CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN Chương 4: Quá trình độ mạch phi tuyến I Khái niệm chung II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) III Phương pháp sai phân liên tiếp IV Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân) V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Bài tập: 2, 3, 7, 13 + thêm Cơ sở kỹ thuật điện Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến I Khái niệm chung  Mạch phi tuyến mô tả hệ phương trình vi tích phân phi tuyến miền thời gian Luật Mạch phi tuyến Hệ phương trình vi tích phân phi tuyến (quy luật, tính chất) t = t0: Thay đổi kết cấu thông số mạch K K Mạch phi tuyến Luật (Quy luật, tính chất mới) Quá trình cũ Hệ phương trình vi tích phân phi tuyến Quá trình - +Quá trình độ Thời gian độ t Quá trình xác lập  Động tác đóng mở kết thúc trình cũ khởi đầu trình độ hành  Quá trình độ hệ thống nghiệm hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = + Cơ sở kỹ thuật điện 2 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN Chương 4: Quá trình độ mạch phi tuyến I Khái niệm chung II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) III Phương pháp sai phân liên tiếp IV Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân) V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Cơ sở kỹ thuật điện Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn)  Nội dung: Được sử dụng để giải toán độ mạch phi tuyến (tính phi tuyến ít) có phương trình mô tả dạng: f(x, x’, x’’, …, t) = μ.φ(x, x’, …) (*) đó: f(x, x’, x’’, …) số hạng tuyến tính μ.φ(x, x’, …) số hạng phi tuyến (ít  đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính)  Phương pháp:  Tìm nghiệm phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, …, t) =  x0(t)  Đặt nghiệm phương trình (*) dạng hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh đặt tùy theo độ xác yêu cầu): x(t) = x0(t) + μ.x1(t) + μ2.x2(t) + …  Thay vào phương trình (*) cân theo bậc μ để tìm hàm hiệu chỉnh Cơ sở kỹ thuật điện Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến Ψ(i) II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) Ví dụ 4.1: Dùng phương pháp nhiễu loạn tính dòng độ với hàm hiệu chỉnh cuộn dây lõi thép đóng vào nguồn áp E = 24V, biết đặc E = 24V R=50Ω tính cuộn dây: ψ(i) = 2.i – 3,75.i3, R = 50Ω Giải:  Lập phương trình mạch: 50.i   i  24  2.i ' 50.i  24  11, 25.i i ' (*) (   11, 25) i t  Đặt nghiệm gần với hàm hiệu chỉnh: i(t) = i0(t) + μ.i1(t)   Thay vào (*): i '  i0'  .i1' i  i02   i12  2..i0 i1 2.i0'  2..i1'  50.i0  50..i1  24  .(i02   i12  2..i0 i1 )(i0'  .i1' )  (2.i0'  50.i0  24)  .(2.i1'  50.i1  i02 i0' )   ( )   ( )   Cân theo bậc μ:  μ bậc (phương trình tuyến tính suy biến) Cơ sở kỹ thuật điện 2.i  50.i0  24  '  μ bậc 1: 2.i1'  50.i1  i02 i0'  Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến Ψ(i) II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn)  Xét phương trình tuyến tính suy biến: 2.i0  50.i0  24  ' E = 24V  Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A)  Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 =  p = -25  Nghiệm : i0(t) = 0,48.(1 – e-25.t) (A) = I0.(1 – e-α.t) (A)   Xét phương trình μ bậc 1:2.i  50.i1  i i  ' ' 0 R=50Ω i02  I 02 (1  2.e t  e2. t ) i0'   I o e t  Thay vào ta có:2.i1'  50.i1   I 03 (e t  2.e2. t  e3. t )   ) p   p  2. p  3.   I 03   I1 ( p)      ( p   )2 ( p  2. ).( p   ) ( p  3. ).( p   )   Chuyển sang miền ảnh Laplace: 2( p   ).I1 ( p)   I (  Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide): i1 (t )  0,0555 (25.t  1,5).e25.t  2.e50.t  0,5.e75.t   Vậy nghiệm toán là: Cơ sở kỹ thuật điện i(t )  0, 48.(1  e25.t )  0,625 (25.t  1,5).e25.t  2.e50.t  0,5.e75.t  Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với hàm hiệu chỉnh tính trình điện tích tụ phi tuyến phóng điện qua điện trở R Biết sơ kiện C R q(0) = Q đặc tính phi tuyến tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0) Giải:  Lập phương trình: uC + uR =  1 q   q3  Rq '   Rq ' q   q3   q3 (*) C0 C0  Đặt nghiệm với hàm hiệu chỉnh: q(t) = q0(t) + μ.q1(t)  q '  q0'  .q1'    Thay vào (*): R q0'   q1'   q0   q1     q0   q1  C0  Cân theo bậc μ:  μ bậc (phương trình tuyến tính suy biến): 2.q0'   μ bậc 1: R.q1  ' Cơ sở kỹ thuật điện q1  q03 C0 q0  C0 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với hàm hiệu chỉnh tính trình C điện tích tụ phi tuyến phóng điện qua điện trở R Biết sơ kiện R q(0) = Q đặc tính phi tuyến tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0) Giải:  Xét phương trình tuyến tính suy biến: 2q  q0  C0 1  Phương trình đặc trưng: Rp  0 p     q0 td  Ae  t C0 RC0 t Sơ kiện  Nghiệm độ: q0 qd  q0 xl  q0 td  Ae q0 qd  Q0 e  t ' q(0) = Q0 Q03 Q03 3 t Laplace ( p   )Q1 ( p)   Xét phương trình μ bậc 1: q   q1  e R p  3 R Q03 Hevixaide q (t )  Q0 e   t  e 3 t    Q1 ( p)   R R( p  3 )( p   ) 3  C Q  C Q 0 t 0 t  q '  q0'  .q1'  Q0e  t  e  e Cơ sở kỹ thuật điện 2 ' CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN Chương 4: Quá trình độ mạch phi tuyến I Khái niệm chung II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) III Phương pháp sai phân liên tiếp IV Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân) V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Cơ sở kỹ thuật điện Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến III Phương pháp sai phân liên tiếp  Là phương pháp gần tính số dùng sai phân hóa để giải toán vi tích phân thời gian hệ thống phi tuyến tuyến tính  Sai phân hóa thay gần vi phân biến thời gian t ẩn x vi phân chúng  Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần dùng phương pháp số để tìm dần bước nghiệm gần đúng:  Chia trục thời gian t thành bước h = Δt Δt t t0 = ; t1 = Δt ; t2 = 2.Δt ; … ; tk = k.Δt  Sai phân hóa: dx x xk 1  xk   dt t h d x xk   2.xk 1  xk  dt h2  Sai phân hóa hệ phương trình mạch biểu thức sai phân  thu hệ sai phân liên hệ trị xk bước thời gian liên tiếp  biết xk  tính giá trị xk+1 Cơ sở kỹ thuật điện 10 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến Ψ(i) IV Phương pháp sai phân liên tiếp Ví dụ 4.3: Dùng phương pháp sai phân tính dòng độ đóng nguồn E = 24V vào mạch gồm cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3, mắc E = 24V R=60Ω nối tiếp với điện trở R = 60Ω  i  24  60.i  (1, 75  8, 4.i ).i '  24 i t i i  Sai phân hóa phương trình mạch: 60.ik  (1, 75  8, 4.ik2 ) k 1 k  24 h (24  60.ik ).h  ik 1   ik 1, 75  8, 4.ik  Lập phương trình mạch: 60.i   Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến: 1, 75.i ' 60i  24  1, 75 p  60   p  34,3     Nghiệm xác lập: ixl   Bảng kết quả: Cơ sở kỹ thuật điện 24  0, 4( A) 60 1  0, 03s  h  3.  10ms | p| 10 t(ms) 10 20 30 40 50 60 70 80 i(A) 0,14 0,24 0,32 0,37 0,4 0,4 0,4 0,4 11 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến IV Phương pháp sai phân liên tiếp Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3 Tính 10 giá trị dòng độ tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Biến đổi mạch: R1 R2 R12   17,14 R1  R2  Lập phương trình mạch:  R12i  E E12  R2  22,86V R1  R2 uR12  uL  uC  E12  di di   idt  R12i  1, 75  8, 4i    idt  E12 i dt C dt C  Đạo hàm vế phương trình: R12i '16,8i(i ' )  (1,75  8,4i )i ' ' i  17,14i'16,8i(i' )  (1,75  8,4i )i' ' 4  10 Cơ sở kỹ thuật điện 2 i 0 C 12 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến IV Phương pháp sai phân liên tiếp Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3 Tính 10 giá trị dòng độ tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Sai phân hóa: ik 1  ik ik 1  ik ik ik   2ik 1  ik 17,14  16,8ik ( )  (1,75  8,4ik )  4  h h h 10  ik  h 2ik  17,14.104 h(ik 1  ik )  16,8.104 ik (ik 1  ik )  2ik 1  ik  104 (1,75  8,4ik2 )  Tính sơ kiện: i0 = i(0) = ; uC(0) = i' (0)  i1  i0 i1  i(0)   i1  i(0)  hi' (0) h h Phương trình mạch chế độ mới: R12i  1,75  8, 4i  i '(t )  uC (t )  E12  17,14i(0)  [1,75  8, 4i (0)]i '(0)  uC (0)  22,86 Cơ sở kỹ thuật điện  i '(0)  13,06( A / s)  i1  i(0)  hi '(0)  13.06h 13 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến IV Phương pháp sai phân liên tiếp Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3 Tính 10 giá trị dòng độ tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Phương trình sai phân: h 2ik  17,14.104 h(ik 1  ik )  16,8.104 ik (ik 1  ik )  ik   2ik 1  ik  104 (1,75  8,4ik2 ) i0   Bảng kết quả: i  13.06h t(ms) i(A) 0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084 Cơ sở kỹ thuật điện 14 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN Chương 4: Quá trình độ mạch phi tuyến I Khái niệm chung II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) III Phương pháp sai phân liên tiếp IV Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân) V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Cơ sở kỹ thuật điện 15 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp biên pha biến thiên chậm  Nội dung:  Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân) thường dùng để xét toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp với chế độ tự dao động phi tuyến: x  x   f ( x, x)   Nghiệm phương trình xét có tính dao động, tính chất phi tuyến nên dao động gần với điều hòa  biểu diễn toán học hàm điều hòa có biên độ góc pha biến thiên x(t )  A(t ).cos[0t   (t )]  B(t ).cos 0t  C (t )sin 0t  Với dao động gần với điều hòa, cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) biến thiên chậm: dA(t )  A(t ) dt d (t )   (t ) dt đủ nhỏ  gia tốc lũy thừa tốc độ nhỏ, bỏ qua Cơ sở kỹ thuật điện 16 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp biên pha biến thiên chậm  Nội dung:  Do nghiệm toán gần với điều hòa  coi nghiệm x(t) chuyển dần từ nghiệm dao động điều hòa x0(t) phương trình dao động tuyến tính suy biến: x0(t) = A0.cos(ω0t + θ0)  Nghiệm x(t) toán có dạng: t t     x(t )   A0   A(t )dt  cos 0t  0    (t )dt   A(t ).cos (t ) 0      Vậy ta có: Bỏ qua số hạng nhỏ x  A.cos  A.(0   ).sin x  0 A.sin x  A.cos  A.(0   ).sin   A.sin  (0   ) A.sin  (0   ) A.cos Bỏ qua số hạng nhỏ Cơ sở kỹ thuật điện x  2.0 A.sin  (  2.0  ) A.cos 17 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp biên pha biến thiên chậm Ví dụ 4.5: Cho phương trình Vanderpol x x  .(1  x ) x  (*) Sơ kiện x(0) = X0 x(0)   Phân tích phương trình: x x  .(1  x ) x  tuyến tính phi tuyến  Xét phương trình tuyến tính: x x   đa thức đặc trưng p2 + =  p = ± j  Nghiệm: x0(t) = A0.cos(t + φ0)  dx0/dt = -A0.sin(t + φ0)  X  A0 cos 0  x0(t) = X0.cos(t)    A0 sin 0 Xét t = 0:  t    t   Nghiệm phương trình (*) là: x(t )   X   Adt  cos t    dt   A(t ).cos (t )     Cơ sở kỹ thuật điện 18 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp biên pha biến thiên chậm Ví dụ 4.5:  Thay vào phương trình (*): 2 A.sin  (1  2. ) A.cos  A.cos  .(1  A2 cos  ) A.sin   Biến đổi lượng giác: 2 A.sin  2. A.cos   A.sin   Cân điều hòa cấp:  A3 sin   A3 sin 2     A3   A3 A    A    A  2 A   2 4      2. A       A   Vậy nghiệm là: Cơ sở kỹ thuật điện t      A3 x(t )   X      A  dt  cos t 2    19 CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN Chương 4: Quá trình độ mạch phi tuyến I Khái niệm chung II Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn) III Phương pháp sai phân liên tiếp IV Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân) V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Cơ sở kỹ thuật điện 20 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn  Phương pháp tuyến tính hóa đoạn phương pháp tìm cách thay đoạn đặc tính làm việc phần tử phi tuyến nhiều đoạn thẳng tuyến tính  Quá trình tuyến tính đoạn đặc tính làm việc phải đảm bảo sai số đường cong phi tuyến đường thẳng tuyến tính nhỏ sai số yêu cầu: δk < γy.c u(i) δk  Sau tuyến tính hóa, khoảng tuyến tính hóa, mạch phi tuyến xét mạch tuyến tính i Cơ sở kỹ thuật điện i1 i2 i3 i4 i5 I 21 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến Tại t = 0, khóa mở Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi tuyến trình độ Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω, R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng Giải: Ψ(I) I E  Sơ kiện: iL (0)   2, A R1  Tại thời điểm bắt đầu độ, điểm làm việc cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [1, 3]  cuộn dây có giá trị tương đương cuộn dây tuyến tính:   Ld    0,5H I 1  Khi dòng điện cuộn dây phi tuyến là: iL3 (t )  iL3 (0).e Cơ sở kỹ thuật điện  R t Ld  2, 4.e16t I 22 Chương : Quá trình độ mạch phi tuyến V Phương pháp tuyến tính hóa đoạn Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến Tại t = 0, khóa mở Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi tuyến trình độ Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω, R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng Giải:  Thời điểm dòng điện cuộn dây giảm I = 1(A): t1  ln(1/ 2, 4)  0, 0547( s) 16  Khi đó, điểm làm việc cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [0, 1]  cuộn dây có giá trị tương    2H R I  ( t 0,0547) L  e4(t 0,0547)  Khi dòng điện cuộn dây phi tuyến là: iL3 (t )  iL3 (0).e d đương cuộn dây tuyến tính:  Tổng hợp nghiệm: Cơ sở kỹ thuật điện Ld   2,  iL3 (t )   2, 4e16t  4 t 0,0547  e t0  t  0, 0547 0, 0547  t 23