Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu word Kiến thức cơ bản toán 12 toàn bộ chương trình kèm ví dụ minh họa tham khảo ôn thi tốt nghiệp
I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Để khảo sát biến thiên hàm số, tức tìm khoảng hàm số đồng biến nghịch biến (còn gọi tính đơn điệu hàm số), ta tiến hành sau : - Tìm tập xác định D (khoảng, đoạn hay nửa khoảng) hàm số f - Nếu hàm f liên tục có đạo hàm D ta tính đạo hàm xét dấu đạo hàm để áp dụng : + Hàm f đồng biến (hay tăng) D ⇔ f’(x) > 0, + Hàm f nghịch biến (hay giảm) D ⇔ f’(x) ≤ 0, + Hàm f không đổi D ⇔ f’(x) = 0, x ∈ D x ∈ D (Dấu = xảy điểm rời rạc) x ∈ D Ta lập bảng biến thiên thể xét dấu f'(x) đế biểu diễn tính đơn điệu hàm số Ghi chú: Hàm số đồng biến D có đồ thị lên từ trái sang phải Hàm số nghịch biến D có đồ thị xuống từ trái sang phải Hàm số không đổi D có đồ thị đường thẳng vuông góc với trục tung Ví dụ: Xét biến thiên hàm số: Giải Hàm số có tập xác định D = R y' = x2 - 5x + Bảng biến thiên Vậy hàm số tăng hai khoảng (-∞ ; 1), (4 ; +∞) giảm khoảng (1 ; 4) Áp dụng: Tính đơn điệu hàm số áp dụng để chứng minh số bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh sinx < x với x > Giải Đặt f(x) = sinx - x Ta có f(x) hàm số liên tục R Đạo hàm f'(x) = cosx - < 0, với x thuộc R Vậy hàm số f(x) nghịch biến R nên với x > suy f(x) < f(0) hay sinx - x < với x > Do sinx < x với x > Cực trị hàm số: Tìm cực trị hàm số, tức tìm cực đại cực tiểu hàm số đó, ta cần hiểu rõ định nghĩa: Cho hàm số f xác định D ∈ R x0 ∈ D a) x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a ; b) chứa x để (a ; b) ⊂ D f(x) < f'(x0), x ∈ (a ; b)\{x0} Khi f(x0) giá trị cực đại hàm số f b) x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a ; b) chứa x để (a ; b) ⊂ D f(x) > f'(x0), x ∈ (a ; b)\{x0} Khi f(x0) giá trị cực tiểu hàm số f ♦ Để xác định điểm cực trị hàm số y = f(x) liên tục D ta tiến hành : - Tìm tập xác định D hàm số - Tính xét dấu đạo hàm f'(x) : + Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - x qua x0 ∈ D f đạt cực đại x0 + Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + x qua x0 ∈ D f đạt cực tiểu x0 Hoặc : + Tính f'(x) f''(x) + Giải f'(x) = để tìm nghiệm xi (i = 1,2 ) tìm dấu f''(x¡) + Nếu f''(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi + Nếu f''(xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ghi chú: Với toán cực trị, số kiến thức ta cần lưu ý để thích ứng nhanh với yêu cầu số câu hỏi trắc nghiệm : Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị nghiệm đơn P’(x) = Hàm số có cưc đại cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt Hàm số đạt cực trị x0 giá trị hàm số điểm cực trị x0 với P’(x0) Q’(x0) đạo hàm P(x) Q(x) x0 Tìm phương trình đường qua điểm cực trị : a) Trường hợp hàm số hữu tỉ đường thẳng qua hai điểm cực trị (nếu có) có phương trình b) Với hàm đa thức y = f(x), để tìm phương trình đường qua điểm cực trị (có toạ độ phức tạp) ta chia đa thức f(x) cho f'(x) : y = f(x) = f'(x) Q(x) + R(x) điểm cực trị M0(x0 ; y0) ta có: y0 = f'x0)Q(x0) + R(x0) = R(x0) (d0 f'(x0) = 0) Vậy y = R(x) phương trình đường nối điểm cực trị hàm số y = f(x) Ví dụ: Chứng tỏ hàm số có cực đại cực tiểu Giải Hàm số có tập xác định D = R đạo hàm: Dấu y' dấu g(x) = -2x2 + 2(1 - m)x + có Δ' = (1 - m)2 + > 0, m∈R nên g(x) có hai lần đổi dấu từ + sang - từ - sang + hay f(x) có cực đại cực tiểu Kiến thức phương pháp giải ♦ Để chứng minh M giá trị lớn hàm số f tập xác định D, ta cần chứng tỏ : a) f(x) ≤ M, x∈D; b) ∃x0 ∈ D để f(x0) = M ♦ Để chứng minh m giá trị nhỏ hàm số f tập xác định D, ta cần chứng tỏ : a) f(x) ≥ m, x∈D; b) ∃x0 ∈ D để f(x0) = m ♦ Phương pháp tổng quát để xác định giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f tập xác định D lập bảng biến thiên hàm số f với đầy đủ giá trị đặc biệt y, từ ta suy được: max f(x) ; f(x) D D Ghi chú: f(x) biểu thức lượng giác - Ta biến đổi để biểu thức chứa y = sin(ax + b) hay y = cos(ax + b) áp dụng : -1 ≤ sin( ax + b)≤ 1, x∈R -1 ≤ cos( ax + b)≤ 1, x∈R Trường hợp f(x) chứa sin(ax + b), cos(ax + b) ta biến đổi dạng: Asin(ax + b) + Bcos(ax + b) = C áp dụng điều kiện phương trình có nghiệm : A2 + B2 ≥ C2 Trường hợp y = f(x) liên tục đoạn [a ; b], ta tiến hành bước: - Tìm giá trị x cho f'(x) = hay f'(x) không xác định đoạn [a ; b], giả sử giá trị x1, x2, x3 - Tính giá trị hàm số điểm có giá trị x nói f(x1), f(x2), f(x3), - Tính giá trị hàm số hai đầu mút f(a), f(b) - So sánh giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3), ta suy giá trị nhỏ lớn f(x) đoạn [a ; b] Nếu miền D có f(x) → +∞ hàm số giá trị lớn D Nếu miền D có f(x) → -∞ hàm số khônq có giá trị nhỏ D Nếu hàm số f liên tục đạt cực trị khoảng (a ; b) x0 thì: max f(x) = f(x0) cực trị cực đại ; (a ; b) f(x) = f(x0) cực trị cực tiểu (a ; b) Ví dụ Giá trị lớn nhỏ hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + đoạn [- ; 4] (A) -1 ; -19 ; (B) ; -26 ; (C) ; -19 ; (D)10;-26 Giải Hàm số liên tục đoạn [-2 ; 4] có đạo hàm y’ = 3x - 6x - Giá trị hàm số hai đầu mút: f(-2) = -1 ; f(4) = -19 So sánh giá trị vừa tính hàm số, ta suy max f(x) = 6; f(x) = -26 [-2 ; 4] [-2 ; 4] II ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Để tìm đường tiệm cận hàm số y = f(x) ta dựa vào tập xác định D để biết số giới hạn phải tìm Nếu tập xác định D có đầu mút khoảng phải tìm giới hạn hàm số x tiến đến đầu mút Ví dụ: D = [a ; b) phải tính ta phải tìm ba giới hạn - Để tìm đường tiệm cận ngang ta phải có giới hạn hàm số vô tận: (Δ) : y = y0 tiệm cận ngang (C) : y = f(x) - Để tìm đường tiệm cận đứng hàm số phải vô tận x tiến đến giá trị x0 : Nếu (Δ) : x = x0 đường tiệm cận đứng (C) : y = f(x) - Để tìm đường tiệm cận xiên (C) : y = f(x), trước hết ta phải có điều kiện Sau để tìm phương trình đường tiệm cận xiên ta có hai cách : + Phân tích biểu thức y = f(x) thành dạng y = f(x) = ax + b + ε(x) b (a ≠ 0) đường tiệm cận xiên (C) : y = f(x) + Hoặc ta tìm a b công thức: Khi y = ax + b phương trình đường tiệm cận xiên (C) : y = f(x) (Δ) : y = ax + Ghi : Đường tiệm cận số hàm số thông dụng : - Hàm số có hai đường tiệm cận đứng ngang có phương trình - Với hàm số (không chia hết a.p ≠ 0), ta chia đa thức để có: hàm số có hai đường tiệm cận đứng xiên có phương trình là: - Hàm hữu tỉ (không chia hết) có đường tiệm cận xiên bậc tử lớn bậc mẫu bậc - Với hàm hữu tỉ, giá trị x0 làm mẫu triệt tiêu không làm tử triệt tiêu x = x0 phương trình đường tiệm cận đứng - Hàm số viết dạng hàm số có hai đường tiệm cận xiên: Ví dụ: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận với phương trình kết sau đây? (A) x = 3, y = ; (B) x= 3, x = -3, y = ; (C)x = -3, y = ; (D) x = 3, y = 2x - Giải phương trình đường tiệm cận ngang (nên x = không tiệm cận đứng) phương trình đường tiệm cận đứng III ĐIỂM UỐN VÀ TẤM ĐỐI XỨNG CỦA ĐÒ THỊ HÀM SỐ Để tìm điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) ta thực hiện: Tính đạo hàm f'(x) (liên tục khoảng (a ; b)) Tính đạo hàm cấp hai f'’(x) áp dụng: f'’(x) đổi dấu x qua x0 ∈ (a ; b) I(x0 ; f(x0)) điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) (Tại điểm uốn, f'’(x0) triệt tiêu không xác định f'(x0) phải xác định) Tâm đối xứng đồ thị hàm số: Đồ thị (C) : y = f(x) nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng có điều kiện: f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D (f hàm số lẻ) Trường hợp (C) : y = f(x) nhận điểm I(x0 ; y0) làm tâm đối xứng ta phải dời hệ trục toạ độ cũ xOy hệ trục toạ độ XIY phép tịnh tiến theo vectơ , để chứng tỏ biểu thức hàm số hệ trục toạ độ hàm số lẻ tức nhận gốc I làm tâm đối xứng Công thức đổi trục phép tịnh tiến theo vectơ (x0 ; y0): Ghi chú: Với toán điểm uốn, ta gặp yêu cầu sau mà học sinh cằn nắm vững phương pháp giải để giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm Chứng minh ba điểm uốn thẳng hàng: a) Hoặc tìm toạ độ ba điểm uốn A, B, C sau chứng tỏ phương với b) Trường hợp không tính toạ độ ba điểm uốn, ta có cách giải sau: - Áp dụng tính chất f”(x) liên tục đổi dấu ba lần để chứng tỏ f’'(x) = có ba nghiệm phân biệt cách giá trị a, b, c, d (a < b < c < d) với f(a).f(b) < 0, f(b).f(c) < 0, f(c).f(d) < - Toạ độ ba điểm uốn phải thoả hệ: Dùng phương pháp thay ta suy toạ độ ba điểm uốn thoả phương trình đường thẳng Đối với yêu cầu xác định tâm đối xứng đồ thị hàm số, ta lưu ý: - Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng điểm uốn đồ thị tu- - + ax2+bx + c - Đồ thi hàm số có tâm đối xứng giao điềm hai đường tiệm cận Ngoài với hàm số khác có tâm dối xứng, ta biến đổi biểu thức y = f(x) đặt ẩn phụ cho có dạng Y = F(X) biểu thức hàm sô lẻ Ví dụ Cho hàm số a) Xác định toạ độ điểm I giao hai đường tiệm cận (H) b) Viết công thức đổi hệ trục toạ độ phép tịnh tiến theo c) Viết phương trình (H) hệ trục XIY suy I tâm đối xứng (H) Giải a, Suy phương trình hai đường tiệm cận (H) : x = ; y = 2x - Do giao điểm hai đường tiệm cận I(1 ; -1) b) Dời hệ trục cũ xOy đến hệ trục XIY phép tịnh tiến theo c) Thay = (1 ; -1), ta có công thức đổi trục : vào phương trình (H) ta được: phương trình (H) hệ trục XIY, biểu thức biểu thức hàm số lẻ Y theo X nên gốc toạ độ I tâm đối xứng đồ thị (H) IV KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ta thực bước: Tập xác định : Tìm tập hợp D giá trị x làm biểu thức y = f(x) có nghĩa Tính chẵn, lẻ tuần hoàn: Ta xét tính chẵn lẻ tuần hoàn hàm số (nếu có), nhằm thu gọn khoảng khảo sát xác định phần tử đối xứng Giới hạn đường tiệm cận: Dựa vào tập xác định ta tìm số giới hạn từ suy số đường tiệm cận Bảng biến thiên: Tính đạo hàm y’ để xét biến thiên xác định điểm cực trị • Thể tích khối trụ diện tích đáy nhân với chiều cao V= R2h Các khái niệm nội tiếp, ngoại tiếp • Hình lăng trụ nội tiếp hình trụ - Hình lăng trụ gọi nội tiếp hình trụ hai đáy lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy hình trụ - Hình lăng trụ nội tiếp hình trụ lăng trụ đứng có cạnh bên đường sinh hình trụ • Hình trụ nội tiếp ngoại tiếp mặt cầu - Hình trụ C gọi nội tiếp mặt cầu (S) hai đáy hình trụ hai đường tròn mặt cầu (S) - Hình trụ C’ có bán kính R chiều cao 2R gọi ngoại tiếp mặt cầu (S) trục hình trụ đường kính mặt cầu - Nếu hình trụ C’ ngoại tiếp mặt cầu (S) đường sinh hình trụ tiếp xúc với mặt cầu, mặt đáy hình trụ tiếp diện với mặt cầu Ví dụ: Một hình trụ có bán kính đáy R, thiết diện qua trục hình vuông Thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho là: A 2R3 B 4R3 C R3 D 8R3 Giải Nếu ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ DBB’D’ thiết diện qua trục hình trụ nên DB = BB’= 2R Cạnh đáy lăng trụ R Vậy thể tích lăng trụ V = (R )2.2R = 4R3 Chọn đáp án B XX MẶT NÓN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN Các định nghĩa khái niệm • Mặt nón - Cho hai đường thẳng Δ d cắt điểm O tạo với góc nhọn α không đổi (0° < α < 90°) Mặt tròn xoay tạo đường thẳng d quay xung quanh O gọi mặt nón tròn xoay hay mặt nón - Δ trục mặt nón; O đỉnh mặt nón; d đường sinh mặt nón; 2α góc đỉnh mặt nón • Hình nón, khối nón - Cho mặt nón N với trục Δ, đỉnh O, góc đỉnh 2α (P) mặt phẳng vuông góc với Δ điểm I khác O (Q) mặt phẳng vuông góc với Δ O (P) cắt N ( theo đường tròn (T) tâm I Phần mặt nón giới hạn hai mặt phẳng (P), (Q) với hình tròn (T) gọi hình nón - Hình nón với phần bên gọi khối nón - Hình tròn (T) gọi đáy hình nón, O đỉnh hình nón, khoảng cách từ O đến mp(P) gọi chiều cao hình nón - Nếu M điểm (T) OM gọi đường sinh hình nón Diện tích hình nón thể tích khối nón • Thế tích khối nón V = h.πR2 Trong đó, h chiều cao R bán kính đáy khối nón • Diện tích xung quanh Nếu khai triển mặt nón theo đường sinh hình quạt tâm O, bán kính đường sinh l độ dài cung 2πR Diện tích hình quạt gọi diện tích xung quanh hình nón cho công thức : S = πRl Một số khái niệm nội tiếp, ngoại tiếp • Hình trụ nội tiếp hình nón (hình nón ngoại tiếp hình trụ): hình trụ có đáy thiết diện vuông góc với trục hình nón đáy lại nằm đáy hình nón • Hình cầu nội tiếp hình nón (hình nón ngoại tiếp hình cầu): hình cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón tiếp xúc với đáy hình nón • Hình chóp nội tiếp hình nón (hình nón ngoại tiếp hình chóp): đỉnh hình chóp trùng với đỉnh hình nón đáy hình chóp đa giác nội tiếp đáy hình nón • Hình cầu ngoại tiếp hình nón: đỉnh hình nón nằm mặt cầu đáy hình nón thiết diện khối cầu với mặt phắng • Hình chóp ngoại tiếp hình nón : đỉnh hình nón trùng với đỉnh hình chóp đáy hình nón hình tròn nội tiếp đáy hình chóp Ví dụ: Một hình nón bán kính đáy 5cm, góc đỉnh 120° Một thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác vuông cân Diện tích thiết diện là: A 25cm2 B 20 cm2 C D Giải Đường sinh hình nón là: Diện tích thiết diện tam giác vuông cân: XXI TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Thuật ngữ, tính chất kí hiệu cần nhớ • Hệ trục Oxyz với vectơ trục Ox, Oy, 0z theo thứ tự , , • • = = =0 • Trong không gian có hệ trục toạ độ Oxyz gọi không gian toạ độ Oxyz hay (O; • Ox : trục hoành; Oy : trục tung ; Oz : trục cao • Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy) ; (Oyz); (Oxz) Toạ độ điểm , , ) • M(x ; y ; z) ⇔ = x + y + z • Ý nghĩa hình học : Nếu I, J, K hình chiếu vuông góc M lên trục Ox, Oy, Oz thì: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = ; M ∈ (Oxz) ⇔ y = M ∈ (Oyz) ⇔ x = • M ∈ Ox ⇔ M(x ; ; 0); M ∈ Oy ⇔ M(0 ; y ; 0) M ∈ 0z ⇔ M(0 ; ; z) Gốc toạ độ O(0 ; ; 0) • Toạ độ số điểm thường dùng: - Trung điểm đoạn AB: - Trọng tâm tam giác ABC: - Trọng tâm tứ diện ABCD: Toạ độ vectơ tính chất toạ độ vectơ ∗ Định nghĩa: Trong không gian toạ độ Oxyz cho vectơ Tồn số thực (x ; y ; z) cho = x + y + z , (x ; y ; z) gọi toạ độ Kí hiệu : ∗ Tính chất = (x ; y ; z) hay (x ; y ; z) Cho vectơ =(x1 ;y1 ; z1) = (x2; y2; z2); k số thực tùy ý Ta có tính chất sau: • • ± • k • = (x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2) = (kx1; ky1; kz1) = (x1.x2 ; y1.y2 ; z1.z2) • ∗ Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm mút Tích có hướng hai vectơ ∗ Định nghĩa: Cho vectơ , kí hiệu ∗ Tính chất =(x1 ;y1 ; z1) = (x2; y2; z2) Tích có hướng (còn gọi tích vectơ) , vectơ xác định bởi: ∗ Ý nghĩa hình học Nếu có hai vectơ không phương, từ điểm O tùy ý vẽ vectơ vuông góc với mp(OAB) Diện tích tam giác ABC: Ứng dụng để tính thể tích hình hộp tứ diện ∗ Thể tích tứ diện = , ta diện tích hình bình hành có hai cạnh OA OB ∗ Diện tích tam giác ∗ Thể tích hình hộp = Tứ diện A’ABD tích thể tích lăng trụ ABD.A’B’D’ nên thể tích hình hộp Phương trình mặt cầu không gian • Phương trình mặt cầu tâm I(xI; yI; zI) bán kính R: (x - xI)2 + (y - yI)2 + (z - zI)2 = R2 (1) • Phương trình tổng quát mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = (2) (2) phương trình mặt cầu có tâm I(-a ; -b ; -c) bán kính • Điều kiện cần đủ để (2) phương trình mặt cầu là: a + b2 + c2 - d > • Mặt cầu tâm O bán kính R có phương trình là: x2 + y2 + z2 = R2 • Chú ý: - Để viết phương trình mặt cầu, ta thường xác định tâm tính bán kính mặt cầu dùng dạng (1) - Để viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta thường dùng dạng tổng quát (dạng (2)) để đưa giải hệ phương trình bậc với ẩn a, b, c, d XXII PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Vectơ pháp tuyến cặp vectơ phương mặt phẳng • Vectơ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) mp(P) • Cặp vectơ , ≠ giá gọi cặp vectơ phương (VTCP) (P) ≠ , vuông góc với (P) ≠ chúng nằm (P) hay song song với (P) • Nhận xét: Nếu , cặp VTCP (P) VTPT (P) Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (P) qua điểm Mo(xo; yo; zo) có VTPT = (A ; B ; C) là: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = • Nếu A2 + B2 + C2 > (A, B, C không đồng thời 0) phương trình Ax + By + Cz + D = phương trình mặt phẳng có VTPT = (A ; B ; C) Các trường hợp đặc biệt phương trình mặt phẳng Tính chất mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) (P) qua gốc O Ax + By + Cz = (P) trùng với mp(Oxy) z=0 (P) trùng với mp(Oyz) x=0 (P) trùng với mp(Oxz) y=0 giá (P) // Ox hay (P) chứa Ox By + Cz + D = (P) // Oy hay (P) chứa Oy Ax + Cz + D = (P) // Oz hay (P) chứa Oz Ax + By + D = (P) // mp(Oxy) Cz + D = (C.D ≠ 0) hay z = m (P) // mp(0xz) By + D = (B.D ≠ 0) hay y = n (P) // mp(0yz) Ax + D = (A.D ≠ 0) hay x = p (P) qua điểm A(a ; ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; ; c) (abc ≠ 0) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng : (α) : Ax + By + Cz + D = (β) : A’x + B’y + C’z + D’ = Ta có • A : B : C ≠ A’ : B’ : C’ : (α) (β) cắt Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm Mo(xo ; yo ; zo) đến (P) : Ax + By + Cz + D = là: XXIII GÓC GIỮA MẶT PHẲNG, CHÙM MẶT PHẲNG Góc hai mặt phẳng Góc φ hợp hai mặt phẳng (φ) : Ax + By + Cz + D = (β) : A'x + B'y + C'z + D' = góc thuộc hợp vectơ pháp tuyến (α) (β) Ta có: Chùm mặt phẳng • Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) gọi chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) • Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = (Q) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0, A : B : C ≠ A’ : B’ : C’, mặt phẳng (α) thuộc chùm định (P), (Q) có phương trình là: m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = • Nếu (α) ≠ (P) (α) : k(Ax + By + Cz + D) + A’x + B’y + C’z + D’ = • Nếu (α) # (Q) (α) : Ax + By + Cz + D + k(A'x + B’y + C’z + D’) = XXIV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng • Đường thẳng d qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) có vectơ phương phương trình tham số là: • Trường hợp abc ≠ hệ phương trình viết lại là: Phương trình phương trình tắc đường thẳng d = (a ; b ; c) (với a2 + b2 + c2 > 0) có Vectơ phương giao tuyến hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d VTPT hai mặt phẳng là: VTCP d Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian d d’ đường thẳng có VTCP ; M0 ∈ d, M’0 ∈ d’ Ta có Xét vị trí tương đối hai đường thẳng biết phương trình chúng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d, d’ biết phương trình chúng, cách thực phần 3, ta giải hệ phương trình để tìm giao điểm • Nếu hệ phương trình có nghiệm d d’ cắt • Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm d d’ trùng • Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì: - d // d’ VTCP chúng phương - d d’ chéo VTCP chúng không phương XXV KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Để tính khoảng cách từ điểm A(xA ; yA ; zA ) đến đường thẳng d, với d đường thẳng qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) có VTCP = (a1 ; a2 ; a3), có hai cách: • Cách 1: Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A lên đường thẳng d Khi d(A ; d) = AH • Cách : Để giải toán trắc nghiệm, ta sử dụng nhanh công thức: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d2, thông thường sử dụng ba cách sau • Cách : Tìm A ∈ d1, B ∈ d2 cho AB đoạn vuông góc chung d1 d2 Khi d(d1 ; d2) = AB • Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 song song d2; - Lấy điểm A tùy ý d2; - d(d1 ; d2) = d(A ; (P)) • Cách 3: Để giải nhanh toán trắc nghiệm, ta làm sau: - Tìm VTCP d1 VTCP d2; - Lấy điểm M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 - Khi khoảng cách d1 d2 tính công thức: [...]... biệt : a) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc một thì ta biến đổi : y = f(x, m) ⇔ A(x,y)m + B(x,y) = 0 (1) Điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua có tọa độ thoả phương trình (1) với mọi m, tức có toạ độ là nghiệm của hệ: b) Trường hợp biểu thức y = f(x, m) chứa tham số m ở bậc lớn hơn 1, ta biến đổi và sắp xếp biểu thức ở dạng đa thức theo m có bậc nhỏ dần Chẳng hạn m có bậc 2 : y = f(x, m)... và tính chất trên, ta suy ra phương pháp giải: * Để tính giá trị của logaN, ta có thể biến đổi N thành luỹ thừa của cơ số a và áp dụng tính chất : * Để tìm cơ số x biết logxA = B, ta áp dụng logxA = B ⇔ A = xB Ví dụ: Cho 2 số dương a, b thỏa mãn a2 + b2 = 7ab Chứng minh rằng: Giải Ta có: a2 + b2 = 7ab ⇔ a2 + b2 + 2ab = 9ab VIII ÀM SỐ LOGARIT I - Hàm số mũ: y = ax (a > 0 và a ≠ 1) * Tập xác định D =... lũy thừa y = xα có tập xác định cũng như dạng đồ thị tùy thuộc vào a Đạo hàm y’ = αxα - 1, ∀x > 0 (α ∈ R) Nếu u(x) có đạo hàm u’(x) và u(x) > 0 trên D thì y = u α có đạo hàm y’ = αuα - 1u’ Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x-3 Giải Tập xác định D = R \ {0} Đạo hàm: Giới hạn và đường tiệm cận: Bảng biến thiên: Điểm đặc biệt: x = 1; y = 1 x = -1; y = -1 Đồ thị: Ví dụ 2: Khảo sát... không có trong bảng thông dụng, ta tìm cách phân tích để f(x) thành tổng những số hạng đơn giản và áp dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm như sau: (∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f’(x)dx = f(x) + C ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx ∫af(x)dx = a∫f(x)dx (a ≠ 0) c) Trường hợp không phân tích f(x) được ra tổng các số hạng đơn giản, ta dùng đến phương pháp đổi biến số bằng cách áp dụng tính chất: f(x) có một... của (H) VI PHÉP TOÁN LŨY THỪA Với các bài toán về lũy thừa, thông thường là tính giá trị của một biểu thức, ta cần nắm vững các kiến thức quan trọng sau đây : - Với n nguyên dương và ∀a ∈ R thì: - Các tính chất của lũy thừa: Lưu ý : a) Nếu m, n nguyên dương thì chỉ cần a, b ≠ 0 Tính chất trên vẫn được áp dụng cho trường hợp tổng quát khi m, n là số thực với a, b dương b) Với các bài toán về luỹ thừa,... * Ngoài ra, ta có một số cách giải đặc biệt: 1 Biến đổi các cơ số trong phương trình mũ hoặc lôgarit về cùng một cơ số để đưa về dạng áp dụng được tính chất: af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x) logaf(x) = logag(x) ⇔ 2 Biến đổi để trong phương trình chỉ còn một loại hàm mũ hoặc lôgarit duy nhất để có thể đặt nó làm ẩn phụ và đưa phương trình về dạng mới theo ẩn phụ 3 Một số phương trình mũ có cơ số khác nhau... trình mũ và lôgarit Ví dụ: Nghiệm của phương trình 32 + x + 32 - x = 30 là kết quả nào sau đây ? A x = 0 B x = 3 C x = ±1 D Phương trình vô nghiệm Giải XI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT - Để giải các bài toán về bất phương trình mũ và lôgarit, ta dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số: - Trường hợp cơ số a có chứa tham số hoặc chứa biến x, ta có thể giải nhanh bằng cách áp dụng tính chất:... một hệ thức liên hệ giữa X và y (không còn m) thì đó là phương trình của quỹ tích - Giới hạn quỹ tích: Do điều kiện của tham số để có điểm M, sự giới hạn của m cho ta giới hạn của x hoặc y suy ra giới hạn của quỹ tích Trường hợp đặc biệt, toạ độ điểm M có dạng : Biểu thức x hoặc y là hằng số thì đó là phương trình của quỹ tích, biểu thức còn lại phụ thuộc tham số m cho ta giới hạn của quỹ tích Ví dụ: ... F(x) + C, ∫f(u)du = F(u) + C, ∫f(t)dt = F(t) + C * Nếu ∫f(x)dx gần giống nguyên hàm thông dụng, chỉ sai biệt hằng số cộng hoặc nhân, ta đặt ẩn phụ là biểu thức gần giống và biến tích phân đã cho thành dạng ∫g(t)dt mà có thể tính được trực tiếp * Trường hợp ∫f(x)dx không có dạng gần giống dạng thông dụng, ta có thể áp dụng phương pháp đổi biến số như sau : Nếu biến đổi f(x) được thành dạng tích hai số hạng... thành dạng ∫g(t)dt mà ta có thể tính được trực tiếp d) Trường hợp ta không phân tích f(x) được về dạng để đổi biến số, đặc biệt khi f(x) là tích của hai loại hàm số khác nhau (hàm lượng giác, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm đa thức) , ta có thể áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần như sau : u = u(x) và V = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: ∫udv = uv - ∫vdu Ví dụ: Kết quả nào sau đây