến khi thực hiện trên máy tính với các phần mềm hỗ trợ sẽ đạt hiệu quả cao hơn rất nhiều Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu phần mềm Maple, phần mềm hữu ích trong tính toán 1.6.1 Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] Tính tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] bằng dòng lệnh có cú pháp như sau... Các phương trình tích phân Volterra dạng khác x 1 tu2 (t)dt − x4 + x, 4 u(x) = 0≤x≤1 0 14 x 1 xu2 (t)dt − x4 + x, 3 u(x) = 0≤x≤1 0 x xu2 (t)dt − 2x, u(x) = 0≤x≤1 0 1.5.3 Sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến Volterra Cho phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II x G[x, t, u(t)]dt u(x) = f (x) + 0 Định lý 1.5.1 Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn thì phương trình tích phân. .. của f (x) Đầu tiên, chúng ta tính tích phân bên phải của (2.7) và thu thập các hệ số lũy thừa của x Sau đó tiếp tục đồng nhất các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x trong cả hai vế của phương trình để tìm các aj , j ≥ 0 Thế các aj vào (2.7) là ta đã có ngay kết quả của bài toán 23 Ví dụ 2.3 Sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra sau x 1 1 1 u(x) = 1... Laplace của tích chập (f1 ∗ f2 )(x) được cho bởi x L{(f1 ∗ f2 )(x)} = L f1 (x − t)f2 (t)dt = F1 (s)F2 (s) 0 1.5 Phương trình tích phân 1.5.1 Các định nghĩa Cho A là toán tử từ không gian Banach X vào chính nó Định nghĩa 1.8 Phương trình dạng Ax = f f ∈ X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I; Phương trình dạng x = f + λAx (1.1) (1.2) được gọi là phương trình toán tử loại II Ở đây tham số λ trên