BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M H À NỘ I ĐỖ VĂN HẢI B À I TO Á N RẼ N H Á N H Đ ố i VỚI M ỘT s ố LỚP PH Ư Ơ N G T R ÌN H ELLIPTIC PH I T U Y Ê N LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC H N ội, 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I ĐỖ V Ă N H Ả I B À I TO Á N RẼ N H Á N H Đ ố i VỚI M ỘT s ố LỚP PH Ư Ơ N G T R ÌN H ELLIPTIC PH I T U Y Ê N L U Ậ N V Ă N TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC C huyên ngành: Toán giải tích M ã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS N guyễn Hữu Thọ H À N Ộ I, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hữu Thọ, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy Cô phòng Sau đại học, Thầy Cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đ ỗ Văn Hải Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ B ài toán rẽ nhánh m ột số lớp phương trình ellip tic phi tu yến ” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đ ỗ Văn Hải M ục lục M ỏ đầu 1 K iến thứ c chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp (ri) 1.1.8 1.2 Đa số (1 < p < +oo) 1.1.4 Không gian c k (rỉ) 1.1.5 Không gian w k,p (ri) 1.1.6 Không gian Wg’p (ri) 1.1.7 Khống gian HõlderỊ Một số bất đẳng thức 10 1.2.1 Bất đẳng thức Hõlder 10 1.2.2 Bất đẳng thức Hardy 11 1.3 Nguyên lý cực đại Stampacchia 11 1.4 Đinh lý hôi tu 12 1.5 Định lý hàm ngược tổng quát 12 11 1.6 Định lý hàm ấn 12 B ài toán rẽ nhánh phương trình ellip tic phi tuyến 18 2.1 2.2 2.3 Đinh lý rẽ nhánh 19 Tính chất định tính nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh 23 Rẽ nhánh phương trình logictics toàn không gian 28 2.3.1 Giá trị xác tham số nhánh 29 2.3.2 Rẽ nhánh nghiệm 32 K ết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 M đầu Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng vấn đề cần thiết giải tích đại Trong mô hình toán thực tế nhiều trường hợp yêu cầu cần phải nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic (thường phi tuyến), toán toán rẽ nhánh Bài toán rẽ nhánh nghiên cứu từ kỷ thứ 18, toán liên quan tới m ất ổn định truyền mỏng phát Bernoulli Euler vào khoảng năm 1744 Từ đó, toán quan tâm phát triển nhiều ứng dụng Hình học, Cơ h ọ c Vai trò toán rẽ nhánh Kielhổíer phân tích đúc kết tài liệu [4J Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết định tính toán rẽ nhánh phương trình elliptic phi tuyến Được hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, thực đề tài luận văn là: “B ài toán rẽ nhánh m ột số lớp phương trình ellip tic phi tu yến ” 2 M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan phân tích định tính toán rẽ nhánh số lớp phương trình elliptic phi tuyến Cụ thể, luận văn trình bày chứng minh chi tiết Định lý rẽ nhánh, xem xét tính chất định tính nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh Trong luận văn trình bày vấn đề rẽ nhánh phương trình logistics toàn không gian, quan tâm tới tự tồn nghiệm không tồn nghiệm dương số phương trình logistics N hiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan toán rẽ nhánh Trình bày định lý rẽ nhánh Khảo sát định tính cho số trường hợp nghiệm toán rẽ nhánh số lớp phương trình elliptic phi tuyến Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Một số lớp phương trình elliptic phi tuyến Phương pháp rẽ nhánh phương trình đạo hàm riêng Phương trình Logistics Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu phân tích định tính toán rẽ nhánh số lớp phương trình elliptic phi tuyến Đ óng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống phân tích định tính toán rẽ nhánh số lớp phương trình elliptic phi tuyến Chương K iến thứ c chuẩn bị (Những kiến thức trình bày chương trích dẫn trực tiếp từ tài liệu tham khảo /1] [2].) Trong chương ta trình bày số kiến thức cần thiết sử dụng chương sau luận văn 1.1 1.1.1 M ột số không gian hàm K hông gian Banach a Một dãy (hay dãy Cauchy) không gian định chuẩn X dãy x n e X cho Ve > 0, N cho Vn > N : \fm > N ll^n *^7ĨI 11 ^ b Không gian định chuẩn X dãy hội tụ X gọi không gian định chuẩn đầy đủ hay không gian Banach 30 Đ ịn h lý 2.4 Giả sứ V thỏa mãn (Ị2.12Ị) điều kiện: (i) Tồn A, a > cho v + (X) < A\x ị—2 —a Vx G R \ (2.13) íii) lim \x |2(n—l)/n v (x) = xWữ Khi Ả > Chứng minh Với R > 0, ta cố định U G H q (B R) cho / V (X ) u 2dx = J br Ta có 1= ị v ( x ) u 2d x < ị J br Vì Vị G v + {x)u2d x = ị J br V ị ( x ) u 2dx+ ị J br V2 ( x ) u 2dx J Bịị L n!2 (Mn), sử dụng Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz phép nhúng Sobolev ta Vi / {x) u dx < 11Vị llwlli2*(nJl) (2.14) < ƠI 11Vi ||i »/a(R») [ \Vu\2dx, Jbr 2* ký hiệu số mũ tới hạn Sobolev: 2* — 2n n —2 Cố định £ > 0, từ giả thiết (2.12) tồn số dương ổ, R ị R - R ị \x \2 V2 (x ) < £ R ta có (2.15) Mặt khác từ (2.12) với X G B R thỏa mãn |ícỊ < ổ ta có \x\'2(n- 1)/nv2 (x) < £ Đặt Í2 CÜI u Í)J2 ò LÜI B R\ B Rl, U)2 (2.16) B ị \ B iị R , LÜ B Rl\B$ Từ (2.15) Bất đẳng thức Hardy ta í v (x ) u 2dx < £ í — ịd x < c 2£ í \Vu\2dx J U)1 |æ| J br J ư1 (2.17) 31 Sử dụng (2.16) Bất đẳng thức Hổlder ta nhận u / v2(X) u2dx < £ Ị — (n—l ) / n dx d UỈ2 dUỈ2 |ír cho với < j < k, ' 2("~1) £ \x — X j \ < r \x — X j \ n v2(a;) < — k Đặt Ả := u jk=\ B r { X j ) Theo ước lượng trên, bất đẳng thức Hõlder phép nhúng Sobolev u í v2(x)u2dx < ^ ị JBr{xj) k: JB Br{Xi) \x — Xj\ dx 32 với j = , k Vậy nên ta v2(x ) u 2dx < Cị JA \Vu\2dx ( 20) J Bịị Từ (2.19) suy với v & L°° (cj\A ) Thực X e cư\A tồn j £ {1, , A;} cho Vj > \x —Xj\ > r > Vì , „ v (x) < r —2 ( n —1 ) " e Do í v ( x ) u 2d x < e r (" J uj\ A í u2d x < c J ui\A \Vu\2dx ( 21) J Br Bây giờ, từ bất đẳng thức (2.14), (2.17), (2.18), (2.20), (2.21Ị) ta có + c + C5} " Ai (R) > { c ,||V 1||I /2(E ) + c 2e + c , ( s Chuyển qua giới hạn R —>oo ta A > ị(Jl II Vị |Ịi n/2 (R n) + c 2£ + c$ỗ2!n + C4 + C^j > Như định lý chứng minh 2.3.2 □ R ẽ nhánh nghiệm Mục đích ta xác định số thực A > xác định A := lim Ai (R ) R-¥oc SỐ đóng vai trò quan trọng toán logistic giá trị riêng phi tuyến —A u = À (V (X)) u — f (u) Mn, u > Mn lim u (a:) = |íc|— »oo ( 22) 33 Kết tồn hay không tồn nghiệm chứng tỏ A điểm rẽ nhánh toán (2.22) M ệ n h đ ề 2.1 Cho V ỉà hàm thỏa mẫn (2.12) f thỏa mãn giả thiết (fl), (f2), (f3) Khi toán —A u = A (V (:r) u — f (u )) Mn, (2.23) u > có nghiệm với X > A Chứng minh Với R > 0, xét toán giá trị biên ■Au = X (V (x) u - f (u)) u >0 B r , u —0 d B R B R, (2.24) Trước tiên ta chứng minh toán (2.24) có nghiệm với A > Ai (R) T hật hàm ũ (x) = M nghiệm (2.24) với M đủ lớn, điều có từ (f3) tính bị chặn V Tiếp theo để tìm nghiệm dương ta xét toán cực tiểu hóa [ uCh}( b r ) J Br ( |Vw|2 —XV (x) 'lí2') dx \ ỉ Vì A > Ai (R ) dẫn đến giá trị riêng nhỏ âm Hơn hàm riêng tương ứng ei thỏa mãn - A e i - XV (X) ei = ¿¿iei B R, ei > B R, e\ = d B R (2.25) 34 Khi hàm u{x) = £C\ (X) nghiệm toán (2.24) T hật vậy, ta cần kiểm tra —A (eei) —XeVei + Ằ f (eei) < B R Nghĩa là, (2.25) EịLxex + X f (eei) < B R (2.26) Nhưng / (eei) = e / (0) ei + ECị o (1), e —>0 Do đó, từ f ' (0) = nên mối quan hệ (2.26) trở thành eex (/¿1 + o (l)) < 0, điều £ > đủ nhỏ, fiị < Cố định A A va mọt day bat ky R\ < R ^ • • • "C Rỵ cho Rỵ —¥ 00 Xị (Rị) < X Giả sử Uỵ • • • cac so dưong nghiệm (2.24) B Rk số dương M cho l S ệ Ị l ^> \W \\, \ v II (R n ) ■ Lý luận chứng tỏ ta giả thiết k > Vì giả sử Uk+1 Uỵ < M B Rk với nghiệm (2.24) với R = Rk, nên ta Uỵ < U ỵ + \ B Rk Do hàm u (x) := lim Uỵ (:r) tồn xác 00 định dương Mn Những lập luận tính quy elliptic chuẩn suy □ u nghiệm toán (2.23) M ệ n h đề 2.2 Cho u nghiệm toán (2.22) Khi tồn c > cho \u (z)| < c\x\2~n với X € Mn 35 Chứng minh Giả sử uin diện tích m ặt cầu đơn vị Mn Xét hàm v +u vị Newton định nghĩa V {x) = L (y ) u (:y) (n —2) ujn JRn ịx —y\n Tính toán trực tiếp ta nhận —A v = v + (X) u IRn Nhưng (2.13) u bị chặn nên với a < n — ta có V + ( y ) u ( y ) < C \ y \ - 2- a, Vy e R", V (x) < c\x\ Vr Ễ l n Đặt w (x) = Cv (x) —u (a;), w (x) |ícI 00 Chọn c đủ lớn cho w (0) > 0, điều dẫn đến w (z) > , \/x e Mn T hật vậy, giả sử điều ngược lại, xét x £ (2.27) điểm cực tiểu địa phương w có nghĩa w (a^o) < 0, Vw (a^o) = Aw (a^o) > Nhưng Aw (íCo) = - C V + (íCo) u (xQ) + X (V (íEo) u (x0) - f (u (xQ))) < với c > A Điều mâu thuẫn suy (2.27) Từ ta có u (x) < Cv (:r) < c\x\ “ , với Vx £ M Bây giờ, sử dụng lại giả thiết (2.13) ta y + (íc) u (íe) < |íc| 2a, \/x £ Mn, 36 từ dẫn đến kết V (X ) < c\x\ 2a, với Væ g Mn 2a < n — Xét N a số nguyên lớn cho N aa < n — Lặp lại N a + lần bước ta u{x) < C |z | —n , V z G i r □ Mệnh đề chứng minh M ệ n h đ ề 2.3 Cho u nghiệm toán (2.22) Khi v +u , v ~ u , f (u ) G L (Mn) v u G H (Mn) Chứng minh Với R > 0, xét hàm trung bình ũ ( R ) = — ———- [ u ( x ) d = — [ u (rx )d , v ' U>nf r - J dBs K J dBi K J ỏ uin diện tích m ặt cầu s 71-1 Khi ' (R ) = — / (rx) dơ = u^ nR- n~l ĩ íJ dB du y f = ——r / A u (a;) dx u nR n~l J BR K’ Do u, lR n~1ũ' (R) = -A / (V (x)u — f (u)) dx rR = —A / v + (a;) udx + X Ị J Br J Br ( v - (a;) u + f (ư)) da: (2.28) 37 Từ Mệnh đề 2.2, tồn c > cho IU (æ)| < Cr n+2 với r > Vì vậy, từ (2.13) dẫn đến I V+(x)udx< C A J l at, với < t < ỗ at2 Do / (t ) > với < t < ổ Do u giảm vô nên tập {æ g Mn; U (x) > ố} compact Vì vậy, / (u ) G L (Mn) dx < + 00 u2dx < Ta phải chứng minh Vw G L2(Mn)n Trước tiên sau nhân (2.11 ) với u lấy tích phân ta Í J br Í Ị |V ií|2d:r — u (x) (x) dơ = X (V (x) u — f (ù)) d x, JdBn OU J Br với r > Ta có V u —f (u) G L (Mn), vế trái có giới hạn xác định r —>00 Giả sử ngược lại, V u ị L2(Mn)n, tồn R > cho Ị Í u ( x ) ^ ~ (æ) dơ > \Vu\2dx JdBR OU J Br với R > R q (2.29) 38 Đặt A (R )= f U (X ) JdBR B (R ) = I ^ (z) dơ, ơư u2 (X) dơ, (2.30) JdBR c (R) = í |Vu (x)\2dx J br Khi (2.29) viết lại thành 1„ A (R) > - C (R) với R > R q z (2.31) Mặt khác Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có A (R) < ' dB, u*ề°){L du dư d ) < B {R) (R) Sử dụng kết (2.31) ta T ****Do d \ r dt J 7TTT+ / ~D(+\ dr [C (r) J ữ B ( t ) \ r=R Nhưng u & L (Rn) kéo theo í „ với R > R (2.32) B (t ) dt hội tụ Do J0 f R dt lim / ———= +oo R— >00 J Q B [tj (2.33) Mặt khác, giả thiết |Vư| Ệ L (Rn) dẫn đến (2.34) Các mối liên hệ (2.32), (2.33), (2.34) dẫn đến mâu thuẫn với điều giả sử Vu ị L2(Rn)n Vậy mệnh đề chứng minh □ 39 M ệ n h đ ề 2.4 Cho u V hai nghiệm phân biệt toán (2.22) Khi [ ớn lim / u{x) — (:r) dơ = JdBR dv Chứng minh Nhân (2.22) với V lấy tích phân B R ta Ị Vu ■Vvdx- Ị J br JdBR dv u^- (x) dơ = X [ (V (x) uv - f (u) v) dx J br Từ Mênh đề (I2.3Ị), tồn tai giới han hữu han lim [ u ( ^ dơ Nhưng R— tooJqRr \dvj 1„ T)X, _ , _1 _ n , „✓ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có \ 1/2 \ 1/2 í õbr ( í UKT u (x) dơ u2d \ \JdB R J ( í \Vv\2dơ ) ' /) \JdB R (2.35) ■ Vì u ỊV i’Ị € L (Mn) nên tích phân 00 I (y (M2 I^I2) kội • dBR Do lim / (u2+ |V n|2') JdBR v dơ = (2.36) ' Kết hợp với (2.35), (2.36) ta nhận điều phải chứng minh □ Định lý sau cho ta kết tồn không tồn A xem điểm rẽ nhánh toán (2.22) Đ ịn h lý 2.5 Cho V hàm thỏa mãn điều kiện (2.12), (2.13) f thỏa mãn giả thiết (fỉ),(f2),(f3) Giả sử tồn A, a > cho v +(x) < A\x\ “ với Vx G Mn Khi đó: (ỉ) Bài toán (2.22) có nghiệm với À > A; 40 (ii) Bài toán (2.22) nghiệm với X < A Chứng minh, i) Dễ thấy À > A V thỏa mãn (2.13) toán (2.22) có nghiệm T hật vậy, ta kiểm tra u(x) eei (X ) nếu X GB R ị Br X với R > C\ thỏa mãn (2.25) nghiệm toán (2.22) n nghiệm toán Tiếp theo ta thấy u (x) = ( i + M 2) (2.22) T hật vậy, u thỏa mãn: n —Au (X) Từ u ^1 + |a;|2^ —4|a;| / 7\~2 ( i + M 2) u (x ), X & Mn nghiệm (2.22) n ( l + ỊzỊ2) - 4ỊzỊ | / > 7\~2 > XV (x)X f ( l + |rc|2) n + |x| Bất đẳng thức xuất phát từ (f3) (2.13) với n , X e W' đủ lớn Cùng với kết chứng minh ta nhận khẳng định tồn nghiệm toán (|2.22|) Để xây dựng tính nghiệm, ta giả sử u nghiệm (2.22) Không tính tổng quát giả sử u < V, V hai từ điều dẫn đến ũ = {u, u} nghiệm (2.22) u xác định nghiệm Do ta cần xét cặp có thứ tự tương ứng gồm nghiệm V Vì u V nghiệm, từ công thức Green ta có J õbr V du du J J br \ V u J 41 Từ Mệnh đề 2.4, vế trái hội tụ đến R —> 00 Vì vậy, từ (fl) giả thiết u < V ta suy u = V Mn Vậy nghiệm (2.22) ii) Giả sử ngược lại, xét A < A cho toán (2.22) có nghiệm với giá trị À Khi ị J’ B br ịVuựdx \V u \2dx — /í lí— u — dơ = x í JdBR JdB- du J Br ( v (x) u —/ (u) u) d x Từ Mệnh đề Z3 Mệnh đề 2^4 cho R —> oo ta \Ụu\2d x < \ Ị V { x ) u2dx J Rn J R» (2.37) Mặt khác sử dụng định nghĩa A := lim Ai (R) R->00 Ai (R) — < / \Wu\2dx', u £ H q (B r ) , / V (x) u2dx = U br J br ta có A [ V ( 2dx < [ |VC|2dx, J R" JRn với ( £ C q (Mn) cho J (2.38) V ( 2dx > Cố định c £ C q (Mn) cho < ( < |x| < ((*)=< 1x1 > Với n > định nghĩa 4/n (a;) = Cn (x ) u ( x ) , Cn (z) = c ( “ )• Do 4/n (x) —> u (x) n —> 0 , với X £ Mn Vì u £ H (Mn) suy u £ L 2n/(™-2) (Mn ) Theo Định lý hội tụ trội Lebesgue ta L2n/(n" 2) (Mn) 42 Ta chứng minh V tfn Vm L 2(Rn)n (2.39) T hật vậy, xét íìn := {a? € Mn; n < \x\ < 2n} Áp dụng Bất đẳng thức Hổlder ta ||V tfB - Vu|| L2(Rn) — ll(Cn 1) ^ MIIl2(R") "h HuVC.ll L2(n„) ^2 — IKCn —1) Vw||£2(Rn) + |M|i2n/(n-2)(ftn) • 11V Cn11L™(R™)• Nhưng |Vw| G L (Mn) từ Định lý hội tụ trội Lebesgue nên ta có lim II(Cn - 1) V u ||ia(RB) = 71— >00 v ' (2.41) II^Cn|li»(Rn) = l|VC||L»(R»)- (2.42) Tiếp theo, ta thấy ĩi G L2n/(n_2) (Rn) nên lim n —>0o | | w | | i 2n / ( n - ) m v ) — (2.43) Các mối liên hệ (2.40)-(2.43) dẫn đến (2.39) ta mong muốn Vì v ±u2 e L l (Mn) V ^ l < V ±ú2 nên từ Định lý ta lim / v ±v ị d x = / V ±u2dx, J R" n^°° JR» lim / V ^ l d x = / V u 2dx 7i >00 J-^n Rn Do từ (2.37) (2.44) suy tồn n ữ > cho L V ^ 2dx > với n > n0 (2.44) 43 Điều nghĩa ta viết (2.38) với ( thay € C q (Rn) sau sử dụng (2.39) (2.44) ta L ịVuựdx > A Ị v ũ zdx J R" (2.45) Mối liên hệ (2.37) (2.45) dẫn đến vô lý, toán (2.22) nghiệm A < A Định lý chứng minh □ K ết luận chương Trong chương này, ta nghiên cứu Định lý rẽ nhánh bản, trình bày định tính nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh Xem xét vấn đề rẽ nhánh phương trình logictics toàn khôn gian Ta nghiên cứu tồn nghiệm không tồn nghiệm dương số phương trình logistics Như vấn đề rẽ nhánh số lớp phương trình Elliptic ta nghiên cứu nội dung chương K ết luận Luận văn nhằm trình bày cách có hệ thống phân tích định tính toán rẽ nhánh số lớp phương trình elliptic phi tuyến Cụ thể, luận văn Trình bày chứng minh chi tiết Định lý rẽ nhánh thông qua việc sử dụng kiến thức Giải tích hàm Trình bày định tính nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh Xét vấn đề rẽ nhánh phương trình logistics toàn không gian Quan tâm tới tồn nghiệm không tồn nghiệm dương số phương trình logistics Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý Thầy Cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để thân tác luận văn hoàn thiện hơn! Tác giả xin chân thành cảm ơn [...]... au\o; M=* - 1) Vi 0 < (5 < 1, ta núi rng hm u liờn tc Hlder vi s m trong ớ nu na chun Mớ;n = SUP x,yè x^y {x)-u{y)\ 1 | \x - y I ( 1 2) l hu hn Na chun ny c gi l hng s Hlder bc ca u Khi = 1, nu v phi ca (1.2) l hu hn, hm u c gi l liờn tc Lipschitz trong ri Ký hiu = mx [Dau]s n \a\=k (1.3) Cho 0 < < 1 v k = 0,1,2 khụng gian Hlder c k+s (r) l khụng gian Banach ca tt c cỏc hm u c k (r) vi chun... ra rng nghim ton cc l duy nht t I {A G l n I2 ; U (A) u2 (A)} Mc ớch ca ta l ch ra rng I = li n I 2 u tiờn ta nhn thy O e / vỡ th / ^ 0 Do ú / l úng trong l n I2 Nh vy chng minh / = /i n / 2 ta s phi chng t / l mt tp m trong l n / 2 T ht vy ỏp dng nh lý 1 khi thay th A bi 0 T ú ta s cú / = l n / 2 Bõy gi chng minh s tn ti ca mt khong ti a /, ta xột cỏc ng cong un (A) thuc lp c 1, c nh ngha trờn... lan cn U cua goc ta tTong x 2 sao G Bl, X G B 2 v g G B 3 , tn ti duy nht nghim u2 = (p (ô1 , x,g) & u ca phng trỡnh -F( ui + Ơ>(u i ,A ,0),A ) = g Chng 2 B i toỏn r nhỏnh i vi phng trỡnh ellip tic phi tu yn (Nhng kin thc trỡnh by trong chng ny c trớch dn trc tip t cỏc ti liu tham kho [] v [5].) Cho / : R ằ M l mt hm li, dng, thuc lp c2 v tha món f ' (0) > 0 Xột bi toỏn Au = / (u) trong f, ( 2 1)... trong 28 Hn na gôw < g* trong ri Theo nh lý hi t tri Lebesgue ta cú vi mi 1 < p < 5 thỡ e* G Lp (Q) , euW eu* trong Lp ( r ) Do u (A) tha món (2.1), bng cỏch s dng nh lý chớnh quy chun cho phng trỡnh elliptic, suy ra u (A) ằu* trong w 2,p (ri) nu A > X* Mt khỏc, bao hm thc Sobolev w 2,p c L 00 (r) nu n < 2p, nờn vi n < 9 thỡ U (A) >u* trong L (r) nu A ằ A* Do vy U* G L ( i l ) , e* G L00 ( n ) nh